浙江省名校协作体2020-2021学年高二下学期数学开学考试试卷
一、单选题
1．（2018高一下·三明期末）直线 的倾斜角为（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
【答案】D
【知识点】直线的倾斜角
【解析】【解答】解：直线方程即： ，
直线的斜率 ，则直线的倾斜角为120°.
故答案为：D.
【分析】根据直线方程，得到直线的斜率，利用斜率与倾斜角之间的关系，即可得到答案。
2．（2021高二下·浙江开学考）直线 是双曲线 的一条渐近线，则实数a的值为（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】B
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】双曲线 的渐近线方程为 ，
直线 的斜率为 ， ， ，因此， .
故答案为：B.
【分析】求出双曲线的渐近线方程，结合已知条件可得出实数a的值。
3．（2021高二下·浙江开学考）已知 是两条不同直线， 是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若m ，则
C．若 ，则
D．若 ，则
【答案】C
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质；平面与平面平行的判定
【解析】【解答】A选项当 时，不能得出 ，故该选项不正确；
B选项，若 ，m是平面 外的直线，当 时，满足m ，不满足 ，所以该选项不正确；
C选项根据线面垂直的性质可得该选项正确；
D选项 时， ，不能得出 ，故该选项错误.
故答案为：C
【分析】 由线面平行的判定定理，可判断A;由线面平行的性质和面面平行的判定，可判断B;由线面垂直的性质，可判断C;由面面垂直的性质和面面的位置关系，可判断D.
4．（2021高二下·浙江开学考）“ ”是“直线 和直线 垂直”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】两条直线垂直的判定
【解析】【解答】由直线 和直线 垂直，
可得 或 .
当 时，直线 和直线 垂直；
当直线 和直线 垂直时， 不一定成立.
所以 是直线 和直线 垂直的充分不必要条件，
故答案为：A．
【分析】 利用直线相互垂直与斜率的关系、充要条件的判定方法即可判断出结论.
5．（2021高二下·浙江开学考）在四面体 中，点 为棱 的中点. 设 ， ， ，那么向量 用基底 可表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】平面向量的基本定理
【解析】【解答】 点 为棱 的中点，
，
，
又 ，
，
故答案为：B.
【分析】 先根据点P为棱BC的中点，则，然后利用空间向量的基本定理，用 表示向 即可.
6．（2021高二下·浙江开学考）已知平面 和两条异面直线 满足 ，平面 内的动点 到两条直线 的距离相等，则点 的轨迹是（ ）
A．两条直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
【答案】D
【知识点】抛物线的定义
【解析】【解答】 ，垂足设为 ，
则平面 内的动点 到定直线 与到 的距离相等，
满足抛物线的定义.
故答案为：D
【分析】利用抛物线的定义即可得出选项。
7．（2021高二下·浙江开学考）圆 在 轴上截得的弦长是它在 轴上截得的弦长的2倍，则实数 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】圆方程的综合应用
【解析】【解答】令 ，得 ，则 ，在 轴弦长为 ，
令 ，得 ， ，在 轴上弦长为 ，
由题意 ， ， ，注意到 ，即 ，因此解得 ．
故答案为：A．
【分析】 分别令x= 0与y= 0，可求出与y轴和x轴的两个交点的纵坐标或横坐标，即可分别求出与y轴相交和与x轴相交的弦长，再结合题意列出m的方程即可求出实数 的值 .
8．（2021高二下·浙江开学考）正三棱锥 中，二面角 的大小为 ，二面角 的大小为 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】设该正三棱锥的底面边长为 ，记点 在底面 上的投影为点 ，连接 ，
则点 为 的中心， 平面 ；
因为 为等边三角形，所以 为 的重心，
取 中点为 ，连接 ， ，则 ， ， ，
所以 即为二面角 的平面角，即 ，
记 的高为 ，则 ，所以 ；
过点 作 于点 ，连接 ，由正三棱锥的对称性可得： ，
则 即为二面角 的平面角，即 ，
在 中， ，而 ，
所以 ，
所以 ，
因此 ，
因为 ，则 ，所以 .
故答案为：B.
