【精品解析】江苏省南通市2020-2021学年高一下学期数学期初考试试卷

江苏省南通市2020-2021学年高一下学期数学期初考试试卷
一、单选题
1．（2021高一下·南通开学考）已知集合 ， ，则 （　　）
A． B．
C． D．
2．（2021高一下·南通开学考）若命题 ， ，则命题p的否定是（　　）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
3．（2021高一下·南通开学考）已知角 的终边经过点 ，则函数 的值等于（　　）
A． B． C． D．
4．（2021高一下·南通开学考）若 ，且 恒成立，则实数 的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2021高一下·南通开学考）要得到函数 的图象，只需将函数 的图象（　　）
A．向左平移 个单位 B．向右平移 个单位
C．向上平移 个单位 D．向下平移 个单位
6．（2021高一下·南通开学考）已知 ，则 （　　）
A．2 B． C．-3 D．3
7．（2019高一上·麻城月考）设函数 是定义在 上的增函数，实数 使得 对于任意 都成立，则实数 的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
8．（2021高一下·南通开学考）已知函数 ，若函数 有3个不同的零点，则实数k的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2021高一下·南通开学考）下列说法正确的是（　　）
A．若 且 ，则
B．若 且 ，则
C．若 ，则
D．若 ， ，则
10．（2021高一下·南通开学考）下列说法中，正确的有（　　）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若对 ， 恒成立，则实数m的最大值为2
D．若 ， ， ，则 的最小值为4
11．（2021高一下·南通开学考）下列说法中，正确的有（　　）
A．
B．幂函数 图像过原点时，它在区间 上一定是单调增函数
C．设 ，则“ ”是“ ”的必要不充分条件
D．“ ”是“函数 为偶函数”的充要条件
12．（2021高一下·南通开学考）高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设 ，用 表示不超过x的最大整数，则 称为高斯函数，例如 ， .已知函数 ，函数 ，则（　　）
A．函数 的值域是
B．函数 是周期函数
C．函数 的图象关于 对称
D．方程 只有一个实数根
三、填空题
13．（2021高一下·南通开学考）不等式 的解集是　 　．
14．（2021高一下·南通开学考）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具.因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用(如图).假设在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.现有一半径为2米的简车，在匀速转动过程中，筒车上一盛水简M距离水面的高度H(单位：米)与转动时间t(单位：秒)满足函数关系式 ，且 时，盛水筒M与水面距离为2.25米，当筒车转动100秒后，盛水筒M与水面距离为　 　米.
15．（2021高一下·南通开学考）地震震级是根据地震仪记录的地震波振幅来测定的，一般采用里氏震级标准．震级 是用据震中100千米处的标准地震仪所记录的地震波最大振幅值的对数来表示的．里氏震级的计算公式为 ，其中 是被测地震的最大振幅， 是“标准地震”的振幅(使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差)．根据该公式可知，7.5级地震的最大振幅是6级地震的最大振幅的　 　倍（精确到1）．
16．（2020高一上·启东期中）十六、十七世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，约翰 纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数，后来天才数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即 ，现已知 ，则 　 　， 　 　．
四、解答题
17．（2021高一下·南通开学考）计算：
（1） ；
（2） .
18．（2021高一下·南通开学考）已知集合 ，集合 ，集合 .
（1）求 的子集的个数；
（2）若命题“ ，都有 ”是真命题，求实数m的取值范围.
19．（2021高一下·南通开学考）已知角 是第二象限角，且 .
（1）求 的值；
（2）求 的值.
20．（2021高一下·南通开学考）某小区为了扩大绿化面积，规划沿着围墙(足够长)边画出一块面积为100平方米的矩形区域 修建花圃，规定 的每条边长不超过20米.如图所示，要求矩形区域 用来种花，且点 ， ， ， 四点共线，阴影部分为1米宽的种草区域.设 米，种花区域 的面积为 平方米.
