湖北省新高考联考协作体2020-2021学年高一下学期数学2月开学收心考试试卷

湖北省新高考联考协作体2020-2021学年高一下学期数学2月开学收心考试试卷
一、单选题
1．（2021高一下·湖北开学考）设集合 ， ．则 （　　）
A． B． C． D．
2．（2021高一下·湖北开学考）函数 零点所在的整区间是（　　）
A． B． C． D．
3．（2021高一下·湖北开学考）已知角 的顶点在坐标原点，始边在x轴的非负半轴，其终边过点 ，则
A． B． C． D．
4．（2021高一下·湖北开学考）已知 ， ， ，则下列关系正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2021高一下·湖北开学考）已知函数 是定义在R上的奇函数，当 时， ，且 ，则 的值为（　　）
A． B．0 C．4 D．2
6．（2021高一下·湖北开学考）已知函数 ，则下列说法中正确的是（　　）
A．函数 的图象关于点 对称
B．函数 的图象的一条对称轴的方程是
C．若 ，则函数 的最大值为
D．若 ，则
7．（2021高一下·湖北开学考）已知函数 （ 且 ）的图象恒过定点P，点P在幂函数 的图象上，则 （　　)
A． B．2 C．1 D．
8．（2021高一下·湖北开学考）已知函数 若关于x的方程 有6个解，则实数m的取值范围为（　　）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．（2021高一下·湖北开学考）已知集合 ，且 ，则实数m的值可以为（　　）
A．1 B．-1 C．2 D．0
10．（2021高一下·湖北开学考）下列命题中为真命题的是（　　）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ，则
11．（2021高一下·湖北开学考）下列说法正确的是（　　）
A． 的最小值为2
B． 的最小值为1
C． ， 的最大值为3
D． 的最小值为4，
12．（2021高一下·湖北开学考） 表示不超过x的最大整数，已知函数 ，则下列结论正确的有（　　）
A． 的定义域为R
B． 的值域为
C． 是周期函数
D． 是 的单调增区间
三、填空题
13．（2021高一下·湖北开学考）已知 ，则 　 　．
14．（2021高一下·湖北开学考）把函数 的图象上所有的点向右平移 个单位长度后，所得图象与函数 的图象重合，则 　 　．
15．（2021高一下·湖北开学考）已知 ，则 的值为　 　．
16．（2021高一下·湖北开学考）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v（单位： ）可以表示为 ，其中O表示鱼的耗氧量的单位数，当一条鱼的耗氧量是2700个单位时，它的游速是　 　 ；一条鱼静止时耗氧量的单位数为　 　．
四、解答题
17．（2021高一下·湖北开学考）已知 均为锐角， ， ．
（1）求 的值；
（2）求 的值．
18．（2021高一下·湖北开学考）在“①函数 的定义域为R，② ，使得 成立，③方程 在区间 内有解”这三个条件中任选一个，将其序号填在下面横线上，并进行解答．
问题：已知条件p： ▲ ，条件q：函数 在区间 上不单调，若p是q的必要条件，求实数a的最大值．
19．（2021高一下·湖北开学考）某公司在2020年承包了一个工程项目，经统计发现该公司在这项工程项目上的月利润P与月份x近似的满足某一函数关系．其中1月到4月所获利润统计如下表：
月份（月） 1 2 3 4
所获利润（亿元） 53 54 53 59
（1）已知该公司的月利润P与月份x近似满足下列中的某一个函数模型：① ；② ；③ ，请以表中该公司这四个月的利润与月份的数据为依据给出你的选择（需要说明选择该模型的理由），并据此估计该公司2020年6月份在这项工程项目中获得的利润；
（2）对（1）中选择的函数模型 ，若该公司在2020年承包项目的月成本符合函数模型 （单位：亿元），求该公司2020年承包的这项工程项目月成本的最大值及相应的月份．
20．（2021高一下·湖北开学考）函数 是定义在 上的奇函数，且 ．
（1）确定 的解析式；
（2）判断 在 上的单调性，并用定义证明；
（3）解不等式 ．
21．（2021高一下·湖北开学考）已知函数 ．
