安徽省皖江名校联盟2020-2021学年高二下学期理数开年考试卷

安徽省皖江名校联盟2020-2021学年高二下学期理数开年考试卷
一、单选题
1．（2021高二下·安徽开学考）直线2x﹣y﹣12＝0的斜率为（　　）
A．2 B．﹣2 C． D．
2．（2021高二下·安徽开学考）命题“ ”的否定形式为（　　）
A． B．
C． D．
3．（2021高二下·安徽开学考）设 是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是（　　）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ，则
4．（2019高二上·南宁期中）下面四个条件中，使 成立的充分而不必要的条件是（　　）
A． B． C． D．
5．（2021高二下·安徽开学考）将一段5米长的绳子随意剪成两段，则两段之差小于1米的概率为（　　）
A． B． C． D．
6．（2021高二下·安徽开学考）已知双曲线 过点 ，且与 有相同的渐近线，则双曲线 的方程为（　　）
A． B． C． D．
7．（2021高二下·安徽开学考）《易经》是我国古代预测未来的著作，其中同时抛掷三枚古钱币观察正反面进行预测未知，则抛掷一次时出现两枚正面一枚反面的概率为
A． B． C． D．
8．（2021高二下·安徽开学考）根据程序框图，当输入 为2020时，输出的 （　　）
A．2 B．4 C．10 D．28
9．（2021高二下·安徽开学考）已知命题p：f（x）＝cosx是周期函数；命题q：若m＞0，则关于x的方程x2+mx+m＝0有两个不相等的实数根.下列说法正确的是（　　）
A．“p∨q”为真命题 B．“p∧q”为真命题
C．“￢p”为真命题 D．“￢q”为假命题
10．（2021高二下·安徽开学考）直线 被圆 截得的弦长为 ，若直线 分别与 轴交于 两点，则 最小值为（　　）
A．4 B． C． D．2
11．（2021高二下·安徽开学考）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位： ）是
A． B． C． D．
12．（2021高二下·安徽开学考）已知A、B分别是椭圆C： 的左、右顶点，抛物线y2＝2px（p＞0）与椭圆C相交于M、N两点，若AM、BN的斜率之积为 ，则椭圆C离心率是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
13．（2016高二上·黑龙江期中）抛物线y=4x2的焦点坐标是　 　．
14．（2021高二下·安徽开学考）一汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表(单位：辆)：
　 轿车A 轿车B 轿车C
舒适型 100 150 z
标准型 300 450 600
按类型用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆，则z的值为　 　．
15．（2021高二下·安徽开学考）篮球运动员甲每场比赛得分的茎叶图如下：则该运动员比赛得分的方差为 　 　.
16．（2021高二下·安徽开学考）已知 是 所在平面外的一点， 分别是 的中点，若 ，则异面直线 与 所成角的大小是　 　.
三、解答题
17．（2021高二下·安徽开学考）如图，在正方体 中.
（1）求证：平面 平面 ；
（2）求证： 平面 .
18．（2021高二下·安徽开学考）从参加环保知识竞赛的学生中抽出40名，将其成绩(均为整数)整理后画出的频率分布直方图如图所示，观察图形，回答下列问题.
（1）80~90这一组的频数 频率分别是多少？
（2）估计这次环保知识竞赛成绩的平均数 众数 中位数(不要求写过程).
19．（2021高二下·安徽开学考）已知动点 到两定点 的距离满足 .
（1）求证：点 的轨迹为圆；
（2）记（1）中轨迹为 ，过定点(0，1)的直线 与 交于 两点，当 时，求直线 的方程.
20．（2021高二下·安徽开学考）某市教育部门为了了解在校学生某学期体育课时间与期末体育测试成绩的关系，现随机抽取了8所学校进行调研，得到8所学校该学期学生体育课时间平均值 (单位：小时)以及期末体育得分平均值y(单位：分)，数据如下表：
学校编号 1 2 3 4 5 6 7 8
学生体育时间平均值(单位：小时) 100 95 93 83 82 75 70 62
学生体育成绩平均值(单位：分) 86.5 83.5 83.5 81.5 80.5 79.5 77.5 76.5
（1）已知 与 之间具有线性相关关系，求y关于 的线性回归方程；
（2）下学期该市教育部门准备从8所学校中抽取2所进行体育观摩教学，求抽取的2所学校学生体育课时间平均值均超过80小时的概率.
