江苏省南通市如皋市2020-2021学年高二下学期数学期初调研测试试卷
1．（2021高二下·如皋开学考）已知 ， 为非零实数，则“ ”是“ ”的（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】当 时，满足 ，但此时 ，反过来， ，满足 ，但此时 ，所以“ ”是“ ”的既不充分也不必要条件。
故答案为：D
【分析】利用已知条件结合充分条件、必要条件的判断方法，从而推出“ ”是“ ”的既不充分也不必要条件。
2．（2021高二下·如皋开学考）为落实《国家学生体质健康标准》达标测试工作，全面提升学生的体质健康水平，某校高二年级体育组教师在高二年级随机抽取部分男生，测试了立定跳远项目，依据测试数据绘制了如图所示的频率直方图．已知立定跳远195cm以上成绩为合格，255cm以上成绩为优秀，根据图中的数据估计该校高二年级男生立定跳远项目的合格率和图中的a分别是（ ）．
A．94%，0.010 B．97%，0.010 C．94%，0.013 D．97%，0.013
【答案】A
【知识点】频率分布直方图；概率的基本性质；概率的应用
【解析】【解答】由频率分布直方图可知合格率是 ，
，
解得： 。
故答案为：A
【分析】利用已知条件结合频率分布直方图中各小组的矩形的面积等于各小组的频率，再利用对立事件求概率公式，从而估计出该校高二年级男生立定跳远项目的合格率， 再利用频率之和为1，从而求出a的值。
3．（2021高二下·如皋开学考）已知 展开式中，奇数项的二项式系数之和为64，则 展开式中常数项为（ ）．
A．-14 B．-13 C．1 D．2
【答案】B
【知识点】二项式系数的性质；二项式定理的应用
【解析】【解答】由条件可知， ，所以 ，
则 ，其中常数项分为两部分， 的常数项是 ， 的常数项是 中含 项的系数， ，所以常数项是 。
故答案为：B
【分析】利用已知条件 展开式中，奇数项的二项式系数之和为64， 再结合二项式系数的性质，从而求出n的值，再利用二项式定理求出展开式中的通项公式，再利用通项公式求出展开式中的常数项。
4．（2021高二下·如皋开学考）已知椭圆 的右顶点为 ，直线 与椭圆 相交于 ， 两点，当 为钝角时， 的取值范围是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】易知 ，
代入 得 ，∴ ，
由对称性知 是等腰三角形， 是底，设 与 轴交点为 ，如图，
为钝角，则 ，∴ ，
即 ，解得 。
故答案为：B．
【分析】利用已知条件，易知 ，将 代入 得 ，再利用弦长公式得出 ，由对称性知 是等腰三角形， 是底，设 与 轴交点为 ，再利用 为钝角，则 ，所以 ，再利用两点距离公式得出 ，从而求出实数m的取值范围。
5．（2021高二下·如皋开学考）设 、 为两条直线， 、 为两个平面，则下列命题中假命题是（ ）．
A．若 ， ， ，则
B．若 ， ， ，则
C．若 ， ， ，则
D．若 ， ， ，则
【答案】C
【知识点】平面与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定
【解析】【解答】A.若 ， ， ，则 ，成立；
B.因为 ，所以 ，因为 ，所以平面 内存在 使 ，则 ，则 ，所以 成立；
C.不满足面面平行的判断定理，有可能两平面相交，C不成立；
D.因为 ， ，则 ，又因为 ，则 ，D符合题意.
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合面面垂直的判定定理、面面平行的判定定理，从而选出假命题的选项。
6．（2021高二下·如皋开学考）齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马．某天，齐王与田忌赛马，双方约定：比赛三局，每局各出一匹，每匹马赛一次，赢得两局者为胜，则田忌获胜概率为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】设齐王的三匹马分别为 ，田忌的三匹马分别为 ，所有比赛的情况：
、 、 ，齐王获胜三局；
、 、 ，齐王获胜两局；
、 、 ，齐王获胜两局；
、 、 ，齐王获胜两局；
、 、 ，田忌获胜两局；
、 、 ，齐王获胜两局，共6种情况，则田忌胜1种情况，故概率为 。
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合古典概型求概率公式，从而求出田忌获胜概率。
7．（2021高二下·如皋开学考）已知双曲线 左 右焦点分别为 ， ，过 作 轴的垂线 交双曲线 的于 ， 两点，若 的周长为25，则双曲线 的渐近线方程为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】设 ， ，
因为 垂直x轴，所以 ，
又因为A、B在双曲线C上，所以 ，
又 ，所以 ，
所以 ，
所以 的周长为
= ，
所以 或 （舍）
所以双曲线 的渐近线方程为 ，即 。
故答案为：A
【分析】设 ， ，因为 垂直x轴，所以 ，又因为A、B在双曲线C上，再利用代入法，所以 ，再利用双曲线中a，b，c三者的关系式，得出 ，所以 ，所以 ，再利用三角形的周长公式结合双曲线的定义，得出三角形 的周长，再利用三角形 的周长为25， 从而求出a的值，再利用双曲线的渐近线方程求解方法，从而求出双曲线 的渐近线方程。
8．（2021高二下·如皋开学考）如图，正方体 的棱长为2，线段 上有两个动点 、 ，且 ，则下列结论中错误的是（ ）．
A．
B． 平面
C．三棱锥 的体积为定值
D． 的面积和 的面积相等
【答案】D
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定；三角形中的几何计算
【解析】【解答】如图所示，连接 ，
对于A， 平面 ， 平面 ， ，
又∵底面 为正方形， ，
由 ， 平面 ，
平面 ，
又 平面 ，
，A符合题意；
对于B， 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ，
又 、 在直线 上运动，
平面 与平面 重合，
平面 ，B符合题意；
对于C，由于点 到直线 的距离不变，故 的面积为定值；
又点 到平面 的距离为 ，故 为定值，C符合题意；
对于D， 点 、 到直线 的距离不相等，
的面积与 的面积不相等，D不符合题意．
故答案为：D．
【分析】连接 ，因为 平面 ，再利用线面垂直的定义推出线线垂直，所以 ，又因为底面 为正方形， 所以 ，再利用线线垂直推出线面垂直，所以 平面 ，再利用线面垂直的定义推出线线垂直，所以 ；因为 再利用线线平行推出线面平行，所以 平面 ，又因为 、 在直线 上运动，所以平面 与平面 重合，所以 平面 ；由于点 到直线 的距离不变，再利用三角形的面积公式得出三角形 的面积为定值；又因为点 到平面 的距离为 ，再结合三棱锥的体积公式得出 为定值；因为点 、 到直线 的距离不相等，再利用三角形面积公式得出三角形 的面积与三角形 的面积不相等，从而选出错误的结论的选项。
9．（2021高二下·如皋开学考）已知曲线 的方程为 ，则下列结论正确的是（ ）．
A．若曲线 为圆，则 的值为2
B．当 时，曲线 为双曲线，其准线方程为
C．“ ”是“曲线 表示椭圆”的充分不必要条件
D．存在实数 使得曲线 为双曲线，其离心率为
【答案】A,C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；二元二次方程表示圆的条件；双曲线的简单性质
【解析】【解答】A．曲线 为圆，则 ， ，A符合题意；
B． 时，方程为 ，表示双曲线，其中 ， ，
准线方程为 ，B不符合题意；
C. 时，方程表示椭圆， 时，方程也表示椭圆，C符合题意；
D．双曲线离心率为 ，即 ， ， ，
因此 ，为显然不可能，D不符合题意．
故答案为：AC．
【分析】利用圆的判断方法得出曲线 为圆时的k的值；利用已知条件k=-2，从而求出曲线C的方程，再结合双曲线的定义判断出曲线为双曲线，再利用双曲线的准线方程，从而求出双曲线的准线方程；利用已知条件结合充分条件、必要条件的判断方法推出 “ ”是“曲线 表示椭圆”的充分不必要条件；利用已知条件结合双曲线的离心率公式，得出a，c的关系式，再利用双曲线中的a，b，c三者的关系式，从而求出a，b的关系式，因此 ，而4=0显然不可能，从而得出不 存在实数 使得曲线 为双曲线，其离心率为 ，从而选出结论正确的选项。
10．（2021高二下·如皋开学考）2020年3月15日，某市物价部门对5家商场的某商品一天的销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x(元)和销售量y(件)之间的一组数据如表所示：
价格x 9 9.5 10 10.5 11
销售量y 11 10 8 6 5
按公式计算，y与x的回归直线方程是： ，相关系数 ，则下列说法正确的有（ ）
A．变量x，y线性负相关且相关性较强；
B． ；
C．当 时，y的估计值为12.8；
D．相应于点 的残差约为0.4.