（1）求函数 的最小值和最大值及相应自变量x的集合；
（2）求 在 上的值域；
（3）求函数 在 上的单调递增区间．
22．（2021高一下·湖北开学考）函数 的一个零点为 ，其图象距离该零点最近的一条对称轴为 ．
（1）求函数 的解析式及函数 的对称中心；
（2）若关于x的方程 在区间 上总有两个不同的实数解，求实数k的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】∵ ， ，
∴ ，
故答案为：B．
【分析】 先利用指数函数的性质化简集合B，再利用集合交集的定文求解即可，
2．【答案】C
【知识点】函数零点存在定理
【解析】【解答】因为函数 为单调递增函数，
且 ，
所以零点所在的区间是 ，
故答案为：C．
【分析】直接利用零点存在性定理求解即可。
3．【答案】B
【知识点】任意角三角函数的定义
【解析】【解答】因为 终边上一点 ，
所以 ．
所以 ，
故答案为：B．
【分析】 根据 终边上一点 ，求得，再利用诱导公式求解。
4．【答案】D
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】因为 ， ， ，
所以 ，
故答案为：D．
【分析】 利用指数函数和对数函数的单调性判断即可得出答案。
5．【答案】A
【知识点】奇函数与偶函数的性质
【解析】【解答】∵ 是 上的奇函数，
∴ ，即 ， ．
，∴ ．
故答案为：A．
【分析】 由f(1)得f(-1)，求得参数m值后可得f( -2)从而得f(2)。
6．【答案】B
【知识点】正弦函数的性质
【解析】【解答】A．令 ，得 ，取 ，则 ，
所以 的图象关于点 对称，所以A不正确；
B．令 ，得 ，取 ，则 ，
所以 的图象关于直线 对称，所以B符合题意；
C．若 ，则 ，
当 时， 取最大值，即 ，C不正确；
D．取 ， ，则 ，但 ， ，
，D不正确.
故答案为：B.
【分析】 利用正弦型函数的对称性可判断AB选项的正误；利用正弦型函数的值域可判新C选项的正误；利用特殊值法可判断D选项的正误。
7．【答案】C
【知识点】对数的性质与运算法则；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】函数 中，令 ，解得 ，此时 ；
所以函数y的图象恒过定点 ，又点P在幂函数 的图象上，所以 ，解得 ；所以 ，
所以 ．
故答案为：C．
【分析】令 函数的图象恒过定点 ，将点代入幂函数中，解得 的解析式，然后计算 的值。
8．【答案】D
【知识点】分段函数的应用；根的存在性及根的个数判断
【解析】【解答】令 ，则原方程可化为 ，
作出函数 的图像如图，
由图像可知，关于x的方程 有6个解，关于 的方程 在 上有两个不等实根，由二次方程根的分布得： ，解之得： .
故答案为：D．
【分析】作出函数 的图像，令 ，则原方程可化为 ，然后结合函数图象判断关于x的方程 有6个解，二次方程的根的分布情况，再运用二次方程根的分布求解参数m的取值范围。
9．【答案】A,B,D
【知识点】子集与交集、并集运算的转换
【解析】【解答】因为 ，所以 ， ．
当 时， ，符合题意；
当 时， ，所以 或 ，解得 或 ．
所以m的值为1或 或0．
故答案为：ABD．
【分析】因为 ，所以 ，然后针对N是否为空集进行讨论求解即可。
10．【答案】C,D
【知识点】不等式的基本性质
【解析】【解答】A项，若 时， 成立， 显然不成立，错误；
B项， 满足 ，但 ，错误；
C项，若 ，则 ，
可得 ，所以 ，正确；
D项， 为单调增函数，若 ，则 ，正确；
故答案为：CD．
【分析】利用特殊值判断AB；利用作差法判断C；利用单调性判断D。
11．【答案】B,C
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】A中， 时 ，故错误；
B中，因为 ，则 ，故 时，最小值是1，正确；
C中， 时， ，当且仅当 即 时取等号，故最大值是3，正确；
D中，当 时， ，由基本不等式可得 ，当且仅当 ，即当 时，等号成立，这与 矛盾，所以错误；
故答案为：BC．
【分析】利用不等式的性质及基本不等式对选项逐个进行判断，即可得出答案。
12．【答案】A,C,D
【知识点】函数的定义域及其求法；函数的值域；函数的单调性及单调区间；函数的周期性