参考公式： ；参考数据：
21．（2021高二下·安徽开学考）如图，三棱柱 的棱长均为2， 为 的中点，平面 平面 ，平面 平面
（1）求证： 平面 ；
（2）求二面角 的余弦值.
22．（2021高二下·安徽开学考）已知椭圆 的上顶点为P，右顶点为Q，直线PQ与圆 相切于点 .
（1）求椭圆C的方程；
（2）若不经过点P的直线 与椭圆C交于A，B两点，且 ＝0，求证：直线l过定点.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】直线的斜截式方程
【解析】【解答】直线方程2x﹣y﹣12＝0化为 ，斜率为2.
故答案为：A.
【分析】把直线方程化成斜截式即可求得直线斜率。
2．【答案】D
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】命题“ ”的否定形式为： ．
故答案为：D．
【分析】根据命题否定的定义写出命题否定形式即可判断。
3．【答案】C
【知识点】直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】对于A、B、D均可能出现 ，而对于C是正确的．
故答案为：C
【分析】在A中 或 ，A错误。
在B中 或 ，B错误。
在C中由线面垂直判定定理得 ，C正确。
在D中 或 或l与相交，D错误。
4．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】由 ，但 无法得出 ，A满足；由 和 均无法得出 ，不满足“充分”条件；由 ，不满足“不必要”条件.故答案为：A
【分析】利用充分不必要条件的判断方法结合已知条件，求出使 成立的充分而不必要的条件。
5．【答案】A
【知识点】几何概型
【解析】【解答】设剪成的两段绳子分别为 米和 米，由已知 ，解得 ，所以两段之差小于1米时落剪处应该在绳长2米到3米处，所以概率为
故答案为：A
【分析】通过两段绳 之差小于1米 计算两段绳长范围，可得到落剪处范围，为长度型从而求出概率。
6．【答案】D
【知识点】双曲线的标准方程
【解析】【解答】由已知设双曲线 的方程为 ，将 代入得
故双曲线 方程为 ．
故答案为：D.
【分析】设双曲线 的方程为 ，把M坐标代入求出，即可得到 双曲线 的方程 。
7．【答案】C
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】抛掷三枚古钱币出现的基本事件共有：正正正，正正反，正反正，反正正，正反反，反正反，反反正，反反反8中，其中出现两正一反的共有3种，故概率为 .
故答案为：C
【分析】利用列举法求出抛掷三枚古钱出现基本事件共8种，其中出现两正一反的共有3种，由此可求出概率。
8．【答案】C
【知识点】程序框图
【解析】【解答】第一次执行循环体后， =2018，满足继续循环的条件，
第二次执行循环体后， =2016，满足继续循环的条件，
…
每执行一次循环减少2，当 变为一2时跳出循环，
故答案为：C．
【分析】根据 程序框图x每执行一次减少2，当 变为一2时跳出循环， 即可得
9．【答案】A
【知识点】复合命题的真假
【解析】【解答】命题p：f（x）＝cosx是周期函数为真命题，
对于方程 ，
或 ，所以命题 为假，
“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，
. “￢p”为假命题，“￢q”为真命题.
故答案为：A.
【分析】先判命题p,q真假，再利用复合命题真假即可判断。
10．【答案】D
【知识点】基本不等式；平面内两点间的距离公式；直线与圆相交的性质
【解析】【解答】由 可得圆心为 ，半径为 ，
设圆心到直线 的距离 ，
则 ，所以
设直线 方程为 ，
则 ，所以
令 可得 ，可得 ，
令 可得 ，可得 ，
所以 ，
当且仅当 即 时等号成立， 此时 最小值为
故答案为：D.