【答案】A,B,C
【知识点】线性相关；线性回归方程；回归分析的初步应用
【解析】【解答】对A，由表可知 随 增大而减少，可认为变量 ， 线性负相关，且由相关系数 可知相关性强，A符合题意.
对B，价格平均 ，销售量 .
故回归直线恒过定点 ，故 ，B符合题意.
对C，当 时， ，C符合题意.
对D，相应于点 的残差 ，D不正确.
故答案为：ABC
【分析】利用5家商场的售价x(元)和销售量y(件)之间的一组数据表结合 y与x的回归直线方程是： ，相关系数 ， 从而由相关系数判断出变量x，y线性负相关且相关性较强； 再利用平均数公式结合代入法和线性回归直线方程，从而求出；再利用代入法结合已知条件和线性回归直线方程，从而得出当 时，y的估计值为12.8 ；再利用求残差的方法求出相应于点 的残差 ，从而求出说法正确的选项。
11．（2021高二下·如皋开学考）在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，则下列各组条件中使得 有唯一解的是（ ）．
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ， ，
【答案】B,D
【知识点】正弦定理
【解析】【解答】对于A中，在 中， ，可得 ，
由正弦定理可得 ，可得 ，
又由 ，所以在区间 内 有两解，所以 有两解；
对于B中，在 中， ，可得 ，
由正弦定理可得 ，可得 ，
又由 ，所以 ，所以 只有一解；
对于C中，由 ，当 时，可得角 在区间 内有两解，
此时 有两解；
对于D中，可得 ，又由 ，所以 ，
所以 ，所以 有唯一解，又由 ，所以 只有一解.
故答案为：BD.
【分析】利用已知条件结合同角三角函数基本关系式得出角的正弦值，再利用正弦定理结合大边对应大角，从而选出使得三角形 有唯一解的条件选项。
12．（2021高二下·如皋开学考）在菱形 中， ， ，将菱形 沿对角线 折成大小为 的二面角 ，若折成的四面体 内接于球 ，则下列说法正确的是（ ）．
A．四面体 的体积的最大值是
B． 的取值范围是
C．四面体 的表面积的最大值是
D．当 时，球 的体积为
【答案】A,C,D
【知识点】棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用；棱柱、棱锥、棱台的体积；球的表面积与体积公式及应用；二面角及二面角的平面角
【解析】【解答】对于A选项， ， ，则 为等边三角形，
取 的中点 ，则 ，同理可知， 为等边三角形，所以， ，
且 ， ，
所以，二面角 的平面角为 ，
设点 到平面 的距离为 ，则 ，
，当且仅当 时，等号成立，
即四面体 的体积的最大值是 ，A选项正确；
对于B选项，由余弦定理可得 ，
所以， ，B选项错误；
对于C选项， ，
， ， ，
所以， ，
因此，四面体 的表面积的最大值是 ，C选项正确；
对于D选项，设 、 分别为 、 的外心，则 ，
在平面 内过点 作 的垂线与过点 作 的垂线交于点 ，
， ， ， 平面 ，
平面 ， ，
， ， 平面 ，同理可得 平面 ，
则 为四面体 的外接球球心，
连接 ， ， ， ， ，
所以， ， ，
平面 ， 平面 ， ，
，即球 的半径为 ，
因此，球 的体积为 ，D选项正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据已知条件判断 为等边三角形，取 的中点 ，再利用等边三角形三线合一，则 ，同理可知，三角形 为等边三角形，再利用等边三角形三线合一，所以， ，且 ， 再利用三角形面积公式得出的值 ，所以，二面角 的平面角为 ，设点 到平面 的距离为 ，再利用正弦函数的定义得出 ，再利用三棱锥的体积公式得出 ，从而求出四面体 的体积的最大值；由余弦定理可得 ，再利用余弦型函数的图象求出余弦型函数的值域，进而求出BD的长的取值范围；利用三角形面积相等得出 ，因为
， ，再利用两三角形全等的判断方法，得出 ，再利用三角形面积公式结合正弦型函数的图象求值域的方法，得出 ，再利用三棱锥的表面积公式得出四面体 的表面积的最大值；设 、 分别为两三角形 、 的外心，则 ，在平面 内过点 作 的垂线与过点 作 的垂线交于点 ，因为
， ， 再利用线线垂直推出线面垂直，所以 平面 ，再利用线面垂直的定义推出线线垂直，所以 ，因为 ， 再利用线线垂直推出线面垂直，所以 平面 ，同理可得 平面 ，则 为四面体 的外接球球心，
连接 ， 因为 ， ， ， 再利用两三角形全等的判断方法得出 ，所以 ，再利用余弦函数的定义得出OE的长， 因为 平面 ，再利用线面垂直的定义推出线线垂直，所以 ，再利用勾股定理求出OA的长，从而求出球O的半径，再利用球的体积公式求出球 的体积，从而找出说法正确的选项。
13．（2021高二下·如皋开学考）新冠病毒爆发初期，全国支援武汉的活动中，需要从A医院某科室的5名男医生（含一名主任医师）、3名女医生（含一名主任医师）中分别选派3名男医生和2名女医生，要求至少有一名主任医师参加，则不同的选派方案共有 种．（用数字作答）
【答案】26
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】根据题意，从5名男医生(含一名主任医师) 3名女医生(含一名主任医师)中分别选派3名男医生和2名女医生，
共有 种选派方案，
如果所选的男女主任都没有参加，共有 种选派方案，
所以至少有一名主任医师参加有 种。
故答案为：26。
【分析】利用已知条件结合组合数公式，再结合作差法求出不同的选派方案种数。
14．（2021高二下·如皋开学考）已知抛物线 ，过焦点 且斜率为1的直线与 相交于 、 两点，且 、 两点在准线上的投影分别为 ， 两点，则 的面积为 ．
【答案】
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】抛物线 ，
则焦点坐标为 ，准线方程为 ，
过焦点 且斜率为 的直线方程为 ，化简可得 ，
抛物线 与直线相交于 ， 两点，设 且 ， 两点在准线上的投影分别为 ， ，
则 ，化简可得 ，
所以 ，
则
，
所以 。
故答案为： 。
【分析】利用抛物线 ，从而确定焦点的位置，进而求出焦点坐标为 ，准线方程为 ，再利用点斜式求出过焦点 且斜率为 的直线方程为 ，化简可得 ，再利用抛物线 与直线相交于 ， 两点，设 且 ， 两点在准线上的投影分别为 ， ，联立二者方程结合韦达定理得出 ，再利用弦长公式得出MN的长，再利用三角形面积公式得出三角形 的面积。
15．（2021高二下·如皋开学考）在正方体ABCD—A1B1C1D1中，直线BD1与平面A1B1CD所成角的正切值是 .
