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2.3.1两条直线的交点坐标教学设计
课题
两条直线的交点坐标
单元
第二单元
学科
数学
年级
高二
教材分析
在平面几何中，我们对直线作了定性研究，引入平面直角坐标系后，我们用二元一次方程表示直线，直线的方程就是相应直线上每一点的坐标所满足的一个关系式.这样我们可以通过方程把握直线上的点，进而用代数的方法对直线进行定量研究，例如求两条直线的交点坐标，平面内与点、直线相关的距离问题等。
在学生认识直线方程的基础上，启发学生理解两直线交点与二元一次方程组的解的相互关系。引导学生将两直线交点的求解问题转化为相应的直线方程构成的二元一次方程组解的问题。由此体会“形”的问题由“数”的运算来解决。
教学
目标与
核心素养
1数学抽象：
根据方程组的解的个数判定两条直线的位置关系；
2逻辑推理：
解方程组的方法求两条直线的交点坐标；
3数学运算：
求两条直线的交点坐标、判断两直线的位置关系；
4数学建模：
用坐标法解决平面几何问题；
5直观想象：
二元一次方程组的解与两条直线的位置的对应关系；
6数据分析：
利用两条直线方程的对应系数来判断两直线的位置关系.
重点
能利用二元一次方程组的解的个数来判断两条直线的位置关系，会求两条直线的交点坐标.
难点
能利用两条直线方程的对应系数来判断两直线的位置关系.
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
问题1
直线的一般式方程与二元一次方程之间有什么关系？
问题2
如何求二元一次方程组的解？二元一次方程组的解有几种情况？
问题3
平面直角坐标系中两条直线的位置关系有几种？
提示：
1每一个关于x
,
y的二元一次方程都表示一条直线；
2二元一次方程组的解有三种情况
3平面直角坐标系中，两条直线的位置关系也有三种
问题导入
复习巩固，以旧带新，为学生自主探究铺平道路，引发学生探究新知识的学习兴趣和学习热情，并自然导入新课.
讲授新课
思考
已知两条直线
相交，它们的交点坐标与直线
的方程有什么关系？你能由此得到两条相交直线交点坐标的方程吗？
设这两条直线的交点为P，则点P既在直线上，也在直线上.
所以点P的坐标既满足直线
的方程，也满足直线
的方程，即点P的坐标是方程组
的解.
解这个方程组就可以得到这两条直线的交点坐标.
例
1
求下列两条直线的交点坐标，并画出图形：
解：解方程组
得
所以，直线与的交点是M（-2，2）.
如图
例
2
判断下列各对直线的位置关系.
如果相交，求出交点的坐标：
（1）
（2）
（3）
分析：解直线
，
的方程组成的方程组，若方程组有唯一解，则与相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则
；若方程组中的两个方程可化成同一个方程，则与重合.
解：（1）解方程组
得
所以，与相交，交点是
,
（2）解方程组
得9=0
，矛盾，所以这个方程无解，所以，与
无公共点，
.
（3）解方程组
得
可以化成同一个方程，即表示同一条直线，与重合.
思考
你能用直线的斜率判断上述各对直线的位置关系吗？比较用斜率判断和解方程组这两种方法，你有什么体会？
几何法（用斜率判断）
设直线
则（1）
相交
（2）
（3）
重合
代数法（解方程组法）
两条直线
：
：
的位置关系，可以用方程组
的解进行判断（如表所示）
方程组的解位置关系交点个数代数条件无解平行无交点①有唯一解相交有一个交点②有无数解重合无数个交点③
注：
①
②
③
特别地
课堂练习：
1
直线l：
(a+2)x+(1-a)y-3=0.当a变动时，所有直线都通过定点（）
A．(0，0)
B.
(0,1)
C.
(-2,1)
D.
(1,1)
答案：
D
解：直线l：
(a+2)x+(1-a)y-3=0
即
a(x-y)+2x+y-3=0
当
a
变动时，所有直线都通过
x-y=0与2x+y-3=0
的交点(1,1)，故选D
2
已知直线y＝kx＋2k＋1与直线y＝－x＋2的交点位于第一象限，求实数k的取值范围．
解：
联立解得
(若2k＋1＝0即k＝－，两直线平行)．
∴交点坐标.
又∵交点位于第一象限，
∴解得－＜k＜.
3
求过直线
与的交点且斜率为-2的直线方程.