【分析】 设该正三棱锥的底面边长为2a，记点A在底面BCD上的投影为点O，连结AO，取BC的中点E,连结DE，AE,利用二面角的定义得到∠AED= a，∠BFD= β，先求出cosa,在△ABC中，利用等面积法求出DF和BF，然后利用余弦定理表示出cosβ，表示出 ，利用 ,求出 的取值范围 。
9．（2021高二下·浙江开学考）曲线 与 交点的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】圆锥曲线的综合
【解析】【解答】当 时，将 代入 ： 关于x的方程有两个不等正根，所以两个曲线有两个交点；
当 时， ： ，无解；
当 时， ： ， ，关于x的方程有一个正根一个负根，所以两个曲线有一个交点；
当 时， ： ， ，关于x的方程有一个正根一个负根，所以两个曲线有一个交点；
综上所述：两个曲线交点个数为4.
故答案为：D
【分析】对x，y的正负进行分类讨论，联立求解，即可得出答案。
10．（2021高二下·浙江开学考）在正四面体 中， 分别是棱 的中点， 分别是直线 上的动点，且满足 ， 是 的中点，则点 的轨迹围成的区域的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平面向量加法运算；平面向量减法运算
【解析】【解答】如图所示，
正四面体 中，取 、 、 、 的中点 、 、 、 ，
因为 、 分别是棱 ， 的中点，所以 的中点 也为定点；
由对称性知， 和 的中点都在中截面 （正方形）上；
由 ，
所以 ,
设 在中截面上的投影分别为 ,
所以 ，
所以点 是线段 的中点，
作 ，则 ，
因为 ，所以
取 ，所以 ，
两式相减得 ，
过点 作 ，
所以 ，所以 ,
所以 的中点 在 上，同理 的中点 在 上，
因为 ，
即动点 的轨迹就是边长为 的正方形 ，
所以其轨迹围成的区域的面积是
故答案为：B
【分析】先由对称性找到 和 的中点都在中截面 （正方形）上运动，利用向量的加减运算，得到 ,设 在中截面上的投影分别为 ,分析证明动点 的轨迹就是边长为 的正方形 ，即得解。
二、填空题
11．（2021高二下·浙江开学考）已知抛物线 的焦点 ，则拋物线C的标准方程为 ，焦点到准线的距离为 .
【答案】；2
【知识点】抛物线的定义
【解析】【解答】根据抛物线 的焦点 ，设抛物线方程 ， ，则 ，
故抛物线方程 ；抛物线中，焦点到准线的距离为 ， ，即距离为 .
故答案为： ；2.
【分析】利用抛物线的定义，可以直接得出答案。
12．（2021高二下·浙江开学考）已知某几何体的三视图如图，则该几何体的体积为 表面积为 .
【答案】7；
【知识点】由三视图还原实物图；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
【解析】【解答】由几何体的三视图，可得直观图，如下：
该几何体是放到的五棱柱，
所以 ，
.
故答案为：7；
【分析】 由三视图可得该几何体为棱长为2的正方体截去一个直三棱柱，再由柱体体积公式求体积，由矩形与三角形面积公式求表面积.
13．（2021高二下·浙江开学考）若直线 与直线 关于点(2，3)对称，则直线 恒过定点的坐标为 ，直线 与 的距离的最大值是 .
【答案】；
【知识点】两条直线平行的判定；恒过定点的直线
【解析】【解答】直线 恒过定点 ，直线 与直线 关于点(2，3)对称，故点 关于点(2，3)对称的点为 一定在直线 上，故直线 恒过定点 ；
根据对称性知两条直线平行，当其垂直直线AB时，距离最大，为 .
故答案为： ； .
【分析】直线 与直线 关于点(2，3)对称，故点 关于点(2，3)对称的点为 一定在直线 上，根据对称性知两条直线平行，当其垂直直线AB时，距离最大。
14．（2021高二下·浙江开学考）已知 是圆 上一动点，过圆心 作两条互相垂直的直线 ，它们分别交 轴于 点，交 轴于 点，记 中点为 ，则 的最小值是 ，圆 上到 的距离等于3的点有 个.