【解析】【解答】因为函数 ，所以 的定义域为R，A符合题意；
因为 ，所以 是周期为1的周期函数，C符合题意；
当 时， ，当 时， ，所以当 时， ，根据周期为1可知， 的值域为 ，B不正确；
因为当 时，函数 为增函数，且函数 的周期为1，所以函数 的单调增区间为 ，D符合题意．
故答案为：ACD．
【分析】 由函数的解析式可知原函数的定义域为R，然后根据 ，所以 是周期为1的周期函数，再分析函数在 上的值城，根据周期为1可知， 的值域为 ，又当x∈(0.1)时， 为增函数， 结合函数的周期性可知在 递增。
13．【答案】1
【知识点】同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】
【分析】利用同角三角函数的基本关系式化弦为切，代入 ，即可得出答案。
14．【答案】
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】因为函数 的图象上所有的点向右平移 个单位长度后，得到的图象与函数 的图象重合，
所以函数 的图象上所有的点向左平移 个单位长度后，得到的图象与函数 的图象重合，
即 ，
所以 ，
因为 ，∴ ，
故答案为：
【分析】转化为函数 的图象上所有的点向左平移 个单位长度后，得到的图象与函数 的图象重合，从而可得答案。
15．【答案】4042
【知识点】奇函数与偶函数的性质
【解析】【解答】∵ ,
∴ 的图像关于点 对称，
∴ 和 关于点 对称，∴
∴ ．
故答案为：4042．
【分析】 由已知可求得f(x)+ f(-x)=-2,然后结合函数的对称性即可直接求解.
16．【答案】；100
【知识点】根据实际问题选择函数类型
【解析】【解答】因为鲑鱼的游速v（单位： ）可以表示为：
，其中O表示鱼的耗氧量的单位数，
所以，当一条鱼的耗氧量是2700个单位时，
它的游速是 ，
一条鱼静止时 ，则
∴ ，∴ O=100 ．
故答案为： , .
【分析】分别将O=2700与代入 化简即可得答案。
17．【答案】（1）∵ ， 为锐角，∴
∴
（2）∵ ， ，∴
．
【知识点】两角和与差的余弦公式；两角和与差的正弦公式
【解析】【分析】（1）求出后，由两角和的正弦公式求解；
（2）再求出 ，然后由两角差的余弦公式求解。
18．【答案】解：选①时，函数 的定义城为R，则 ，解得： ，
故P为真时： ，
选②时， ，使得 即 恒成立，所以 ，
故P为真时： ，
选③时，方程 在区间 内有解，故 ，故 ，
故P为真时： ，
条件q：函数 在区间 上不单调，则 ，故 ，
故q为真时： ，
若p是q的必要条件，即 ，则 ，解得： ，
A的最大值是-2．
【知识点】函数的定义域及其求法；函数单调性的性质；函数恒成立问题
【解析】【分析】分别求得 ①②③中命题为真时k的取值范围，再求出命题q为真时k的取值范围，再根据p是q的必要条件，可得a的取值范围。
19．【答案】（1）由题意知 ，
由于 或 是单调函数，由所给数据，不具备单调性，故②③函数不满足条件．故选择①函数，
选择表格中的前三组数据，
代入解析式得 ，
即该公司的月利润P与月份x近似满足函数模型为：
， 且 ．
当 时， （亿元）．
即估计该公司2020年6月份在这项工程项目中获得的利润为38亿元．
（2）
即当 时， 取得最大值为 ，此时对应的月份在3月份．
【知识点】根据实际问题选择函数类型
【解析】【分析】 (1)根据结合数据的单调性排除②③函数，利用待定系数法进行求解系数即可；
(2)求出Q(x)的表达式，利用配方法结合二次函数的性质进行求解。
20．【答案】（1）由函数 是定义在 上的奇函数知 ，
所以解得 ，经检验， 时， 是 上的奇函数，满足题意
又 ，解得 ，故 ， ．
（2） 在 上为增函数．证明如下：
在 内任取 且 ，则 ，
因为 ， ， ， ，
所以
即 ，所以 在 上为增函数．
（3）∵ ，∴ ，又∵ 是 上的奇函数，
∴ ，结合 在 上为增函数，
得 ，解得： ，即 ．
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的判断与证明；奇偶性与单调性的综合
【解析】【分析】 (1)由 解得 ，验证时， 为奇函数，由 解得 ，可得函数的解析式；
