【精品解析】江苏省南京市2020-2021学年高二下学期数学期初考试试卷

江苏省南京市2020-2021学年高二下学期数学期初考试试卷
1．（2021高二下·南京开学考）命题“ ”的否定为（　　）
A． B．
C． D．
2．（2021高二下·南京开学考）如图在平行六面体 中， 为 的中点，设 ， ， ，则 （　　）
A． B．
C． D．
3．（2021高二下·南京开学考）数列 的通项公式 ，若该数列的第k项 满足40< <70，则k的值为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．（2021高二下·南京开学考）17世纪法国数学家费马在《平面与立体轨迹引论》中证明，方程 (k>0，k≠1，a≠0)表示椭圆，费马所依据的是椭圆的重要性质：若从椭圆上任意一点P向长轴AB(异于A，B两点)引垂线，垂足为Q，则 为常数.据此推断，此常数的值为（　　）
A．椭圆的离心率 B．椭圆离心率的平方
C．短轴长与长轴长的比 D．短轴长与长轴长比的平方
5．（2021高二下·南京开学考）已知函数 ，则不等式 的解集是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2021高二下·南京开学考）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，BC1与B1C相交于点O，∠A1AB=∠A1AC= ，∠BAC= ，A1A=3，AB=AC=2，则线段AO的长度为（　　）
A． B． C． D．
7．（2021高二下·南京开学考）设 为数列 的前n项和， ，则 （　　）
A． B．
C． D．
8．（2021高二下·南京开学考）已知 是椭圆和双曲线的公共焦点， 是它们的一个公共点，且 ，记椭圆和双曲线的离心率分别为 ，则 的最大值为（　　）
A． B． C． D．
9．（2021高二下·南京开学考）等差数列 是递增数列，满足 ，前 项和为 ，下列选项正确的是（　　）
A． B．
C．当 时 最小 D． 时 的最小值为
10．（2021高二下·南京开学考）已知 是椭圆 的右焦点，椭圆上至少有 个不同的点 ， 、 、 、…组成公差为 的等差数列，则下列结论正确的是（　　）
A．该椭圆的焦距为6 B． 的最小值为2
C． 的值可以为 D． 的值可以为
11．（2021高二下·南京开学考）下列说法正确的是（　　）
A．“ ”是“ ”的必要不充分条件
B．“ ”是“ 的充要条件
C．过点 且与抛物线 有且只有一个交点的直线有3条
D．若平面内一动点到定点的距离等于它到定直线的距离，则该点轨迹是一条抛物线
12．（2021高二下·南京开学考）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{an}称为“斐波那契数列”，记Sn为数列{an}的前n项和，则下列结论正确的是（　　）
A．a8＝34 B．S8＝54
C．S2020＝a2022－1 D．a1＋a3＋a5＋…＋a2021＝a2022
13．（2021高二下·南京开学考）已知命题“ ， ”是假命题，则实数a的取值范围是　 　.
14．（2021高二下·南京开学考）在直三棱柱 中， ，则异面直线 与 所成角的余弦值为　 　.
15．（2021高二下·南京开学考）设数列 的前 项的和为 ，且 ，记 为数列 中能使 成立的最小项，则数列 的前15项之和为　 　.
16．（2021高二下·南京开学考）直线 过抛物线 的焦点 ，且与 交于 两点，则 　 　， 　 　．
17．（2021高二下·南京开学考）已知首项为 的等比数列 是递减数列，其前 项和为 ，且 成等差数列.
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和为 .
18．（2021高二下·南京开学考）如图，已知ABCD为正方形， 平面ABCD， 且 ， 且 ， .
（1）求平面BEF与平面CDGF所成二面角的余弦值；
（2）设M为FG的中点，N为正方形ABCD内一点（包含边界），当 平面BEF时，求线段MN的最小值.
19．（2021高二下·南京开学考）如图，已知椭圆 左 右焦点分别为 ， ，右顶点为 ，上顶点为 ， 为椭圆上在第一象限内一点.
（1）若 ，求椭圆的离心率；
（2）若 ，求直线 的斜率 .
20．（2021高二下·南京开学考）已知数列数列 的前 项和且 ，且 .
（1）求 的值，并证明： ；
（2）求数列 的通项公式；
（3）求 的值.
21．（2021高二下·南京开学考）已知函数 .
（1）解关于x的不等式 ；
（2）若对 ，都有 成立，求a的最大值.
22．（2021高二下·南京开学考）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 的离心率为 且过定点 .
（1）求椭圆C的方程；
（2）设平行于OD的直线l与椭圆C交于A，B两点（如图所示）.