【答案】；2
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解： 的圆心为 ，半径 ，
①若直线 的斜率存在且不为 ，
设直线 的斜率为 ，
则 ，
令 ，解得： ，
故 ，
又 ，
，
令 ，解得： ，
故 ，
设 中点为 ，
则 ，
则 ，
化简得： ，
即 在直线 上，
则圆心 到直线 的距离 ，
则 的最小值即圆上的点到直线 的最短距离，
即 ，
直线与圆外离，故圆 上到 的距离等于3的点有 个；
②若直线 中有一条直线的斜率不存在，
则 ，
故 ，
中点 ，
点 到圆心的距离 ，
则 的最小值为 ，
，
即 ，
则圆心 到直线 的距离 ，
故圆 上到 的距离等于3的点有 个；
综上所述： 的最小值为 ，圆 上到 的距离等于3的点有 个.
故答案为： ； .
【分析】 分别根据直线斜率是否存在设出 的直线方程，根据题意求出A， B两点的坐标，进而求出Q点的坐标，并求出Q点的轨迹方程，圆心到直线的距离减去半径即为PQ的最小值，再根据圆与Q点所在直线的位置关系即可求出圆C 上到Q的距离等于3的点的个数.
三、填空题
15．（2021高二下·浙江开学考）已知平面 ，直线 与 所成角的正切值为 ，直线 ，直线 ，且 和 所成角为 ，那么 与 所成的角为 .
【答案】
【知识点】异面直线及其所成的角
【解析】【解答】如图，直线 与平面 分别交于点 ，过 作 ，垂足为 ，连接 ，
为直线 与平面 所成的角，
因为 ，在 内过 存在直线 ，作 ，垂足为 ，连接 ，则 ，
，
设 ，则 ， ，
，则 ，又 ， ， 平面 ，
所以 平面 ，而 平面 ，所以 ，
因为 ， ，所以 ，所以 ，
在直角 中， ，
， （ 即为 ），则 ，又 ， ， 平面 ，所以 平面 ，又 平面 ，所以 ，
所以 与 夹角为 ．即 夹角为 ．
故答案为： ．
【分析】 由题意画出图形，直线 与平面 分别交于点 ，过 作 ，垂足为 ，连接 ，作 ，垂足为 ，连接 ，通过求解三角形可得 和 所成角，然后证明，即可求得m与n所成的角。
16．（2021高二下·浙江开学考）已知椭圆 过 上一点 第一象限 的直线 与 轴正半轴， 轴正半轴分别交于点 若 ，则 的值为 .
【答案】
【知识点】直线的参数方程；椭圆的参数方程
【解析】【解答】由题意设 ， ，直线 的倾斜角为 ，则 ， 的方程为 （ 为参数），
因为 ，所以 ，则 ， ，
因为 ， ，所以 ，
又 ，则 ，即 ．
故答案为： ．
【分析】 由题意画出图形 ， ，设直线l的标准参数方程，根据得倾斜角，然后求出B点对应的参数t得 的值 。
17．（2021高二下·浙江开学考）如图，双曲线 的右焦点 是拋物线 的焦点， 为坐标原点， 为双曲线 与拋物线 在第一象限内的交点，若 则双曲线 的离心率是 .
【答案】
【知识点】平面向量的数量积运算；抛物线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】 ，则 ，即 ，所以
设 ，则 ，
作 垂直于 ，垂足为 ，则 ，
由 ，则 ,
所以 ，根据抛物线的定义可知 ，
所以 ，
整理可得 ，
所以 ，
又 ，则 ，
整理可得
，
整理可得 ，
因为 ， ，
利用求根公式可得 ，
所以 ，
可得 ，
所以 .
故答案为：
【分析】根据题意设 ，则 ，作 垂直于 ，垂足为 ，根据向量的数量积以及抛物线的定义可得 ，从而可得 ，再将点代入双曲线方程，化简整理即可求解。
四、解答题
18．（2021高二下·浙江开学考）已知圆 经过 两点，且圆心 在直线 上.
（1）求圆 的方程；
（2）过点 的直线 与圆 交于不同的 两点，且 ，求直线 的方程.
