第四章
概率与统计
4．1 条件概率与事件的独立性
4．1.1 条件概率
最新课程标准
1.了解条件概率的概念．
2．掌握求条件概率的两种方法．(难点)
3．能利用条件概率公式解一些简单的实际问题．(重点)
知识点一 两个事件A与B的交(或积)
把由事件A和B________所构成的事件D，称为事件A与B的交(或积)，记做________(或________)．
知识点二 条件概率
名称
定义
符号表示
计算公式
条件
概率
对于任何两个事件A和B，在已知事件A________的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率．
________
P(B|A)＝________，
________
知识点三 计算条件概率的方法
(1)在缩小后的样本空间ΩA中计算事件B发生的概率，即
P(B|A)＝.
(2)在原样本空间Ω中，先计算P(A∩B)，P(A)，再利用公式P(B|A)＝计算求得P(B|A)．
[基础自测]
1．设A，B为两个事件，且P(A)>0，若P(A∩B)＝，P(A)＝，则P(B|A)＝( )
A.
B.
C.
D.
2．已知P(B|A)＝，P(A)＝，则P(A∩B)等于( )
A.
B.
C.
D.
3．4张奖券中只有1张能中奖，现分别由4名同学无放回地抽取．若已知第一名同学没有抽到中奖券，则最后一名同学抽到中奖券的概率是( )
A.
B.
C.
D．1
4．设某动物由出生算起活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.4，现有一个20岁的这种动物，则它活到25岁的概率是________．
题型一 利用定义求条件概率
例1 一个袋中有2个黑球和3个白球，如果不放回地抽取两个球，记事件“第一次抽到黑球”为A；事件“第二次抽到黑球”为B.
(1)分别求事件A，B，A∩B发生的概率；
(2)求P(B|A)．
首先弄清“这次试验”指的是什么，然后判断该问题是否属于古典概型，最后利用相应公式求解．
方法归纳
1．用定义法求条件概率P(B|A)的步骤
(1)分析题意，弄清概率模型；
(2)计算P(A)，P(A∩B)；
(3)代入公式求P(B|A)＝.
2．在(2)题中，首先结合古典概型分别求出事件A，B的概率，从而求出P(B|A)，揭示出P(A)，P(B)和P(B|A)三者之间的关系．
跟踪训练1 甲、乙两市都位于长江下游，根据一百多年来的气象记录，知道一年中下雨天的比例甲市占20%，乙市占18%，两地同时下雨占12%，记P(A)＝0.2，P(B)＝0.18，P(A∩B)＝0.12，则P(A|B)＝________，P(B|A)＝________.
题型二 利用基本事件个数比(缩小样本空间的方法)求条件概率
例2 现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求：
(1)第1次抽到舞蹈节目的概率；
(2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；
(3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率．
第(1)、(2)问属古典概型问题，可直接代入公式；第(3)问为条件概率，可以借用前两问的结论，也可以直接利用基本事件个数求解．
方法归纳
1．本题第(3)问给出了两种求条件概率的方法，方法一为定义法，方法二利用基本事件个数直接作商，是一种重要的求条件概率的方法．
2．计算条件概率的方法
(1)在缩小后的样本空间ΩA中计算事件B发生的概率，即
P(B|A)＝.
(2)在原样本空间Ω中，先计算P(A∩B)，P(A)，再利用公式P(B|A)＝计算求得P(B|A)．
(3)条件概率的算法：已知事件A发生，在此条件下事件B发生，即事件A∩B发生，要求P(B|A)，相当于把A看作新的基本事件空间计算事件A∩B发生的概率，即
P(B|A)＝＝＝.
