【精品解析】湖北省新高考联考协作体2020-2021学年高二下学期数学2月开学收心考试试卷

湖北省新高考联考协作体2020-2021学年高二下学期数学2月开学收心考试试卷
一、单选题
1．（2021高二下·湖北开学考）“ ”是“ ”的（　　）
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2021高二下·湖北开学考）抛物线 的焦点坐标为（　　）
A． B． C． D．
3．（2021高二下·湖北开学考）某校高二年级为选拔参加数学竞赛的学生组织了一次考试，最后选出13名男生和7名女生，这20名学生的考试成绩如茎叶图所示(单位：分)，学校规定：成绩不低于130分的人到A班培训，低于130分的人到B班培训，如果用分层抽样的方法从到A班的人和到B班的人中共选取5人，则5人中到A班的有（　　）
A．1人 B．2人 C．3人 D．4人
4．（2021高二下·湖北开学考）函数 的单调递减区间为（　　）
A． B． C． D．
5．（2021高二下·湖北开学考）如图，已知E，F，G，H分别是空间四边形 的边 ， ， ， 的中点，用 表示 ，则 （　　）
A． B．
C． D．
6．（2021高二下·湖北开学考）某次会议上，甲 乙 丙三人坐定后又随机交换座位(可以选择保持位置不变)，则至少有1人仍然坐在原来的座位的概率（　　）
A． B． C． D．
7．（2021高二下·湖北开学考）下列命题中真命题的个数是（　　）
⑴若两条直线没有公共点，则这两条直线为异面直线
⑵若直线a不平行于平面 ，则 内一定不存在与a平行的直线
⑶平行于同一直线的两个平面平行
⑷已知两个平面垂直，过其中一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面
A．0 B．1 C．2 D．3
8．（2021高二下·湖北开学考）已知 且 ， 且 ， ，则（　　）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2021高二下·湖北开学考）下列命题为真命题的是（　　）
A．若 互为共轭复数，则 为实数
B．若i为虚数单位，n为正整数，则
C．复数 的共轭复数为
D．若m为实数，i为虚数单位，则“ ”是“复数 在复平面内对应的点位于第四象限”的充要条件
10．（2021高二下·湖北开学考）有一种鱼的身体吸收汞，汞的含量超过体重的 (即百万分之一)时就会对人体产生危害在一批鱼中随机抽取30条鱼作为样本，得到鱼体内汞含量的频率分布直方图如下图所示，则下列说法正确的是（　　）
A．若以该样本数据的频率作为总体的概率，则从这批鱼中任取一条，鱼体内汞含量高于 的概率为
B．图中实数a的值为
C．估计该样本数据的中位数为1.25
D．从该样本中鱼体内汞含量高于 的鱼中随机抽取两条鱼，这两条鱼体内汞含量都低于 的概率为
11．（2021高二下·湖北开学考）已知椭圆 的焦距为 ，焦点为 、 ，长轴的端点为 、 ，点 是椭圆上异于长轴端点的一点，椭圆 的离心率为 ，则下列说法正确的是（　　）
A．若 的周长为 ，则椭圆的方程为
B．若 的面积最大时， ，则
C．若椭圆 上存在点 使 ，则
D．以 为直径的圆与以 为直径的圆内切
12．（2021高二下·湖北开学考）已知四棱锥 的体积为 ，且有 ， ， ， ， ， ，则下列说法正确的是（　　）
A．
B．
C．平面 平面
D．三棱锥 与三棱锥 的外接球表面积之比为
三、填空题
13．（2021高二下·湖北开学考）已知直线l在平面 外，且 是直线l的方向向量， 是平面 的法向量，则直线l与平面 的位置关系为　 　.
14．（2021高二下·湖北开学考）已知双曲线C的焦点在y轴上且离心率为2，写出一个满足条件的曲线C的方程为　 　.
15．（2021高二下·湖北开学考）已知函数 (其中e为无理数且 )在 上有两个零点，且 使 成立，则实数a的取值范围为　 　.
16．（2021高二下·湖北开学考）已知圆锥底面半径为 ，母线长为2，则圆锥的表面积为　 　，点A为底面圆周上一点，若一只蚂蚁从点A出发沿着圆锥的侧面爬行一周回到A点，则蚂蚁爬行的最短距离为　 　.
四、解答题
17．（2021高二下·湖北开学考）已知抛物线 的焦点为F， 为抛物线C上的点，且 .
（1）求抛物线C的方程；
（2）若直线 与抛物线C相交于A，B两点，求弦长 .
18．（2021高二下·湖北开学考）已知命题 ， 恒成立；命题q：曲线 表示双曲线.使命题p为真的a的取值范围记为集合P，使命题q为真的a的取值范围记为集合Q.
（1）求集合P；
（2）若 是 的必要不充分条件，求实数m的取值范围.
19．（2021高二下·湖北开学考）根据对某商品近5个月的调查数据进行统计，得到该商品的月销售单价x(单位：元/件)与月销售量y(单位：千件)之间有如下对应关系：
x 2 4 5 6 8
y 7 5 6 4 3
（1）建立y关于x的回归直线方程；
（2）根据（1）的结果，若该商品成本为3元/件，则月销售价x为何值时(x不超过12)，月利润预计值最大？(结果保留两位小数)
20．（2021高二下·湖北开学考）如图，在四棱锥 中底面 为菱形， ，平面 垂直于平面 ，G，H分别为 和 的重心.
（1）证明： 平面 ；
（2）求锐二面角 的余弦值.
21．（2021高二下·湖北开学考）已知 为圆 上任意一点，点 ，线段 的垂直平分线交直线 于 ，动点 的轨迹为曲线 .