（1）将 表示为 的函数；
（2）求 的最大值.
21．（2021高一下·南通开学考）已知函数 ．
（1）若函数 的最大值为0，求实数m的值．
（2）若函数 在 上单调递减，求实数m的取值范围．
（3）是否存在实数m，使得 在 上的值域恰好是 ？若存在，求出实数m的值；若不存在，说明理由．
22．（2021高一下·南通开学考）已知函数 ，函数 .
（1）填空：函数 的增区间为　 　
（2）若命题“ ”为真命题，求实数 的取值范围；
（3）是否存在实数 ，使函数 在 上的最大值为0？如果存在，求出实数 所有的值.如果不存在，说明理由.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】并集及其运算
【解析】【解答】由题意知 ，
故答案为：B.
【分析】根据并集的运算直接求解即可。
2．【答案】C
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】命题 ， ，则命题p的否定是 ， ，
故答案为：C
【分析】根据全称命题的否定是特称命题，即可得出答案。
3．【答案】A
【知识点】任意角三角函数的定义
【解析】【解答】解：因为角 的终边经过点 ，
所以 ，
所以
故答案为：A
【分析】 由题意利用任意角的三角函数的定义，求得 的值，可得 的值.
4．【答案】A
【知识点】函数恒成立问题；基本不等式
【解析】【解答】不等式 恒成立，即 ，
，
等号成立的条件是 ，即 ，与条件 联立，解得 ，
所以 的最小值是8，
即 ，解得： .
故答案为：A
【分析】 根据题意，分析可得，由基本不等式的性质求出x+2y的最小值，再由二次不等式的解法，解可得m的取值范围.
5．【答案】A
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】因为 ，
所以由函数 的图象得到函数 的图象，
根据左加右减，只需向左平移 个单位.
故答案为：A.
【分析】 由题意利用函数y=Asin (wx+中) 的图象变换规律，得出结论.
6．【答案】D
【知识点】函数的值
【解析】【解答】因为 ，
所以 .
故答案为：D.
【分析】利用分段函数转化求解即可。
7．【答案】A
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；函数恒成立问题
【解析】【解答】解：法一：由条件得1﹣ax﹣x2＜2﹣a对于x∈[0，1]恒成立
令g（x）＝x2+ax﹣a+1，只需g（x）在[0，1]上的最小值大于0即可．
g（x）＝x2+ax﹣a+1＝（x ）2 a+1．
①当 0，即a＞0时，g（x）min＝g（0）＝1﹣a＞0，∴a＜1，故0＜a＜1；
②当0 1，即﹣2≤a≤0时，g（x）min＝g（ ） a+1＞0，∴﹣2﹣2 a＜﹣2+2 ，故﹣2≤a≤0；
③当 1，即a＜﹣2时，g（x）min＝g（1）＝2＞0，满足，A＜﹣2．
综上 的取值范围 ，
故答案为：A.
【分析】由条件得1﹣ax﹣x2＜2﹣a对于x∈[0，1]恒成立，令g（x）＝x2+ax﹣a+1，只需g（x）在[0，1]上的最小值大于0即可，分类讨论，求最值即可求出实数a的取值范围.
8．【答案】B
【知识点】根的存在性及根的个数判断；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】当 时， ，则 ，
当 时， ，则 ，
当 时， ， ，
，
当 时， ，
单调递增，且 ，此时 单调递增，
在 单调递增， ，
画出函数图象，
函数 有3个不同的零点，等价于 和 有3个不同的交点，
则观察图象可得， .
故答案为：B.
【分析】 作出函数y= f(f (x))的图象，即可确定实数k的取值范围.
9．【答案】B,D
【知识点】不等式的基本性质
【解析】【解答】对于A：当 ， 时，无法得到 ，A不符合题意；
对于B：若 ，则 ， ， ，又 ，
所以 ，所以 ，B符合题意；
对于C：当 ， ， 时， ，无法得到 ，C不符合题意；
对于D：若 ，则 ，又 ，所以 ，所以 ，D符合题意.