跟踪训练2 本例条件不变，试求在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到语言类节目的概率．
题型三 条件概率的综合应用
1.掷一枚质地均匀的骰子，有多少个基本事件？它们之间有什么关系？随机事件出现“大于4的点”包含哪些基本事件？
[提示] 掷一枚质地均匀的骰子，可能出现的基本事件有“1点”“2点”“3点”“4点”“5点”“6点”，共6个，它们彼此互斥．“大于4的点”包含“5点”“6点”两个基本事件．
2．“先后抛出两枚质地均匀的骰子”试验中，已知第一枚出现4点，则第二枚出现“大于4”的事件，包含哪些基本事件？
[提示] “第一枚4点，第二枚5点”“第一枚4点，第二枚6点”．
3．先后抛出两枚质地均匀的骰子，已知第一枚出现4点，如何利用条件概率的性质求第二枚出现“大于4点”的概率？并求出此概率．
[提示] 设第一枚出现4点为事件A，第二枚出现5点为事件B，第二枚出现6点为事件C.则所求事件为B∪C|A.
∴P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)＝＋＝.
例3 一批同型号产品由甲、乙两厂生产，产品结构如下表：
等级厂别数量
甲厂
乙厂
合计
合格品
475
644
1
119
次品
25
56
81
合计
500
700
1
200
先求基本事件的概率，再依据条件概率的计算公式计算．(1)从这批产品中随意地取一件，则这件产品恰好是次品的概率是________；
(2)已知取出的产品是甲厂生产的，则这件产品恰好是次品的概率是________．
方法归纳
条件概率的解题策略
分解计算，代入求值，为了求比较复杂事件的概率，一般先把它分解成两个(或若干个)互不相容的较简单的事件之和，求出这些简单事件的概率，再利用加法公式即得所求的复杂事件的概率．跟踪训练3 袋中有6个黄色的乒乓球，4个白色的乒乓球，做不放回抽样，每次抽取一球，取两次，则第二次才能取到黄球的概率为________．
教材反思
4．1 条件概率与事件的独立性
4．1.1 条件概率
新知初探·自主学习
知识点一
同时发生 D＝A∩B D＝AB
知识点二
发生 P(B|A) ，P(A)>0
[基础自测]
1．解析：由P(B|A)＝＝＝，故选A.
答案：A
2．解析：由P(B|A)＝，得P(A∩B)＝P(B|A)·P(A)＝×＝.
答案：C
3．解析：因为第一名同学没有抽到中奖券，所以问题变为3张奖券，1张能中奖，最后一名同学抽到中奖券的概率，显然是.
答案：B
4．解析：根据条件概率公式知P＝＝0.5.
答案：0.5
课堂探究·素养提升
例1 【解析】 (1)由古典概型的概率公式可知
P(A)＝，
P(B)＝＝＝，
P(A∩B)＝＝.
(2)根据条件概率的计算公式可知
P(B|A)＝＝＝.
跟踪训练1 解析：由公式可得P(A|B)＝＝，P(B|A)＝＝.
答案：
例2 【解析】 设第1次抽到舞蹈节目为事件A，第2次抽到舞蹈节目为事件B，则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件A∩B.
(1)从6个节目中不放回地依次抽取2个的事件数为n(Ω)＝A＝30，
根据分步计数原理n(A)＝AA＝20，于是P(A)＝＝＝.
(2)因为n(A∩B)＝A＝12，于是P(A∩B)＝＝＝.
(3)方法一：由(1)(2)可得，在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率为
P(B|A)＝＝＝.
方法二：因为n(A∩B)＝12，n(A)＝20，
所以P(B|A)＝＝＝.
跟踪训练2 解析：设第1次抽到舞蹈节目为事件A，第2次抽到语言类节目为事件C，则第1次抽到舞蹈节目、第2次抽到语言类节目为事件A∩C.
n(A)＝A×A＝20，n(A∩C)＝A×A＝8，
∴P(C|A)＝＝＝.
例3 【解析】 (1)从这批产品中随意地取一件，则这件产品恰好是次品的概率是＝.
(2)方法一：已知取出的产品是甲厂生产的，则这件产品恰好是次品的概率是＝.
方法二：设A＝“取出的产品是甲厂生产的”，B＝“取出的产品为甲厂的次品”，则P(A)＝，P(A∩B)＝，所以这件产品恰好是甲厂生产的次品的概率是P(B|A)＝＝.
【答案】 (1) (2)
跟踪训练3 解析：记“第一次取到白球”为事件A，“第二次取到黄球”为事件B，“第二次才取到黄球”为事件C，所以P(C)＝P(A∩B)＝P(A)P(B|A)＝×＝.