①线段AB的长度是否有最大值？并说明理由；
②若直线DA，DB与x轴分别交于M，N两点，记M，N的横坐标为m，n，求证： 为定值.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解：因为 为全称量词命题，其否定为存在量词命题，所以其否定为 。
故答案为：B
【分析】利用全称命题与特称命题互为否定的关系，从而写出命题“ ”的否定。
2．【答案】A
【知识点】平面向量的基本定理
【解析】【解答】由题意结合平行六面体的性质可得
。
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合三角形法则和共线定理，再结合平面向量基本定理，从而得出
。
3．【答案】C
【知识点】数列的概念及简单表示法
【解析】【解答】 时， ，不满足 ，所以A不符合题意；
时， ，不满足 ，所以B不符合题意；
时， ，满足 ，所以C符合题意；
时， ，不满足 ，所以D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合代入法，从而找出满足要求的k的值。
4．【答案】D
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】设椭圆方程为 ， 为上顶点，则 为原点，
， ，则 。
故答案为：D.
【分析】利用已知条件，设椭圆标准方程为 ， 为上顶点，则 为原点，
， ，从而求出 为短轴长与长轴长比的平方 。
5．【答案】C
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】因为 ，所以 等价于 ，
在同一直角坐标系中作出 和 的图象如图：
两函数图象的交点坐标为 ，
不等式 的解为 .
所以不等式 的解集为 .
故答案为：C.
【分析】作出 和 的图象，由不等式 可得，解得即可求出不等式 的解集。
6．【答案】A
【知识点】平面向量的基本定理；平面向量数量积定义与物理意义；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】因为四边形 是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
即 。
故答案为：A
【分析】因为四边形 是平行四边形，再利用中点的性质结合平行四边形法则，得出
，再利用三角形法则结合共线定理，从而结合平面向量基本定理，得出
，因为再利用数量积求向量的模的公式结合数量积的定义，得出 ，再利用数量积求向量的模的公式结合数量积的定义和数量积的运算法则，从而求出 ，进而求出线段AO的长度。
7．【答案】A
【知识点】数列的概念及简单表示法；数列的求和；数列的递推公式
【解析】【解答】由 ，
当 时， ，得 ；
当 时， ，即 ，
当n为偶数时， ，所以 （ 为正奇数），
当n为奇数时， ，所以 （ 为正偶数），
所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
因为 。
故答案为：A
【分析】由 ，再利用的关系式结合分类讨论的方法，得出 （ 为正偶数），所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，再利用分组求和的方法结合等比数列前n项和公式，从而求出的值。
8．【答案】D
【知识点】椭圆的定义；双曲线的定义；二维形式的柯西不等式；余弦定理
【解析】【解答】如图所示：
设椭圆的长半轴长为 ，双曲线的半实轴长为 ，不妨设点 在第一象限，则根据椭圆及双曲线的定义得， ， ，
所以， ， ，
设 ， ，
则在△ 中，由余弦定理得 ，
即 ，所以 ，即 ，
由柯西不等式得 ，
即 .当且仅当 ，即 ， 时，等号成立。
故答案为：D
【分析】设椭圆的长半轴长为 ，双曲线的半实轴长为 ，不妨设点 在第一象限，则根据椭圆及双曲线的定义，所以 ， ，设 ， ，在△ 中，由余弦定理得 ，再利用椭圆和双曲线的离心率公式变形，即 ，由柯西不等式得 ，即 ，从而求出 的最大值。
9．【答案】A,B,D
【知识点】二次函数在闭区间上的最值；数列的函数特性；等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：由题意，设等差数列 的公差为 ，
因为 ，可得 ，解得 ，
又由等差数列 是递增数列，可知 ，则 ，A、B符合题意；
因为 ，
由 可知，当 或4时 最小，C不符合题意，
令 ，解得 或 ，即 时 的最小值为8，D符合题意．
故答案为：ABD．
【分析】由题意，设等差数列 的公差为 ，因为 ，再利用等差数列的通项公式得出 ，又由等差数列 是递增数列，可知 ，则 ；再利用等差数列前n项和公式得出 ，再利用二次函数求最值的方法得出当 或n=4时， 最小；令 ，再结合一元二次不等式求解集的方法得出 或 ，即 时 的最小值为8，从而找出选项正确的选项。
10．【答案】A,B,D
【知识点】等差数列概念与表示；椭圆的简单性质
【解析】【解答】对于A选项，在椭圆 中， ， ， ，所以，该椭圆的焦距为 ，A选项正确；
对于B选项，由题意可得 ，B选项正确；
对于C、D选项， ，所以 ，解得 ，C选项错误，D选项正确.
故答案为：ABD.