【分析】由题意求得圆心到直线距离，设直线 方程为 ，可得k于b关系，求出直线在两坐标轴截距，由两点间距离公式求出 ，再由基本不等式求最值。
11．【答案】A
【知识点】组合几何体的面积、体积问题；由三视图还原实物图
【解析】【解答】由三视图可知几何体为半个圆锥和一个三棱锥的组合体，
∴ = ,
故答案为：A.
【分析】由三视图得几何体为半个圆锥和一个三棱锥的组合体，再根据锥体体积即可求出。
12．【答案】A
【知识点】斜率的计算公式；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；抛物线的简单性质
【解析】【解答】抛物线y2＝2px（p＞0）与椭圆C相交于M、N两点，
设 ，则 ，且 ，
，
.
故答案为：A.
【分析】根据对称性设出M,N坐标，利用椭圆方程和直线斜率公式化简得，再由离心率公式即可求得。
13．【答案】
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：由题意可知 ∴p=
∴焦点坐标为
故答案为
【分析】先化简为标准方程，进而可得到p的值，即可确定答案．
14．【答案】400
【知识点】分层抽样方法
【解析】【解答】设该厂这个月共生产轿车n辆，
由题意得 ，所以n＝2 000，
则z＝2 000－100－300－150－450－600＝400.
故答案为：400
【分析】设该厂这个月共生产轿车n辆，根据分层抽样列出 关于n等式，解得n,进而可求得z值。
15．【答案】40.25
【知识点】茎叶图；极差、方差与标准差
【解析】【解答】得分的均值为
，
所以得分的方差为 .
故答案为：40.25.
【分析】根据茎叶图可知 篮球运动员甲每场比赛得分 23,25,31,31,35,37,40,42，再利用方差公式即可求得。
16．【答案】30°
【知识点】异面直线及其所成的角
【解析】【解答】解：取 的中点 ， 连接 ， 则
就是异面直线 与 所成的角.
由 得 ，
，
，即异面直线 与 所成角的大小为
故答案为：30°.
【分析】取 的中点 ， 连接 可推出就是异面直线 与 所成的角，由余弦定理求出余弦值进而 异面直线 与 所成角的大小 。
17．【答案】（1）因为 ， ，所以 为平行四边形，故 ，
又 平面 平面 ，
所以 平面 ，同理 平面 ，
又 ， 平面 ，
所以平面 平面
（2）连接 显然
底面 底面 所以
又 平面 ，
所以 平面
又 平面 所以 同理 平面 ，故
又 ， 平面 ．
所以 平面 ．
【知识点】平面与平面平行的性质；直线与平面垂直的判定
【解析】【分析】（1）由面面平行判定即可证出。
（2） 连接 先证出 平面 故 再证 平面 故 ，利用线面垂直判定可得 平面 。
18．【答案】（1）根据题意， 这一组的频率为 ，
这一组的频率为
这一组的频率为
这一组的频率为 ，
则 这一组的频率为 其频数为
（2）这次竞赛成绩的平均数为
这一组的频率最大，人数最多，则众数为75；
70分左右两侧的频率为0.5，则中位数为70.
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数
【解析】【分析】（1）根据 频率分布直方图得出 ， ， ， 的概率，进而求得 的概率。再求出频数。
（2）根据 平均数 众数 中位数求法即可得到。
19．【答案】（1）设动点 的坐标为 则
由已知得
化简得： ，故点 的轨迹为以(5，0)为圆心，半径为4的圆.
（2）直线 的斜率不存在时，其方程为 与圆不相交，不满足题设.
故设直线 的方程为 则圆心 到直线的距离为
因为 所以 故
所以 解得 或
直线 的方程为 或
【知识点】平面内两点间的距离公式；平面内点到直线的距离公式；圆的标准方程；直线与圆相交的性质
【解析】【分析】（1） 设动点 的坐标为 根据两点间距离公式化简得 ，故可得证。
（2）分两情况分析当直线 的斜率不存时不满足题意，当存在时设直线 的方程为 由直线于圆相交性质根据点到直线距离和两点间距离公式可求得k进而可得直线 的方程 。
20．【答案】（1）由题意，
所以 故线性回归方程为
（2）从8学校中任选两校，基本事件为：
共有28种结果.
