安徽省江淮名校2020-2021学年高一下学期数学开学联考试卷

安徽省江淮名校2020-2021学年高一下学期数学开学联考试卷
一、单选题
1．（2021高一下·安徽开学考）已知全集 ，集合 ， ，则 （　　）
A． B． C． D．
2．（2021高一下·安徽开学考） （　　）
A． B． C． D．
3．（2021高一下·安徽开学考）函数 图象的对称轴方程为（　　）
A． B．
C． D．
4．（2021高一下·安徽开学考）已知函数 ，若 ，则实数 的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
5．（2021高一下·安徽开学考）若 ，则 （　　）
A． B． C． D．
6．（2021高一下·安徽开学考）已知函数 ，用二分法求 的零点时，则其中一个零点的初始区间可以为（　　）
A． B． C． D．
7．（2021高一下·安徽开学考）已知函数 满足： ，则 ；当 时 ，则 （　　）
A． B． C． D．
8．（2021高一下·安徽开学考）已知函数 ( ， )恒过定点 ，则函数 的图像不经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
9．（2021高一下·安徽开学考）为了得到函数 的图象，只需将 图象上所有点（　　）
A．纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移 个单位长度
B．纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移 个单位长度
C．纵坐标不变，横坐标缩短为原来的 倍，再向左平移 个单位长度
D．纵坐标不变，横坐标缩短为原来的 倍，再向右平移 个单位长度
10．（2021高一下·安徽开学考）已知函数 是在 上的偶函数，且在 上单调递减，令 ， ， 则 满足的关系为（　　）
A． B． C． D．
11．（2021高一下·安徽开学考）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与 最接近的是（　　）
（参考数据：lg3≈0.48）
A．1033 B．1053 C．1073 D．1093
12．（2021高一下·安徽开学考）设 均为正实数，且 ，则 的最小值为（　　）
A．8 B．16 C．9 D．6
二、填空题
13．（2021高一下·安徽开学考）函数 的定义域为　 　.
14．（2021高一下·安徽开学考）已知幂函数 的图象不过原点，则实数 　 　.
15．（2021高一下·安徽开学考）若函数 在区间 的最大值与最小值之和为 ，则 　 　.
16．（2021高一下·安徽开学考）若 是函数 的一个零点， 是函数 的一个零点，已知函数 ，则关于 的方程 的解集是　 　.
三、解答题
17．（2021高一下·安徽开学考）已知集合 ， .
（1）当 时，求 ；
（2）若“ ”是“ A”的必要不充分条件，求实数 的取值范围.
18．（2021高一下·安徽开学考）已知 ， ， .
（1）求 和 的值；
（2）求 的值.
19．（2021高一下·安徽开学考）已知 ，且 ，求
（1） 的最小值；
（2） 的最小值．
20．（2021高一下·安徽开学考）已知函数 的部分图象如图所示.
（1）求 的解析式；
（2）设函数 ，求 的值域.
21．（2021高一下·安徽开学考）设函数 .
（1）求出函数的定义域；
（2）若当 时， 在 上恒正，求出 的取值范围；
22．（2021高一下·安徽开学考）已知函数 且 .
（1）求实数 的值；
（2）若对任意的 ，不等式 恒成立，求正数 的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】因为全集 ，集合 ，
所以 ，又 ，
所以
故答案为：B
【分析】根据补集和交集的定义进行计算即可。
2．【答案】C
【知识点】两角和与差的余弦公式
【解析】【解答】由题意， ，
所以原式 ．
故答案为：C．
【分析】 利用三角函数诱导公式及逆用两角和的余弦公式计算即可得解.
3．【答案】D
【知识点】正弦函数的性质
【解析】【解答】结合正弦函数的性质，可得函数图象的对称轴满足 ，解得对称轴方程为 .
故答案为：D.
【分析】 根据正弦函数的性质，可得函数图象的对称轴满足，即可解得函数图象的对称轴方程.
4．【答案】A
【知识点】分段函数的应用
【解析】【解答】 ，即 .
故答案为：A
【分析】由，求解，即可得到a的取值范围。
5．【答案】D
【知识点】二倍角的余弦公式；诱导公式
【解析】【解答】 ，
且 ，
故答案为：D.