故答案为：BD.
【分析】根据不等式的基本性质逐项进行判断，即可得出答案。
10．【答案】A,C,D
【知识点】基本不等式；不等式的基本性质
【解析】【解答】对于A：若 ，则 ，A符合题意；
对于B：若 ，则 ，B不正确；
对于C：若对 ， 恒成立，则 ，
因为 ，所以 当且仅当 时 的最小值为2，
所以 ，所以实数m的最大值为2，C符合题意；
对于D：若 ， ， ，则
，
当且仅当 即 时等号成立，所以 的最小值为4，D符合题意，
故答案为：ACD
【分析】根据不等式的性质可判断选项AB，根据基本不等式可判断选项CD。
11．【答案】A,B,C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；对数的性质与运算法则；幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】【解答】A选项， ，即A符合题意；
B选项，幂函数 图像过原点时， ，所以 ，因此 在区间 上一定是单调增函数，即B符合题意；
C选项， ，若 ，则 ，则 ，所以 ，因此 或 ；若 ，则 ，所以“ ”是“ ”的必要不充分条件，即C符合题意；
D选项，若 ，则 显然是偶函数；若 是偶函数，则 ，所以“ ”是“函数 为偶函数”的充分不必要条件，即D不符合题意；
故答案为：ABC
【分析】 直接利用对数的运算，幂函数的性质，对数函数的性质，三角函数的关系式的变换的应用判断A、B、C、D的结论.
12．【答案】A,D
【知识点】函数的值域
【解析】【解答】由题得函数 的定义域为 ，
，
所以函数 为偶函数，
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
……
所以函数 的图象如图所示，
所以函数 的图象如图所示，
所以函数 的值域是 ，A符合题意；
由函数 的图象得到 不是周期函数，B不正确；
由函数 的图象得到函数 的图象不关于 对称，C不正确；
对于方程 ，
当 时， ，方程有一个实数根；
当 时， ，此时 ，此时方程没有实数根；
当 时， ，此时 ，此时方程没有实数根；
故方程 只有一个实数根，D符合题意.
故答案为：AD
【分析】 先根据函数奇偶性的定义进行判定，然后考虑x> 0的部分，讨论x的范围求出g (x) 的解析式，从而可得结论.
13．【答案】(－4，1)
【知识点】其他不等式的解法
【解析】【解答】不等式 即 ，即 ，
等价于 ，解得 ，
故不等式的解集为： .
故答案为： .
【分析】由得即，解不等式，即可得出不等式的解集。
14．【答案】0.25
【知识点】根据实际问题选择函数类型
【解析】【解答】因为筒车上一盛水简M距离水面的高度H(单位：米)与转动时间t(单位：秒)满足函数关系式 ，且 时，盛水筒M与水面距离为2.25米，
所以 ，则 ，
又 ，所以 ，则 ，
因此当 时， ，
即当筒车转动100秒后，盛水筒M与水面距离为0.25米.
故答案为：0.25
【分析】 根据时，盛水简到水面的距高，由函数关系式，求出φ，再将t= 100代入函数关系式，即可得出结果
15．【答案】32
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：由题意 ，即 ，则 ，
当 时，地震的最大振幅为 ；
当 时，地震的最大振幅为 ，
所以 .
故答案为：32．
【分析】 由对数运算得 ,进而得时，地震的最大振幅为 , 时，地震的最大振幅为 ，故 .
16．【答案】1；
【知识点】指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】由题意知 ，可得 ，
所以 ，
所以 ，
又由 ，所以 .
故答案为：1， .
【分析】首先由指对互化整理计算出再由对数的运算性质求出从而求出结果即可。
17．【答案】（1） ，
（2） .