选取的学校中体育课平均值超过80小时基本事件为： 共10种.
所以选取的2所学校学生体育课时间平均值均超过80分的概率为 .
【知识点】线性回归方程；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）由已知求出，再根据线性回归方程即可求得。
（2）先列举出 从8学校中任选两校，基本事件 和选取的学校中体育课平均值超过80小时基本事件 ，根据古典概率即可求得。
21．【答案】（1）在等边 中， 为 的中点，所以
由平面 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，故
由平面 平面 且 ，
所以 上平面 平面 故
又 ，所以 平面
（2）由（1）知， 平面
以 所在直线分别为 轴 轴和 轴建立空间直角坐标系，如图，可求出
设平面 的法向量为
则 即
取
设平面 的法向量为
则 ，即 取
所以
又二面角 为锐角，故其余弦值为
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1） 为 的中点 先证 平面 故 ， 再证 上平面 故 根据线面垂直判定即可得证。
（2）以 所在直线分别为 轴 轴和 轴建立空间直角坐标系 ，根据空间向量求平面与平面夹角即可。
22．【答案】（1）由题意，圆 的圆心坐标为 ，
又由点 ，可得 ，所以直线 的斜率 ，
所以直线 的方程为 ，即 ，
可得点 ，即 ，
所以椭圆C的方程为 .
（2）当直线 的斜率不存在时，显然不满足条件.
当直线 的斜率存在时，设 的方程为 ，
联立方程组 ，消去y整理得 ，
，得 .①
设 ，则 .②
由 ，得 ，
又由 ，
所以 ，③
由②③得 (舍)，或 ，满足①.
此时 的方程为 ，故直线 过定点 .
【知识点】用斜率判定两直线垂直；椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【分析】（1）根据直线于圆相切性质求出 直线 的斜率 得直线 的方程 ，可得点 ，即 进而得椭圆方程 。
（2）分两种情况 直线 的斜率不存在时和直线 的斜率存在时，前者不满足，后者设 的方程为 ，联立方程组，利用韦达定理和根与系数关系结合已知可求出n得 的方程为 ，故直线 过定点 即可得证。
1 / 1安徽省皖江名校联盟2020-2021学年高二下学期理数开年考试卷
一、单选题
1．（2021高二下·安徽开学考）直线2x﹣y﹣12＝0的斜率为（　　）
A．2 B．﹣2 C． D．
【答案】A
【知识点】直线的斜截式方程
【解析】【解答】直线方程2x﹣y﹣12＝0化为 ，斜率为2.
故答案为：A.
【分析】把直线方程化成斜截式即可求得直线斜率。
2．（2021高二下·安徽开学考）命题“ ”的否定形式为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】命题“ ”的否定形式为： ．
故答案为：D．
【分析】根据命题否定的定义写出命题否定形式即可判断。
3．（2021高二下·安徽开学考）设 是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是（　　）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ，则
【答案】C
【知识点】直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】对于A、B、D均可能出现 ，而对于C是正确的．
故答案为：C
【分析】在A中 或 ，A错误。
在B中 或 ，B错误。
在C中由线面垂直判定定理得 ，C正确。
在D中 或 或l与相交，D错误。
4．（2019高二上·南宁期中）下面四个条件中，使 成立的充分而不必要的条件是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】由 ，但 无法得出 ，A满足；由 和 均无法得出 ，不满足“充分”条件；由 ，不满足“不必要”条件.故答案为：A
【分析】利用充分不必要条件的判断方法结合已知条件，求出使 成立的充分而不必要的条件。
5．（2021高二下·安徽开学考）将一段5米长的绳子随意剪成两段，则两段之差小于1米的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】几何概型
【解析】【解答】设剪成的两段绳子分别为 米和 米，由已知 ，解得 ，所以两段之差小于1米时落剪处应该在绳长2米到3米处，所以概率为
故答案为：A
【分析】通过两段绳 之差小于1米 计算两段绳长范围，可得到落剪处范围，为长度型从而求出概率。
6．（2021高二下·安徽开学考）已知双曲线 过点 ，且与 有相同的渐近线，则双曲线 的方程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】双曲线的标准方程
【解析】【解答】由已知设双曲线 的方程为 ，将 代入得
故双曲线 方程为 ．
故答案为：D.