【分析】先利用余弦的二倍角公式展开，再利用诱导公式即可求出答案。
6．【答案】C
【知识点】函数零点存在定理
【解析】【解答】因为函数 在 上显然是连续函数，
和 在 上都是增函数，
当 时， ，所以 在 上恒成立；
当 时， ，所以 在 上也恒成立；
当 时， ，所以 在 上恒成立，
又 ， ，
根据函数零点存在性定理，可得 的其中一个零点的初始区间可为
故答案为：C.
【分析】根据函数解析式，结合二次函数与对数函数单调性，分别判断ABD都不正确，再结合零点存在性定理即可得出答案。
7．【答案】A
【知识点】函数的值
【解析】【解答】因为 ，
所以 ，
而 ， 时， ，
所以 .
故答案为：A.
【分析】判断的范围代入相应的解析式求值即可。
8．【答案】B
【知识点】指数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】 且 恒过定点 则函数 恒过定点 且是单调递增函数，其图象不经过第二象限.
故答案为：B
【分析】 首先根据指数函数的性质求定点，即得函数g(x)的解新式，再判断函数的图象经过的象限。
9．【答案】D
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】 纵坐标不变，横坐标缩短为原来的 倍，可得 ；再向右平移 个单位，可得 .
故答案为：D.
【分析】 先利用诱导公式可得 ，再结合函数图象平移和伸缩变换的法则，即可得解.
10．【答案】B
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】 ， ，
，
因为 ，且 在 上单调递减，所以
故答案为：B.
【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到答案。
11．【答案】D
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】设 ，两边取对数， ，所以 ，即 最接近 ，
故答案为：D.
【分析】 根据对数的性质可得：，将x化为10为底的指数形式，进而可得结果.
12．【答案】A
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】因为 均为正实数 ，
所以 ，当且仅当 ，即 时取等号.
因此 的最小值为8.
故答案为：A.
【分析】 利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出.
13．【答案】
【知识点】正切函数的图象与性质
【解析】【解答】 ，由 可得 ，
因此，函数 的定义域为为 .
故答案为： .
【分析】 根据正切函数的定义域，构造关于x的不等式，解不等式，求出自变量x的取值范围，即可得到函数 的定义域.
14．【答案】-1
【知识点】幂函数的概念与表示
【解析】【解答】因为幂函数 的图象不过原点，则 ，
解得
故答案为：-1
【分析】由题意利用幂函数的定义和性质，求得m的值。
15．【答案】
【知识点】对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】因为 ，故 为递减函数，
当 时， ， ，
由题意可得 ，可得 ，解得 .
故答案为： .
【分析】 根据题意判断f (x) 为递减函数，求出最大值和最小值，求和得出a的值.
16．【答案】
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】依题意， 是方程 的解， 是方程 的解，
因此 分别是直线 与函数 函数 图象交点的横坐标的值，
又 和 图象关于 对称，则由 ，所以 ，
则方程 ，即为 ，解得 或
故答案为： .
【分析】 a是方程的解，b是方程的解，画出函数的图象，a, b分别是直线 与函数 函数 图象交点的横坐标的值，联立方程组求解即可.
17．【答案】（1）由 ，得 ，
所以集合 ， 或 ；
当 时， 或 ，
所以 ；
（2）由“ ”是“ ”的必要不充分条件，得 ，
所以 或 ，解得 或 ，
故实数 的取值范围是 .
【知识点】交集及其运算；必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【分析】 (1)根据不等式的解法求出集合的等价条件，利用集合的基本运算法则进行计算即可；
(2)若x∈B是x∈A的必要不充分条件，再根据条件转化为真子集关系进行求解即可.
18．【答案】（1）由 ， ，可得 ，
，
因此 ；
又由 ， ；
（2）由（1）得， ， ，
.
【知识点】两角和与差的正切公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【分析】 (1)由题意利用同角三角函数的基本关系，两角差的正切公式，计算求得结果；
(2)由题意利用两角差的正切公式，计算求得结果.
19．【答案】（1）由 ，可得 ，
又由 ，可得 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，即 ，
所以 的最小值为 .
（2）由 ，得 ，
因为 ，可得 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，
所以 的最小值为 .