答案：
-
1
-4.1.2 乘法公式与全概率公式
最新课程标准
1.掌握以条件概率的定义为基础用来计算两事件交的概率乘法公式；
2．了解全概率公式与贝叶斯公式，并会应用这两个公式解决一些实际的概率问题.
知识点一 两个事件A、B同时发生的概率乘法公式
若P(B)>0，则P(AB)＝P(B)P(A|B)，或P(AB)＝P(A)P(B|A)
知识点二 全概率公式
设事件A1，A2，…，An
两两互斥，
A1＋A2＋…＋
An＝Ω，且P(Ai)>0(i＝1,2,
…，n)，则对任意事件B，有我们把事件A1，A2，…，An
看作是引起事件B发生的所有可能原因，事件B
能且只能在原有A1，A2，…，An
之一发生的条件下发生，求事件B
的概率就是上面的全概率公式P(B)＝(Ai)P(B|Ai)．
知识点三 贝叶斯公式
1．与全概率公式解决的问题相反，贝叶斯公式是建立在条件概率的基础上寻找事件发生的原因．
2．一般地，当1＞P(A)＞0且P(B)＞0时，有P(A|B)＝＝.这称为贝叶斯公式．
[基础自测]
1．设某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第一车间的次品率为0.15，第二车间的次品率为0.12，两个车间的成品都混合堆放在一个仓库，假设第1,2车间生产的成品比例为
2：3，今有一客户从成品仓库中随机提一台产品，求该产品合格的概率．
2．盒中有a个红球，b个黑球，今随机地从中取出一个，观察其颜色后放回，并加上同色球c个，再从盒中第二次抽取一球，求第二次抽出的是黑球的概率．
3．将3颗骰子各掷一次，记事件A表示“三个点数都不相同”，事件B表示“至少出现一个3点”，则概率P(A|B)等于( )
A.
B.
C.
D.
4．已知甲袋中有6只红球，4只白球；乙袋中有8只红球，6只白球．求下列事件的概率：
(1)随机取一只袋，再从该袋中随机取一球，该球是红球；
(2)合并两只袋，从中随机取一球，该球是红球．
题型一 概率乘法公式的应用
例1 设有1
000件产品，其中850件是正品，150件是次品，从中依次抽取2件，两件都是次品的概率是多少？
方法归纳
已知事件A的概率，以及已知事件A发生的条件下事件B发生的概率，可以求出A、B同时发生的概率．跟踪训练1 已知市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是80%，则从市场上买到一个是甲厂生产的合格灯泡的概率是( )
A．0.665
B．0.56
C．0.24
D．0.028
5
题型二 全概率公式的应用
例2 某车间用甲、乙、丙三台机床进行生产，各种机床的次品率分别为5%、4%、2%，它们各自的产品分别占总产量的25%、35%、40%，将它们的产品组合在一起，求任取一个是次品的概率．
方法归纳
全概率公式，本质上是将样本空间分成互斥的两部分或几部分后，再根据互斥事件的概率加法公式而得到．
跟踪训练2 市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂的合格率是80%.若用事件A，分别表示甲、乙两厂的产品，B表示产品为合格品．求市场上买一个灯泡的合格率，及买到合格灯泡是甲厂生产的概率．
题型三 贝叶斯公式的应用
例3 某车间用甲、乙、丙三台机床进行生产，各种机床的次品率分别为5%、4%、2%，它们各自的产品分别占总产量的25%、35%、40%，将它们的产品组合在一起，并随机取一件，如果取到的一件产品是次品，分别求这一产品是甲、乙、丙生产的概率．
方法归纳
贝叶斯公式可以看成要根据事件发生的结果找原因，贝叶斯公式是建立在条件概率的基础上寻找事件发生的原因，看看这一结果有各种可能原因导致的概率是多少．跟踪训练3 设某公路上经过的货车与客车的数量之比为2：1，货车中途停车修理的概率为0.02，客车为0.01，今有一辆汽车中途停车修理，求该汽车是货车的概率．
4．1.2 乘法公式与全概率公式
新知初探·自主学习
[基础自测]
1．解析：设B＝{从仓库中随机提出的一台是合格品}
Ai＝{提出的一台是第i车间生产的}，i＝1,2
则有分解B＝A1B∪A2B
由题意P(A1)＝，P(A2)＝，P(B|A1)＝0.85，P(B|A2)＝0.88
由全概率公式P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝0.4×0.85＋0.6×0.88＝0.868.