【答案】（1）线段 的中垂线方程为 ，
由 得圆心 的坐标 所以半径 ，
圆 的方程为
（2）设直线 的方程为
到 的距离为 ，
即
解得 或 ，
故直线 的方程为 或
【知识点】平面内点到直线的距离公式；圆的标准方程
【解析】【分析】（1）首先根据垂径定理可得圆心在线段MN的中垂线上，其方程为 ，联立 可得圆心坐标为 再求出半径即可得解；
（2）首先 设直线 的方程为 根据题意可得 到 的距离为 ， 即可求得 或 ，即可得解。
19．（2021高二下·浙江开学考）如图，已知三棱锥 中， ，且 .
（1）求证： ；
（2）求二面角 的大小.
【答案】（1）取 中点 有 ， ，
， 面
又 面 ， .
（2）由（1）知 ，取 中点 ，连接 ，
则 ，连接 ，则 ，
所以 就是所求二面角的平面角，
求得 ，得 ，
所以 面 ，所以 ，
又 ，
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（1） 取 中点 可得 ， ，利用线面垂直的判定定理可得 面 ， 再由线面垂直的性质即可证明；
（2）取 中点 ，连接 ，连接 ， 得出 就是所求二面角的平面角，在直角三角形POM中求解即可。
20．（2021高二下·浙江开学考）如图，已知椭圆 的离心率为 ，且过点 .
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）过左焦点 且斜率为正的直线 与椭圆 交于 、 两点，过点 、 分别作与直线 垂直的直线，交 轴于 、 两点，求 的最小值.
【答案】（1）由题意 ，解得 ，因此，椭圆 的标准方程为 ；
（2）设点 、 ，设直线 的方程为 ，
由 得 ， ，
由韦达定理可得 ， ，
直线 的方程为 ，令 得 ，
同理 ，
所以 ，
令 ，则 ，
当且仅当 时，即当 时， 取最小值 .
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】 (1)由离心率为 ，且过点 ，列方程组，解得a, b, c,进而可得答案；
(2) 设点 、 ，设直线 的方程为 ， 联立直线 与椭圆的方程，结合韦达定理可得 ， ， 可得 ，利用换元法结合基本不等式求得 取最小值 。
21．（2021高二下·浙江开学考）在三棱台 中， ，平面 平面
（1）求证：平面 平面 ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值.
【答案】（1）解：过 作 于 ，因为面 面 ，面 面 ，
所以 平面 ，而 平面 ，所以 ，
又 ， 平面 ，
所以 面 ，又 平面
所以平面 平面
（2）将三棱台 补体成三棱锥 ，则 分别是 的中点， 是正三角形，设 ，
以 为原点建立空间直角坐标系(如图)，
设平面 的法向量为
由 ，有 ，令 得 .
．
【知识点】平面与平面垂直的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】 (1)过点E作EH⊥AB于H,由平面ABED⊥平面ABC,推出EH⊥平面ABC，有EH⊥BC, 再根据线面垂直的判定定理与面面垂直的判定定理，得证;
(2)将三棱台ABC-DEF补成三棱锥P-ABC,则D，E, F分别为PA，PB，PC的中点，且△PAB为正三角形，以B为原点建立空间直角坐标系，求得平面ABF的法向量 ，设直线DF与平面ABF所成角为θ，由 得解.
22．（2021高二下·浙江开学考）如图，已知过拋物线 的焦点 的直线交抛物线 于点 点 在第一象限)，线段 的中点为 拋物线 在点 处的切线与以 为直径的圆交于另一点 .
（1）若 ，求直线 的方程；
（2）试问 是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请求出它的最大值.
【答案】（1）解：设
由 得
则
因为 所以
从而
所以直线 的方程为 ；
（2）设过 点的切线 的方程为： ，
代入 由 得
所以 的方程为： .
设直线 与 轴交点为 令 得 ，
，
，
，
.
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】 (1)求得抛物线的焦点F，设出向量AF，FB的坐标，由向量共线的坐标表示和点满足抛物线的方程，解方程可得A，B的坐标，求得AB的斜率和方程；
(2)设AB的方程为x=my+1，与抛物线的方程联立，运用韦达定理和向量的数量积的坐标表示，结合导数的几何意义求得在A处的切线的方程，结合向量数量积的性质可得|AP|，求得|AB| . |AF|，计算可判断是否为定值.