【知识点】根式与有理数指数幂的互化；对数的性质与运算法则
【解析】【分析】 (1)根据指数的运算性质即可求出；
(2)根据对数的运算性质即可求出.
18．【答案】（1）由 解得 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，
所以 的子集的个数为 个.
（2）因为命题“ 都有 ”是真命题，所以 ，即 ，
当 时， ，解得 ；
当 时， 解得 ，
综上所述： .
【知识点】交集及其运算；子集与交集、并集运算的转换
【解析】【分析】（1）先化简集合A，再根据交集的定义求出 ，进而求出 的子集的个数 ；
（2）根据已知条件可得 ，分 和 两种情况求解，即可得出实数m的取值范围 。
19．【答案】（1） .
（2）因为角 是第二象限角，且 ，
所以点 必在角 的终边上，
所以 ，
.
【知识点】两角和与差的正弦公式；任意角三角函数的定义；同角三角函数间的基本关系
【解析】【分析】 (1)由题意利用同角三角函数的基本关系求得要求式子的值；
(2)先利用三角定义式求出sina和cosa的值，再根据两角和差的三角公式可得要求式子的值.
20．【答案】（1）因为 ，矩形区域 的面积为100，所以 ，
则 ， ，
所以 ，
因为 ， ，解得 ，
所以 ；
（2）由 ，
当且仅当 时，即 时，等号成立，
所以 的最大值为 .
【知识点】根据实际问题选择函数类型
【解析】【分析】 (1)由AB=x，结合矩形花圃面积可得EF,FG，再由矩形面积公式得S，由AB、AD大于0求解函数的定义域；
(2) 由(1) 中求得的S的函数解析式利用基本不等式求最值.
21．【答案】（1） ，则最大值 ，即 ，解得 或 ．
（2）函数 图象的对称轴是 ，要使 在 上单调递减，应满足 ，解得 ．
（3）①当 ，即 时， 在 上递减，
若存在实数m，使 在 上的值域是 ，则
即 ，此时m无解．
②当 ，即 时， 在 上递增，则 即 解得 ．
③当 ，即 时， 在 上先递增，再递减，所以 在 处取得最大值，则 ，解得 或6，舍去．
综上可得，存在实数 ，使得 在 上的值域恰好是 ．
【知识点】二次函数的图象；二次函数的性质；二次函数在闭区间上的最值
【解析】【分析】 (1) 由f (x) 的最大值为0，即二次函数f (x) 有且只有一个值0，可得△=0,从而求出m的取值；
(2) 由f (x) 图象的性质得[-1，0]在对称轴 右侧时f (x) 单调递减，从而得出m的取值范围；
(3)讨论f (x) 的对称轴 在[2, 3]的左侧、右侧以及在[2, 3]上时三种情况，从而求出满足条件的m的值.
22．【答案】（1） .
（2） ，
令 ，当且仅当 时取“=”，
“ ”为真命题可转化为“ ”为真命题，
因为 ，当且仅当 时取“=”，
所以 ，
所以 ；
（3）由（1）可知，当 时， ，记 ，
若函数 在 上的最大值为0，则
1）当 ，即 时， 在 上最小值为1，
因为 图象的对称轴为 ，所以 ，
解得 ，符合题意；
2）当 ，即 时， 在 上最大值为1，且 恒成立，
因为 图象是开口向上的抛物线，在 的最大值可能是 或 ，
若 ，则 ，不符合题意，
若 ，则 ，
此时对称轴 ，由 ，不合题意0.
综上所述，只有 符合条件.
【知识点】命题的真假判断与应用；指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】（1）函数 的增区间为 （写出开区间亦可）；
理由： ， 为偶函数，
任取 ， ，
所以 的增区间为 .
【分析】 (1)直接根据函数f (x) 的单调性和奇偶性分析，写出单调增区间，证明即可;
(2)利用换元法，令 将问题转化为“ ”为真命题，然后根据基本不等式最小值即可;
(3)当x∈[0， 1]时， 故 ，记 ， 分 和 两种情况，将h (x) 的最大值为0，转化为φ (t) 的最值进行研究即可.