【答案】
【知识点】直线与平面所成的角
【解析】【解答】解：连接 交 于 ， 交平面 于 ，则 垂直平面 ，
即 为所求角， 。
【分析】连接 交 于 ， 交平面 于 ，则 垂直于平面 ，即 为所求角，再利用正切函数的定义得出直线BD1与平面A1B1CD所成角的正切值。
16．（2021高二下·如皋开学考）我国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上：以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实：一为从隅，开平方得积．把以上文字写成公式，即 （其中 为三角形的面积， ， ， 为三角形的三边）．在非直角 中， ， ， 为内角 ， ， 所对应的三边，若 ，且 ，则 的面积最大时， ．
【答案】
【知识点】二次函数在闭区间上的最值；正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】∵ ，∴ ，
即 ，
， 且 ，则 ，
∴ ，∴ ，又 ，
∴ ，
∴ 时， ．此时 ，
，而 ，
∴ 。
故答案为： 。
【分析】因为 ，再利用正弦定理结合两角和的正弦公式，得出
，再利用三角形中角 且 ，则 ，所以 ，再利用正弦定理得出 ，又因为 ，再利用三角形面积求解公式
，再利用二次函数求最值的方法得出当 时， ，此时 ，再利用余弦定理得出角B的余弦值，再利用三角形中角B的取值范围，从而求出角B的值。
17．（2021高二下·如皋开学考）如图，在三棱柱 中，平面 平面 ， ， ， ， 为 的中点．
（1）求证： 平面 ；
（2）求三棱锥 体积．
【答案】（1）证明：设 与 交于点 ，连接 ，
在三棱柱 中，侧面 是平行四边形，
因为对角线 与 交于点 ，所以 为 的中点，
因为 为 的中点，所以
因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ；
（2）设 与 交于点 ，
在三棱柱 中，侧面 是平行四边形，
因为 ，所以侧面 是菱形，
，
因为 ， 为菱形 的对角线，所以
因为平面 平面 ，平面 平面 ， ，
平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
因为 ， 平面 ， 平面
所以三棱锥 的高为 ，
所以三棱锥 的体积 ．
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定
【解析】【分析】（1） 设 与 交于点 ，连接 ，在三棱柱 中，侧面 是平行四边形，因为对角线 与 交于点 ，所以 为 的中点，因为 为 的中点，再利用中点作中位线的方法结合中位线的性质，所以 ，再利用线线平行证出线面平行，从而证出 平面 。
（2） 设 与 交于点 ，在三棱柱 中，侧面 是平行四边形，因为 ，所以侧面 是菱形，所以 ，因为 ， 为菱形 的对角线，所以 ，因为平面 平面 ，再利用面面垂直的性质定理得出 ，再利用线线垂直证出线面垂直，所以 平面 ，再利用线面垂直的定义推出线线垂直，所以 ， ，再利用线线垂直推出线面垂直，所以 平面 ，所以三棱锥 的高为 ，再利用三棱锥的体积公式得出三棱锥 的体积。
18．（2021高二下·如皋开学考）某市规划一个平面示意图为如图的五边形 的一条自行车赛道， ， ， ， ， 为赛道（不考虑宽度）， ， 为赛道内的两条服务通道， ， ， ， ．
（1）从以下两个条件中任选一个条件，求服务通道 的长度；
① ；② ．
（2）在（1）条件下，应该如何设计，才能使折线段赛道 最长（即 最大）．
【答案】（1）选①时，在 中，由正弦定理得：
所以
因为 ，所以 ，
所以
选②时，在 中，由正弦定理得：
所以
在 中，由余弦定理得：
所以 ，所以 .
（2）在 中， ， ．
由余弦定理得： ，
即
故 ，
从而
即 ，当且仅当 时，等号成立，
即设计为 时，折线段赛道 最长.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1） 选①时，在 中，由正弦定理，得，因为 ，所以 ，再利用勾股定理求出BE的长；选②时，在 中，由正弦定理得出，在 中，由余弦定理，得出 ，再利用一元二次方程求解集的方法得出BE的长。
（2） 在（1）条件下， 在 中， ， ，由余弦定理得： ，再利用均值不等式求最值的方法得出 ，即 ，当且仅当 时，等号成立，即设计为 时，折线段赛道 最长。
19．（2021高二下·如皋开学考）在平面直角坐标系 中，已知椭圆 的右焦点为 ，点 也为抛物线 的焦点．
（1）求椭圆的方程；
（2）若与圆 相切的直线l与椭圆 相交于 ， 两点，且 的面积为 ，求直线 的方程．
【答案】（1）解：因为抛物线 的焦点为 ，即 ，
所以在椭圆中 ，故 ，
所以椭圆 .