1 / 1浙江省名校协作体2020-2021学年高二下学期数学开学考试试卷
一、单选题
1．（2018高一下·三明期末）直线 的倾斜角为（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
2．（2021高二下·浙江开学考）直线 是双曲线 的一条渐近线，则实数a的值为（ ）
A． B．3 C． D．
3．（2021高二下·浙江开学考）已知 是两条不同直线， 是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若m ，则
C．若 ，则
D．若 ，则
4．（2021高二下·浙江开学考）“ ”是“直线 和直线 垂直”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（2021高二下·浙江开学考）在四面体 中，点 为棱 的中点. 设 ， ， ，那么向量 用基底 可表示为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2021高二下·浙江开学考）已知平面 和两条异面直线 满足 ，平面 内的动点 到两条直线 的距离相等，则点 的轨迹是（ ）
A．两条直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
7．（2021高二下·浙江开学考）圆 在 轴上截得的弦长是它在 轴上截得的弦长的2倍，则实数 的值是（ ）
A． B． C． D．
8．（2021高二下·浙江开学考）正三棱锥 中，二面角 的大小为 ，二面角 的大小为 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．（2021高二下·浙江开学考）曲线 与 交点的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．（2021高二下·浙江开学考）在正四面体 中， 分别是棱 的中点， 分别是直线 上的动点，且满足 ， 是 的中点，则点 的轨迹围成的区域的面积是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2021高二下·浙江开学考）已知抛物线 的焦点 ，则拋物线C的标准方程为 ，焦点到准线的距离为 .
12．（2021高二下·浙江开学考）已知某几何体的三视图如图，则该几何体的体积为 表面积为 .
13．（2021高二下·浙江开学考）若直线 与直线 关于点(2，3)对称，则直线 恒过定点的坐标为 ，直线 与 的距离的最大值是 .
14．（2021高二下·浙江开学考）已知 是圆 上一动点，过圆心 作两条互相垂直的直线 ，它们分别交 轴于 点，交 轴于 点，记 中点为 ，则 的最小值是 ，圆 上到 的距离等于3的点有 个.
三、填空题
15．（2021高二下·浙江开学考）已知平面 ，直线 与 所成角的正切值为 ，直线 ，直线 ，且 和 所成角为 ，那么 与 所成的角为 .
16．（2021高二下·浙江开学考）已知椭圆 过 上一点 第一象限 的直线 与 轴正半轴， 轴正半轴分别交于点 若 ，则 的值为 .
17．（2021高二下·浙江开学考）如图，双曲线 的右焦点 是拋物线 的焦点， 为坐标原点， 为双曲线 与拋物线 在第一象限内的交点，若 则双曲线 的离心率是 .
四、解答题
18．（2021高二下·浙江开学考）已知圆 经过 两点，且圆心 在直线 上.
（1）求圆 的方程；
（2）过点 的直线 与圆 交于不同的 两点，且 ，求直线 的方程.
19．（2021高二下·浙江开学考）如图，已知三棱锥 中， ，且 .
（1）求证： ；
（2）求二面角 的大小.
20．（2021高二下·浙江开学考）如图，已知椭圆 的离心率为 ，且过点 .
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）过左焦点 且斜率为正的直线 与椭圆 交于 、 两点，过点 、 分别作与直线 垂直的直线，交 轴于 、 两点，求 的最小值.
21．（2021高二下·浙江开学考）在三棱台 中， ，平面 平面
（1）求证：平面 平面 ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值.
22．（2021高二下·浙江开学考）如图，已知过拋物线 的焦点 的直线交抛物线 于点 点 在第一象限)，线段 的中点为 拋物线 在点 处的切线与以 为直径的圆交于另一点 .
（1）若 ，求直线 的方程；
（2）试问 是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请求出它的最大值.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】直线的倾斜角
【解析】【解答】解：直线方程即： ，
直线的斜率 ，则直线的倾斜角为120°.
故答案为：D.
【分析】根据直线方程，得到直线的斜率，利用斜率与倾斜角之间的关系，即可得到答案。
2．【答案】B
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】双曲线 的渐近线方程为 ，
直线 的斜率为 ， ， ，因此， .
故答案为：B.