【分析】设双曲线 的方程为 ，把M坐标代入求出，即可得到 双曲线 的方程 。
7．（2021高二下·安徽开学考）《易经》是我国古代预测未来的著作，其中同时抛掷三枚古钱币观察正反面进行预测未知，则抛掷一次时出现两枚正面一枚反面的概率为
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】抛掷三枚古钱币出现的基本事件共有：正正正，正正反，正反正，反正正，正反反，反正反，反反正，反反反8中，其中出现两正一反的共有3种，故概率为 .
故答案为：C
【分析】利用列举法求出抛掷三枚古钱出现基本事件共8种，其中出现两正一反的共有3种，由此可求出概率。
8．（2021高二下·安徽开学考）根据程序框图，当输入 为2020时，输出的 （　　）
A．2 B．4 C．10 D．28
【答案】C
【知识点】程序框图
【解析】【解答】第一次执行循环体后， =2018，满足继续循环的条件，
第二次执行循环体后， =2016，满足继续循环的条件，
…
每执行一次循环减少2，当 变为一2时跳出循环，
故答案为：C．
【分析】根据 程序框图x每执行一次减少2，当 变为一2时跳出循环， 即可得
9．（2021高二下·安徽开学考）已知命题p：f（x）＝cosx是周期函数；命题q：若m＞0，则关于x的方程x2+mx+m＝0有两个不相等的实数根.下列说法正确的是（　　）
A．“p∨q”为真命题 B．“p∧q”为真命题
C．“￢p”为真命题 D．“￢q”为假命题
【答案】A
【知识点】复合命题的真假
【解析】【解答】命题p：f（x）＝cosx是周期函数为真命题，
对于方程 ，
或 ，所以命题 为假，
“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，
. “￢p”为假命题，“￢q”为真命题.
故答案为：A.
【分析】先判命题p,q真假，再利用复合命题真假即可判断。
10．（2021高二下·安徽开学考）直线 被圆 截得的弦长为 ，若直线 分别与 轴交于 两点，则 最小值为（　　）
A．4 B． C． D．2
【答案】D
【知识点】基本不等式；平面内两点间的距离公式；直线与圆相交的性质
【解析】【解答】由 可得圆心为 ，半径为 ，
设圆心到直线 的距离 ，
则 ，所以
设直线 方程为 ，
则 ，所以
令 可得 ，可得 ，
令 可得 ，可得 ，
所以 ，
当且仅当 即 时等号成立， 此时 最小值为
故答案为：D.
【分析】由题意求得圆心到直线距离，设直线 方程为 ，可得k于b关系，求出直线在两坐标轴截距，由两点间距离公式求出 ，再由基本不等式求最值。
11．（2021高二下·安徽开学考）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位： ）是
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】组合几何体的面积、体积问题；由三视图还原实物图
【解析】【解答】由三视图可知几何体为半个圆锥和一个三棱锥的组合体，
∴ = ,
故答案为：A.
【分析】由三视图得几何体为半个圆锥和一个三棱锥的组合体，再根据锥体体积即可求出。
12．（2021高二下·安徽开学考）已知A、B分别是椭圆C： 的左、右顶点，抛物线y2＝2px（p＞0）与椭圆C相交于M、N两点，若AM、BN的斜率之积为 ，则椭圆C离心率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】斜率的计算公式；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；抛物线的简单性质
【解析】【解答】抛物线y2＝2px（p＞0）与椭圆C相交于M、N两点，
设 ，则 ，且 ，
，
.
故答案为：A.