（1）求曲线 的方程；
（2）已知直线 ， 、 ， 为曲线 上的点且 与 、 不重合，直线 和直线 分别与 相交于 、 ，问 是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由.
22．（2021高二下·江苏期中）已知 .
（1）当 时，求 在 上的最大值；
（2）当 时，讨论 的单调性.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：因为 推不出 ，故充分性不成立， 推得出 ，所以必要性成立，所以“ ”是“ ”的必要不充分条件。
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合充分条件、必要条件的判断方法，从而推出“ ”是“ ”的必要不充分条件。
2．【答案】D
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】把抛物线 化为标准方程 ，
可得抛物线的焦点在 轴上，开口向下，且 ，即 ，
所以焦点坐标为 。
故答案为：D.
【分析】将抛物线方程转化为标准方程，进而确定焦点的位置，从而求出抛物线的焦点坐标。
3．【答案】B
【知识点】分层抽样方法；茎叶图
【解析】【解答】根据给定的茎叶图中的数据，高于130分的有8人，低于130分的有12人，
即A班8人，B班12人，所以抽取的5人中A班有 (人)。
故答案为：B.
【分析】利用茎叶图中的数据结合分层抽样的方法，从而求出5人中到A班的人数。
4．【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】
当 时，解得 ，则函数 的单调递减区间为 。
故答案为：C.
【分析】利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的单调递减区间。
5．【答案】A
【知识点】平面向量的基本定理
【解析】【解答】因为 是 的中点，所以 ，
因为 ， ， 分别是空间四边形 的边 ， ， 的中点，
所以 ， ，
所以 。
故答案为：A
【分析】利用已知条件结合中点的性质和共线定理，再利用平面向量基本定理，从而得出。
6．【答案】D
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】设甲 乙 丙原来座位号分别为1，2，3，所以总的基本事件有 共6种，
至少有1人仍然坐在原来的座位的基本事件有 共4种，
所以所求概率为 。
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合古典概型求概率公式，从而求出至少有1人仍然坐在原来的座位的概率 。
7．【答案】A
【知识点】异面直线的判定；直线与平面平行的判定；平面与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】（1）若两条直线没有公共点，则这两条直线平行或异面，所以（1）错；
（2）若直线a不平行于平面 ，则直线a与平面 相交或直线a在平面 内，当直线a在平面 内时， 内存在与a平行的直线，所以（2）错；
（3）当两个平面相交时，则在这两个平面外与交线平行的直线与这两个平面都平行，所以（3）错；
（4）如图所示，两个平面垂直时，过交线上一点作一条与交线垂直的直线l，使直线l不在这两个平面内，则直线l与这两个平面都不垂直，所以（4）错.
故答案为：A．
【分析】利用异面直线的判断方法、线面平行的判定定理、面面平行的判定定理和线面垂直的判定定理，从而选出正确命题的个数。
8．【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】设 ，则 ，
令 ，解得 ，令 ，解得 ，
即函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
因为 ，所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，
因为 ， ，
所以 ， ， ，
结合函数 的单调性易知 ，即 ，
因为 ，所以 ， 。
故答案为：A.
【分析】设 ，利用求导的方法判断函数的单调性，因为 ，所以 ，即 ，因为 ，所以 ，
因为 ， ，所以 ， ， ，再利用函数的单调性，得出 ，因为 ，所以 ， 。
9．【答案】A,D
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；虚数单位i及其性质；复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】设 ，所以A符合题意；
，所以B不符合题意；
，所以共轭复数为 ，所以C不符合题意；
复数 在复平面内对应的点位于第四象限的充要条件是 ，即 ，所以D符合题意。
故答案为：AD．
【分析】利用复数与共轭复数的关系结合复数的乘法运算法则，从而求出复数 ，再利用复数为实数的判断方法，从而判断出复数 为实数；利用已知条件结合虚数单位的周期性，从而得出；利用复数的乘除法运算法则结合复数与共轭复数的关系，从而求出复数 的共轭复数；利用已知条件结合充分条件、必要条件的判断方法，从而推出若m为实数，i为虚数单位，则“ ”是“复数 在复平面内对应的点位于第四象限”的充要条件，从而选出真命题的选项。
10．【答案】A,B,D
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数；古典概型及其概率计算公式；概率的应用
【解析】【解答】鱼体内汞含量高于 的概率为 ，所以A符合题意；
，得 ，所以B符合题意；
因为 ，所以中位数在 中，
设中位数为 ，则 ，解得
所以中位数为 ，所以C不符合题意；
汞含量高于 的鱼共有5条，从这5条鱼中随机抽取两条鱼，总的基本事件共有 10种，
其中汞含量高于 低于 的鱼有4条，
所以抽取的两条鱼汞含量都高于 低于 的基本事件有 6种，
所以所求概率为 ，所以D符合题意.
故答案为：ABD.
【分析】利用已知条件结合频率分布直方图求中位数的方法，从而估计出该样本数据的中位数；再利用频率分布直方图中各小组的矩形的面积等于各小组的频率，从而结合求和法求出若以该样本数据的频率作为总体的概率，则从这批鱼中任取一条，鱼体内汞含量高于 的概率；再结合频率之和等于1的性质，从而求出a的值；再利用组合数公式结合古典概型求概率的公式，从而求出从该样本中鱼体内汞含量高于 的鱼中随机抽取两条鱼，这两条鱼体内汞含量都低于 的概率，进而找出说法正确的选项。
11．【答案】A,B,D
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；圆与圆的位置关系及其判定；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；三角形中的几何计算
【解析】【解答】对于A选项， 的周长为 ，则 ， ，
即椭圆的方程为 ，所以A符合题意；
对于B选项，当 的面积最大时，点 在短轴顶点处，
又 ，所以在 中， ，所以B符合题意；
对于C选项，设点 ， ， ，
，
因为点 在椭圆 上，则 ，可得 ，
所以， ，得 ，
由于 ，可得 ，所以， ，即 ，
可得 .