1 / 1江苏省南通市2020-2021学年高一下学期数学期初考试试卷
一、单选题
1．（2021高一下·南通开学考）已知集合 ， ，则 （　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】并集及其运算
【解析】【解答】由题意知 ，
故答案为：B.
【分析】根据并集的运算直接求解即可。
2．（2021高一下·南通开学考）若命题 ， ，则命题p的否定是（　　）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】C
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】命题 ， ，则命题p的否定是 ， ，
故答案为：C
【分析】根据全称命题的否定是特称命题，即可得出答案。
3．（2021高一下·南通开学考）已知角 的终边经过点 ，则函数 的值等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】任意角三角函数的定义
【解析】【解答】解：因为角 的终边经过点 ，
所以 ，
所以
故答案为：A
【分析】 由题意利用任意角的三角函数的定义，求得 的值，可得 的值.
4．（2021高一下·南通开学考）若 ，且 恒成立，则实数 的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】函数恒成立问题；基本不等式
【解析】【解答】不等式 恒成立，即 ，
，
等号成立的条件是 ，即 ，与条件 联立，解得 ，
所以 的最小值是8，
即 ，解得： .
故答案为：A
【分析】 根据题意，分析可得，由基本不等式的性质求出x+2y的最小值，再由二次不等式的解法，解可得m的取值范围.
5．（2021高一下·南通开学考）要得到函数 的图象，只需将函数 的图象（　　）
A．向左平移 个单位 B．向右平移 个单位
C．向上平移 个单位 D．向下平移 个单位
【答案】A
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】因为 ，
所以由函数 的图象得到函数 的图象，
根据左加右减，只需向左平移 个单位.
故答案为：A.
【分析】 由题意利用函数y=Asin (wx+中) 的图象变换规律，得出结论.
6．（2021高一下·南通开学考）已知 ，则 （　　）
A．2 B． C．-3 D．3
【答案】D
【知识点】函数的值
【解析】【解答】因为 ，
所以 .
故答案为：D.
【分析】利用分段函数转化求解即可。
7．（2019高一上·麻城月考）设函数 是定义在 上的增函数，实数 使得 对于任意 都成立，则实数 的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；函数恒成立问题
【解析】【解答】解：法一：由条件得1﹣ax﹣x2＜2﹣a对于x∈[0，1]恒成立
令g（x）＝x2+ax﹣a+1，只需g（x）在[0，1]上的最小值大于0即可．
g（x）＝x2+ax﹣a+1＝（x ）2 a+1．
①当 0，即a＞0时，g（x）min＝g（0）＝1﹣a＞0，∴a＜1，故0＜a＜1；
②当0 1，即﹣2≤a≤0时，g（x）min＝g（ ） a+1＞0，∴﹣2﹣2 a＜﹣2+2 ，故﹣2≤a≤0；
③当 1，即a＜﹣2时，g（x）min＝g（1）＝2＞0，满足，A＜﹣2．
综上 的取值范围 ，
故答案为：A.
【分析】由条件得1﹣ax﹣x2＜2﹣a对于x∈[0，1]恒成立，令g（x）＝x2+ax﹣a+1，只需g（x）在[0，1]上的最小值大于0即可，分类讨论，求最值即可求出实数a的取值范围.
8．（2021高一下·南通开学考）已知函数 ，若函数 有3个不同的零点，则实数k的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】根的存在性及根的个数判断；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】当 时， ，则 ，
当 时， ，则 ，
当 时， ， ，
，
当 时， ，
单调递增，且 ，此时 单调递增，
在 单调递增， ，
画出函数图象，
函数 有3个不同的零点，等价于 和 有3个不同的交点，
则观察图象可得， .
故答案为：B.