(2) 在 内任取 且 ， 推出 可知 在 上为增函数；
(3)根据函数为奇函数，将 化为 ，结合单调性和定义域可解得结果。
21．【答案】（1）解：
的最大值为 ，当 ，即 时，等号成立，
∴ 取得最大值时相应x的集合为 ．
的最小值为 ，当 ，即 时，等号成立，
∴ 取得最小值时相应 的集合为 ．
（2） ， ， ，
∴ ．
（3）由 ， ，
当 时， 在 递增，由 ，
当 时， 在 递增，由 ，
∴ 在 上的单调递增区间为 、 ．
【知识点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的性质
【解析】【分析】（1）首先利用二倍角公式及辅助角公式将函数化简，再根据正弦函数的性质计算可得；
（2）由x的取值范围，求出 ， 由正弦函数的性质计算可得；
（3）首先求出 在R上的单调递增区间，再根据所定义域区间取交集即可。
22．【答案】（1）由题意， ，∴ ．
得 将 代入得
又 ∴∴ ．
令 得 ，∴ 的对称中心是 ．
（2）由（1）得 ，因为 ，所以 ，又因为方程 在区间 上有两个不同的实数解，函数 的图像与直线 在区间 上有两个不同的交点，所以 ，所以 ，
时，得 ∴ ．
时， ，不合题意，舍去．
综上，所以实数k的取值范围为 ．
【知识点】对数函数的图象与性质；正弦函数的图象；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【分析】（1） 由题意， ，可得 ， 将 代入 可得的值，进而得出函数 的解析式，再根据正弦函数的对称性即可求出函数 的对称中心；
（2） 由（1）得 ， 在区间 上有两个不同的实数解，函数 的图像与直线 在区间 上有两个不同的交点， 分 和 两种情况求解即可得出实数k的取值范围 。
1 / 1湖北省新高考联考协作体2020-2021学年高一下学期数学2月开学收心考试试卷
一、单选题
1．（2021高一下·湖北开学考）设集合 ， ．则 （　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】∵ ， ，
∴ ，
故答案为：B．
【分析】 先利用指数函数的性质化简集合B，再利用集合交集的定文求解即可，
2．（2021高一下·湖北开学考）函数 零点所在的整区间是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数零点存在定理
【解析】【解答】因为函数 为单调递增函数，
且 ，
所以零点所在的区间是 ，
故答案为：C．
【分析】直接利用零点存在性定理求解即可。
3．（2021高一下·湖北开学考）已知角 的顶点在坐标原点，始边在x轴的非负半轴，其终边过点 ，则
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】任意角三角函数的定义
【解析】【解答】因为 终边上一点 ，
所以 ．
所以 ，
故答案为：B．
【分析】 根据 终边上一点 ，求得，再利用诱导公式求解。
4．（2021高一下·湖北开学考）已知 ， ， ，则下列关系正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】因为 ， ， ，
所以 ，
故答案为：D．
【分析】 利用指数函数和对数函数的单调性判断即可得出答案。
5．（2021高一下·湖北开学考）已知函数 是定义在R上的奇函数，当 时， ，且 ，则 的值为（　　）
A． B．0 C．4 D．2
【答案】A
【知识点】奇函数与偶函数的性质
【解析】【解答】∵ 是 上的奇函数，
∴ ，即 ， ．
，∴ ．
故答案为：A．
【分析】 由f(1)得f(-1)，求得参数m值后可得f( -2)从而得f(2)。
6．（2021高一下·湖北开学考）已知函数 ，则下列说法中正确的是（　　）
A．函数 的图象关于点 对称
B．函数 的图象的一条对称轴的方程是
C．若 ，则函数 的最大值为
D．若 ，则
【答案】B
【知识点】正弦函数的性质
【解析】【解答】A．令 ，得 ，取 ，则 ，
所以 的图象关于点 对称，所以A不正确；
B．令 ，得 ，取 ，则 ，
所以 的图象关于直线 对称，所以B符合题意；
C．若 ，则 ，
当 时， 取最大值，即 ，C不正确；
D．取 ， ，则 ，但 ， ，
，D不正确.