（2）①当直线 的斜率不存在时， ，联立 ，可得
所以 ，不满足条件，
②当直线 的斜率存在时，设直线 ，
因为直线 与圆 相切，所以 ，所以
联立 ，得： ，
由 得 ，设 ， ，
所以 ，
所以
，
的面积为
化简得： ，
所以 ，
所以直线 的方程为 或
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】 （1）因为抛物线 确定焦点的位置，从而求出焦点 ，再利用椭圆 的右焦点为 结合椭圆中a,b,c三者的关系式得出在椭圆中， ，从而求出b的值，进而求出椭圆的标准方程。
（2） ①当直线 的斜率不存在时，设直线 ，再利用直线与椭圆相交，联立二者方程求出交点的坐标，再利用两点距离公式得出 ，不满足条件；②当直线 的斜率存在时，设直线 ，因为直线 与圆 相切，再利用直线与圆相切的位置关系判断方法，再利用点到直线的距离公式得出 ，再利用直线与椭圆相交，联立二者方程结合判别式法和韦达定理，得出 ，设 ， ，所以 ， ，再利用弦长公式得出MN的长为 ，再利用三角形的面积公式得出三角形 的面积为 ，化简得 ，所以 ，
，从而求出直线 的方程。
20．（2021高二下·如皋开学考）2020年是脱贫攻坚的收官之年，国务院扶贫办确定的贫困县全部脱贫摘帽，脱贫攻坚取得重大胜利，为确保我国如期全面建成小康社会，实现第一个百年奋斗目标打下了坚实的基础在产业扶贫政策的大力支持下，西部某县新建了甲 乙两家玩具加工厂，加工同一型号的玩具质监部门随机抽检了两个厂的各100件玩具，在抽取中的200件玩具中，根据检测结果将它们分成“A” “B” “C”三个等级，A B等级都是合格品，C等级是次品，统计结果如下表所示：
等级 A B C
频数 20 120 60
(表一)
厂家 合格品 次品 合计
甲 75
乙
35
合计
(表二)
在相关政策扶持下，确保每件合格品都有对口销售渠道，但从安全起见，所有的次品必须由原厂家自行销.
（1）请根据所提供的数据，完成上面的2×2列联表(表二)，并判断是否有95%的把握认为产品的合格率与厂家有关？
（2）每件玩具的生产成本为30元，A B等级产品的出厂单价分别为60元 40元.另外已知每件次品的销毁费用为4元.若甲厂抽检的玩具中有10件为A等级，用样本的频率估计概率，试判断甲 乙两厂能否都能盈利，并说明理由.
附： ，其中 .
0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
【答案】（1）2×2列联表如下
厂家 合格品 次品 合计
甲 75 25 100
乙 65 35 100
合计 140 60 200
，
∴没有95%的把握认为产品的合格率与厂家有关.
（2）甲厂10件A等级，65件B等级，25件次品，
对于甲厂，单件产品利润X的可能取值为30，10，-34.
X的分布列如下：
X 30 10 -34
P
，
甲厂能盈利，
对于乙厂有10件A等级，55件B等级，35件次品，
对于乙厂，单位产品利润Y的可能取值为30，10，-34，
Y分布列如下：
Y 30 10
P
，乙不能盈利.
【知识点】独立性检验的应用；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）利用已知条件完成2×2列联表，再利用独立性检验的方法判断出没有95%的把握认为产品的合格率与厂家有关。
（2）利用已知条件求出单件产品利润X的可能取值，再利用古典概型求概率公式得出随机变量X的分布列，再利用随机变量X的分布列结合数学期望公式，从而求出随机变量X的数学期望，再利用
，所以甲厂能盈利，再利用已知条件求出单位产品利润Y的可能取值，再利用古典概型求概率公式得出随机变量Y的分布列，再利用随机变量Y的分布列结合数学期望公式，从而求出随机变量Y的数学期望，再利用 ，所以乙厂不能盈利。
21．（2021高二下·如皋开学考）如图，已知 是圆柱 的轴截面， 、 分别是两底面的圆心， 是底面圆 上异于 、 的一点，圆柱的体积和侧面积均为 ．
（1）求证：平面 平面 ；
（2）若二面角 的大小为 ，求 ．
【答案】（1）因为 是圆柱 的母线，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
因为 底面圆 上异于 、 的一点，且 是圆 的直径，所以 ，
因为 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以平面 平面 ；
（2）设圆柱的底面半径为 ，母线长为 ，
因为圆柱 的体积和侧面积均为 ，所以 ，解得： ， ，
即 ， ，
以 为原点， 、 所在直线分别为 轴、 轴建立如图所示空间直角坐标系 ，
则 、 、 ，
设点 ，所以 ， ，
设平面 的一个法向量为 ，
由 ，可得 ，变形可得 ，
取 ，可得 ， ，则 ，平面 的一个法向量为 ，
因为二面角 的值为 ，
所以 ，解得 ，则 .
若点 的坐标为 时，则 ，
，
因为 为锐角，此时 ；
若点 的坐标为 时，则 ，
，
因为 为锐角，此时 .
综上所述， 或 .
【知识点】平面与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】 （1）因为 是圆柱 的母线，所以 平面 ，再利用线面垂直的定义推出线线垂直，所以 ，因为 底面圆 上异于 、 的一点，且 是圆 的直径，再利用圆的直径所对的圆周角为直角，所以 ，再利用线线垂直推出线面垂直，所以 平面 ，再利用线面垂直证出面面垂直，从而证出平面 平面 。
（2） 设圆柱的底面半径为 ，母线长为 ，因为圆柱 的体积和侧面积均为 ，再利用圆柱的体积公式和侧面积公式，再解方程组求出 ， ，即 ， ，以 为原点， 、 所在直线分别为 轴、 轴建立空间直角坐标系 ，
设点 ，从而求出点的坐标，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再结合数量积求向量夹角公式求出二面角 的值，再利用二面角 的值为 ，从而求出x的值，进而求出y的值，若点 的坐标为 时，再利用两点求距离公式得出AC的长，再利用正弦函数的定义得出 的值，因为 为锐角，从而求出此时 的值 ；若点 的坐标为 时，再利用两点求距离公式得出AC的长，再利用正弦函数的定义得出 的值，因为 为锐角，从而求出此时 的值，综上所述， 得出 的值。
22．（2021高二下·如皋开学考）已知双曲线 实轴端点分别为 ， ，右焦点为 ，离心率为2，过 点且斜率1的直线 与双曲线 交于另一点 ，已知 的面积为 ．
（1）求双曲线的方程；
（2）若过 的直线与双曲线 交于 ， 两点，试探究直线 与直线 的交点 是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；若不在，请说明理由．
【答案】（1）解：设双曲线 的焦距为 ，
因为离心率为2，所以 ， ，
联立 ，得： ，
所以点 的坐标为 ，
因为 ，所以 的面积为 ，所以 ，
双曲线的方程为 .
（2）设 ， ，直线 的方程为 ，
直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，
联立 ， 所以点 的横坐标为 ，
联立 ，得： ，
， ，
所以
，
直线 与直线 的交点 在直线 上.