【分析】 作出函数y= f(f (x))的图象，即可确定实数k的取值范围.
二、多选题
9．（2021高一下·南通开学考）下列说法正确的是（　　）
A．若 且 ，则
B．若 且 ，则
C．若 ，则
D．若 ， ，则
【答案】B,D
【知识点】不等式的基本性质
【解析】【解答】对于A：当 ， 时，无法得到 ，A不符合题意；
对于B：若 ，则 ， ， ，又 ，
所以 ，所以 ，B符合题意；
对于C：当 ， ， 时， ，无法得到 ，C不符合题意；
对于D：若 ，则 ，又 ，所以 ，所以 ，D符合题意.
故答案为：BD.
【分析】根据不等式的基本性质逐项进行判断，即可得出答案。
10．（2021高一下·南通开学考）下列说法中，正确的有（　　）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若对 ， 恒成立，则实数m的最大值为2
D．若 ， ， ，则 的最小值为4
【答案】A,C,D
【知识点】基本不等式；不等式的基本性质
【解析】【解答】对于A：若 ，则 ，A符合题意；
对于B：若 ，则 ，B不正确；
对于C：若对 ， 恒成立，则 ，
因为 ，所以 当且仅当 时 的最小值为2，
所以 ，所以实数m的最大值为2，C符合题意；
对于D：若 ， ， ，则
，
当且仅当 即 时等号成立，所以 的最小值为4，D符合题意，
故答案为：ACD
【分析】根据不等式的性质可判断选项AB，根据基本不等式可判断选项CD。
11．（2021高一下·南通开学考）下列说法中，正确的有（　　）
A．
B．幂函数 图像过原点时，它在区间 上一定是单调增函数
C．设 ，则“ ”是“ ”的必要不充分条件
D．“ ”是“函数 为偶函数”的充要条件
【答案】A,B,C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；对数的性质与运算法则；幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】【解答】A选项， ，即A符合题意；
B选项，幂函数 图像过原点时， ，所以 ，因此 在区间 上一定是单调增函数，即B符合题意；
C选项， ，若 ，则 ，则 ，所以 ，因此 或 ；若 ，则 ，所以“ ”是“ ”的必要不充分条件，即C符合题意；
D选项，若 ，则 显然是偶函数；若 是偶函数，则 ，所以“ ”是“函数 为偶函数”的充分不必要条件，即D不符合题意；
故答案为：ABC
【分析】 直接利用对数的运算，幂函数的性质，对数函数的性质，三角函数的关系式的变换的应用判断A、B、C、D的结论.
12．（2021高一下·南通开学考）高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设 ，用 表示不超过x的最大整数，则 称为高斯函数，例如 ， .已知函数 ，函数 ，则（　　）
A．函数 的值域是
B．函数 是周期函数
C．函数 的图象关于 对称
D．方程 只有一个实数根
【答案】A,D
【知识点】函数的值域
【解析】【解答】由题得函数 的定义域为 ，
，
所以函数 为偶函数，
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
……
所以函数 的图象如图所示，
所以函数 的图象如图所示，
所以函数 的值域是 ，A符合题意；
由函数 的图象得到 不是周期函数，B不正确；
由函数 的图象得到函数 的图象不关于 对称，C不正确；
对于方程 ，
当 时， ，方程有一个实数根；
当 时， ，此时 ，此时方程没有实数根；
当 时， ，此时 ，此时方程没有实数根；
故方程 只有一个实数根，D符合题意.
故答案为：AD
【分析】 先根据函数奇偶性的定义进行判定，然后考虑x> 0的部分，讨论x的范围求出g (x) 的解析式，从而可得结论.
三、填空题
13．（2021高一下·南通开学考）不等式 的解集是　 　．
【答案】(－4，1)
【知识点】其他不等式的解法
【解析】【解答】不等式 即 ，即 ，
等价于 ，解得 ，
故不等式的解集为： .