2．解析：设A＝{第一次抽出的是黑球}，B＝{第二次抽出的是黑球}，则B＝AB＋B，由全概率公式P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)，
由题意P(A)＝，P(B|A)＝，P()＝，P(B|)＝，
所以P(B)＝＋＝.
3．解析：事件B发生的基本事件个数是n(B)＝6×6×6－5×5×5＝91，事件A，B同时发生的基本事件个数为n(A∩B)＝3×5×4＝60.
所以P(A|B)＝＝.
答案：C
4．解析：(1)记B＝{该球是红球}，A1＝{取自甲袋}，A2＝{取自乙袋}，已知P(B|A1)＝，P(B|A2)＝，所以P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝×＋×＝
(2)P(B)＝＝
课堂探究·素养提升
例1 【解析】 设
Ai
表示“第
i
次抽到的是次品”(i＝1,2)，所求概率为P(A1A2)
＝P(A1)P(A2|A1)＝·＝0.022
4.
跟踪训练1 解析：记A为“甲厂产品”，B为“合格产品”，
则P(A)＝0.7，P(B|A)＝0.95，
所以P(AB)＝P(A)·P(B|A)＝0.7×0.95＝0.665.
答案：A
例2 【解析】 设
A1表示“产品来自甲台机床”，
A2表示“产品来自乙台机床”，
A3表示“产品来自丙台机床”，
B表示“取到次品”。根据全概率公式有P(B)＝(Ai)P(B|Ai)＝0.25×0.05＋0.35×0.04＋0.40×0.02＝0.0345.
跟踪训练2 解析：B＝AB＋B且AB与B互不相容．
P(B)＝P(AB＋B)＝P(AB)＋P(B)
＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)
＝0.7×0.95＋0.3×0.8＝0.905
P(A|B)＝＝
＝≈0.735.
例3 【解析】 设
A1表示“产品来自甲台机床”，
A2表示“产品来自乙台机床”，
A3表示“产品来自丙台机床”，
B表示“取到次品”。根据贝叶斯公式有：
P(A1|B)＝＝0.362
3
P(A2|B)＝＝0.406
P(A3|B)＝＝0.232.
跟踪训练3 解析：设B＝{中途停车修理}，A1＝{经过的是货车}，A2＝{经过的是客车}，则B＝A1B∪A2B，由贝叶斯公式有：
P(A1|B)＝
＝＝0.80.
-
5
-4.1.3 独立性与条件概率的关系
最新课程标准
1.理解独立性与条件概率的关系．(难点)
2．理解概率的乘法公式．(易混点)
3．掌握综合运用互斥事件的概率加法公式及独立事件的乘法公式解题．(重点)
知识点一 两个事件独立的直观理解
若事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响，事件B是否发生对事件A发生的概率也没有影响，则称两个事件A，B相互独立，并把这两个事件叫做____________．且A，B为两个事件独立的充要条件是P(AB)＝P(A)·P(B)．
知识点二 独立性与条件概率的关系
设A，B为两个事件，A，B独立的充要条件是P(B|A)＝P(B),
(P(A|B)＝P(A))即若事件B发生的概率与已知事件A发生时事件B发生的概率相等，即事件A发生，不会影响事件B发生的概率，则称两个事件A，B相互独立，并把这两个事件叫做____________．
知识点三 相互独立事件的概率的乘法公式
若事件A，B相互独立，则P(B|A)＝P(B),
P(A|B)＝P(A)，
此时概率的乘法公式可简化为：
P(AB)＝P(A)·P(B)．
知识点四 n个事件相互独立也可借助条件概率来理解
对于n个事件A1，A2，…，An，如果其中任一个事件发生的概率不受________________的影响，则称n个事件A1，A2，…，An相互独立．
知识点五 n个相互独立事件的概率公式
如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件都发生的概率，等于________________________，即P(A1∩A2∩…∩An)＝P(A1)×P(A2)×…×P(An)，