【分析】利用椭圆的标准方程确定焦点的位置，从而求出a,b的值，再利用椭圆中a,b,c三者的关系式，从而求出c的值，再利用焦距的定义求出椭圆的焦距；再利用已知条件结合椭圆的结构特征求出 的最小值；再结合已知条件和椭圆的几何特征，从而得出，从而求出公差的取值范围，进而选出结论正确的选项。
11．【答案】A,C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线与圆锥曲线的关系；圆锥曲线的轨迹问题
【解析】【解答】解：对于A： ，解得 ， 解得 ，因为 ，所以“ ”是“ ”的必要不充分条件，A符合题意；
对于B：当 ， 时， 、 均没有意义，B不符合题意；
对于C：解：由题意，过点 的直线存在斜率，设其方程为： ，
与抛物线 ，消 得 ，
①若 ，方程为 ，此时直线与抛物线只有一个交点 ；
②若 ，令 ，解得 ，此时直线与抛物线相切，只有一个交点；故过点 且与抛物线 有且只有一个交点的直线有3条，即C符合题意；
对于D：若定点恰在定直线上是，该点的轨迹为过该点与已知直线垂直的直线，D不符合题意；
故答案为：AC
【分析】利用已知条件结合充分条件、必要条件的判断方法得出“ ”是“ ”的必要不充分条件和当 ， 时， 、 均没有意义，从而推出 “ ”不是“ 的充要条件；由题意，过点 的直线存在斜率，设其点斜式方程为： ，再利用直线与抛物线相交，联立二者方程得出 ，再利用分类讨论的方法结合判别式法，从而求出直线与抛物线的交点，进而找出过点 且与抛物线 有且只有一个交点的直线有3条； 若定点恰在定直线上是，该点的轨迹为过该点与已知直线垂直的直线，从而找出说法正确的选项。
12．【答案】B,C,D
【知识点】数列的求和；数列的递推公式
【解析】【解答】对于A，可知数列的前8项为1，1，2，3，5，8，13，21，A不符合题意；
对于B， ，B符合题意；
对于C，可得 ，
则
即 ， ，C符合题意；
对于D，由 可得，
，D符合题意.
故答案为：BCD.
【分析】利用已知条件结合“斐波那契数列”， 可知数列的前8项为1，1，2，3，5，8，13，21，再利用求和公式的，再利用已知条件结合“斐波那契数列”，再利用并项求和的方法得出 ， 所以 ，再利用已知条件结合“斐波那契数列”，再利用并项求和法得出，从而选出结论正确的选项。
13．【答案】
【知识点】命题的真假判断与应用；二次函数在闭区间上的最值
【解析】【解答】令 ，故可得 ，
若命题为真，只需 ，整理可得 ，
即可得 ，或 ，
则命题为假时， 。
故答案为： 。
【分析】令 ，再利用二次函数求最值的方法得出函数的最小值，即 ，若命题为真，只需 ，从而求出实数a的取值范围，再利用补集的运算法则得出命题为假时的实数a的取值范围。
14．【答案】
【知识点】用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】因为 ，所以角 为直角，又因为在直棱柱中，侧棱与底面垂直，所以 两两垂直，以 点为坐标原点，以 方向分别为 轴， 轴， 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ， ， ， ，
所以 ， ，
设异面直线 与 所成角为 ，
则 。
故答案为 。
【分析】因为 ，所以角 为直角，又因为在直棱柱中，侧棱与底面垂直，所以 两两垂直，以 点为坐标原点，以 方向分别为 轴， 轴， 轴，建立空间直角坐标系，从而求出点的坐标，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式，从而求出异面直线 与 所成角的余弦值。
15．【答案】2
【知识点】等比数列的通项公式；数列的求和；数列的递推公式
【解析】【解答】当 时，可得 ， ；
当 时，由 可得 ，
两式作差得 ， ，
所以，数列 为等比数列，且首项为 ，公比为 ，所以， ，
由 ，可得 ，则 ，
当 时， ；当 时， ；当 时， ；当 时， ，
因此，数列 的前 项之和为 。
故答案为：2。
【分析】利用的关系式结合分类讨论的方法，从而得出 ，再利用等比数列的定义， 所以，数列 为等比数列，且首项为 ，公比为 ，从而利用等比数列的通项公式求出数列 的通项公式，由 ，可得 ，当 时， ；当 时， ；当 时， ；当 时， ，从而结合求和的方法求出数列 的前 项之和。
16．【答案】2；1
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】由题意知 ，从而 ，所以抛物线方程为 ．
当直线AB斜率不存在时： 代入，解得 ，从而 ．
当直线AB斜率存在时：设 的方程为 ，联立 ，整理，得
，设 ， ，则
从而 ．
（方法二）利用二级结论： ，即可得结果．
【分析】由题意知 ，从而 ，所以抛物线方程为 ．联立方程，利用韦达定理可得结果.
17．【答案】（1）由题意得 ，
解得 或 ，
又由 为递减数列，于是 ，
∴
（2）
两式相减得：
∴ .
