(共23张PPT)
2.3.2
两点间的距离公式
人教A版（2019）
选择性必修第一册
新知导入
在日常的生产生活中，存在着大量的关于两点间距离的问题，宏观上，求天体中两颗星球间的距离；微观上，求分子间距，中观上，求两个城市间的距离等。关于两点间距离的求法，有很多方法，其中包括物理学方法，化学方法，等等，但不管是那种方法，都离不开数学计算。
在数学领域计算两点间的距离，方法也有很多，常用的距离度量方法有欧氏距离、马氏距离、曼哈顿距离、闵可夫斯基距离、汉明距离、切比雪夫距离等。
那么，在平面解析几何中如何求两点间的距离呢？
新知讲解
探究
如图
已知平面内两点
，
如何求
间的距离
？
用平面向量的知识来解决.
如图
由点
，得
.
于是，
新知讲解
由此得到两点间的距离公式
特别地，原点O（0，0）与任意一点P（x,
y）间的距离
当平行与x轴时，
当平行与y轴时，
合作探究
思考:
平面内两点间的距离公式与坐标顺序是否有关？
提示：
无关.
在计算公式中，
，
的位置可以互换，不影响计算结果.
思考:
你能利用
构造直角三角形，再用勾股定理推导两点间距离公式吗？
与向量法比较，你有什么体会？
合作探究
提示：
如图
从点
分别向y
轴和
x
轴作垂线和，
垂足分别为
和
,
直线
与
相交于点Q
.
在直角△
中，
.
过点向x轴作垂线，垂足为；
过点向y轴作垂线，垂足为
.
于是有
所以，
所以，点
间的距离公式为：
课堂练习
例3
已知点A（-1，2），B（2，），在
x
轴上求一点P，使，并求的值.
解：
设所求点为P（x
,0）,则
由
，得
|PB|=
=
解得
x=1
所以，所求点为P（1，0）且
课堂练习
例4
用坐标法证明：平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边的平方和的两倍.
分析：
首先要建立适当的平面直角坐标系，用坐标表示有关的量，
然后进行代数运算，最后把代数运算的结果“翻译”成几何关系.
课堂练习
例4
用坐标法证明：平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边的平方和的两倍.
证明：
如图
四边形ABCD是平行四边形.
以顶点A为原点，
边AB所在直线为x
轴，建立如图所示的平面直角坐标系.
在□
ABCD中，点A的坐标是（0，0），设点B的坐标为,点D的坐标为（b,
c），
由平行四边形的性质，得点C的坐标为
.
由两点间的距离公式，得
，
所以，
所以，
即平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边的平方和的两倍.
课堂总结
上述利用“坐标法”解决平面几何问题的基本步骤可以概括为：
第一步：建立坐标系，利用坐标表示有关的量；
第二步：进行有关代数运算；
第三步：把代数运算的结果“翻译”成几何结论.
合作探究
思考
在“平面向量及其应用”的学习中，我们用“向量法”证明过这个命题，你能回忆一下证明过程吗？
合作探究
“向量法”提示：
分析：
平行四边形中与两条对角线对应的向量恰是与两条邻边对应的两个
向量的和与差，我们可以通过向量运算来探索它们的模之间的关系.
解：
第一步，建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；如图
取
为基底，设
,
则
第二步，通过向量运算，研究几何元素之间的关系：
上面两式相加，得
第三步，把运算结果“翻译”成几何关系：
课堂练习
1
求下列两点间的距离：
(1)
A(6,0),
B(-2,0);
(2)
C
(0,-4),
D(0,-1)
(3)
P(6,0),
Q(0,-2)
(4)
M(2,1),
N(5,-1)
答案：
(1)
8
(2)
3
(3)
(4)
课堂练习
2
已知点A(1,1)，B(5,3)，C(0,3)，求证：△ABC为直角三角形．
证明：
法一：
∵|AB|＝，
|AC|＝
又
|BC|＝
=5
∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，
∴△ABC为直角三角形.
法二：
∵kAB＝＝，kAC＝＝－2，
∴kAB·kAC＝－1，
∴AB⊥AC，
∴△ABC是以A为直角顶点的直角三角形．
课堂练习
3
光线从点A（-3，5）射到
x
轴上，经反射以后经过点B（2，10），则光线从A到B的距离为(
)
A．
B.