【分析】求出双曲线的渐近线方程，结合已知条件可得出实数a的值。
3．【答案】C
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质；平面与平面平行的判定
【解析】【解答】A选项当 时，不能得出 ，故该选项不正确；
B选项，若 ，m是平面 外的直线，当 时，满足m ，不满足 ，所以该选项不正确；
C选项根据线面垂直的性质可得该选项正确；
D选项 时， ，不能得出 ，故该选项错误.
故答案为：C
【分析】 由线面平行的判定定理，可判断A;由线面平行的性质和面面平行的判定，可判断B;由线面垂直的性质，可判断C;由面面垂直的性质和面面的位置关系，可判断D.
4．【答案】A
【知识点】两条直线垂直的判定
【解析】【解答】由直线 和直线 垂直，
可得 或 .
当 时，直线 和直线 垂直；
当直线 和直线 垂直时， 不一定成立.
所以 是直线 和直线 垂直的充分不必要条件，
故答案为：A．
【分析】 利用直线相互垂直与斜率的关系、充要条件的判定方法即可判断出结论.
5．【答案】B
【知识点】平面向量的基本定理
【解析】【解答】 点 为棱 的中点，
，
，
又 ，
，
故答案为：B.
【分析】 先根据点P为棱BC的中点，则，然后利用空间向量的基本定理，用 表示向 即可.
6．【答案】D
【知识点】抛物线的定义
【解析】【解答】 ，垂足设为 ，
则平面 内的动点 到定直线 与到 的距离相等，
满足抛物线的定义.
故答案为：D
【分析】利用抛物线的定义即可得出选项。
7．【答案】A
【知识点】圆方程的综合应用
【解析】【解答】令 ，得 ，则 ，在 轴弦长为 ，
令 ，得 ， ，在 轴上弦长为 ，
由题意 ， ， ，注意到 ，即 ，因此解得 ．
故答案为：A．
【分析】 分别令x= 0与y= 0，可求出与y轴和x轴的两个交点的纵坐标或横坐标，即可分别求出与y轴相交和与x轴相交的弦长，再结合题意列出m的方程即可求出实数 的值 .
8．【答案】B
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】设该正三棱锥的底面边长为 ，记点 在底面 上的投影为点 ，连接 ，
则点 为 的中心， 平面 ；
因为 为等边三角形，所以 为 的重心，
取 中点为 ，连接 ， ，则 ， ， ，
所以 即为二面角 的平面角，即 ，
记 的高为 ，则 ，所以 ；
过点 作 于点 ，连接 ，由正三棱锥的对称性可得： ，
则 即为二面角 的平面角，即 ，
在 中， ，而 ，
所以 ，
所以 ，
因此 ，
因为 ，则 ，所以 .
故答案为：B.
【分析】 设该正三棱锥的底面边长为2a，记点A在底面BCD上的投影为点O，连结AO，取BC的中点E,连结DE，AE,利用二面角的定义得到∠AED= a，∠BFD= β，先求出cosa,在△ABC中，利用等面积法求出DF和BF，然后利用余弦定理表示出cosβ，表示出 ，利用 ,求出 的取值范围 。
9．【答案】D
【知识点】圆锥曲线的综合
【解析】【解答】当 时，将 代入 ： 关于x的方程有两个不等正根，所以两个曲线有两个交点；
当 时， ： ，无解；
当 时， ： ， ，关于x的方程有一个正根一个负根，所以两个曲线有一个交点；
当 时， ： ， ，关于x的方程有一个正根一个负根，所以两个曲线有一个交点；
综上所述：两个曲线交点个数为4.
故答案为：D
【分析】对x，y的正负进行分类讨论，联立求解，即可得出答案。
10．【答案】B
【知识点】平面向量加法运算；平面向量减法运算
【解析】【解答】如图所示，
正四面体 中，取 、 、 、 的中点 、 、 、 ，
因为 、 分别是棱 ， 的中点，所以 的中点 也为定点；
由对称性知， 和 的中点都在中截面 （正方形）上；
由 ，
所以 ,
设 在中截面上的投影分别为 ,
所以 ，
所以点 是线段 的中点，
作 ，则 ，
因为 ，所以
取 ，所以 ，
两式相减得 ，
过点 作 ，
所以 ，所以 ,
所以 的中点 在 上，同理 的中点 在 上，
因为 ，
即动点 的轨迹就是边长为 的正方形 ，
所以其轨迹围成的区域的面积是
故答案为：B
【分析】先由对称性找到 和 的中点都在中截面 （正方形）上运动，利用向量的加减运算，得到 ,设 在中截面上的投影分别为 ,分析证明动点 的轨迹就是边长为 的正方形 ，即得解。
11．【答案】；2
【知识点】抛物线的定义
【解析】【解答】根据抛物线 的焦点 ，设抛物线方程 ， ，则 ，
故抛物线方程 ；抛物线中，焦点到准线的距离为 ， ，即距离为 .