【知识点】数列的函数特性；等比数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】（1）利用首项为 的等比数列 是递减数列，其前 项和为 ，且 成等差数列，再利用等差中项公式结合等比数列的通项公式，从而求出满足要求的等比数列的公比，再利用等比数列的通项公式，从而求出数列 的通项公式。
（2）利用（1）得出的数列 的通项公式结合 ， 从而求出数列 的通项公式，再利用错位相减的方法，从而求出数列 的前 项和。
18．【答案】（1）解：如图建立空间直角坐标系，则 ， ， ，
， ， ， ，则 ， ， ，设面 的法向量为 ，则 ，令 ，则 ， ，所以 ，而平面 的法向量为
设平面BEF与平面CDGF所成二面角为 ，显然二面角为锐角，所以
（2）设 ， ，依题意 ，则
因为 平面 ，所以
所以
又因为函数 ，对称轴为 ，且开口向上，
所以函数 在 上单调递减，所以当 时， ，此时 ，所以线段MN的最小值为
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；直线与平面平行的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）利用已知条件建立空间直角坐标系，从而求出点的坐标，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积求向量的夹角公式，从而求出平面BEF与平面CDGF所成二面角的余弦值。
（2） 设 ， ，依题意得出 ，再利用向量的坐标表示求出向量 ，因为 平面 ，再利用数量积的坐标表示，得出，再利用向量的模的坐标表示得出，又因为函数 ，再利用二次函数求最值的方法得出当 时， ，此时 ，从而求出线段MN的最小值。
19．【答案】（1）因为 ，
所以 ，
所以 ，即 ，
解得 .
（2）设直线 的方程为 ，
点B到直线 的距离为 ，
点 到直线 的距离为 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，
即 ， ，
又 ，
所以 .
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1） 因为 ，再利用三角形的面积公式得出 ，即 ，再利用椭圆的离心率公式变形，从而求出椭圆的离心率。
（2） 设直线 的点斜式方程为 ，再利用点到直线的距离公式得出点B到直线 的距离为 ，点 到直线 的距离为 ，因为 ，再利用三角形的面积公式，得出 ，再利用椭圆中a，b，c三者的关系式，得出 ，从而求出直线 的斜率 的值。
20．【答案】（1）令 ，得 ，所以 ，
， ，
两式相减得 ，
因为 ，所以 ；
（2）由（1）可知，数列 为等差数列，公差为 ，首项为 ，
所以当 为奇数时， ，
数列 为等差数列，公差为 ，首项为 ，
所以当 为偶数时， ，
综上所述 ；
（3）由（2）可知， ，
，
故 .
【知识点】数列的概念及简单表示法；等差数列概念与表示；等差数列的前n项和；数列的求和；数列的递推公式
【解析】【分析】（1）利用数列 的前 项和且 ，且 ，再利用赋值法求出数列第二项的值，再结合 的关系式结合分类讨论的方法，从而证出 。
（2） 由（1）结合等差数列的定义，可知数列 为等差数列，公差为 ，首项为 ，再利用分类讨论的方法结合等差数列的通项公式，从而求出数列 的通项公式。
（3） 由（2）结合等差数列前n项和公式，得出的值和
的值 ，从而求出 的值。
21．【答案】（1）由 可得 ，即 ，
当 时，解不等式可得 ；
当 时，不等式可化为 ，无解；
当 时，解不等式可得 ；
综上，当 时，不等式的解集为 ；当 时，不等式的解集为 ；当 时，不等式的解集为 ；
（2）令 ，则 是开口向上，对称轴为 的二次函数，
因为 ，都有 成立，等价于 ，都有 成立；
则有 或 或 ，
即 或 或 ，
解得 ；
所以a的最大值为 .
【知识点】函数恒成立问题；二次函数的性质；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）利用分类讨论的方法结合一元二次不等式求解集的方法，从而求出关于x的不等式 的解集。
（2） 令 ，再利用二次函数的图象，则函数 是开口向上，对称轴为 的二次函数，因为 ，都有 成立，等价于 ，都有 成立，再利用不等式恒成立问题求解方法结合分类讨论的方法和判别式法，从而求出实数a的取值范围，进而求出实数a的最大值。
22．【答案】（1）由题意可得 ，解得： ，
所以求椭圆C的方程为
（2）①因为 ，OD平行于直线l，
所以设直线l的方程为： ， ，
由 可得 ，
，解得： ，
，
所以
，
因为 ，所以当 时， 最大，此时直线l的方程为 ，
直线 与直线 重合，不满足与 平行，所以不存在；
② ， ，
则直线 的方程为 ，
令 可得： ，
直线 的方程为 ，
令 可得： ，
由①知 ，
所
，
所以 ，
所以 是定值等于
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用椭圆 的离心率为 且过定点 ，从而利用椭圆的离心率公式和代入法，从而结合椭圆中a，b，c三者的关系式，进而解方程组求出a，b，c的值，从而求出椭圆的标准方程。
（2） ①利用两点求斜率公式得出 ，因为OD平行于直线l，所以设直线l的斜截式方程为： ， ， ，再利用直线与椭圆相交，联立二者方程结合判别式法和韦达定理，得出 ， ，再利用弦长公式得出