因此，椭圆 的离心率的取值范围是 ，C选项错误；
对于D选项，设 的中点为 ，设圆 与圆 的半径分别为 、 ，则 ，
则两圆的连心线的距离为 ，
所以两圆内切，D符合题意.
故答案为：ABD.
【分析】利用三角形的周长公式结合椭圆的定义和焦距的定义，再结合已知条件 的周长为 ，从而求出a的值，再利用椭圆 的焦距为 ，从而求出c的值，再利用椭圆中a,b,c三者的关系式，从而求出b的值，进而求出椭圆的标准方程；当 的面积最大时，点 在短轴顶点处，又因为 ，所以，在 中， 利用正弦函数的定义结合椭圆的离心率公式，从而求出椭圆的离心率；设点 ， 再利用向量的坐标表示结合数量积的坐标表示，得出 ，因为点 在椭圆 上，再结合代入法，可得 ，所以 ，得 ，由于 ，可得 ，所以， ，即 ，再利用椭圆的离心率公式变形，可得椭圆 的离心率的取值范围；设 的中点为 ，设圆 与圆 的半径分别为 、 ，则 ，再利用中点的性质结合椭圆的定义，得出两圆的连心线的距离为 ，再利用两圆位置关系判断方法，所以两圆内切，从而选出说法正确的选项。
12．【答案】B,C,D
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；球的体积和表面积；空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面垂直的判定
【解析】【解答】如图所示，在三棱锥 中， ，
所以P在底面 内射影为底面三角形的外心，
又因为底面三角形 为直角三角形，取 中点M，则 垂直于底面 ，
所以平面 平面 ，所以C符合题意；
因为 ，所以 ，
即 垂直于 ，又 垂直于 ，所以 垂直于平面 ，
所以 垂直于 ，所以B符合题意；
又由 ，所以 ，即 ，
又因为 ，所以 ，即 ，所以 与 不垂直，
又 ，即 与 不垂直，所以A不正确；
设三棱锥 与三棱锥 的外接球半径分别为 ，
与N分别为 和 的外心，
过 与N分别作平面 ，平面 的垂线交于点 ，
则 分别为三棱锥 与三棱锥 的外接球的球心，
又由 ， ， ，
所以 ， ，
所以三棱锥 与三棱锥 的外接球表面积之比为 ，所以D符合题意.
故答案为：BCD.
【分析】在三棱锥 中， ，所以P在底面 内射影为底面三角形的外心，又因为底面三角形 为直角三角形，取 中点M，则 底面 ，再利用线面垂直证出面面垂直，所以平面 平面 ；因为 ，所以 ，即 垂直于 ，又因为 垂直于 ，再利用线线垂直证出线面垂直，所以 垂直于平面 ，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，所以 垂直于 ；又由三棱锥的体积公式结合已知条件得出 ，即 ，又因为 ，所以 ，即 ，再利用勾股定理得出 与 不垂直，又因为 ，即 与 不垂直；设三棱锥 与三棱锥 的外接球半径分别为 ， 与N分别为 和 的外心，过 与N分别作平面 ，平面 的垂线交于点 ，
则 分别为三棱锥 与三棱锥 的外接球的球心，又由 ， ， ，再利用勾股定理求出三棱锥 与三棱锥 的外接球半径，再利用球的表面积公式，从而求出三棱锥 与三棱锥 的外接球表面积之比，进而选出说法正确的选项。
13．【答案】平行
【知识点】利用数量积判断平面向量的垂直关系；直线与平面平行的判定
【解析】【解答】因为 ，
且直线l在平面 外，
所以直线l与平面 平行.
故答案为：平行.
【分析】利用数量积为0两向量垂直的等价关系结合数量积的坐标表示，再利用直线l在平面 外，从而推出直线l与平面 平行。
14．【答案】 (答案不唯一)
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】设双曲线方程为 ，因为双曲线离心率为2，所以 ，故双曲线方程为 中的任意一个，可取 。
故答案为： 。（答案不唯一）．
【分析】利用双曲线C的焦点在y轴上且离心率为2， 从而结合双曲线中a,b,c三者的关系式和离心率公式，从而得出a,b的关系式，故双曲线方程为 中的任意一个，可取 。
15．【答案】 且
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】由函数 在 上有两个零点，即方程 在 上有两个解，
即方程 在 上有不等于2的根，
令 ，则 ，
所以函数 在 上为单调递增函数，
所以 且 ，
又由 使 成立，即 使得 成立，
即 使 ，即 使 成立，
函数 在 上为单调递增函数，所以 ，
综上可知，实数a的取值范围为 且 。
故答案为： 且 。
【分析】由函数 在 上有两个零点，再结合函数的零点与方程的根的等价关系，即方程 在 上有两个解，即方程 在 上有不等于2的根，令 ，再利用求导的方法判断函数的单调性，所以函数 在 上为单调递增函数，所以 且 ，又由 使 成立，即 使得 成立，即 使 成立，再利用函数 在 上的单调性，所以 ，从而求出实数a的取值范围。
16．【答案】；
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；多面体和旋转体表面上的最短距离问题
【解析】【解答】由题意，圆锥底面半径为 ，母线长为2，
则圆锥的表面积为 ，
因为圆锥底面半径为 ，可得底面周长为 ，
可得圆锥的侧面展开图为圆心角为90度的扇形，如图所示，
则三角形 为边长为2的等腰直角三角形，所以最短距离为 。
故答案为： ； 。
【分析】由题意，圆锥底面半径为 ，母线长为2，再利用圆锥的表面积公式得出圆锥的表面积；
因为圆锥底面半径为 ，再利用圆的周长公式可得底面周长，可得圆锥的侧面展开图为圆心角为90度的扇形，则三角形 为边长为2的等腰直角三角形，从而求出最短距离 。
17．【答案】（1） ，
所以 ，即抛物线C的方程 .