并且上式中任意多个事件Ai换成其对立事件后等式仍成立．
[基础自测]
1．下列说法不正确的有( )
A．对事件A和B，若P(B|A)＝P(B)，则事件A与B相互独立
B．若事件A，B相互独立，则P(∩)＝P()×P()
C．如果事件A与事件B相互独立，则P(B|A)＝P(B)
D．若事件A与B相互独立，则B与相互独立
2．抛掷3枚质地均匀的硬币，A＝{既有正面向上又有反面向上}，B＝{至多有一个反面向上}，则A与B的关系是( )
A．互斥事件
B．对立事件
C．相互独立事件
D．不相互独立事件
3．袋内有大小相同的3个白球和2个黑球，从中不放回地摸球，用A表示“第一次摸到白球”，用B表示“第二次摸到白球”，则A与B是( )
A．互斥事件
B．相互独立事件
C．对立事件
D．非相互独立事件
4．明天上午李明要参加“青年文明号”活动，为了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己，假设甲闹钟准时响的概率为0.80，乙闹钟准时响的概率为0.90，则两个闹钟至少有一个准时响的概率是________．
题型一 相互独立事件的判断
例1 判断下列各对事件是否是相互独立事件．
(1)甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”；
(2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”；
(3)掷一颗骰子一次，“出现偶数点”与“出现3点或6点”．
(1)利用独立性概念的直观解释进行判断．(2)计算“从8个球中任取一球是白球”发生与否，事件“从剩下的7个球中任意取出一球还是白球”的概率是否相同进行判断．(3)利用事件的独立性定义式判断．
方法归纳
判断事件是否相互独立的方法
1．定义法：事件A，B相互独立?P(A∩B)＝P(A)·P(B)．
2．由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响．
3．条件概率法：当P(A)>0时，可用P(B|A)＝P(B)判断．跟踪训练1 (1)下列事件中，A，B是相互独立事件的是( )
A．一枚硬币掷两次，A＝“第一次为正面”，B＝“第二次为反面”
B．袋中有2白，2黑的小球，不放回地摸两球，A＝“第一次摸到白球”，B＝“第二次摸到白球”
C．掷一枚骰子，A＝“出现点数为奇数”，B＝“出现点数为偶数”
D．A＝“人能活到20岁”，B＝“人能活到50岁”
(2)甲、乙两名射手同时向一目标射击，设事件A：“甲击中目标”，事件B：“乙击中目标”，则事件A与事件B( )
A．相互独立但不互斥
B．互斥但不相互独立
C．相互独立且互斥
D．既不相互独立也不互斥
题型二 相互独立事件发生的概率
例2 面对某种流感病毒，各国医疗科研机构都在研究疫苗，现有A，B，C三个独立的研究机构在一定的时期内能研制出疫苗的概率分别是，，.求：
(1)他们都研制出疫苗的概率；
(2)他们都失败的概率；
(3)他们能够研制出疫苗的概率．
→→
方法归纳
1．求相互独立事件同时发生的概率的步骤
(1)首先确定各事件之间是相互独立的；
(2)确定这些事件可以同时发生；
(3)求出每个事件的概率，再求积．
2．使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的，而且它们能同时发生．
跟踪训练2 一个袋子中有3个白球，2个红球，每次从中任取2个球，取出后再放回，求：
(1)第1次取出的2个球都是白球，第2次取出的2个球都是红球的概率；
(2)第1次取出的2个球1个是白球、1个是红球，第2次取出的2个球都是白球的概率．
题型三 事件的相互独立性与互斥性
1.甲、乙二人各进行一次射击比赛，记A＝“甲击中目标”，B＝“乙击中目标”，试问事件A与B是相互独立事件，还是互斥事件？事件∩B与A∩呢？
[提示] 事件A与B，与B，A与均是相互独立事件，而∩B与A∩是互斥事件．
2．在1中，若甲、乙二人击中目标的概率均是0.6，如何求甲、乙二人恰有一人击中目标的概率？
[提示] “甲、乙二人恰有1人击中目标”记为事件C，则C＝∩B＋A∩.