故答案为：B.
【分析】 利用正弦型函数的对称性可判断AB选项的正误；利用正弦型函数的值域可判新C选项的正误；利用特殊值法可判断D选项的正误。
7．（2021高一下·湖北开学考）已知函数 （ 且 ）的图象恒过定点P，点P在幂函数 的图象上，则 （　　)
A． B．2 C．1 D．
【答案】C
【知识点】对数的性质与运算法则；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】函数 中，令 ，解得 ，此时 ；
所以函数y的图象恒过定点 ，又点P在幂函数 的图象上，所以 ，解得 ；所以 ，
所以 ．
故答案为：C．
【分析】令 函数的图象恒过定点 ，将点代入幂函数中，解得 的解析式，然后计算 的值。
8．（2021高一下·湖北开学考）已知函数 若关于x的方程 有6个解，则实数m的取值范围为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】分段函数的应用；根的存在性及根的个数判断
【解析】【解答】令 ，则原方程可化为 ，
作出函数 的图像如图，
由图像可知，关于x的方程 有6个解，关于 的方程 在 上有两个不等实根，由二次方程根的分布得： ，解之得： .
故答案为：D．
【分析】作出函数 的图像，令 ，则原方程可化为 ，然后结合函数图象判断关于x的方程 有6个解，二次方程的根的分布情况，再运用二次方程根的分布求解参数m的取值范围。
二、多选题
9．（2021高一下·湖北开学考）已知集合 ，且 ，则实数m的值可以为（　　）
A．1 B．-1 C．2 D．0
【答案】A,B,D
【知识点】子集与交集、并集运算的转换
【解析】【解答】因为 ，所以 ， ．
当 时， ，符合题意；
当 时， ，所以 或 ，解得 或 ．
所以m的值为1或 或0．
故答案为：ABD．
【分析】因为 ，所以 ，然后针对N是否为空集进行讨论求解即可。
10．（2021高一下·湖北开学考）下列命题中为真命题的是（　　）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ，则
【答案】C,D
【知识点】不等式的基本性质
【解析】【解答】A项，若 时， 成立， 显然不成立，错误；
B项， 满足 ，但 ，错误；
C项，若 ，则 ，
可得 ，所以 ，正确；
D项， 为单调增函数，若 ，则 ，正确；
故答案为：CD．
【分析】利用特殊值判断AB；利用作差法判断C；利用单调性判断D。
11．（2021高一下·湖北开学考）下列说法正确的是（　　）
A． 的最小值为2
B． 的最小值为1
C． ， 的最大值为3
D． 的最小值为4，
【答案】B,C
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】A中， 时 ，故错误；
B中，因为 ，则 ，故 时，最小值是1，正确；
C中， 时， ，当且仅当 即 时取等号，故最大值是3，正确；
D中，当 时， ，由基本不等式可得 ，当且仅当 ，即当 时，等号成立，这与 矛盾，所以错误；
故答案为：BC．
【分析】利用不等式的性质及基本不等式对选项逐个进行判断，即可得出答案。
12．（2021高一下·湖北开学考） 表示不超过x的最大整数，已知函数 ，则下列结论正确的有（　　）
A． 的定义域为R
B． 的值域为
C． 是周期函数
D． 是 的单调增区间
【答案】A,C,D
【知识点】函数的定义域及其求法；函数的值域；函数的单调性及单调区间；函数的周期性
【解析】【解答】因为函数 ，所以 的定义域为R，A符合题意；
因为 ，所以 是周期为1的周期函数，C符合题意；
当 时， ，当 时， ，所以当 时， ，根据周期为1可知， 的值域为 ，B不正确；
因为当 时，函数 为增函数，且函数 的周期为1，所以函数 的单调增区间为 ，D符合题意．
故答案为：ACD．
【分析】 由函数的解析式可知原函数的定义域为R，然后根据 ，所以 是周期为1的周期函数，再分析函数在 上的值城，根据周期为1可知， 的值域为 ，又当x∈(0.1)时， 为增函数， 结合函数的周期性可知在 递增。