（2）设 ，
由 得
所以 ，
所以
.
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用抛物线 的焦点为F， 为抛物线C上的点，且 ，再利用抛物线的定义得出p的值，从而求出抛物线的标准方程。
（2）利用直线与抛物线相交，联立二者方程结合韦达定理，再利用弦长公式求出弦长 。
18．【答案】（1）解：当 ，即 时，不等式为 ，恒成立
当 ，
∴
综上， ，即 .
（2）由 得
因为 是 的必要不充分条件，所以Q是P的真子集
即 .
∴ ．
【知识点】集合关系中的参数取值问题；命题的真假判断与应用；必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【分析】（1）利用命题 ， 恒成立，再利用分类讨论的方法结合不等式恒成立问题求解方法，再利用二次函数的开口方向和判别式法，从而求出命题为真的实数a的取值范围，进而求出集合P。
（2）利用一元二次不等式的求解方法求出集合Q，再利用 是 的必要不充分条件， 所以Q是P的真子集 ，再利用集合间的包含关系结合分类讨论的方法，再借助数轴求出实数m的取值范围。
19．【答案】（1） ， .
2 4 5 6 8
7 5 6 4 3
-3 -1 0 1 3
2 0 1 -1 -2
，
，∴ ，
，
所以y关于x的回归直线方程为 .
（2）依题意得利润 ，
当 时， 最大，
所以月销售价为7.85元/件时，月利润预计值最大.
【知识点】二次函数在闭区间上的最值；线性回归方程
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合最小二乘法求出y关于x的线性回归方程。
（2）利用（1）求出的y关于x的线性回归方程结合实际问题的已知条件，从而得出 利润 ， 再利用二次函数求最值的方法，从而求出月销售价为7.85元/件时，月利润预计值最大。
20．【答案】（1）如图所示，取 中点O，连接 ，
因为G，H分别为 和 的重心，所以G，H分别在 上，
且 ，所以 ，
又因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 .
（2）由 ， ，
所以 和 均为等边三角形，所以 ，
又平面 垂直于平面 且交线为 ，
所以 平面 ，即 两两相互垂直，
以O为原点，分别以 所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示空间直角坐标系，
不妨设 ，则 ，
，
设平面 的法向量为 ，则 ，取 ，
设平面 的法向量为 ，则 ，取 ，
设锐二面角 的大小为 ，可得 .
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1） 取 中点O，连接 ，因为G，H分别为 和 的重心，所以G，H分别在 上，且 ，再利用对应边成比例两直线平行，所以 ，再利用线线平行证出线面平行，从而证出 平面 。
（2） 由 ， ，所以 和 均为等边三角形，再利用等边三角形三线合一，所以 ，又因为平面 垂直于平面 且交线为 ，再利用面面垂直的性质定理推出线面垂直，所以 平面 ，再利用线面垂直的定义推出线线垂直，即 两两相互垂直，得出以O为原点，分别以 所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，不妨设 ，从而求出点的坐标，再利由向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式，从而求出锐二面角 的余弦值。
21．【答案】（1）由于线段 的垂直平分线交直线 于 ，由中垂线的性质可得 ，
，
所以动点 在以 、 为焦点的椭圆上，
设该椭圆的标准方程为 ，设 ，则 ， ，
所以， ，因此，曲线 的方程为 ；
（2）依题意可知直线 、 的斜率均存在且不为 ，
设直线 的方程为 ，设直线 的方程为 ，则 ， .
可得 ， ， ，
设点 ，则有 ，可得 ，
则 ， ， ，
因此， （定值）.
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1) 由于线段 的垂直平分线交直线 于 ，由中垂线的性质可得 ，再利用椭圆的定义得出 ，所以动点 在以 、 为焦点的椭圆上，设该椭圆的标准方程为 ，再利用椭圆中a,b,c三者的关系式，设 ，则 ， ，再利用椭圆中a,b,c三者的关系式得出 的值，从而求出椭圆的标准方程。
（2） 依题意可知直线 、 的斜率均存在且不为 ，设直线 的斜截式方程为 ，设直线 的斜截式方程为 ，则 ， ，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，可得 ， ，再利用数量积的坐标表示得出 ，设点 ，再利用点S在椭圆上结合代入法，可得 ，再利用两点求斜率公式得出 ，再利用数量积的坐标表示推出 为定值。
22．【答案】（1）解：当 时，
由 ，得 ，当 时解得 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以最大值在端点处取得，
又
所以 在 上的最大值为 .
（2）当 时，
①当 时 ，得 ，得
在 上单调递增，在 上单调递减.
②当 时， ，
方程 的两根为 且
所以 ，得 ，得
即 在 上单调递增，在 上单调递减.
③当 时，
ⅰ.当 ，即 时， 在 上单调递增.