故答案为： .
【分析】由得即，解不等式，即可得出不等式的解集。
14．（2021高一下·南通开学考）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具.因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用(如图).假设在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.现有一半径为2米的简车，在匀速转动过程中，筒车上一盛水简M距离水面的高度H(单位：米)与转动时间t(单位：秒)满足函数关系式 ，且 时，盛水筒M与水面距离为2.25米，当筒车转动100秒后，盛水筒M与水面距离为　 　米.
【答案】0.25
【知识点】根据实际问题选择函数类型
【解析】【解答】因为筒车上一盛水简M距离水面的高度H(单位：米)与转动时间t(单位：秒)满足函数关系式 ，且 时，盛水筒M与水面距离为2.25米，
所以 ，则 ，
又 ，所以 ，则 ，
因此当 时， ，
即当筒车转动100秒后，盛水筒M与水面距离为0.25米.
故答案为：0.25
【分析】 根据时，盛水简到水面的距高，由函数关系式，求出φ，再将t= 100代入函数关系式，即可得出结果
15．（2021高一下·南通开学考）地震震级是根据地震仪记录的地震波振幅来测定的，一般采用里氏震级标准．震级 是用据震中100千米处的标准地震仪所记录的地震波最大振幅值的对数来表示的．里氏震级的计算公式为 ，其中 是被测地震的最大振幅， 是“标准地震”的振幅(使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差)．根据该公式可知，7.5级地震的最大振幅是6级地震的最大振幅的　 　倍（精确到1）．
【答案】32
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：由题意 ，即 ，则 ，
当 时，地震的最大振幅为 ；
当 时，地震的最大振幅为 ，
所以 .
故答案为：32．
【分析】 由对数运算得 ,进而得时，地震的最大振幅为 , 时，地震的最大振幅为 ，故 .
16．（2020高一上·启东期中）十六、十七世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，约翰 纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数，后来天才数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即 ，现已知 ，则 　 　， 　 　．
【答案】1；
【知识点】指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】由题意知 ，可得 ，
所以 ，
所以 ，
又由 ，所以 .
故答案为：1， .
【分析】首先由指对互化整理计算出再由对数的运算性质求出从而求出结果即可。
四、解答题
17．（2021高一下·南通开学考）计算：
（1） ；
（2） .
【答案】（1） ，
（2） .
【知识点】根式与有理数指数幂的互化；对数的性质与运算法则
【解析】【分析】 (1)根据指数的运算性质即可求出；
(2)根据对数的运算性质即可求出.
18．（2021高一下·南通开学考）已知集合 ，集合 ，集合 .
（1）求 的子集的个数；
（2）若命题“ ，都有 ”是真命题，求实数m的取值范围.
【答案】（1）由 解得 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，
所以 的子集的个数为 个.
（2）因为命题“ 都有 ”是真命题，所以 ，即 ，
当 时， ，解得 ；
当 时， 解得 ，
综上所述： .
【知识点】交集及其运算；子集与交集、并集运算的转换
【解析】【分析】（1）先化简集合A，再根据交集的定义求出 ，进而求出 的子集的个数 ；
（2）根据已知条件可得 ，分 和 两种情况求解，即可得出实数m的取值范围 。
19．（2021高一下·南通开学考）已知角 是第二象限角，且 .
（1）求 的值；
（2）求 的值.
【答案】（1） .
（2）因为角 是第二象限角，且 ，
所以点 必在角 的终边上，
所以 ，
.
【知识点】两角和与差的正弦公式；任意角三角函数的定义；同角三角函数间的基本关系
【解析】【分析】 (1)由题意利用同角三角函数的基本关系求得要求式子的值；
(2)先利用三角定义式求出sina和cosa的值，再根据两角和差的三角公式可得要求式子的值.