C.
D.
解析：
∵点A关于x轴的对称点为
∴
由光的反射理论可知，此即为光线从A到B的距离。
答案
C
C
课堂练习
4
若点A(－3,4)与坐标轴上的点P的距离等于5，试确定点P的坐标．
解：
若点P
在
x
轴上，设点
P
的坐标为(x,0)，
由点P
与点A
之间的距离等于5，
得＝5，
解得
x＝0或
x＝－6，
所以点P的坐标为(0,0)或(－6,0)；
若点P
在y轴上，设点P
的坐标为(0，y)，
由点P
与点A之间的距离等于5，
得＝5，
解得y＝0或y＝8，
所以点P的坐标为(0,0)或(0,8)．
故所求的点P有3个，坐标分别为(－6,0)，(0,0)，(0,8)．
课堂练习
5
在平面直角坐标系中，已知点,
,
则
A．1
B.
C.
D.
2
答案:
A
提示：
A
课堂练习
6
已知点A（-3，4），B（2，），在x轴上存在一点P，使，则点P的坐标为____
，
.
解析：
据题意可设点P的坐标为(x,0),
于是有
由,
得
解得
x=
所以点P的坐标为（，0
），
答案
：（，0
），
课堂总结
1平面内两点间的距离
条件
点
结论
?
特例
点P（x,
y）到原点O（0，0）的距离
当平行与x轴时，
当平行与y轴时，
2
对比“坐标法”与“向量法”
板书设计
1
平面内两点间的距离
2
例题
3
课堂练习
作业布置
课本79页习题2.3
3,
4
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2.3.2两点间的距离公式教学设计
课题
两点间的距离公式
单元
第二单元
学科
数学
年级
高二
教材分析
在平面直角坐标系中，任意两点间的距离是解析几何重要的基本概念和公式，它为以后学习圆锥曲线、动点到定点的距离、动点到定直线的距离打下基础，
是沟通“数”与“形”、建立解析几何理论的基础。
教学
目标与
核心素养
1数学抽象：
掌握平面内两点间的距离公式；
2逻辑推理：
两点间的距离公式的推导；
3数学运算：
求两点间的距离公式；
4数学建模：
用坐标法解决平面几何问题；
5直观想象：
平面内两点间的距离公式及其各种特例；
6数据分析：
能够根据题意，建立合适的平面直角坐标系，应用两点间距离公式证明几何问题.
重点
两点间的距离公式.
难点
应用两点间距离公式证明几何问题.
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
在日常的生产生活中，存在着大量的关于两点间距离的问题，宏观上，求天体中两颗星球间的距离；微观上，求分子间距，中观上，求两个城市间的距离等。关于两点间距离的求法，有很多方法，其中包括物理学方法，化学方法，等等，但不管是那种方法，都离不开数学计算。
在数学领域计算两点间的距离，方法也有很多，常用的距离度量方法有欧氏距离、马氏距离、曼哈顿距离、闵可夫斯基距离、汉明距离、切比雪夫距离等。
那么，在平面解析几何中如何求两点间的距离呢？
情景引入
感受生活中两点间距离的广泛应用
简单了解数学领域里，关于距离的研究
导入新课
讲授新课
我们知道，在各种几何量中，直线段的长度是最基本的，所以，在解析几何中，最基本的公式自然是用平面内两点的坐标表示这两点的距离公式
探究
如图
已知平面内两点
，如何求
间的距离
？
我们用平面向量的知识来解决.
如图
由点
，得
.于是，
由此得到两点间的距离公式
特别地，原点O（0，0）与任意一点P（x,
y）间的距离
.
当平行与x轴时，
当平行与y轴时，
思考
平面内两点间的距离公式与坐标顺序是否有关？
提示：无关.
在计算公式中，
，
的位置可以互换，不影响计算结果.
思考
你能利用
构造直角三角形，再用勾股定理推导两点间距离公式吗？与向量法比较，你有什么体会？
提示：如图
从点
分别向y轴和x轴作垂线和，垂足分别为
和
,直线
与
相交于点Q
.
在直角△
中，
.
为了计算
和
，过点向x轴作垂线，垂足为；
过点向y轴作垂线，垂足为
.