，因为 ，所以当 时， 最大，此时直线l的方程为 ，
直线 与直线 重合，不满足与 平行，所以不存在；
②利用两点求斜率公式得出 ， ，则直线 的点斜式方程为 ，令 ，可得： ，所以可得直线 的点斜式方程为 ，令 ，可得： ，进而得出
，由①知 ，
所 ，所以 ，从而求出的值，进而求出 ，从而证出 是定值。
1 / 1江苏省南京市2020-2021学年高二下学期数学期初考试试卷
1．（2021高二下·南京开学考）命题“ ”的否定为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解：因为 为全称量词命题，其否定为存在量词命题，所以其否定为 。
故答案为：B
【分析】利用全称命题与特称命题互为否定的关系，从而写出命题“ ”的否定。
2．（2021高二下·南京开学考）如图在平行六面体 中， 为 的中点，设 ， ， ，则 （　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】平面向量的基本定理
【解析】【解答】由题意结合平行六面体的性质可得
。
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合三角形法则和共线定理，再结合平面向量基本定理，从而得出
。
3．（2021高二下·南京开学考）数列 的通项公式 ，若该数列的第k项 满足40< <70，则k的值为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【知识点】数列的概念及简单表示法
【解析】【解答】 时， ，不满足 ，所以A不符合题意；
时， ，不满足 ，所以B不符合题意；
时， ，满足 ，所以C符合题意；
时， ，不满足 ，所以D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合代入法，从而找出满足要求的k的值。
4．（2021高二下·南京开学考）17世纪法国数学家费马在《平面与立体轨迹引论》中证明，方程 (k>0，k≠1，a≠0)表示椭圆，费马所依据的是椭圆的重要性质：若从椭圆上任意一点P向长轴AB(异于A，B两点)引垂线，垂足为Q，则 为常数.据此推断，此常数的值为（　　）
A．椭圆的离心率 B．椭圆离心率的平方
C．短轴长与长轴长的比 D．短轴长与长轴长比的平方
【答案】D
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】设椭圆方程为 ， 为上顶点，则 为原点，
， ，则 。
故答案为：D.
【分析】利用已知条件，设椭圆标准方程为 ， 为上顶点，则 为原点，
， ，从而求出 为短轴长与长轴长比的平方 。
5．（2021高二下·南京开学考）已知函数 ，则不等式 的解集是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】因为 ，所以 等价于 ，
在同一直角坐标系中作出 和 的图象如图：
两函数图象的交点坐标为 ，
不等式 的解为 .
所以不等式 的解集为 .
故答案为：C.
【分析】作出 和 的图象，由不等式 可得，解得即可求出不等式 的解集。
6．（2021高二下·南京开学考）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，BC1与B1C相交于点O，∠A1AB=∠A1AC= ，∠BAC= ，A1A=3，AB=AC=2，则线段AO的长度为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平面向量的基本定理；平面向量数量积定义与物理意义；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】因为四边形 是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
即 。
故答案为：A
【分析】因为四边形 是平行四边形，再利用中点的性质结合平行四边形法则，得出
，再利用三角形法则结合共线定理，从而结合平面向量基本定理，得出
，因为再利用数量积求向量的模的公式结合数量积的定义，得出 ，再利用数量积求向量的模的公式结合数量积的定义和数量积的运算法则，从而求出 ，进而求出线段AO的长度。
7．（2021高二下·南京开学考）设 为数列 的前n项和， ，则 （　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】数列的概念及简单表示法；数列的求和；数列的递推公式
【解析】【解答】由 ，
当 时， ，得 ；
当 时， ，即 ，
当n为偶数时， ，所以 （ 为正奇数），
当n为奇数时， ，所以 （ 为正偶数），
所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
因为 。
故答案为：A
【分析】由 ，再利用的关系式结合分类讨论的方法，得出 （ 为正偶数），所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，再利用分组求和的方法结合等比数列前n项和公式，从而求出的值。
8．（2021高二下·南京开学考）已知 是椭圆和双曲线的公共焦点， 是它们的一个公共点，且 ，记椭圆和双曲线的离心率分别为 ，则 的最大值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】椭圆的定义；双曲线的定义；二维形式的柯西不等式；余弦定理