所以P(C)＝P(∩B＋A∩)＝P(∩B)＋P(A∩)
＝P()·P(B)＋P(A)·P()
＝(1－0.6)×0.6＋0.6×(1－0.6)＝0.48.
3．由1、2，你能归纳出相互独立事件与互斥事件的区别吗？
[提示] 相互独立事件与互斥事件的区别
相互独立事件
互斥事件
条件
事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响
不可能同时发生的两个事件
符号
相互独立事件A，B同时发生，记做：AB
互斥事件A，B中有一个发生，记做：A∪B(或A
＋B)
计算公式
P(A∩B)＝P(A)P(B)
P(A∪B)＝P(A)＋P(B)
例3 红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A，B，C进行围棋比赛，甲对A、乙对B、丙对C各一盘．已知甲胜A、乙胜B、丙胜C的概率分别为0.6,0.5,0.5.假设各盘比赛结果相互独立．求：
(1)红队中有且只有一名队员获胜的概率；
(2)求红队至少两名队员获胜的概率．
弄清事件“红队有且只有一名队员获胜”与事件“红队至少两名队员获胜”是由哪些基本事件组成的，及这些事件间的关系，然后选择相应概率公式求值．
方法归纳
1．本题(2)中用到直接法和间接法．当遇到“至少”“至多”问题可以考虑间接法．
2．求复杂事件的概率一般可分三步进行：
(1)列出题中涉及的各个事件，并用适当的符号表示它们；
(2)理清各事件之间的关系，恰当地用事件间的“并”“交”表示所求事件；
(3)根据事件之间的关系准确地运用概率公式进行计算．
跟踪训练3 11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10：10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立．在某局双方10：10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束．
(1)求P(X＝2)；
(2)求事件“X＝4且甲获胜”的概率．
4．1.3 独立性与条件概率的关系
新知初探·自主学习
知识点一
相互独立事件
知识点二
相互独立事件
知识点四
其他事件是否发生
知识点五
每个事件发生的概率的积
[基础自测]
1．解析：若P(B|A)＝P(B)，则P(A∩B)＝P(A)·P(B)，故A，B相互独立，所以A正确；若事件A，B相互独立，则，也相互独立，故B正确；若事件A，B相互独立，则A发生与否不影响B的发生，故C正确；④B与相互对立，不是相互独立，故D错误．
答案：D
2．解析：由已知，有P(A)＝1－＝，P(B)＝1－＝，P(AB)＝，满足P(AB)＝P(A)P(B)，则事件A与事件B相互独立，故选C.
答案：C
3．解析：根据互斥事件、对立事件及相互独立事件的概念可知，A与B不是相互独立事件．
答案：D
4．解析：设两个闹钟至少有一个准时响的事件为A，
则P(A)＝1－(1－0.80)(1－0.90)
＝1－0.20×0.10＝0.98.
答案：0.98
课堂探究·素养提升
例1 【解析】 (1)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响，所以它们是相互独立事件．
(2)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为，若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为；若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为，可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件．
(3)记A：出现偶数点，B：出现3点或6点，则A＝{2,4,6}，B＝{3,6}，AB＝{6}，
∴P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(AB)＝.
∴P(AB)＝P(A)·P(B)，
∴事件A与B相互独立．
跟踪训练1 解析：(1)把一枚硬币掷两次，对于每次而言是相互独立的，其结果不受先后影响，故A项是相互独立事件；B中是不放回地摸球，显然A事件与B事件不相互独立；对于C，A，B应为互斥事件，不相互独立；D是条件概率，事件B受事件A的影响．故选A.
(2)对同一目标射击，甲、乙两射手是否击中目标是互不影响的，所以事件A与B相互独立；对同一目标射击，甲、乙两射手可能同时击中目标，也就是说事件A与B可能同时发生，所以事件A与B不是互斥事件．故选A.
答案：(1)A (2)A
例2 【解析】 令事件A，B，C分别表示A，B，C三个独立的研究机构在一定时期内成功研制出该疫苗，依题意可知，事件A，B，C相互独立，且P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝.