【知识点】双曲线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1） 设双曲线 的焦距为 ，因为双曲线的离心率为2，利用离心率公式得出 ，再利用双曲线中a，b，c三者的关系式得出 ，再利用直线与双曲线相交，联立二者方程求出交点B的坐标，即点 的坐标为 ，因为 ，再利用三角形面积公式得出三角形 的面积结合已知条件得出a的值，从而求出双曲线的标准方程。
（2） 设 ， ，设出直线 的斜截式方程为 ，再利用点斜式方程设出直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，再利用两直线相交联立二者方程求出交点Q的横坐标， 即点 的横坐标为 ，再利用直线与双曲线相交，联立二者方程结合韦达定理得出 ， ，从而得出
，从而判断出直线 与直线 的交点 在直线 上。
1 / 1江苏省南通市如皋市2020-2021学年高二下学期数学期初调研测试试卷
1．（2021高二下·如皋开学考）已知 ， 为非零实数，则“ ”是“ ”的（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2021高二下·如皋开学考）为落实《国家学生体质健康标准》达标测试工作，全面提升学生的体质健康水平，某校高二年级体育组教师在高二年级随机抽取部分男生，测试了立定跳远项目，依据测试数据绘制了如图所示的频率直方图．已知立定跳远195cm以上成绩为合格，255cm以上成绩为优秀，根据图中的数据估计该校高二年级男生立定跳远项目的合格率和图中的a分别是（ ）．
A．94%，0.010 B．97%，0.010 C．94%，0.013 D．97%，0.013
3．（2021高二下·如皋开学考）已知 展开式中，奇数项的二项式系数之和为64，则 展开式中常数项为（ ）．
A．-14 B．-13 C．1 D．2
4．（2021高二下·如皋开学考）已知椭圆 的右顶点为 ，直线 与椭圆 相交于 ， 两点，当 为钝角时， 的取值范围是（ ）．
A． B．
C． D．
5．（2021高二下·如皋开学考）设 、 为两条直线， 、 为两个平面，则下列命题中假命题是（ ）．
A．若 ， ， ，则
B．若 ， ， ，则
C．若 ， ， ，则
D．若 ， ， ，则
6．（2021高二下·如皋开学考）齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马．某天，齐王与田忌赛马，双方约定：比赛三局，每局各出一匹，每匹马赛一次，赢得两局者为胜，则田忌获胜概率为（ ）．
A． B． C． D．
7．（2021高二下·如皋开学考）已知双曲线 左 右焦点分别为 ， ，过 作 轴的垂线 交双曲线 的于 ， 两点，若 的周长为25，则双曲线 的渐近线方程为（ ）．
A． B． C． D．
8．（2021高二下·如皋开学考）如图，正方体 的棱长为2，线段 上有两个动点 、 ，且 ，则下列结论中错误的是（ ）．
A．
B． 平面
C．三棱锥 的体积为定值
D． 的面积和 的面积相等
9．（2021高二下·如皋开学考）已知曲线 的方程为 ，则下列结论正确的是（ ）．
A．若曲线 为圆，则 的值为2
B．当 时，曲线 为双曲线，其准线方程为
C．“ ”是“曲线 表示椭圆”的充分不必要条件
D．存在实数 使得曲线 为双曲线，其离心率为
10．（2021高二下·如皋开学考）2020年3月15日，某市物价部门对5家商场的某商品一天的销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x(元)和销售量y(件)之间的一组数据如表所示：
价格x 9 9.5 10 10.5 11
销售量y 11 10 8 6 5
按公式计算，y与x的回归直线方程是： ，相关系数 ，则下列说法正确的有（ ）
A．变量x，y线性负相关且相关性较强；
B． ；
C．当 时，y的估计值为12.8；
D．相应于点 的残差约为0.4.
11．（2021高二下·如皋开学考）在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，则下列各组条件中使得 有唯一解的是（ ）．
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ， ，
12．（2021高二下·如皋开学考）在菱形 中， ， ，将菱形 沿对角线 折成大小为 的二面角 ，若折成的四面体 内接于球 ，则下列说法正确的是（ ）．
A．四面体 的体积的最大值是
B． 的取值范围是
C．四面体 的表面积的最大值是
D．当 时，球 的体积为
13．（2021高二下·如皋开学考）新冠病毒爆发初期，全国支援武汉的活动中，需要从A医院某科室的5名男医生（含一名主任医师）、3名女医生（含一名主任医师）中分别选派3名男医生和2名女医生，要求至少有一名主任医师参加，则不同的选派方案共有 种．（用数字作答）
14．（2021高二下·如皋开学考）已知抛物线 ，过焦点 且斜率为1的直线与 相交于 、 两点，且 、 两点在准线上的投影分别为 ， 两点，则 的面积为 ．
15．（2021高二下·如皋开学考）在正方体ABCD—A1B1C1D1中，直线BD1与平面A1B1CD所成角的正切值是 .
16．（2021高二下·如皋开学考）我国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上：以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实：一为从隅，开平方得积．把以上文字写成公式，即 （其中 为三角形的面积， ， ， 为三角形的三边）．在非直角 中， ， ， 为内角 ， ， 所对应的三边，若 ，且 ，则 的面积最大时， ．
17．（2021高二下·如皋开学考）如图，在三棱柱 中，平面 平面 ， ， ， ， 为 的中点．
（1）求证： 平面 ；
（2）求三棱锥 体积．
18．（2021高二下·如皋开学考）某市规划一个平面示意图为如图的五边形 的一条自行车赛道， ， ， ， ， 为赛道（不考虑宽度）， ， 为赛道内的两条服务通道， ， ， ， ．
（1）从以下两个条件中任选一个条件，求服务通道 的长度；
① ；② ．
（2）在（1）条件下，应该如何设计，才能使折线段赛道 最长（即 最大）．
19．（2021高二下·如皋开学考）在平面直角坐标系 中，已知椭圆 的右焦点为 ，点 也为抛物线 的焦点．
（1）求椭圆的方程；
（2）若与圆 相切的直线l与椭圆 相交于 ， 两点，且 的面积为 ，求直线 的方程．
20．（2021高二下·如皋开学考）2020年是脱贫攻坚的收官之年，国务院扶贫办确定的贫困县全部脱贫摘帽，脱贫攻坚取得重大胜利，为确保我国如期全面建成小康社会，实现第一个百年奋斗目标打下了坚实的基础在产业扶贫政策的大力支持下，西部某县新建了甲 乙两家玩具加工厂，加工同一型号的玩具质监部门随机抽检了两个厂的各100件玩具，在抽取中的200件玩具中，根据检测结果将它们分成“A” “B” “C”三个等级，A B等级都是合格品，C等级是次品，统计结果如下表所示：
等级 A B C
频数 20 120 60
(表一)
厂家 合格品 次品 合计
甲 75
乙
35
合计
(表二)
在相关政策扶持下，确保每件合格品都有对口销售渠道，但从安全起见，所有的次品必须由原厂家自行销.
（1）请根据所提供的数据，完成上面的2×2列联表(表二)，并判断是否有95%的把握认为产品的合格率与厂家有关？
（2）每件玩具的生产成本为30元，A B等级产品的出厂单价分别为60元 40元.另外已知每件次品的销毁费用为4元.若甲厂抽检的玩具中有10件为A等级，用样本的频率估计概率，试判断甲 乙两厂能否都能盈利，并说明理由.
附： ，其中 .