ⅱ. ，即 时
方程 的两根为 且
所以 ，得 或 ，所以 ，得
即 在 上单调递增，在 上单调递减
综上：
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递增
【知识点】函数单调性的性质；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】(1)由已知条件把a、b、c的值代入求出函数的解析式，再对其求导结合导函数的性质即可得出函数的单调性，利用函数的单调性即可求出最值。
(2)首先把b与c的值代入由此得出函数的解析式，再对其求导结合导函数的性质，对a分情况讨论即可得出函数的单调性。
1 / 1湖北省新高考联考协作体2020-2021学年高二下学期数学2月开学收心考试试卷
一、单选题
1．（2021高二下·湖北开学考）“ ”是“ ”的（　　）
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：因为 推不出 ，故充分性不成立， 推得出 ，所以必要性成立，所以“ ”是“ ”的必要不充分条件。
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合充分条件、必要条件的判断方法，从而推出“ ”是“ ”的必要不充分条件。
2．（2021高二下·湖北开学考）抛物线 的焦点坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】把抛物线 化为标准方程 ，
可得抛物线的焦点在 轴上，开口向下，且 ，即 ，
所以焦点坐标为 。
故答案为：D.
【分析】将抛物线方程转化为标准方程，进而确定焦点的位置，从而求出抛物线的焦点坐标。
3．（2021高二下·湖北开学考）某校高二年级为选拔参加数学竞赛的学生组织了一次考试，最后选出13名男生和7名女生，这20名学生的考试成绩如茎叶图所示(单位：分)，学校规定：成绩不低于130分的人到A班培训，低于130分的人到B班培训，如果用分层抽样的方法从到A班的人和到B班的人中共选取5人，则5人中到A班的有（　　）
A．1人 B．2人 C．3人 D．4人
【答案】B
【知识点】分层抽样方法；茎叶图
【解析】【解答】根据给定的茎叶图中的数据，高于130分的有8人，低于130分的有12人，
即A班8人，B班12人，所以抽取的5人中A班有 (人)。
故答案为：B.
【分析】利用茎叶图中的数据结合分层抽样的方法，从而求出5人中到A班的人数。
4．（2021高二下·湖北开学考）函数 的单调递减区间为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】
当 时，解得 ，则函数 的单调递减区间为 。
故答案为：C.
【分析】利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的单调递减区间。
5．（2021高二下·湖北开学考）如图，已知E，F，G，H分别是空间四边形 的边 ， ， ， 的中点，用 表示 ，则 （　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】平面向量的基本定理
【解析】【解答】因为 是 的中点，所以 ，
因为 ， ， 分别是空间四边形 的边 ， ， 的中点，
所以 ， ，
所以 。
故答案为：A
【分析】利用已知条件结合中点的性质和共线定理，再利用平面向量基本定理，从而得出。
6．（2021高二下·湖北开学考）某次会议上，甲 乙 丙三人坐定后又随机交换座位(可以选择保持位置不变)，则至少有1人仍然坐在原来的座位的概率（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】设甲 乙 丙原来座位号分别为1，2，3，所以总的基本事件有 共6种，
至少有1人仍然坐在原来的座位的基本事件有 共4种，
所以所求概率为 。
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合古典概型求概率公式，从而求出至少有1人仍然坐在原来的座位的概率 。
7．（2021高二下·湖北开学考）下列命题中真命题的个数是（　　）
⑴若两条直线没有公共点，则这两条直线为异面直线
⑵若直线a不平行于平面 ，则 内一定不存在与a平行的直线
⑶平行于同一直线的两个平面平行
⑷已知两个平面垂直，过其中一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【知识点】异面直线的判定；直线与平面平行的判定；平面与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】（1）若两条直线没有公共点，则这两条直线平行或异面，所以（1）错；
（2）若直线a不平行于平面 ，则直线a与平面 相交或直线a在平面 内，当直线a在平面 内时， 内存在与a平行的直线，所以（2）错；
（3）当两个平面相交时，则在这两个平面外与交线平行的直线与这两个平面都平行，所以（3）错；
（4）如图所示，两个平面垂直时，过交线上一点作一条与交线垂直的直线l，使直线l不在这两个平面内，则直线l与这两个平面都不垂直，所以（4）错.
故答案为：A．
【分析】利用异面直线的判断方法、线面平行的判定定理、面面平行的判定定理和线面垂直的判定定理，从而选出正确命题的个数。
8．（2021高二下·湖北开学考）已知 且 ， 且 ， ，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】设 ，则 ，
令 ，解得 ，令 ，解得 ，
即函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
因为 ，所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，
因为 ， ，
所以 ， ， ，
结合函数 的单调性易知 ，即 ，
因为 ，所以 ， 。
故答案为：A.