【知识点】基本不等式
【解析】【分析】 (1)利用基本不等式构建不等式即可得出；
(2)由2x+8y=xy， 变形得 ， 利用“乘1法”和基本不等式即可得出.
20．【答案】（1）由图象得 周期 ，所以 ；
又由 ，得 ；所以 .
（2）
，因为 ， ， ，
所以 的值域为 ．
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【分析】 ( 1 )由函数的图象的顶点坐标求出A,由周期求出，由五点法作图求出φ的值，可得函数f (x)的解析式；
( 2 )利用三角恒等变换化简g (x)的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域求得g (x)的值域.
21．【答案】（1）由题知 且 .
当 时， ，所以不等式解集为 .
当 时， ，所以不等式解集为 .
综上所述，当 时，不等式解集为 ，
当 时，不等式解集为 .
（2）当 时，定义域为 ，令 ，
则 在 单调递减，所以 .
又 .
因为 在 上恒正，所以 ，即 ，解得 .（3）若函数 在 上单调递增，求出 的取值范围.
任取 ，满足 .
二次函数 的对称轴 ，
所以 在 上单调递增，即 .
当 时， ，即 ，不满足题意舍去.
当 ，且 时， ，即 ，
所以当 在 上单调递增.
【知识点】函数的定义域及其求法；函数单调性的性质；函数恒成立问题
【解析】【分析】 (1)化简不等式，通过当a>1时，当0(2)当a> 1时，求出函数的定义域，令g (x) = (x+1) (ax+1) ，利用函数的单调性，化简不等式，求解即可；
(3)利用函数的单调性的定义，判断 在 上单调递增，通过当01，且判断求解即可.
22．【答案】（1） ， ，所以 ；
（2） ，
函数 在 上单调递减，在区间 上单调递减，
因为 ，所以，函数 在 上连续，所以，函数 在 上为减函数，
等价于 ，
即当 时， 在 上恒成立，可得 .
，所以， .
当 时， 成立；
当 时，令 ，可得 ，
则 ，
当且仅当 时，即当 时，等号成立.
综上所述，函数 在区间 上的最大值为 ， .
因此，实数 的取值范围是 .
【知识点】函数恒成立问题；函数的值
【解析】【分析】 (1)由函数解析式及f (0) +f (-1) =3可求得a的值；
(2)判断函数f (x) 的单调性，将不等式转化为 ， 即 当 时， 在 上恒成立，由二次函数的性质列不等式即可求解.
1 / 1安徽省江淮名校2020-2021学年高一下学期数学开学联考试卷
一、单选题
1．（2021高一下·安徽开学考）已知全集 ，集合 ， ，则 （　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】因为全集 ，集合 ，
所以 ，又 ，
所以
故答案为：B
【分析】根据补集和交集的定义进行计算即可。
2．（2021高一下·安徽开学考） （　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】两角和与差的余弦公式
【解析】【解答】由题意， ，
所以原式 ．
故答案为：C．
【分析】 利用三角函数诱导公式及逆用两角和的余弦公式计算即可得解.
3．（2021高一下·安徽开学考）函数 图象的对称轴方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】正弦函数的性质
【解析】【解答】结合正弦函数的性质，可得函数图象的对称轴满足 ，解得对称轴方程为 .
故答案为：D.
【分析】 根据正弦函数的性质，可得函数图象的对称轴满足，即可解得函数图象的对称轴方程.
4．（2021高一下·安徽开学考）已知函数 ，若 ，则实数 的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】分段函数的应用
【解析】【解答】 ，即 .
故答案为：A
【分析】由，求解，即可得到a的取值范围。
5．（2021高一下·安徽开学考）若 ，则 （　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二倍角的余弦公式；诱导公式
【解析】【解答】 ，
且 ，
故答案为：D.
【分析】先利用余弦的二倍角公式展开，再利用诱导公式即可求出答案。
6．（2021高一下·安徽开学考）已知函数 ，用二分法求 的零点时，则其中一个零点的初始区间可以为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数零点存在定理
【解析】【解答】因为函数 在 上显然是连续函数，
和 在 上都是增函数，
当 时， ，所以 在 上恒成立；
当 时， ，所以 在 上也恒成立；
当 时， ，所以 在 上恒成立，
又 ， ，
根据函数零点存在性定理，可得 的其中一个零点的初始区间可为
故答案为：C.