0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
21．（2021高二下·如皋开学考）如图，已知 是圆柱 的轴截面， 、 分别是两底面的圆心， 是底面圆 上异于 、 的一点，圆柱的体积和侧面积均为 ．
（1）求证：平面 平面 ；
（2）若二面角 的大小为 ，求 ．
22．（2021高二下·如皋开学考）已知双曲线 实轴端点分别为 ， ，右焦点为 ，离心率为2，过 点且斜率1的直线 与双曲线 交于另一点 ，已知 的面积为 ．
（1）求双曲线的方程；
（2）若过 的直线与双曲线 交于 ， 两点，试探究直线 与直线 的交点 是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；若不在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】当 时，满足 ，但此时 ，反过来， ，满足 ，但此时 ，所以“ ”是“ ”的既不充分也不必要条件。
故答案为：D
【分析】利用已知条件结合充分条件、必要条件的判断方法，从而推出“ ”是“ ”的既不充分也不必要条件。
2．【答案】A
【知识点】频率分布直方图；概率的基本性质；概率的应用
【解析】【解答】由频率分布直方图可知合格率是 ，
，
解得： 。
故答案为：A
【分析】利用已知条件结合频率分布直方图中各小组的矩形的面积等于各小组的频率，再利用对立事件求概率公式，从而估计出该校高二年级男生立定跳远项目的合格率， 再利用频率之和为1，从而求出a的值。
3．【答案】B
【知识点】二项式系数的性质；二项式定理的应用
【解析】【解答】由条件可知， ，所以 ，
则 ，其中常数项分为两部分， 的常数项是 ， 的常数项是 中含 项的系数， ，所以常数项是 。
故答案为：B
【分析】利用已知条件 展开式中，奇数项的二项式系数之和为64， 再结合二项式系数的性质，从而求出n的值，再利用二项式定理求出展开式中的通项公式，再利用通项公式求出展开式中的常数项。
4．【答案】B
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】易知 ，
代入 得 ，∴ ，
由对称性知 是等腰三角形， 是底，设 与 轴交点为 ，如图，
为钝角，则 ，∴ ，
即 ，解得 。
故答案为：B．
【分析】利用已知条件，易知 ，将 代入 得 ，再利用弦长公式得出 ，由对称性知 是等腰三角形， 是底，设 与 轴交点为 ，再利用 为钝角，则 ，所以 ，再利用两点距离公式得出 ，从而求出实数m的取值范围。
5．【答案】C
【知识点】平面与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定
【解析】【解答】A.若 ， ， ，则 ，成立；
B.因为 ，所以 ，因为 ，所以平面 内存在 使 ，则 ，则 ，所以 成立；
C.不满足面面平行的判断定理，有可能两平面相交，C不成立；
D.因为 ， ，则 ，又因为 ，则 ，D符合题意.
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合面面垂直的判定定理、面面平行的判定定理，从而选出假命题的选项。
6．【答案】B
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】设齐王的三匹马分别为 ，田忌的三匹马分别为 ，所有比赛的情况：
、 、 ，齐王获胜三局；
、 、 ，齐王获胜两局；
、 、 ，齐王获胜两局；
、 、 ，齐王获胜两局；
、 、 ，田忌获胜两局；
、 、 ，齐王获胜两局，共6种情况，则田忌胜1种情况，故概率为 。
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合古典概型求概率公式，从而求出田忌获胜概率。
7．【答案】A
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】设 ， ，
因为 垂直x轴，所以 ，
又因为A、B在双曲线C上，所以 ，
又 ，所以 ，
所以 ，
所以 的周长为
= ，
所以 或 （舍）
所以双曲线 的渐近线方程为 ，即 。
故答案为：A
【分析】设 ， ，因为 垂直x轴，所以 ，又因为A、B在双曲线C上，再利用代入法，所以 ，再利用双曲线中a，b，c三者的关系式，得出 ，所以 ，所以 ，再利用三角形的周长公式结合双曲线的定义，得出三角形 的周长，再利用三角形 的周长为25， 从而求出a的值，再利用双曲线的渐近线方程求解方法，从而求出双曲线 的渐近线方程。
8．【答案】D
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定；三角形中的几何计算
【解析】【解答】如图所示，连接 ，
对于A， 平面 ， 平面 ， ，
又∵底面 为正方形， ，
由 ， 平面 ，
平面 ，
又 平面 ，
，A符合题意；
对于B， 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ，
又 、 在直线 上运动，
平面 与平面 重合，
平面 ，B符合题意；
对于C，由于点 到直线 的距离不变，故 的面积为定值；
又点 到平面 的距离为 ，故 为定值，C符合题意；
对于D， 点 、 到直线 的距离不相等，
的面积与 的面积不相等，D不符合题意．
故答案为：D．
【分析】连接 ，因为 平面 ，再利用线面垂直的定义推出线线垂直，所以 ，又因为底面 为正方形， 所以 ，再利用线线垂直推出线面垂直，所以 平面 ，再利用线面垂直的定义推出线线垂直，所以 ；因为 再利用线线平行推出线面平行，所以 平面 ，又因为 、 在直线 上运动，所以平面 与平面 重合，所以 平面 ；由于点 到直线 的距离不变，再利用三角形的面积公式得出三角形 的面积为定值；又因为点 到平面 的距离为 ，再结合三棱锥的体积公式得出 为定值；因为点 、 到直线 的距离不相等，再利用三角形面积公式得出三角形 的面积与三角形 的面积不相等，从而选出错误的结论的选项。
9．【答案】A,C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；二元二次方程表示圆的条件；双曲线的简单性质
【解析】【解答】A．曲线 为圆，则 ， ，A符合题意；
B． 时，方程为 ，表示双曲线，其中 ， ，
准线方程为 ，B不符合题意；
C. 时，方程表示椭圆， 时，方程也表示椭圆，C符合题意；
D．双曲线离心率为 ，即 ， ， ，
因此 ，为显然不可能，D不符合题意．
故答案为：AC．
【分析】利用圆的判断方法得出曲线 为圆时的k的值；利用已知条件k=-2，从而求出曲线C的方程，再结合双曲线的定义判断出曲线为双曲线，再利用双曲线的准线方程，从而求出双曲线的准线方程；利用已知条件结合充分条件、必要条件的判断方法推出 “ ”是“曲线 表示椭圆”的充分不必要条件；利用已知条件结合双曲线的离心率公式，得出a，c的关系式，再利用双曲线中的a，b，c三者的关系式，从而求出a，b的关系式，因此 ，而4=0显然不可能，从而得出不 存在实数 使得曲线 为双曲线，其离心率为 ，从而选出结论正确的选项。
10．【答案】A,B,C
【知识点】线性相关；线性回归方程；回归分析的初步应用
【解析】【解答】对A，由表可知 随 增大而减少，可认为变量 ， 线性负相关，且由相关系数 可知相关性强，A符合题意.
对B，价格平均 ，销售量 .
故回归直线恒过定点 ，故 ，B符合题意.
对C，当 时， ，C符合题意.
对D，相应于点 的残差 ，D不正确.