【分析】根据对称性设出M,N坐标，利用椭圆方程和直线斜率公式化简得，再由离心率公式即可求得。
二、填空题
13．（2016高二上·黑龙江期中）抛物线y=4x2的焦点坐标是　 　．
【答案】
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：由题意可知 ∴p=
∴焦点坐标为
故答案为
【分析】先化简为标准方程，进而可得到p的值，即可确定答案．
14．（2021高二下·安徽开学考）一汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表(单位：辆)：
　 轿车A 轿车B 轿车C
舒适型 100 150 z
标准型 300 450 600
按类型用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆，则z的值为　 　．
【答案】400
【知识点】分层抽样方法
【解析】【解答】设该厂这个月共生产轿车n辆，
由题意得 ，所以n＝2 000，
则z＝2 000－100－300－150－450－600＝400.
故答案为：400
【分析】设该厂这个月共生产轿车n辆，根据分层抽样列出 关于n等式，解得n,进而可求得z值。
15．（2021高二下·安徽开学考）篮球运动员甲每场比赛得分的茎叶图如下：则该运动员比赛得分的方差为 　 　.
【答案】40.25
【知识点】茎叶图；极差、方差与标准差
【解析】【解答】得分的均值为
，
所以得分的方差为 .
故答案为：40.25.
【分析】根据茎叶图可知 篮球运动员甲每场比赛得分 23,25,31,31,35,37,40,42，再利用方差公式即可求得。
16．（2021高二下·安徽开学考）已知 是 所在平面外的一点， 分别是 的中点，若 ，则异面直线 与 所成角的大小是　 　.
【答案】30°
【知识点】异面直线及其所成的角
【解析】【解答】解：取 的中点 ， 连接 ， 则
就是异面直线 与 所成的角.
由 得 ，
，
，即异面直线 与 所成角的大小为
故答案为：30°.
【分析】取 的中点 ， 连接 可推出就是异面直线 与 所成的角，由余弦定理求出余弦值进而 异面直线 与 所成角的大小 。
三、解答题
17．（2021高二下·安徽开学考）如图，在正方体 中.
（1）求证：平面 平面 ；
（2）求证： 平面 .
【答案】（1）因为 ， ，所以 为平行四边形，故 ，
又 平面 平面 ，
所以 平面 ，同理 平面 ，
又 ， 平面 ，
所以平面 平面
（2）连接 显然
底面 底面 所以
又 平面 ，
所以 平面
又 平面 所以 同理 平面 ，故
又 ， 平面 ．
所以 平面 ．
【知识点】平面与平面平行的性质；直线与平面垂直的判定
【解析】【分析】（1）由面面平行判定即可证出。
（2） 连接 先证出 平面 故 再证 平面 故 ，利用线面垂直判定可得 平面 。
18．（2021高二下·安徽开学考）从参加环保知识竞赛的学生中抽出40名，将其成绩(均为整数)整理后画出的频率分布直方图如图所示，观察图形，回答下列问题.
（1）80~90这一组的频数 频率分别是多少？
（2）估计这次环保知识竞赛成绩的平均数 众数 中位数(不要求写过程).
【答案】（1）根据题意， 这一组的频率为 ，
这一组的频率为
这一组的频率为
这一组的频率为 ，
则 这一组的频率为 其频数为
（2）这次竞赛成绩的平均数为
这一组的频率最大，人数最多，则众数为75；
70分左右两侧的频率为0.5，则中位数为70.
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数
【解析】【分析】（1）根据 频率分布直方图得出 ， ， ， 的概率，进而求得 的概率。再求出频数。
（2）根据 平均数 众数 中位数求法即可得到。
19．（2021高二下·安徽开学考）已知动点 到两定点 的距离满足 .
（1）求证：点 的轨迹为圆；
（2）记（1）中轨迹为 ，过定点(0，1)的直线 与 交于 两点，当 时，求直线 的方程.
【答案】（1）设动点 的坐标为 则
由已知得
化简得： ，故点 的轨迹为以(5，0)为圆心，半径为4的圆.
（2）直线 的斜率不存在时，其方程为 与圆不相交，不满足题设.