三、填空题
13．（2021高一下·湖北开学考）已知 ，则 　 　．
【答案】1
【知识点】同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】
【分析】利用同角三角函数的基本关系式化弦为切，代入 ，即可得出答案。
14．（2021高一下·湖北开学考）把函数 的图象上所有的点向右平移 个单位长度后，所得图象与函数 的图象重合，则 　 　．
【答案】
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】因为函数 的图象上所有的点向右平移 个单位长度后，得到的图象与函数 的图象重合，
所以函数 的图象上所有的点向左平移 个单位长度后，得到的图象与函数 的图象重合，
即 ，
所以 ，
因为 ，∴ ，
故答案为：
【分析】转化为函数 的图象上所有的点向左平移 个单位长度后，得到的图象与函数 的图象重合，从而可得答案。
15．（2021高一下·湖北开学考）已知 ，则 的值为　 　．
【答案】4042
【知识点】奇函数与偶函数的性质
【解析】【解答】∵ ,
∴ 的图像关于点 对称，
∴ 和 关于点 对称，∴
∴ ．
故答案为：4042．
【分析】 由已知可求得f(x)+ f(-x)=-2,然后结合函数的对称性即可直接求解.
16．（2021高一下·湖北开学考）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v（单位： ）可以表示为 ，其中O表示鱼的耗氧量的单位数，当一条鱼的耗氧量是2700个单位时，它的游速是　 　 ；一条鱼静止时耗氧量的单位数为　 　．
【答案】；100
【知识点】根据实际问题选择函数类型
【解析】【解答】因为鲑鱼的游速v（单位： ）可以表示为：
，其中O表示鱼的耗氧量的单位数，
所以，当一条鱼的耗氧量是2700个单位时，
它的游速是 ，
一条鱼静止时 ，则
∴ ，∴ O=100 ．
故答案为： , .
【分析】分别将O=2700与代入 化简即可得答案。
四、解答题
17．（2021高一下·湖北开学考）已知 均为锐角， ， ．
（1）求 的值；
（2）求 的值．
【答案】（1）∵ ， 为锐角，∴
∴
（2）∵ ， ，∴
．
【知识点】两角和与差的余弦公式；两角和与差的正弦公式
【解析】【分析】（1）求出后，由两角和的正弦公式求解；
（2）再求出 ，然后由两角差的余弦公式求解。
18．（2021高一下·湖北开学考）在“①函数 的定义域为R，② ，使得 成立，③方程 在区间 内有解”这三个条件中任选一个，将其序号填在下面横线上，并进行解答．
问题：已知条件p： ▲ ，条件q：函数 在区间 上不单调，若p是q的必要条件，求实数a的最大值．
【答案】解：选①时，函数 的定义城为R，则 ，解得： ，
故P为真时： ，
选②时， ，使得 即 恒成立，所以 ，
故P为真时： ，
选③时，方程 在区间 内有解，故 ，故 ，
故P为真时： ，
条件q：函数 在区间 上不单调，则 ，故 ，
故q为真时： ，
若p是q的必要条件，即 ，则 ，解得： ，
A的最大值是-2．
【知识点】函数的定义域及其求法；函数单调性的性质；函数恒成立问题
【解析】【分析】分别求得 ①②③中命题为真时k的取值范围，再求出命题q为真时k的取值范围，再根据p是q的必要条件，可得a的取值范围。
19．（2021高一下·湖北开学考）某公司在2020年承包了一个工程项目，经统计发现该公司在这项工程项目上的月利润P与月份x近似的满足某一函数关系．其中1月到4月所获利润统计如下表：
月份（月） 1 2 3 4
所获利润（亿元） 53 54 53 59
（1）已知该公司的月利润P与月份x近似满足下列中的某一个函数模型：① ；② ；③ ，请以表中该公司这四个月的利润与月份的数据为依据给出你的选择（需要说明选择该模型的理由），并据此估计该公司2020年6月份在这项工程项目中获得的利润；