【分析】设 ，利用求导的方法判断函数的单调性，因为 ，所以 ，即 ，因为 ，所以 ，
因为 ， ，所以 ， ， ，再利用函数的单调性，得出 ，因为 ，所以 ， 。
二、多选题
9．（2021高二下·湖北开学考）下列命题为真命题的是（　　）
A．若 互为共轭复数，则 为实数
B．若i为虚数单位，n为正整数，则
C．复数 的共轭复数为
D．若m为实数，i为虚数单位，则“ ”是“复数 在复平面内对应的点位于第四象限”的充要条件
【答案】A,D
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；虚数单位i及其性质；复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】设 ，所以A符合题意；
，所以B不符合题意；
，所以共轭复数为 ，所以C不符合题意；
复数 在复平面内对应的点位于第四象限的充要条件是 ，即 ，所以D符合题意。
故答案为：AD．
【分析】利用复数与共轭复数的关系结合复数的乘法运算法则，从而求出复数 ，再利用复数为实数的判断方法，从而判断出复数 为实数；利用已知条件结合虚数单位的周期性，从而得出；利用复数的乘除法运算法则结合复数与共轭复数的关系，从而求出复数 的共轭复数；利用已知条件结合充分条件、必要条件的判断方法，从而推出若m为实数，i为虚数单位，则“ ”是“复数 在复平面内对应的点位于第四象限”的充要条件，从而选出真命题的选项。
10．（2021高二下·湖北开学考）有一种鱼的身体吸收汞，汞的含量超过体重的 (即百万分之一)时就会对人体产生危害在一批鱼中随机抽取30条鱼作为样本，得到鱼体内汞含量的频率分布直方图如下图所示，则下列说法正确的是（　　）
A．若以该样本数据的频率作为总体的概率，则从这批鱼中任取一条，鱼体内汞含量高于 的概率为
B．图中实数a的值为
C．估计该样本数据的中位数为1.25
D．从该样本中鱼体内汞含量高于 的鱼中随机抽取两条鱼，这两条鱼体内汞含量都低于 的概率为
【答案】A,B,D
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数；古典概型及其概率计算公式；概率的应用
【解析】【解答】鱼体内汞含量高于 的概率为 ，所以A符合题意；
，得 ，所以B符合题意；
因为 ，所以中位数在 中，
设中位数为 ，则 ，解得
所以中位数为 ，所以C不符合题意；
汞含量高于 的鱼共有5条，从这5条鱼中随机抽取两条鱼，总的基本事件共有 10种，
其中汞含量高于 低于 的鱼有4条，
所以抽取的两条鱼汞含量都高于 低于 的基本事件有 6种，
所以所求概率为 ，所以D符合题意.
故答案为：ABD.
【分析】利用已知条件结合频率分布直方图求中位数的方法，从而估计出该样本数据的中位数；再利用频率分布直方图中各小组的矩形的面积等于各小组的频率，从而结合求和法求出若以该样本数据的频率作为总体的概率，则从这批鱼中任取一条，鱼体内汞含量高于 的概率；再结合频率之和等于1的性质，从而求出a的值；再利用组合数公式结合古典概型求概率的公式，从而求出从该样本中鱼体内汞含量高于 的鱼中随机抽取两条鱼，这两条鱼体内汞含量都低于 的概率，进而找出说法正确的选项。
11．（2021高二下·湖北开学考）已知椭圆 的焦距为 ，焦点为 、 ，长轴的端点为 、 ，点 是椭圆上异于长轴端点的一点，椭圆 的离心率为 ，则下列说法正确的是（　　）
A．若 的周长为 ，则椭圆的方程为
B．若 的面积最大时， ，则
C．若椭圆 上存在点 使 ，则
D．以 为直径的圆与以 为直径的圆内切
【答案】A,B,D
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；圆与圆的位置关系及其判定；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；三角形中的几何计算
【解析】【解答】对于A选项， 的周长为 ，则 ， ，
即椭圆的方程为 ，所以A符合题意；
对于B选项，当 的面积最大时，点 在短轴顶点处，
又 ，所以在 中， ，所以B符合题意；
对于C选项，设点 ， ， ，
，
因为点 在椭圆 上，则 ，可得 ，
所以， ，得 ，
由于 ，可得 ，所以， ，即 ，
可得 .
因此，椭圆 的离心率的取值范围是 ，C选项错误；
对于D选项，设 的中点为 ，设圆 与圆 的半径分别为 、 ，则 ，
则两圆的连心线的距离为 ，
所以两圆内切，D符合题意.
故答案为：ABD.
【分析】利用三角形的周长公式结合椭圆的定义和焦距的定义，再结合已知条件 的周长为 ，从而求出a的值，再利用椭圆 的焦距为 ，从而求出c的值，再利用椭圆中a,b,c三者的关系式，从而求出b的值，进而求出椭圆的标准方程；当 的面积最大时，点 在短轴顶点处，又因为 ，所以，在 中， 利用正弦函数的定义结合椭圆的离心率公式，从而求出椭圆的离心率；设点 ， 再利用向量的坐标表示结合数量积的坐标表示，得出 ，因为点 在椭圆 上，再结合代入法，可得 ，所以 ，得 ，由于 ，可得 ，所以， ，即 ，再利用椭圆的离心率公式变形，可得椭圆 的离心率的取值范围；设 的中点为 ，设圆 与圆 的半径分别为 、 ，则 ，再利用中点的性质结合椭圆的定义，得出两圆的连心线的距离为 ，再利用两圆位置关系判断方法，所以两圆内切，从而选出说法正确的选项。
12．（2021高二下·湖北开学考）已知四棱锥 的体积为 ，且有 ， ， ， ， ， ，则下列说法正确的是（　　）
A．
B．
C．平面 平面
D．三棱锥 与三棱锥 的外接球表面积之比为
【答案】B,C,D
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；球的体积和表面积；空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面垂直的判定
【解析】【解答】如图所示，在三棱锥 中， ，
所以P在底面 内射影为底面三角形的外心，
又因为底面三角形 为直角三角形，取 中点M，则 垂直于底面 ，
所以平面 平面 ，所以C符合题意；
因为 ，所以 ，
即 垂直于 ，又 垂直于 ，所以 垂直于平面 ，
所以 垂直于 ，所以B符合题意；
又由 ，所以 ，即 ，
又因为 ，所以 ，即 ，所以 与 不垂直，
又 ，即 与 不垂直，所以A不正确；
设三棱锥 与三棱锥 的外接球半径分别为 ，
与N分别为 和 的外心，
过 与N分别作平面 ，平面 的垂线交于点 ，
则 分别为三棱锥 与三棱锥 的外接球的球心，
又由 ， ， ，
所以 ， ，
所以三棱锥 与三棱锥 的外接球表面积之比为 ，所以D符合题意.