故答案为： ；2.
【分析】利用抛物线的定义，可以直接得出答案。
12．【答案】7；
【知识点】由三视图还原实物图；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
【解析】【解答】由几何体的三视图，可得直观图，如下：
该几何体是放到的五棱柱，
所以 ，
.
故答案为：7；
【分析】 由三视图可得该几何体为棱长为2的正方体截去一个直三棱柱，再由柱体体积公式求体积，由矩形与三角形面积公式求表面积.
13．【答案】；
【知识点】两条直线平行的判定；恒过定点的直线
【解析】【解答】直线 恒过定点 ，直线 与直线 关于点(2，3)对称，故点 关于点(2，3)对称的点为 一定在直线 上，故直线 恒过定点 ；
根据对称性知两条直线平行，当其垂直直线AB时，距离最大，为 .
故答案为： ； .
【分析】直线 与直线 关于点(2，3)对称，故点 关于点(2，3)对称的点为 一定在直线 上，根据对称性知两条直线平行，当其垂直直线AB时，距离最大。
14．【答案】；2
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解： 的圆心为 ，半径 ，
①若直线 的斜率存在且不为 ，
设直线 的斜率为 ，
则 ，
令 ，解得： ，
故 ，
又 ，
，
令 ，解得： ，
故 ，
设 中点为 ，
则 ，
则 ，
化简得： ，
即 在直线 上，
则圆心 到直线 的距离 ，
则 的最小值即圆上的点到直线 的最短距离，
即 ，
直线与圆外离，故圆 上到 的距离等于3的点有 个；
②若直线 中有一条直线的斜率不存在，
则 ，
故 ，
中点 ，
点 到圆心的距离 ，
则 的最小值为 ，
，
即 ，
则圆心 到直线 的距离 ，
故圆 上到 的距离等于3的点有 个；
综上所述： 的最小值为 ，圆 上到 的距离等于3的点有 个.
故答案为： ； .
【分析】 分别根据直线斜率是否存在设出 的直线方程，根据题意求出A， B两点的坐标，进而求出Q点的坐标，并求出Q点的轨迹方程，圆心到直线的距离减去半径即为PQ的最小值，再根据圆与Q点所在直线的位置关系即可求出圆C 上到Q的距离等于3的点的个数.
15．【答案】
【知识点】异面直线及其所成的角
【解析】【解答】如图，直线 与平面 分别交于点 ，过 作 ，垂足为 ，连接 ，
为直线 与平面 所成的角，
因为 ，在 内过 存在直线 ，作 ，垂足为 ，连接 ，则 ，
，
设 ，则 ， ，
，则 ，又 ， ， 平面 ，
所以 平面 ，而 平面 ，所以 ，
因为 ， ，所以 ，所以 ，
在直角 中， ，
， （ 即为 ），则 ，又 ， ， 平面 ，所以 平面 ，又 平面 ，所以 ，
所以 与 夹角为 ．即 夹角为 ．
故答案为： ．
【分析】 由题意画出图形，直线 与平面 分别交于点 ，过 作 ，垂足为 ，连接 ，作 ，垂足为 ，连接 ，通过求解三角形可得 和 所成角，然后证明，即可求得m与n所成的角。
16．【答案】
【知识点】直线的参数方程；椭圆的参数方程
【解析】【解答】由题意设 ， ，直线 的倾斜角为 ，则 ， 的方程为 （ 为参数），
因为 ，所以 ，则 ， ，
因为 ， ，所以 ，
又 ，则 ，即 ．
故答案为： ．
【分析】 由题意画出图形 ， ，设直线l的标准参数方程，根据得倾斜角，然后求出B点对应的参数t得 的值 。
17．【答案】
【知识点】平面向量的数量积运算；抛物线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】 ，则 ，即 ，所以
设 ，则 ，
作 垂直于 ，垂足为 ，则 ，
由 ，则 ,
所以 ，根据抛物线的定义可知 ，
所以 ，
整理可得 ，
所以 ，
又 ，则 ，
整理可得
，
整理可得 ，
因为 ， ，
利用求根公式可得 ，
所以 ，
可得 ，
所以 .