【分析】根据函数解析式，结合二次函数与对数函数单调性，分别判断ABD都不正确，再结合零点存在性定理即可得出答案。
7．（2021高一下·安徽开学考）已知函数 满足： ，则 ；当 时 ，则 （　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】函数的值
【解析】【解答】因为 ，
所以 ，
而 ， 时， ，
所以 .
故答案为：A.
【分析】判断的范围代入相应的解析式求值即可。
8．（2021高一下·安徽开学考）已知函数 ( ， )恒过定点 ，则函数 的图像不经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【知识点】指数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】 且 恒过定点 则函数 恒过定点 且是单调递增函数，其图象不经过第二象限.
故答案为：B
【分析】 首先根据指数函数的性质求定点，即得函数g(x)的解新式，再判断函数的图象经过的象限。
9．（2021高一下·安徽开学考）为了得到函数 的图象，只需将 图象上所有点（　　）
A．纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移 个单位长度
B．纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移 个单位长度
C．纵坐标不变，横坐标缩短为原来的 倍，再向左平移 个单位长度
D．纵坐标不变，横坐标缩短为原来的 倍，再向右平移 个单位长度
【答案】D
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】 纵坐标不变，横坐标缩短为原来的 倍，可得 ；再向右平移 个单位，可得 .
故答案为：D.
【分析】 先利用诱导公式可得 ，再结合函数图象平移和伸缩变换的法则，即可得解.
10．（2021高一下·安徽开学考）已知函数 是在 上的偶函数，且在 上单调递减，令 ， ， 则 满足的关系为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】 ， ，
，
因为 ，且 在 上单调递减，所以
故答案为：B.
【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到答案。
11．（2021高一下·安徽开学考）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与 最接近的是（　　）
（参考数据：lg3≈0.48）
A．1033 B．1053 C．1073 D．1093
【答案】D
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】设 ，两边取对数， ，所以 ，即 最接近 ，
故答案为：D.
【分析】 根据对数的性质可得：，将x化为10为底的指数形式，进而可得结果.
12．（2021高一下·安徽开学考）设 均为正实数，且 ，则 的最小值为（　　）
A．8 B．16 C．9 D．6
【答案】A
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】因为 均为正实数 ，
所以 ，当且仅当 ，即 时取等号.
因此 的最小值为8.
故答案为：A.
【分析】 利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出.
二、填空题
13．（2021高一下·安徽开学考）函数 的定义域为　 　.
【答案】
【知识点】正切函数的图象与性质
【解析】【解答】 ，由 可得 ，
因此，函数 的定义域为为 .
故答案为： .
【分析】 根据正切函数的定义域，构造关于x的不等式，解不等式，求出自变量x的取值范围，即可得到函数 的定义域.
14．（2021高一下·安徽开学考）已知幂函数 的图象不过原点，则实数 　 　.
【答案】-1
【知识点】幂函数的概念与表示
【解析】【解答】因为幂函数 的图象不过原点，则 ，
解得
故答案为：-1
【分析】由题意利用幂函数的定义和性质，求得m的值。
15．（2021高一下·安徽开学考）若函数 在区间 的最大值与最小值之和为 ，则 　 　.
【答案】
【知识点】对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】因为 ，故 为递减函数，
当 时， ， ，
由题意可得 ，可得 ，解得 .
故答案为： .
【分析】 根据题意判断f (x) 为递减函数，求出最大值和最小值，求和得出a的值.
16．（2021高一下·安徽开学考）若 是函数 的一个零点， 是函数 的一个零点，已知函数 ，则关于 的方程 的解集是　 　.
【答案】
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】依题意， 是方程 的解， 是方程 的解，
因此 分别是直线 与函数 函数 图象交点的横坐标的值，
又 和 图象关于 对称，则由 ，所以 ，
则方程 ，即为 ，解得 或
故答案为： .
【分析】 a是方程的解，b是方程的解，画出函数的图象，a, b分别是直线 与函数 函数 图象交点的横坐标的值，联立方程组求解即可.
三、解答题
17．（2021高一下·安徽开学考）已知集合 ， .
（1）当 时，求 ；
（2）若“ ”是“ A”的必要不充分条件，求实数 的取值范围.