故答案为：ABC
【分析】利用5家商场的售价x(元)和销售量y(件)之间的一组数据表结合 y与x的回归直线方程是： ，相关系数 ， 从而由相关系数判断出变量x，y线性负相关且相关性较强； 再利用平均数公式结合代入法和线性回归直线方程，从而求出；再利用代入法结合已知条件和线性回归直线方程，从而得出当 时，y的估计值为12.8 ；再利用求残差的方法求出相应于点 的残差 ，从而求出说法正确的选项。
11．【答案】B,D
【知识点】正弦定理
【解析】【解答】对于A中，在 中， ，可得 ，
由正弦定理可得 ，可得 ，
又由 ，所以在区间 内 有两解，所以 有两解；
对于B中，在 中， ，可得 ，
由正弦定理可得 ，可得 ，
又由 ，所以 ，所以 只有一解；
对于C中，由 ，当 时，可得角 在区间 内有两解，
此时 有两解；
对于D中，可得 ，又由 ，所以 ，
所以 ，所以 有唯一解，又由 ，所以 只有一解.
故答案为：BD.
【分析】利用已知条件结合同角三角函数基本关系式得出角的正弦值，再利用正弦定理结合大边对应大角，从而选出使得三角形 有唯一解的条件选项。
12．【答案】A,C,D
【知识点】棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用；棱柱、棱锥、棱台的体积；球的表面积与体积公式及应用；二面角及二面角的平面角
【解析】【解答】对于A选项， ， ，则 为等边三角形，
取 的中点 ，则 ，同理可知， 为等边三角形，所以， ，
且 ， ，
所以，二面角 的平面角为 ，
设点 到平面 的距离为 ，则 ，
，当且仅当 时，等号成立，
即四面体 的体积的最大值是 ，A选项正确；
对于B选项，由余弦定理可得 ，
所以， ，B选项错误；
对于C选项， ，
， ， ，
所以， ，
因此，四面体 的表面积的最大值是 ，C选项正确；
对于D选项，设 、 分别为 、 的外心，则 ，
在平面 内过点 作 的垂线与过点 作 的垂线交于点 ，
， ， ， 平面 ，
平面 ， ，
， ， 平面 ，同理可得 平面 ，
则 为四面体 的外接球球心，
连接 ， ， ， ， ，
所以， ， ，
平面 ， 平面 ， ，
，即球 的半径为 ，
因此，球 的体积为 ，D选项正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据已知条件判断 为等边三角形，取 的中点 ，再利用等边三角形三线合一，则 ，同理可知，三角形 为等边三角形，再利用等边三角形三线合一，所以， ，且 ， 再利用三角形面积公式得出的值 ，所以，二面角 的平面角为 ，设点 到平面 的距离为 ，再利用正弦函数的定义得出 ，再利用三棱锥的体积公式得出 ，从而求出四面体 的体积的最大值；由余弦定理可得 ，再利用余弦型函数的图象求出余弦型函数的值域，进而求出BD的长的取值范围；利用三角形面积相等得出 ，因为
， ，再利用两三角形全等的判断方法，得出 ，再利用三角形面积公式结合正弦型函数的图象求值域的方法，得出 ，再利用三棱锥的表面积公式得出四面体 的表面积的最大值；设 、 分别为两三角形 、 的外心，则 ，在平面 内过点 作 的垂线与过点 作 的垂线交于点 ，因为
， ， 再利用线线垂直推出线面垂直，所以 平面 ，再利用线面垂直的定义推出线线垂直，所以 ，因为 ， 再利用线线垂直推出线面垂直，所以 平面 ，同理可得 平面 ，则 为四面体 的外接球球心，
连接 ， 因为 ， ， ， 再利用两三角形全等的判断方法得出 ，所以 ，再利用余弦函数的定义得出OE的长， 因为 平面 ，再利用线面垂直的定义推出线线垂直，所以 ，再利用勾股定理求出OA的长，从而求出球O的半径，再利用球的体积公式求出球 的体积，从而找出说法正确的选项。
13．【答案】26
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】根据题意，从5名男医生(含一名主任医师) 3名女医生(含一名主任医师)中分别选派3名男医生和2名女医生，
共有 种选派方案，
如果所选的男女主任都没有参加，共有 种选派方案，
所以至少有一名主任医师参加有 种。
故答案为：26。
【分析】利用已知条件结合组合数公式，再结合作差法求出不同的选派方案种数。
14．【答案】
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】抛物线 ，
则焦点坐标为 ，准线方程为 ，
过焦点 且斜率为 的直线方程为 ，化简可得 ，
抛物线 与直线相交于 ， 两点，设 且 ， 两点在准线上的投影分别为 ， ，
则 ，化简可得 ，
所以 ，
则
，
所以 。
故答案为： 。
【分析】利用抛物线 ，从而确定焦点的位置，进而求出焦点坐标为 ，准线方程为 ，再利用点斜式求出过焦点 且斜率为 的直线方程为 ，化简可得 ，再利用抛物线 与直线相交于 ， 两点，设 且 ， 两点在准线上的投影分别为 ， ，联立二者方程结合韦达定理得出 ，再利用弦长公式得出MN的长，再利用三角形面积公式得出三角形 的面积。
15．【答案】
【知识点】直线与平面所成的角
【解析】【解答】解：连接 交 于 ， 交平面 于 ，则 垂直平面 ，
即 为所求角， 。
【分析】连接 交 于 ， 交平面 于 ，则 垂直于平面 ，即 为所求角，再利用正切函数的定义得出直线BD1与平面A1B1CD所成角的正切值。
16．【答案】
【知识点】二次函数在闭区间上的最值；正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】∵ ，∴ ，
即 ，
， 且 ，则 ，
∴ ，∴ ，又 ，
∴ ，
∴ 时， ．此时 ，
，而 ，
∴ 。
故答案为： 。
【分析】因为 ，再利用正弦定理结合两角和的正弦公式，得出
，再利用三角形中角 且 ，则 ，所以 ，再利用正弦定理得出 ，又因为 ，再利用三角形面积求解公式
，再利用二次函数求最值的方法得出当 时， ，此时 ，再利用余弦定理得出角B的余弦值，再利用三角形中角B的取值范围，从而求出角B的值。
17．【答案】（1）证明：设 与 交于点 ，连接 ，
在三棱柱 中，侧面 是平行四边形，
因为对角线 与 交于点 ，所以 为 的中点，
因为 为 的中点，所以
因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ；
（2）设 与 交于点 ，
在三棱柱 中，侧面 是平行四边形，
因为 ，所以侧面 是菱形，
，
因为 ， 为菱形 的对角线，所以
因为平面 平面 ，平面 平面 ， ，
平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
因为 ， 平面 ， 平面
所以三棱锥 的高为 ，
所以三棱锥 的体积 ．
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定
【解析】【分析】（1） 设 与 交于点 ，连接 ，在三棱柱 中，侧面 是平行四边形，因为对角线 与 交于点 ，所以 为 的中点，因为 为 的中点，再利用中点作中位线的方法结合中位线的性质，所以 ，再利用线线平行证出线面平行，从而证出 平面 。
（2） 设 与 交于点 ，在三棱柱 中，侧面 是平行四边形，因为 ，所以侧面 是菱形，所以 ，因为 ， 为菱形 的对角线，所以 ，因为平面 平面 ，再利用面面垂直的性质定理得出 ，再利用线线垂直证出线面垂直，所以 平面 ，再利用线面垂直的定义推出线线垂直，所以 ， ，再利用线线垂直推出线面垂直，所以 平面 ，所以三棱锥 的高为 ，再利用三棱锥的体积公式得出三棱锥 的体积。
18．【答案】（1）选①时，在 中，由正弦定理得：
所以
因为 ，所以 ，
所以
选②时，在 中，由正弦定理得：
所以
在 中，由余弦定理得：
所以 ，所以 .