（2）对（1）中选择的函数模型 ，若该公司在2020年承包项目的月成本符合函数模型 （单位：亿元），求该公司2020年承包的这项工程项目月成本的最大值及相应的月份．
【答案】（1）由题意知 ，
由于 或 是单调函数，由所给数据，不具备单调性，故②③函数不满足条件．故选择①函数，
选择表格中的前三组数据，
代入解析式得 ，
即该公司的月利润P与月份x近似满足函数模型为：
， 且 ．
当 时， （亿元）．
即估计该公司2020年6月份在这项工程项目中获得的利润为38亿元．
（2）
即当 时， 取得最大值为 ，此时对应的月份在3月份．
【知识点】根据实际问题选择函数类型
【解析】【分析】 (1)根据结合数据的单调性排除②③函数，利用待定系数法进行求解系数即可；
(2)求出Q(x)的表达式，利用配方法结合二次函数的性质进行求解。
20．（2021高一下·湖北开学考）函数 是定义在 上的奇函数，且 ．
（1）确定 的解析式；
（2）判断 在 上的单调性，并用定义证明；
（3）解不等式 ．
【答案】（1）由函数 是定义在 上的奇函数知 ，
所以解得 ，经检验， 时， 是 上的奇函数，满足题意
又 ，解得 ，故 ， ．
（2） 在 上为增函数．证明如下：
在 内任取 且 ，则 ，
因为 ， ， ， ，
所以
即 ，所以 在 上为增函数．
（3）∵ ，∴ ，又∵ 是 上的奇函数，
∴ ，结合 在 上为增函数，
得 ，解得： ，即 ．
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的判断与证明；奇偶性与单调性的综合
【解析】【分析】 (1)由 解得 ，验证时， 为奇函数，由 解得 ，可得函数的解析式；
(2) 在 内任取 且 ， 推出 可知 在 上为增函数；
(3)根据函数为奇函数，将 化为 ，结合单调性和定义域可解得结果。
21．（2021高一下·湖北开学考）已知函数 ．
（1）求函数 的最小值和最大值及相应自变量x的集合；
（2）求 在 上的值域；
（3）求函数 在 上的单调递增区间．
【答案】（1）解：
的最大值为 ，当 ，即 时，等号成立，
∴ 取得最大值时相应x的集合为 ．
的最小值为 ，当 ，即 时，等号成立，
∴ 取得最小值时相应 的集合为 ．
（2） ， ， ，
∴ ．
（3）由 ， ，
当 时， 在 递增，由 ，
当 时， 在 递增，由 ，
∴ 在 上的单调递增区间为 、 ．
【知识点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的性质
【解析】【分析】（1）首先利用二倍角公式及辅助角公式将函数化简，再根据正弦函数的性质计算可得；
（2）由x的取值范围，求出 ， 由正弦函数的性质计算可得；
（3）首先求出 在R上的单调递增区间，再根据所定义域区间取交集即可。
22．（2021高一下·湖北开学考）函数 的一个零点为 ，其图象距离该零点最近的一条对称轴为 ．
（1）求函数 的解析式及函数 的对称中心；
（2）若关于x的方程 在区间 上总有两个不同的实数解，求实数k的取值范围．
【答案】（1）由题意， ，∴ ．
得 将 代入得
又 ∴∴ ．
令 得 ，∴ 的对称中心是 ．
（2）由（1）得 ，因为 ，所以 ，又因为方程 在区间 上有两个不同的实数解，函数 的图像与直线 在区间 上有两个不同的交点，所以 ，所以 ，
时，得 ∴ ．
时， ，不合题意，舍去．
综上，所以实数k的取值范围为 ．
【知识点】对数函数的图象与性质；正弦函数的图象；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【分析】（1） 由题意， ，可得 ， 将 代入 可得的值，进而得出函数 的解析式，再根据正弦函数的对称性即可求出函数 的对称中心；
（2） 由（1）得 ， 在区间 上有两个不同的实数解，函数 的图像与直线 在区间 上有两个不同的交点， 分 和 两种情况求解即可得出实数k的取值范围 。
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