故答案为：BCD.
【分析】在三棱锥 中， ，所以P在底面 内射影为底面三角形的外心，又因为底面三角形 为直角三角形，取 中点M，则 底面 ，再利用线面垂直证出面面垂直，所以平面 平面 ；因为 ，所以 ，即 垂直于 ，又因为 垂直于 ，再利用线线垂直证出线面垂直，所以 垂直于平面 ，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，所以 垂直于 ；又由三棱锥的体积公式结合已知条件得出 ，即 ，又因为 ，所以 ，即 ，再利用勾股定理得出 与 不垂直，又因为 ，即 与 不垂直；设三棱锥 与三棱锥 的外接球半径分别为 ， 与N分别为 和 的外心，过 与N分别作平面 ，平面 的垂线交于点 ，
则 分别为三棱锥 与三棱锥 的外接球的球心，又由 ， ， ，再利用勾股定理求出三棱锥 与三棱锥 的外接球半径，再利用球的表面积公式，从而求出三棱锥 与三棱锥 的外接球表面积之比，进而选出说法正确的选项。
三、填空题
13．（2021高二下·湖北开学考）已知直线l在平面 外，且 是直线l的方向向量， 是平面 的法向量，则直线l与平面 的位置关系为　 　.
【答案】平行
【知识点】利用数量积判断平面向量的垂直关系；直线与平面平行的判定
【解析】【解答】因为 ，
且直线l在平面 外，
所以直线l与平面 平行.
故答案为：平行.
【分析】利用数量积为0两向量垂直的等价关系结合数量积的坐标表示，再利用直线l在平面 外，从而推出直线l与平面 平行。
14．（2021高二下·湖北开学考）已知双曲线C的焦点在y轴上且离心率为2，写出一个满足条件的曲线C的方程为　 　.
【答案】 (答案不唯一)
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】设双曲线方程为 ，因为双曲线离心率为2，所以 ，故双曲线方程为 中的任意一个，可取 。
故答案为： 。（答案不唯一）．
【分析】利用双曲线C的焦点在y轴上且离心率为2， 从而结合双曲线中a,b,c三者的关系式和离心率公式，从而得出a,b的关系式，故双曲线方程为 中的任意一个，可取 。
15．（2021高二下·湖北开学考）已知函数 (其中e为无理数且 )在 上有两个零点，且 使 成立，则实数a的取值范围为　 　.
【答案】 且
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】由函数 在 上有两个零点，即方程 在 上有两个解，
即方程 在 上有不等于2的根，
令 ，则 ，
所以函数 在 上为单调递增函数，
所以 且 ，
又由 使 成立，即 使得 成立，
即 使 ，即 使 成立，
函数 在 上为单调递增函数，所以 ，
综上可知，实数a的取值范围为 且 。
故答案为： 且 。
【分析】由函数 在 上有两个零点，再结合函数的零点与方程的根的等价关系，即方程 在 上有两个解，即方程 在 上有不等于2的根，令 ，再利用求导的方法判断函数的单调性，所以函数 在 上为单调递增函数，所以 且 ，又由 使 成立，即 使得 成立，即 使 成立，再利用函数 在 上的单调性，所以 ，从而求出实数a的取值范围。
16．（2021高二下·湖北开学考）已知圆锥底面半径为 ，母线长为2，则圆锥的表面积为　 　，点A为底面圆周上一点，若一只蚂蚁从点A出发沿着圆锥的侧面爬行一周回到A点，则蚂蚁爬行的最短距离为　 　.
【答案】；
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；多面体和旋转体表面上的最短距离问题
【解析】【解答】由题意，圆锥底面半径为 ，母线长为2，
则圆锥的表面积为 ，
因为圆锥底面半径为 ，可得底面周长为 ，
可得圆锥的侧面展开图为圆心角为90度的扇形，如图所示，
则三角形 为边长为2的等腰直角三角形，所以最短距离为 。
故答案为： ； 。
【分析】由题意，圆锥底面半径为 ，母线长为2，再利用圆锥的表面积公式得出圆锥的表面积；
因为圆锥底面半径为 ，再利用圆的周长公式可得底面周长，可得圆锥的侧面展开图为圆心角为90度的扇形，则三角形 为边长为2的等腰直角三角形，从而求出最短距离 。
四、解答题
17．（2021高二下·湖北开学考）已知抛物线 的焦点为F， 为抛物线C上的点，且 .
（1）求抛物线C的方程；
（2）若直线 与抛物线C相交于A，B两点，求弦长 .
【答案】（1） ，
所以 ，即抛物线C的方程 .
（2）设 ，
由 得
所以 ，
所以
.
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用抛物线 的焦点为F， 为抛物线C上的点，且 ，再利用抛物线的定义得出p的值，从而求出抛物线的标准方程。
（2）利用直线与抛物线相交，联立二者方程结合韦达定理，再利用弦长公式求出弦长 。
18．（2021高二下·湖北开学考）已知命题 ， 恒成立；命题q：曲线 表示双曲线.使命题p为真的a的取值范围记为集合P，使命题q为真的a的取值范围记为集合Q.
（1）求集合P；
（2）若 是 的必要不充分条件，求实数m的取值范围.
【答案】（1）解：当 ，即 时，不等式为 ，恒成立
当 ，
∴
综上， ，即 .
（2）由 得
因为 是 的必要不充分条件，所以Q是P的真子集
即 .