解：
设过直线
与的交点直线方程为
即
它的斜率为
解得
所以，所求直线方程为
拓展：
经过两条直线
l1
：
A1x＋B1y＋C1＝0
l2
:
A2x＋B2y＋C2＝0
交点的直线系方程是
(A1x＋B1y＋C1)＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，
但此时不含
l2
,在解题时
要注意验证
l2
是否符合题意，否则会出现漏解的情况.
问题：
上述共点直线系方程中为什么不包括
l2
？
提示：由于共点直线系方程为
（A1x＋B1y＋C1）＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0
，
则当
时，说明此时随
取值变化的直线系中刚好刻画的是直线
l1
；
当
时，要使得刻画的是直线
l2
，则需要
A1x＋B1y＋C1＝0
，而它前边的系数是1，不是0，故不可能变成0，这样整个的运算结果就不可能变为
A2x＋B2y＋C2＝0
故共点直线系方程中不包括
l2
.
同理，如果我们将共点直线系方程写为
λ(A1x＋B1y＋C1)＋
(A2x＋B2y＋C2)＝0
则此时共点直线系方程中就不包含直线
l1
.
4
求证：不论m为何实数，
直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5都过某一定点．
证明：
法一：取m＝1时，直线方程为y＝－4；
取m＝时，直线方程为x＝9.
两直线的交点为P(9，－4)，将点P的坐标代入原方程左边＝(m－1)×9＋(2m－1)×(－4)＝m－5.
故不论m取何实数，点P(9，－4)总在直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5上，即直线恒过点P(9，－4)．
法二：
原方程化为(x＋2y－1)m＋(－x－y＋5)＝0.
若对任意m都成立，
则有得
所以不论m为何实数，所给直线都过定点P(9，-4)．
5
已知两条直线
.
m为何值时，
与
（1）相交；（2）平行；（3）重合.
提示：（1）
（2）
（3）
.
学生交流、讨论
学生自主练习，动手操作
设置问题，引导学生探究新知识
体会两条直线的交点与对应二元一次方程组的解的关系.
通过动手操作，直观感知，深入理解方程组的解与直线的位置之间的关系.
在平面几何中，我们研究两直线的位置关系时，不考虑两条直线重合的情况，而在解析几何中，由于两个不同的方程可以表示同一条直线，我们把重合也作为两直线的一种位置关系来研究。
拓展直线系方程概念
具有某种共同性质(过某点、共斜率等)的直线的集合，叫做直线系。它的方程叫做直线系方程，直线系方程的特征是含参数的二元一次方程.
法一
课堂小结
1两条直线位置关系与二元一次方程组的解
若二元一次方程组有唯一解，则两条直线相交；方程组的解即交点的坐标；
若二元一次方程组无解，则两条直线平行；
若二元一次方程组有无数解，则两条直线重合。
2
两直线位置关系与两直线方程的系数的关系
3
共点直线系方程
板书
1两条直线位置关系与二元一次方程组的解
2
两直线位置关系与两直线方程的系数的关系
3
共点直线系方程
教学反思
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共25张PPT)
2.3.1两条直线的交点坐标
人教A版（2019）
选择性必修第一册
新知导入
问题1
直线的一般式方程与二元一次方程之间有什么关系？
问题2
如何求二元一次方程组的解？二元一次方程组的解有几种情况？
问题3
平面直角坐标系中两条直线的位置关系有几种？
提示：
1
每一个关于x
,
y
的二元一次方程都表示一条直线.
2
二元一次方程组的解有三种情况.
3
平面直角坐标系中，两条直线的位置关系也有三种.
新知讲解
思考
已知两条直线
相交，它们的交点坐标与直线
的方程有什么关系？
你能由此得到两条相交直线交点坐标的方法吗
？
新知讲解
设这两条直线的交点为P，则点P既在直线上，也在直线上
所以点P的坐标既满足直线
的方程，也满足直线
的方程
即点P的坐标是方程组
的解
解这个方程组就可以得到这两条直线的交点坐标.
合作探究
例
1
求下列两条直线的交点坐标，并画出图形：
解：
解方程组
得
所以，直线与的交点是M（-2，2）
如图
合作探究
例
2
判断下列各对直线的位置关系.
如果相交，求出交点的坐标：
（1）
（2）
（3）
合作探究
例
2
判断下列各对直线的位置关系.
如果相交，求出交点的坐标：
（1）
（2）
（3）
分析：
解直线
，
的方程组成的方程组，
此解就是交点的坐标；
若方程组无解，则；
若方程组有唯一解，则与相交,
若方程组中的两个方程可化成同一个方程，则与重合.
合作探究
例
2
判断下列各对直线的位置关系.