于是有
所以，
由此得到两点
间的距离公式
例
3
已知点A（-1，2），B（2，），在x
轴上求一点P，使，并求的值.
解：
设所求点为P（x
,0）,则
由
，得
解得
x=1
所以，所求点为P（1，0）且
例
4
用坐标法证明：平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边的平方和的两倍.
分析：首先要建立适当的平面直角坐标系，用坐标表示有关的量，然后进行代数运算，最后把代数运算的结果“翻译”成几何关系.
证明：如图
四边形ABCD是平行四边形.
以顶点A为原点，边AB所在直线为x
轴，建立如图所示的平面直角坐标系.
在□
ABCD中，点A的坐标是（0，0），设点B的坐标为,点D的坐标为（b,
c），由平行四边形的性质，得点C的坐标为
.
由两点间的距离公式，得
所以
所以
即平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边的平方和的两倍.
上述利用“坐标法”解决平面几何问题的基本步骤可以概括为
第一步：建立坐标系，利用坐标表示有关的量
第二步：进行有关代数运算
第三步：把代数运算的结果“翻译”成几何结论
思考
在“平面向量及其应用”的学习中，我们用“向量法”证明过这个命题，你能回忆一下证明过程吗？
“向量法”提示：
分析：平行四边形中与两条对角线对应的向量恰是与两条邻边对应的两个向量的和与差，我们可以通过向量运算来探索它们的模之间的关系.
解：
第一步，建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；如图
取
为基底，设
,
则
第二步，通过向量运算，研究几何元素之间的关系：
上面两式相加，得
第三步，把运算结果“翻译”成几何关系：
课堂练习
1求下列两点间的距离：
(1)
A(6,0),
B(-2,0);
(2)
C
(0,-4),
D(0,-1)
(3)
P(6,0),
Q(0,-2)
(4)
M(2,1),
N(5,-1)
答案：(1)
8
(2)
3
(3)
（4）
2
已知点A(1,1)，B(5,3)，C(0,3)，求证：△ABC为直角三角形．
证明：
法一：∵|AB|＝＝2，
|AC|＝＝，
又|BC|＝＝5，
∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，
∴△ABC为直角三角形．
法二：
∵kAB＝＝，kAC＝＝－2，
∴kAB·kAC＝－1，∴AB⊥AC，
∴△ABC是以A为直角顶点的直角三角形．
3
光线从点A（-3，5）射到x轴上，经反射以后经过点B（2，10），则光线从A到B的距离为（
）
A．
B.
C.
D.
解析：
∵点A关于x轴的对称点为
∴
由光的反射理论可知，此即为光线从A到B的距离。
答案
C
4
若点A(－3,4)与坐标轴上的点P的距离等于5，试确定点P的坐标．
解：
若点P在x轴上，设点P的坐标为(x,0)，由点P与点A之间的距离等于5，得＝5，解得x＝0或x＝－6，所以点P的坐标为(0,0)或(－6,0)；
若点P在y轴上，设点P的坐标为(0，y)，由点P与点A之间的距离等于5，得＝5，解得y＝0或y＝8，所以点P的坐标为(0,0)或(0,8)．
故所求的点P有3个，坐标分别为(－6,0)，(0,0)，(0,8)．
5
在平面直角坐标系中，已知点,
,
则
A．1
B.
C.
D.
2
答案
A
提示：
6
已知点A（-3，4），B（2，），在x轴上存在一点P，使，则点P的坐标为____
.
解析：
据题意可设点P的坐标为（x,0）
于是有
由
得
解得
x=
所以点P的坐标为（，0
），
答案
：（，0
）
让学生充分参与进来，感受新知识的建立过程
用向量法研究距离
用坐标法研究距离，引导学生动手操作.
提出问题，帮助学生学会联系旧知，寻找解决问题的策略，最终探究出新的距离公式.
向量法、坐标法
对比两种方法.
巩固练习
课堂小结
1平面内两点间的距离
条件点结论
特例点P（x,
y）到原点O（0，0）的距离
当平行与x轴时，当平行与y轴时，
2
对比“坐标法”与“向量法”
板书
1平面内两点间的距离
2例题
3课堂练习
教学反思
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精品试卷·第
2
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