∴ ．
【知识点】集合关系中的参数取值问题；命题的真假判断与应用；必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【分析】（1）利用命题 ， 恒成立，再利用分类讨论的方法结合不等式恒成立问题求解方法，再利用二次函数的开口方向和判别式法，从而求出命题为真的实数a的取值范围，进而求出集合P。
（2）利用一元二次不等式的求解方法求出集合Q，再利用 是 的必要不充分条件， 所以Q是P的真子集 ，再利用集合间的包含关系结合分类讨论的方法，再借助数轴求出实数m的取值范围。
19．（2021高二下·湖北开学考）根据对某商品近5个月的调查数据进行统计，得到该商品的月销售单价x(单位：元/件)与月销售量y(单位：千件)之间有如下对应关系：
x 2 4 5 6 8
y 7 5 6 4 3
（1）建立y关于x的回归直线方程；
（2）根据（1）的结果，若该商品成本为3元/件，则月销售价x为何值时(x不超过12)，月利润预计值最大？(结果保留两位小数)
【答案】（1） ， .
2 4 5 6 8
7 5 6 4 3
-3 -1 0 1 3
2 0 1 -1 -2
，
，∴ ，
，
所以y关于x的回归直线方程为 .
（2）依题意得利润 ，
当 时， 最大，
所以月销售价为7.85元/件时，月利润预计值最大.
【知识点】二次函数在闭区间上的最值；线性回归方程
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合最小二乘法求出y关于x的线性回归方程。
（2）利用（1）求出的y关于x的线性回归方程结合实际问题的已知条件，从而得出 利润 ， 再利用二次函数求最值的方法，从而求出月销售价为7.85元/件时，月利润预计值最大。
20．（2021高二下·湖北开学考）如图，在四棱锥 中底面 为菱形， ，平面 垂直于平面 ，G，H分别为 和 的重心.
（1）证明： 平面 ；
（2）求锐二面角 的余弦值.
【答案】（1）如图所示，取 中点O，连接 ，
因为G，H分别为 和 的重心，所以G，H分别在 上，
且 ，所以 ，
又因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 .
（2）由 ， ，
所以 和 均为等边三角形，所以 ，
又平面 垂直于平面 且交线为 ，
所以 平面 ，即 两两相互垂直，
以O为原点，分别以 所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示空间直角坐标系，
不妨设 ，则 ，
，
设平面 的法向量为 ，则 ，取 ，
设平面 的法向量为 ，则 ，取 ，
设锐二面角 的大小为 ，可得 .
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1） 取 中点O，连接 ，因为G，H分别为 和 的重心，所以G，H分别在 上，且 ，再利用对应边成比例两直线平行，所以 ，再利用线线平行证出线面平行，从而证出 平面 。
（2） 由 ， ，所以 和 均为等边三角形，再利用等边三角形三线合一，所以 ，又因为平面 垂直于平面 且交线为 ，再利用面面垂直的性质定理推出线面垂直，所以 平面 ，再利用线面垂直的定义推出线线垂直，即 两两相互垂直，得出以O为原点，分别以 所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，不妨设 ，从而求出点的坐标，再利由向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式，从而求出锐二面角 的余弦值。
21．（2021高二下·湖北开学考）已知 为圆 上任意一点，点 ，线段 的垂直平分线交直线 于 ，动点 的轨迹为曲线 .
（1）求曲线 的方程；
（2）已知直线 ， 、 ， 为曲线 上的点且 与 、 不重合，直线 和直线 分别与 相交于 、 ，问 是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由.
【答案】（1）由于线段 的垂直平分线交直线 于 ，由中垂线的性质可得 ，
，
所以动点 在以 、 为焦点的椭圆上，
设该椭圆的标准方程为 ，设 ，则 ， ，
所以， ，因此，曲线 的方程为 ；
（2）依题意可知直线 、 的斜率均存在且不为 ，
设直线 的方程为 ，设直线 的方程为 ，则 ， .
可得 ， ， ，
设点 ，则有 ，可得 ，
则 ， ， ，
因此， （定值）.
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1) 由于线段 的垂直平分线交直线 于 ，由中垂线的性质可得 ，再利用椭圆的定义得出 ，所以动点 在以 、 为焦点的椭圆上，设该椭圆的标准方程为 ，再利用椭圆中a,b,c三者的关系式，设 ，则 ， ，再利用椭圆中a,b,c三者的关系式得出 的值，从而求出椭圆的标准方程。
（2） 依题意可知直线 、 的斜率均存在且不为 ，设直线 的斜截式方程为 ，设直线 的斜截式方程为 ，则 ， ，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，可得 ， ，再利用数量积的坐标表示得出 ，设点 ，再利用点S在椭圆上结合代入法，可得 ，再利用两点求斜率公式得出 ，再利用数量积的坐标表示推出 为定值。
22．（2021高二下·江苏期中）已知 .
（1）当 时，求 在 上的最大值；
（2）当 时，讨论 的单调性.
【答案】（1）解：当 时，
由 ，得 ，当 时解得 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以最大值在端点处取得，
又
所以 在 上的最大值为 .
（2）当 时，
①当 时 ，得 ，得
在 上单调递增，在 上单调递减.
②当 时， ，
方程 的两根为 且
所以 ，得 ，得
即 在 上单调递增，在 上单调递减.
③当 时，
ⅰ.当 ，即 时， 在 上单调递增.
ⅱ. ，即 时
方程 的两根为 且
所以 ，得 或 ，所以 ，得
即 在 上单调递增，在 上单调递减
综上：
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递增
【知识点】函数单调性的性质；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】(1)由已知条件把a、b、c的值代入求出函数的解析式，再对其求导结合导函数的性质即可得出函数的单调性，利用函数的单调性即可求出最值。
(2)首先把b与c的值代入由此得出函数的解析式，再对其求导结合导函数的性质，对a分情况讨论即可得出函数的单调性。
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