（2）在 中， ， ．
由余弦定理得： ，
即
故 ，
从而
即 ，当且仅当 时，等号成立，
即设计为 时，折线段赛道 最长.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1） 选①时，在 中，由正弦定理，得，因为 ，所以 ，再利用勾股定理求出BE的长；选②时，在 中，由正弦定理得出，在 中，由余弦定理，得出 ，再利用一元二次方程求解集的方法得出BE的长。
（2） 在（1）条件下， 在 中， ， ，由余弦定理得： ，再利用均值不等式求最值的方法得出 ，即 ，当且仅当 时，等号成立，即设计为 时，折线段赛道 最长。
19．【答案】（1）解：因为抛物线 的焦点为 ，即 ，
所以在椭圆中 ，故 ，
所以椭圆 .
（2）①当直线 的斜率不存在时， ，联立 ，可得
所以 ，不满足条件，
②当直线 的斜率存在时，设直线 ，
因为直线 与圆 相切，所以 ，所以
联立 ，得： ，
由 得 ，设 ， ，
所以 ，
所以
，
的面积为
化简得： ，
所以 ，
所以直线 的方程为 或
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】 （1）因为抛物线 确定焦点的位置，从而求出焦点 ，再利用椭圆 的右焦点为 结合椭圆中a,b,c三者的关系式得出在椭圆中， ，从而求出b的值，进而求出椭圆的标准方程。
（2） ①当直线 的斜率不存在时，设直线 ，再利用直线与椭圆相交，联立二者方程求出交点的坐标，再利用两点距离公式得出 ，不满足条件；②当直线 的斜率存在时，设直线 ，因为直线 与圆 相切，再利用直线与圆相切的位置关系判断方法，再利用点到直线的距离公式得出 ，再利用直线与椭圆相交，联立二者方程结合判别式法和韦达定理，得出 ，设 ， ，所以 ， ，再利用弦长公式得出MN的长为 ，再利用三角形的面积公式得出三角形 的面积为 ，化简得 ，所以 ，
，从而求出直线 的方程。
20．【答案】（1）2×2列联表如下
厂家 合格品 次品 合计
甲 75 25 100
乙 65 35 100
合计 140 60 200
，
∴没有95%的把握认为产品的合格率与厂家有关.
（2）甲厂10件A等级，65件B等级，25件次品，
对于甲厂，单件产品利润X的可能取值为30，10，-34.
X的分布列如下：
X 30 10 -34
P
，
甲厂能盈利，
对于乙厂有10件A等级，55件B等级，35件次品，
对于乙厂，单位产品利润Y的可能取值为30，10，-34，
Y分布列如下：
Y 30 10
P
，乙不能盈利.
【知识点】独立性检验的应用；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）利用已知条件完成2×2列联表，再利用独立性检验的方法判断出没有95%的把握认为产品的合格率与厂家有关。
（2）利用已知条件求出单件产品利润X的可能取值，再利用古典概型求概率公式得出随机变量X的分布列，再利用随机变量X的分布列结合数学期望公式，从而求出随机变量X的数学期望，再利用
，所以甲厂能盈利，再利用已知条件求出单位产品利润Y的可能取值，再利用古典概型求概率公式得出随机变量Y的分布列，再利用随机变量Y的分布列结合数学期望公式，从而求出随机变量Y的数学期望，再利用 ，所以乙厂不能盈利。
21．【答案】（1）因为 是圆柱 的母线，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
因为 底面圆 上异于 、 的一点，且 是圆 的直径，所以 ，
因为 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以平面 平面 ；
（2）设圆柱的底面半径为 ，母线长为 ，
因为圆柱 的体积和侧面积均为 ，所以 ，解得： ， ，
即 ， ，
以 为原点， 、 所在直线分别为 轴、 轴建立如图所示空间直角坐标系 ，
则 、 、 ，
设点 ，所以 ， ，
设平面 的一个法向量为 ，
由 ，可得 ，变形可得 ，
取 ，可得 ， ，则 ，平面 的一个法向量为 ，
因为二面角 的值为 ，
所以 ，解得 ，则 .
若点 的坐标为 时，则 ，
，
因为 为锐角，此时 ；
若点 的坐标为 时，则 ，
，
因为 为锐角，此时 .
综上所述， 或 .
【知识点】平面与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】 （1）因为 是圆柱 的母线，所以 平面 ，再利用线面垂直的定义推出线线垂直，所以 ，因为 底面圆 上异于 、 的一点，且 是圆 的直径，再利用圆的直径所对的圆周角为直角，所以 ，再利用线线垂直推出线面垂直，所以 平面 ，再利用线面垂直证出面面垂直，从而证出平面 平面 。
（2） 设圆柱的底面半径为 ，母线长为 ，因为圆柱 的体积和侧面积均为 ，再利用圆柱的体积公式和侧面积公式，再解方程组求出 ， ，即 ， ，以 为原点， 、 所在直线分别为 轴、 轴建立空间直角坐标系 ，
设点 ，从而求出点的坐标，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再结合数量积求向量夹角公式求出二面角 的值，再利用二面角 的值为 ，从而求出x的值，进而求出y的值，若点 的坐标为 时，再利用两点求距离公式得出AC的长，再利用正弦函数的定义得出 的值，因为 为锐角，从而求出此时 的值 ；若点 的坐标为 时，再利用两点求距离公式得出AC的长，再利用正弦函数的定义得出 的值，因为 为锐角，从而求出此时 的值，综上所述， 得出 的值。
22．【答案】（1）解：设双曲线 的焦距为 ，
因为离心率为2，所以 ， ，
联立 ，得： ，
所以点 的坐标为 ，
因为 ，所以 的面积为 ，所以 ，
双曲线的方程为 .
（2）设 ， ，直线 的方程为 ，
直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，
联立 ， 所以点 的横坐标为 ，
联立 ，得： ，
， ，
所以
，
直线 与直线 的交点 在直线 上.
【知识点】双曲线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1） 设双曲线 的焦距为 ，因为双曲线的离心率为2，利用离心率公式得出 ，再利用双曲线中a，b，c三者的关系式得出 ，再利用直线与双曲线相交，联立二者方程求出交点B的坐标，即点 的坐标为 ，因为 ，再利用三角形面积公式得出三角形 的面积结合已知条件得出a的值，从而求出双曲线的标准方程。
（2） 设 ， ，设出直线 的斜截式方程为 ，再利用点斜式方程设出直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，再利用两直线相交联立二者方程求出交点Q的横坐标， 即点 的横坐标为 ，再利用直线与双曲线相交，联立二者方程结合韦达定理得出 ， ，从而得出
，从而判断出直线 与直线 的交点 在直线 上。
1 / 1