【答案】（1）由 ，得 ，
所以集合 ， 或 ；
当 时， 或 ，
所以 ；
（2）由“ ”是“ ”的必要不充分条件，得 ，
所以 或 ，解得 或 ，
故实数 的取值范围是 .
【知识点】交集及其运算；必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【分析】 (1)根据不等式的解法求出集合的等价条件，利用集合的基本运算法则进行计算即可；
(2)若x∈B是x∈A的必要不充分条件，再根据条件转化为真子集关系进行求解即可.
18．（2021高一下·安徽开学考）已知 ， ， .
（1）求 和 的值；
（2）求 的值.
【答案】（1）由 ， ，可得 ，
，
因此 ；
又由 ， ；
（2）由（1）得， ， ，
.
【知识点】两角和与差的正切公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【分析】 (1)由题意利用同角三角函数的基本关系，两角差的正切公式，计算求得结果；
(2)由题意利用两角差的正切公式，计算求得结果.
19．（2021高一下·安徽开学考）已知 ，且 ，求
（1） 的最小值；
（2） 的最小值．
【答案】（1）由 ，可得 ，
又由 ，可得 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，即 ，
所以 的最小值为 .
（2）由 ，得 ，
因为 ，可得 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，
所以 的最小值为 .
【知识点】基本不等式
【解析】【分析】 (1)利用基本不等式构建不等式即可得出；
(2)由2x+8y=xy， 变形得 ， 利用“乘1法”和基本不等式即可得出.
20．（2021高一下·安徽开学考）已知函数 的部分图象如图所示.
（1）求 的解析式；
（2）设函数 ，求 的值域.
【答案】（1）由图象得 周期 ，所以 ；
又由 ，得 ；所以 .
（2）
，因为 ， ， ，
所以 的值域为 ．
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【分析】 ( 1 )由函数的图象的顶点坐标求出A,由周期求出，由五点法作图求出φ的值，可得函数f (x)的解析式；
( 2 )利用三角恒等变换化简g (x)的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域求得g (x)的值域.
21．（2021高一下·安徽开学考）设函数 .
（1）求出函数的定义域；
（2）若当 时， 在 上恒正，求出 的取值范围；
【答案】（1）由题知 且 .
当 时， ，所以不等式解集为 .
当 时， ，所以不等式解集为 .
综上所述，当 时，不等式解集为 ，
当 时，不等式解集为 .
（2）当 时，定义域为 ，令 ，
则 在 单调递减，所以 .
又 .
因为 在 上恒正，所以 ，即 ，解得 .（3）若函数 在 上单调递增，求出 的取值范围.
任取 ，满足 .
二次函数 的对称轴 ，
所以 在 上单调递增，即 .
当 时， ，即 ，不满足题意舍去.
当 ，且 时， ，即 ，
所以当 在 上单调递增.
【知识点】函数的定义域及其求法；函数单调性的性质；函数恒成立问题
【解析】【分析】 (1)化简不等式，通过当a>1时，当0(2)当a> 1时，求出函数的定义域，令g (x) = (x+1) (ax+1) ，利用函数的单调性，化简不等式，求解即可；
(3)利用函数的单调性的定义，判断 在 上单调递增，通过当01，且判断求解即可.
22．（2021高一下·安徽开学考）已知函数 且 .
（1）求实数 的值；
（2）若对任意的 ，不等式 恒成立，求正数 的取值范围.
【答案】（1） ， ，所以 ；
（2） ，
函数 在 上单调递减，在区间 上单调递减，
因为 ，所以，函数 在 上连续，所以，函数 在 上为减函数，
等价于 ，
即当 时， 在 上恒成立，可得 .
，所以， .
当 时， 成立；
当 时，令 ，可得 ，
则 ，
当且仅当 时，即当 时，等号成立.
综上所述，函数 在区间 上的最大值为 ， .
因此，实数 的取值范围是 .
【知识点】函数恒成立问题；函数的值
【解析】【分析】 (1)由函数解析式及f (0) +f (-1) =3可求得a的值；
(2)判断函数f (x) 的单调性，将不等式转化为 ， 即 当 时， 在 上恒成立，由二次函数的性质列不等式即可求解.
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