如果相交，求出交点的坐标：
（1）
解：
（1）解方程组
得
所以，与相交，交点是
,
合作探究
例
2
判断下列各对直线的位置关系.
如果相交，求出交点的坐标：
（2）
（3）
解方程组
解：
得9=0
，矛盾
所以这个方程无解,
所以，与
无公共点，
.
解方程组
解：
得
可以化成同一个方程，即表示同一条直线，与重合.
合作探究
思考
你能用直线的斜率判断上述各对直线的位置关系吗？
比较用斜率判断和解方程组这两种方法，你有什么体会？
新知讲解
几何法（用斜率判断）
设直线
则
（1）
相交
（2）
（3）
重合
新知讲解
代数法（解方程组法）
两条直线
：
：
的位置关系，可以用方程组
的解进行判断（如表所示）
方程组的解
位置
关系
交点
个数
代数条件
无解
平行
无交点
有唯
一解
相交
有一个交点
有无
数解
重合
无数个交点
特别地
课堂练习
1
直线
l：
(a+2)x+(1-a)y-3=0.
当
a
变动时，所有直线都通过定点（
）
A．(0，0)
B.
(0,1)
C.
(-2,1)
D.
(1,1)
解：
直线
l：
(a+2)x+(1-a)y-3=0
即
a(x-y)+2x+y-3=0
当
a
变动时,
所有直线都通过
x-y=0与2x+y-3=0
的交点(1,1)
故选
D
D
课堂练习
2
已知直线y＝kx＋2k＋1与直线y＝-x＋2的交点位于第一象限，求实数
k
的取值范围．
解：
解得
联立
(若2k＋1＝0
即k＝-
，两直线平行)
∴交点坐标
(
,
)
又∵交点位于第一象限
∴
解得
课堂练习
3
求过直线
与的交点且斜率为-2的直线方程.
解：设过直线
与的交点直线方程为
即
它的斜率为
解得
所以，所求直线方程为
新知讲解
拓展：
经过两条直线
l1
：
A1x＋B1y＋C1＝0
l2
:
A2x＋B2y＋C2＝0
交点的直线系方程是
(A1x＋B1y＋C1)＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，
但此时不含
l2
在解题时,
要注意验证
l2
是否符合题意，否则会出现漏解的情况.
合作探究
问题：上述共点直线系方程中为什么不包括
l2
？
提示：
由于共点直线系方程为
（A1x＋B1y＋C1）＋λ
(A2x＋B2y＋C2)＝0
则当
时，说明此时随
取值变化的直线系中刚好刻画的是直线
l1
当
时，要使得刻画的是直线
l2
，则需要
A1x＋B1y＋C1＝0
，
而它前边的系数是1，不是0，故不可能变成0，
这样整个的运算结果就不可能变为,
A2x＋B2y＋C2＝0
故共点直线系方程中不包括
l2
.
同理，如果我们将共点直线系方程写为
λ(A1x＋B1y＋C1)＋
(A2x＋B2y＋C2)＝0
则此时共点直线系方程中就不包含直线
l1
课堂练习
4
求证：不论m
为何实数
直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5都过某一定点．
证明:
法一
取m＝1时，直线方程为y＝－4；
取m＝
时，直线方程为x＝9.
两直线的交点为P(9，－4)，
将点P
的坐标代入原方程
左边＝(m－1)×9＋(2m－1)×(－4)＝m－5.
故不论m
取何实数，
点P(9，-4)总在直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5上，即直线恒过点P(9，-4)．
课堂练习
4
求证：不论m
为何实数
直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5都过某一定点．
证明:
法二
原方程化为(x＋2y-1)m＋(-x-y＋5)＝0.
若对任意m都成立，
则有
得
所以，不论m
为何实数，所给直线都过定点P(9，-4)
课堂练习
5
已知两条直线，
m为何值时，
与
（1）相交；（2）平行；（3）重合.
提示：
（1）
（2）
（3）
课堂总结
1
两条直线位置关系与二元一次方程组的解
(1)
若二元一次方程组有唯一解，则两条直线相交；方程组的解即交点的坐标；
（2）若二元一次方程组无解，则两条直线平行；
（3）若二元一次方程组有无数解，则两条直线重合。
2
两直线位置关系与两直线方程的系数的关系
3
共点直线系方程
板书设计
1
两条直线位置关系与二元一次方程组的解
2
两直线位置关系与两直线方程的系数的关系
3
共点直线系方程
作业布置
课本79页习题2.3
1,2
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