故答案为：
【分析】根据题意设 ，则 ，作 垂直于 ，垂足为 ，根据向量的数量积以及抛物线的定义可得 ，从而可得 ，再将点代入双曲线方程，化简整理即可求解。
18．【答案】（1）线段 的中垂线方程为 ，
由 得圆心 的坐标 所以半径 ，
圆 的方程为
（2）设直线 的方程为
到 的距离为 ，
即
解得 或 ，
故直线 的方程为 或
【知识点】平面内点到直线的距离公式；圆的标准方程
【解析】【分析】（1）首先根据垂径定理可得圆心在线段MN的中垂线上，其方程为 ，联立 可得圆心坐标为 再求出半径即可得解；
（2）首先 设直线 的方程为 根据题意可得 到 的距离为 ， 即可求得 或 ，即可得解。
19．【答案】（1）取 中点 有 ， ，
， 面
又 面 ， .
（2）由（1）知 ，取 中点 ，连接 ，
则 ，连接 ，则 ，
所以 就是所求二面角的平面角，
求得 ，得 ，
所以 面 ，所以 ，
又 ，
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（1） 取 中点 可得 ， ，利用线面垂直的判定定理可得 面 ， 再由线面垂直的性质即可证明；
（2）取 中点 ，连接 ，连接 ， 得出 就是所求二面角的平面角，在直角三角形POM中求解即可。
20．【答案】（1）由题意 ，解得 ，因此，椭圆 的标准方程为 ；
（2）设点 、 ，设直线 的方程为 ，
由 得 ， ，
由韦达定理可得 ， ，
直线 的方程为 ，令 得 ，
同理 ，
所以 ，
令 ，则 ，
当且仅当 时，即当 时， 取最小值 .
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】 (1)由离心率为 ，且过点 ，列方程组，解得a, b, c,进而可得答案；
(2) 设点 、 ，设直线 的方程为 ， 联立直线 与椭圆的方程，结合韦达定理可得 ， ， 可得 ，利用换元法结合基本不等式求得 取最小值 。
21．【答案】（1）解：过 作 于 ，因为面 面 ，面 面 ，
所以 平面 ，而 平面 ，所以 ，
又 ， 平面 ，
所以 面 ，又 平面
所以平面 平面
（2）将三棱台 补体成三棱锥 ，则 分别是 的中点， 是正三角形，设 ，
以 为原点建立空间直角坐标系(如图)，
设平面 的法向量为
由 ，有 ，令 得 .
．
【知识点】平面与平面垂直的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】 (1)过点E作EH⊥AB于H,由平面ABED⊥平面ABC,推出EH⊥平面ABC，有EH⊥BC, 再根据线面垂直的判定定理与面面垂直的判定定理，得证;
(2)将三棱台ABC-DEF补成三棱锥P-ABC,则D，E, F分别为PA，PB，PC的中点，且△PAB为正三角形，以B为原点建立空间直角坐标系，求得平面ABF的法向量 ，设直线DF与平面ABF所成角为θ，由 得解.
22．【答案】（1）解：设
由 得
则
因为 所以
从而
所以直线 的方程为 ；
（2）设过 点的切线 的方程为： ，
代入 由 得
所以 的方程为： .
设直线 与 轴交点为 令 得 ，
，
，
，
.
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】 (1)求得抛物线的焦点F，设出向量AF，FB的坐标，由向量共线的坐标表示和点满足抛物线的方程，解方程可得A，B的坐标，求得AB的斜率和方程；
(2)设AB的方程为x=my+1，与抛物线的方程联立，运用韦达定理和向量的数量积的坐标表示，结合导数的几何意义求得在A处的切线的方程，结合向量数量积的性质可得|AP|，求得|AB| . |AF|，计算可判断是否为定值.
1 / 1