【解析】【解答】如图所示：
设椭圆的长半轴长为 ，双曲线的半实轴长为 ，不妨设点 在第一象限，则根据椭圆及双曲线的定义得， ， ，
所以， ， ，
设 ， ，
则在△ 中，由余弦定理得 ，
即 ，所以 ，即 ，
由柯西不等式得 ，
即 .当且仅当 ，即 ， 时，等号成立。
故答案为：D
【分析】设椭圆的长半轴长为 ，双曲线的半实轴长为 ，不妨设点 在第一象限，则根据椭圆及双曲线的定义，所以 ， ，设 ， ，在△ 中，由余弦定理得 ，再利用椭圆和双曲线的离心率公式变形，即 ，由柯西不等式得 ，即 ，从而求出 的最大值。
9．（2021高二下·南京开学考）等差数列 是递增数列，满足 ，前 项和为 ，下列选项正确的是（　　）
A． B．
C．当 时 最小 D． 时 的最小值为
【答案】A,B,D
【知识点】二次函数在闭区间上的最值；数列的函数特性；等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：由题意，设等差数列 的公差为 ，
因为 ，可得 ，解得 ，
又由等差数列 是递增数列，可知 ，则 ，A、B符合题意；
因为 ，
由 可知，当 或4时 最小，C不符合题意，
令 ，解得 或 ，即 时 的最小值为8，D符合题意．
故答案为：ABD．
【分析】由题意，设等差数列 的公差为 ，因为 ，再利用等差数列的通项公式得出 ，又由等差数列 是递增数列，可知 ，则 ；再利用等差数列前n项和公式得出 ，再利用二次函数求最值的方法得出当 或n=4时， 最小；令 ，再结合一元二次不等式求解集的方法得出 或 ，即 时 的最小值为8，从而找出选项正确的选项。
10．（2021高二下·南京开学考）已知 是椭圆 的右焦点，椭圆上至少有 个不同的点 ， 、 、 、…组成公差为 的等差数列，则下列结论正确的是（　　）
A．该椭圆的焦距为6 B． 的最小值为2
C． 的值可以为 D． 的值可以为
【答案】A,B,D
【知识点】等差数列概念与表示；椭圆的简单性质
【解析】【解答】对于A选项，在椭圆 中， ， ， ，所以，该椭圆的焦距为 ，A选项正确；
对于B选项，由题意可得 ，B选项正确；
对于C、D选项， ，所以 ，解得 ，C选项错误，D选项正确.
故答案为：ABD.
【分析】利用椭圆的标准方程确定焦点的位置，从而求出a,b的值，再利用椭圆中a,b,c三者的关系式，从而求出c的值，再利用焦距的定义求出椭圆的焦距；再利用已知条件结合椭圆的结构特征求出 的最小值；再结合已知条件和椭圆的几何特征，从而得出，从而求出公差的取值范围，进而选出结论正确的选项。
11．（2021高二下·南京开学考）下列说法正确的是（　　）
A．“ ”是“ ”的必要不充分条件
B．“ ”是“ 的充要条件
C．过点 且与抛物线 有且只有一个交点的直线有3条
D．若平面内一动点到定点的距离等于它到定直线的距离，则该点轨迹是一条抛物线
【答案】A,C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线与圆锥曲线的关系；圆锥曲线的轨迹问题
【解析】【解答】解：对于A： ，解得 ， 解得 ，因为 ，所以“ ”是“ ”的必要不充分条件，A符合题意；
对于B：当 ， 时， 、 均没有意义，B不符合题意；
对于C：解：由题意，过点 的直线存在斜率，设其方程为： ，
与抛物线 ，消 得 ，
①若 ，方程为 ，此时直线与抛物线只有一个交点 ；
②若 ，令 ，解得 ，此时直线与抛物线相切，只有一个交点；故过点 且与抛物线 有且只有一个交点的直线有3条，即C符合题意；
对于D：若定点恰在定直线上是，该点的轨迹为过该点与已知直线垂直的直线，D不符合题意；
故答案为：AC
【分析】利用已知条件结合充分条件、必要条件的判断方法得出“ ”是“ ”的必要不充分条件和当 ， 时， 、 均没有意义，从而推出 “ ”不是“ 的充要条件；由题意，过点 的直线存在斜率，设其点斜式方程为： ，再利用直线与抛物线相交，联立二者方程得出 ，再利用分类讨论的方法结合判别式法，从而求出直线与抛物线的交点，进而找出过点 且与抛物线 有且只有一个交点的直线有3条； 若定点恰在定直线上是，该点的轨迹为过该点与已知直线垂直的直线，从而找出说法正确的选项。
12．（2021高二下·南京开学考）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{an}称为“斐波那契数列”，记Sn为数列{an}的前n项和，则下列结论正确的是（　　）
A．a8＝34 B．S8＝54
C．S2020＝a2022－1 D．a1＋a3＋a5＋…＋a2021＝a2022
【答案】B,C,D
【知识点】数列的求和；数列的递推公式
【解析】【解答】对于A，可知数列的前8项为1，1，2，3，5，8，13，21，A不符合题意；
对于B， ，B符合题意；
对于C，可得 ，
则
即 ， ，C符合题意；
对于D，由 可得，
，D符合题意.
故答案为：BCD.
【分析】利用已知条件结合“斐波那契数列”， 可知数列的前8项为1，1，2，3，5，8，13，21，再利用求和公式的，再利用已知条件结合“斐波那契数列”，再利用并项求和的方法得出 ， 所以 ，再利用已知条件结合“斐波那契数列”，再利用并项求和法得出，从而选出结论正确的选项。
13．（2021高二下·南京开学考）已知命题“ ， ”是假命题，则实数a的取值范围是　 　.