故设直线 的方程为 则圆心 到直线的距离为
因为 所以 故
所以 解得 或
直线 的方程为 或
【知识点】平面内两点间的距离公式；平面内点到直线的距离公式；圆的标准方程；直线与圆相交的性质
【解析】【分析】（1） 设动点 的坐标为 根据两点间距离公式化简得 ，故可得证。
（2）分两情况分析当直线 的斜率不存时不满足题意，当存在时设直线 的方程为 由直线于圆相交性质根据点到直线距离和两点间距离公式可求得k进而可得直线 的方程 。
20．（2021高二下·安徽开学考）某市教育部门为了了解在校学生某学期体育课时间与期末体育测试成绩的关系，现随机抽取了8所学校进行调研，得到8所学校该学期学生体育课时间平均值 (单位：小时)以及期末体育得分平均值y(单位：分)，数据如下表：
学校编号 1 2 3 4 5 6 7 8
学生体育时间平均值(单位：小时) 100 95 93 83 82 75 70 62
学生体育成绩平均值(单位：分) 86.5 83.5 83.5 81.5 80.5 79.5 77.5 76.5
（1）已知 与 之间具有线性相关关系，求y关于 的线性回归方程；
（2）下学期该市教育部门准备从8所学校中抽取2所进行体育观摩教学，求抽取的2所学校学生体育课时间平均值均超过80小时的概率.
参考公式： ；参考数据：
【答案】（1）由题意，
所以 故线性回归方程为
（2）从8学校中任选两校，基本事件为：
共有28种结果.
选取的学校中体育课平均值超过80小时基本事件为： 共10种.
所以选取的2所学校学生体育课时间平均值均超过80分的概率为 .
【知识点】线性回归方程；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）由已知求出，再根据线性回归方程即可求得。
（2）先列举出 从8学校中任选两校，基本事件 和选取的学校中体育课平均值超过80小时基本事件 ，根据古典概率即可求得。
21．（2021高二下·安徽开学考）如图，三棱柱 的棱长均为2， 为 的中点，平面 平面 ，平面 平面
（1）求证： 平面 ；
（2）求二面角 的余弦值.
【答案】（1）在等边 中， 为 的中点，所以
由平面 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，故
由平面 平面 且 ，
所以 上平面 平面 故
又 ，所以 平面
（2）由（1）知， 平面
以 所在直线分别为 轴 轴和 轴建立空间直角坐标系，如图，可求出
设平面 的法向量为
则 即
取
设平面 的法向量为
则 ，即 取
所以
又二面角 为锐角，故其余弦值为
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1） 为 的中点 先证 平面 故 ， 再证 上平面 故 根据线面垂直判定即可得证。
（2）以 所在直线分别为 轴 轴和 轴建立空间直角坐标系 ，根据空间向量求平面与平面夹角即可。
22．（2021高二下·安徽开学考）已知椭圆 的上顶点为P，右顶点为Q，直线PQ与圆 相切于点 .
（1）求椭圆C的方程；
（2）若不经过点P的直线 与椭圆C交于A，B两点，且 ＝0，求证：直线l过定点.
【答案】（1）由题意，圆 的圆心坐标为 ，
又由点 ，可得 ，所以直线 的斜率 ，
所以直线 的方程为 ，即 ，
可得点 ，即 ，
所以椭圆C的方程为 .
（2）当直线 的斜率不存在时，显然不满足条件.
当直线 的斜率存在时，设 的方程为 ，
联立方程组 ，消去y整理得 ，
，得 .①
设 ，则 .②
由 ，得 ，
又由 ，
所以 ，③
由②③得 (舍)，或 ，满足①.
此时 的方程为 ，故直线 过定点 .
【知识点】用斜率判定两直线垂直；椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【分析】（1）根据直线于圆相切性质求出 直线 的斜率 得直线 的方程 ，可得点 ，即 进而得椭圆方程 。
（2）分两种情况 直线 的斜率不存在时和直线 的斜率存在时，前者不满足，后者设 的方程为 ，联立方程组，利用韦达定理和根与系数关系结合已知可求出n得 的方程为 ，故直线 过定点 即可得证。
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