20．（2021高一下·南通开学考）某小区为了扩大绿化面积，规划沿着围墙(足够长)边画出一块面积为100平方米的矩形区域 修建花圃，规定 的每条边长不超过20米.如图所示，要求矩形区域 用来种花，且点 ， ， ， 四点共线，阴影部分为1米宽的种草区域.设 米，种花区域 的面积为 平方米.
（1）将 表示为 的函数；
（2）求 的最大值.
【答案】（1）因为 ，矩形区域 的面积为100，所以 ，
则 ， ，
所以 ，
因为 ， ，解得 ，
所以 ；
（2）由 ，
当且仅当 时，即 时，等号成立，
所以 的最大值为 .
【知识点】根据实际问题选择函数类型
【解析】【分析】 (1)由AB=x，结合矩形花圃面积可得EF,FG，再由矩形面积公式得S，由AB、AD大于0求解函数的定义域；
(2) 由(1) 中求得的S的函数解析式利用基本不等式求最值.
21．（2021高一下·南通开学考）已知函数 ．
（1）若函数 的最大值为0，求实数m的值．
（2）若函数 在 上单调递减，求实数m的取值范围．
（3）是否存在实数m，使得 在 上的值域恰好是 ？若存在，求出实数m的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1） ，则最大值 ，即 ，解得 或 ．
（2）函数 图象的对称轴是 ，要使 在 上单调递减，应满足 ，解得 ．
（3）①当 ，即 时， 在 上递减，
若存在实数m，使 在 上的值域是 ，则
即 ，此时m无解．
②当 ，即 时， 在 上递增，则 即 解得 ．
③当 ，即 时， 在 上先递增，再递减，所以 在 处取得最大值，则 ，解得 或6，舍去．
综上可得，存在实数 ，使得 在 上的值域恰好是 ．
【知识点】二次函数的图象；二次函数的性质；二次函数在闭区间上的最值
【解析】【分析】 (1) 由f (x) 的最大值为0，即二次函数f (x) 有且只有一个值0，可得△=0,从而求出m的取值；
(2) 由f (x) 图象的性质得[-1，0]在对称轴 右侧时f (x) 单调递减，从而得出m的取值范围；
(3)讨论f (x) 的对称轴 在[2, 3]的左侧、右侧以及在[2, 3]上时三种情况，从而求出满足条件的m的值.
22．（2021高一下·南通开学考）已知函数 ，函数 .
（1）填空：函数 的增区间为　 　
（2）若命题“ ”为真命题，求实数 的取值范围；
（3）是否存在实数 ，使函数 在 上的最大值为0？如果存在，求出实数 所有的值.如果不存在，说明理由.
【答案】（1） .
（2） ，
令 ，当且仅当 时取“=”，
“ ”为真命题可转化为“ ”为真命题，
因为 ，当且仅当 时取“=”，
所以 ，
所以 ；
（3）由（1）可知，当 时， ，记 ，
若函数 在 上的最大值为0，则
1）当 ，即 时， 在 上最小值为1，
因为 图象的对称轴为 ，所以 ，
解得 ，符合题意；
2）当 ，即 时， 在 上最大值为1，且 恒成立，
因为 图象是开口向上的抛物线，在 的最大值可能是 或 ，
若 ，则 ，不符合题意，
若 ，则 ，
此时对称轴 ，由 ，不合题意0.
综上所述，只有 符合条件.
【知识点】命题的真假判断与应用；指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】（1）函数 的增区间为 （写出开区间亦可）；
理由： ， 为偶函数，
任取 ， ，
所以 的增区间为 .
【分析】 (1)直接根据函数f (x) 的单调性和奇偶性分析，写出单调增区间，证明即可;
(2)利用换元法，令 将问题转化为“ ”为真命题，然后根据基本不等式最小值即可;
(3)当x∈[0， 1]时， 故 ，记 ， 分 和 两种情况，将h (x) 的最大值为0，转化为φ (t) 的最值进行研究即可.
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