【答案】
【知识点】命题的真假判断与应用；二次函数在闭区间上的最值
【解析】【解答】令 ，故可得 ，
若命题为真，只需 ，整理可得 ，
即可得 ，或 ，
则命题为假时， 。
故答案为： 。
【分析】令 ，再利用二次函数求最值的方法得出函数的最小值，即 ，若命题为真，只需 ，从而求出实数a的取值范围，再利用补集的运算法则得出命题为假时的实数a的取值范围。
14．（2021高二下·南京开学考）在直三棱柱 中， ，则异面直线 与 所成角的余弦值为　 　.
【答案】
【知识点】用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】因为 ，所以角 为直角，又因为在直棱柱中，侧棱与底面垂直，所以 两两垂直，以 点为坐标原点，以 方向分别为 轴， 轴， 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ， ， ， ，
所以 ， ，
设异面直线 与 所成角为 ，
则 。
故答案为 。
【分析】因为 ，所以角 为直角，又因为在直棱柱中，侧棱与底面垂直，所以 两两垂直，以 点为坐标原点，以 方向分别为 轴， 轴， 轴，建立空间直角坐标系，从而求出点的坐标，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式，从而求出异面直线 与 所成角的余弦值。
15．（2021高二下·南京开学考）设数列 的前 项的和为 ，且 ，记 为数列 中能使 成立的最小项，则数列 的前15项之和为　 　.
【答案】2
【知识点】等比数列的通项公式；数列的求和；数列的递推公式
【解析】【解答】当 时，可得 ， ；
当 时，由 可得 ，
两式作差得 ， ，
所以，数列 为等比数列，且首项为 ，公比为 ，所以， ，
由 ，可得 ，则 ，
当 时， ；当 时， ；当 时， ；当 时， ，
因此，数列 的前 项之和为 。
故答案为：2。
【分析】利用的关系式结合分类讨论的方法，从而得出 ，再利用等比数列的定义， 所以，数列 为等比数列，且首项为 ，公比为 ，从而利用等比数列的通项公式求出数列 的通项公式，由 ，可得 ，当 时， ；当 时， ；当 时， ；当 时， ，从而结合求和的方法求出数列 的前 项之和。
16．（2021高二下·南京开学考）直线 过抛物线 的焦点 ，且与 交于 两点，则 　 　， 　 　．
【答案】2；1
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】由题意知 ，从而 ，所以抛物线方程为 ．
当直线AB斜率不存在时： 代入，解得 ，从而 ．
当直线AB斜率存在时：设 的方程为 ，联立 ，整理，得
，设 ， ，则
从而 ．
（方法二）利用二级结论： ，即可得结果．
【分析】由题意知 ，从而 ，所以抛物线方程为 ．联立方程，利用韦达定理可得结果.
17．（2021高二下·南京开学考）已知首项为 的等比数列 是递减数列，其前 项和为 ，且 成等差数列.
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和为 .
【答案】（1）由题意得 ，
解得 或 ，
又由 为递减数列，于是 ，
∴
（2）
两式相减得：
∴ .
【知识点】数列的函数特性；等比数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】（1）利用首项为 的等比数列 是递减数列，其前 项和为 ，且 成等差数列，再利用等差中项公式结合等比数列的通项公式，从而求出满足要求的等比数列的公比，再利用等比数列的通项公式，从而求出数列 的通项公式。
（2）利用（1）得出的数列 的通项公式结合 ， 从而求出数列 的通项公式，再利用错位相减的方法，从而求出数列 的前 项和。
18．（2021高二下·南京开学考）如图，已知ABCD为正方形， 平面ABCD， 且 ， 且 ， .
（1）求平面BEF与平面CDGF所成二面角的余弦值；
（2）设M为FG的中点，N为正方形ABCD内一点（包含边界），当 平面BEF时，求线段MN的最小值.
【答案】（1）解：如图建立空间直角坐标系，则 ， ， ，
， ， ， ，则 ， ， ，设面 的法向量为 ，则 ，令 ，则 ， ，所以 ，而平面 的法向量为
设平面BEF与平面CDGF所成二面角为 ，显然二面角为锐角，所以
（2）设 ， ，依题意 ，则
因为 平面 ，所以
所以
又因为函数 ，对称轴为 ，且开口向上，
所以函数 在 上单调递减，所以当 时， ，此时 ，所以线段MN的最小值为
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；直线与平面平行的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）利用已知条件建立空间直角坐标系，从而求出点的坐标，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积求向量的夹角公式，从而求出平面BEF与平面CDGF所成二面角的余弦值。
（2） 设 ， ，依题意得出 ，再利用向量的坐标表示求出向量 ，因为 平面 ，再利用数量积的坐标表示，得出，再利用向量的模的坐标表示得出，又因为函数 ，再利用二次函数求最值的方法得出当 时， ，此时 ，从而求出线段MN的最小值。
19．（2021高二下·南京开学考）如图，已知椭圆 左 右焦点分别为 ， ，右顶点为 ，上顶点为 ， 为椭圆上在第一象限内一点.
（1）若 ，求椭圆的离心率；
（2）若 ，求直线 的斜率 .
【答案】（1）因为 ，
所以 ，
所以 ，即 ，
解得 .
（2）设直线 的方程为 ，
点B到直线 的距离为 ，
点 到直线 的距离为 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，
即 ， ，
又 ，
所以 .
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1） 因为 ，再利用三角形的面积公式得出 ，即 ，再利用椭圆的离心率公式变形，从而求出椭圆的离心率。
（2） 设直线 的点斜式方程为 ，再利用点到直线的距离公式得出点B到直线 的距离为 ，点 到直线 的距离为 ，因为 ，再利用三角形的面积公式，得出 ，再利用椭圆中a，b，c三者的关系式，得出 ，从而求出直线 的斜率 的值。
20．（2021高二下·南京开学考）已知数列数列 的前 项和且 ，且 .
（1）求 的值，并证明： ；
（2）求数列 的通项公式；
（3）求 的值.
【答案】（1）令 ，得 ，所以 ，
， ，
两式相减得 ，
因为 ，所以 ；
（2）由（1）可知，数列 为等差数列，公差为 ，首项为 ，
所以当 为奇数时， ，
数列 为等差数列，公差为 ，首项为 ，
所以当 为偶数时， ，
综上所述 ；
（3）由（2）可知， ，
，
故 .
【知识点】数列的概念及简单表示法；等差数列概念与表示；等差数列的前n项和；数列的求和；数列的递推公式
【解析】【分析】（1）利用数列 的前 项和且 ，且 ，再利用赋值法求出数列第二项的值，再结合 的关系式结合分类讨论的方法，从而证出 。
（2） 由（1）结合等差数列的定义，可知数列 为等差数列，公差为 ，首项为 ，再利用分类讨论的方法结合等差数列的通项公式，从而求出数列 的通项公式。
（3） 由（2）结合等差数列前n项和公式，得出的值和
的值 ，从而求出 的值。
21．（2021高二下·南京开学考）已知函数 .
（1）解关于x的不等式 ；
（2）若对 ，都有 成立，求a的最大值.
【答案】（1）由 可得 ，即 ，
当 时，解不等式可得 ；
当 时，不等式可化为 ，无解；
当 时，解不等式可得 ；
综上，当 时，不等式的解集为 ；当 时，不等式的解集为 ；当 时，不等式的解集为 ；
（2）令 ，则 是开口向上，对称轴为 的二次函数，
因为 ，都有 成立，等价于 ，都有 成立；
则有 或 或 ，
即 或 或 ，
解得 ；
所以a的最大值为 .
【知识点】函数恒成立问题；二次函数的性质；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）利用分类讨论的方法结合一元二次不等式求解集的方法，从而求出关于x的不等式 的解集。
（2） 令 ，再利用二次函数的图象，则函数 是开口向上，对称轴为 的二次函数，因为 ，都有 成立，等价于 ，都有 成立，再利用不等式恒成立问题求解方法结合分类讨论的方法和判别式法，从而求出实数a的取值范围，进而求出实数a的最大值。
22．（2021高二下·南京开学考）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 的离心率为 且过定点 .
（1）求椭圆C的方程；
（2）设平行于OD的直线l与椭圆C交于A，B两点（如图所示）.
①线段AB的长度是否有最大值？并说明理由；
②若直线DA，DB与x轴分别交于M，N两点，记M，N的横坐标为m，n，求证： 为定值.
【答案】（1）由题意可得 ，解得： ，
所以求椭圆C的方程为
（2）①因为 ，OD平行于直线l，
所以设直线l的方程为： ， ，
由 可得 ，
，解得： ，
，
所以
，
因为 ，所以当 时， 最大，此时直线l的方程为 ，
直线 与直线 重合，不满足与 平行，所以不存在；
② ， ，
则直线 的方程为 ，
令 可得： ，
直线 的方程为 ，
令 可得： ，
由①知 ，
所
，
所以 ，
所以 是定值等于
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用椭圆 的离心率为 且过定点 ，从而利用椭圆的离心率公式和代入法，从而结合椭圆中a，b，c三者的关系式，进而解方程组求出a，b，c的值，从而求出椭圆的标准方程。
（2） ①利用两点求斜率公式得出 ，因为OD平行于直线l，所以设直线l的斜截式方程为： ， ， ，再利用直线与椭圆相交，联立二者方程结合判别式法和韦达定理，得出 ， ，再利用弦长公式得出
，因为 ，所以当 时， 最大，此时直线l的方程为 ，
直线 与直线 重合，不满足与 平行，所以不存在；
②利用两点求斜率公式得出 ， ，则直线 的点斜式方程为 ，令 ，可得： ，所以可得直线 的点斜式方程为 ，令 ，可得： ，进而得出
，由①知 ，
所 ，所以 ，从而求出的值，进而求出 ，从而证出 是定值。
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