(1)他们都研制出疫苗，即事件A，B，C同时发生，故
P(A∩B∩C)＝P(A)×P(B)×P(C)＝××＝.
(2)他们都失败即事件，，同时发生，
故P(∩∩)＝P()×P()×P()
＝(1－P(A))(1－P(B))(1－P(C))
＝
＝××＝.
(3)“他们能研制出疫苗”的对立事件为“他们都失败”，结合对立事件间的概率关系可得所求事件的概率
P＝1－P(∩∩)＝1－＝.
跟踪训练2 解析：记“第1次取出的2个球都是白球”的事件为A，“第2次取出的2个球都是红球”的事件为B，“第1次取出的2个球中1个是白球、1个是红球”的事件为C，很明显，由于每次取出后再放回，A，B，C都是相互独立事件．
(1)P(A∩B)＝P(A)P(B)＝×＝×＝
故第1次取出的2个球都是白球，第2次取出的2个球都是红球的概率是.
(2)P(C∩A)＝P(C)P(A)＝·＝·＝.
故第1次取出的2个球中1个是白球、1个是红球，第2次取出的2个球都是白球的概率是.
例3 【解析】 设甲胜A的事件为D，乙胜B的事件为E，丙胜C的事件为F，
则，，分别表示甲不胜A、乙不胜B、丙不胜C的事件．
因为P(D)＝0.6，P(E)＝0.5，P(F)＝0.5，
由对立事件的概率公式知P()＝0.4，P()＝0.5，P()＝0.5.
(1)红队有且只有一名队员获胜的事件有D
∩∩
，∩E∩
，∩
∩F，以上3个事件彼此互斥且独立．
∴红队有且只有一名队员获胜的概率
P1＝P[(D
∩
∩)∪(∩E
∩)∪(∩
∩F)]
＝P(D∩
∩)＋P(∩E∩)＋P(∩∩F)
＝0.6×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＝0.35.
(2)方法一：红队至少两人获胜的事件有：D∩E
∩，D∩∩F，∩E∩F，D∩E∩F.
由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，
因此红队至少两人获胜的概率为
P＝P(D∩E∩
)＋P(D∩
∩F)＋P(∩E∩F)＋P(D∩E∩F)
＝0.6×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.55.
方法二：“红队至少两人获胜”与“红队最多一人获胜”为对立事件，而红队都不获胜为事件∩∩，且P(∩∩)＝0.4×0.5×0.5＝0.1.
∴红队至少两人获胜的概率为
P2＝1－P1－P(∩
∩)＝1－0.35－0.1＝0.55.
跟踪训练3 解析：(1)X＝2就是某局双方10：10平后，两人又打了2个球该局比赛结束，则这2个球均由甲得分，或者均由乙得分．因此P(X＝2)＝0.5×0.4＋(1－0.5)×(1－0.4)＝0.5.
(2)X＝4且甲获胜，就是某局双方10：10平后，两人又打了4个球该局比赛结束，且这4个球的得分情况为：前两球是甲、乙各得1分，后两球均为甲得分．因此所求概率为[0.5×(1－0.4)＋(1－0.5)×0.4]×0.5×0.4＝0.1.
-
2
-4.2 随机变量
4．2.1 随机变量及其与事件的联系
最新课程标准
1.理解随机变量的定义．(重点)
2．理解随机变量与事件的对应关系．(易混点)
3．理解随机变量之间的关系．(难点)
知识点一 随机变量的概念
定义：一般地，如果随机试验的样本空间为Ω，而且对于Ω中的每一个样本点，变量X都对应有唯一确定的实数值，就称X为一个随机变量．随机变量常用大写字母____，____，Z…或小写希腊字母ξ，ζ，η…表示．随机变量所有可能的取值组成的集合，称为这个随机变量的取值范围．
随机变量的取值由随机试验的结果决定．
知识点二 用随机变量表示事件
一般地，如果X是一个随机变量，a，b都是任意实数，那么X＝a，X≤b，X>b等都表示事件，而且：
(1)当a≠b时，事件X＝a与X＝b互斥；
(2)事件X≤a与X>a相互对立，因此P(X≤a)＋P(X>a)＝1.
用随机变量表示事件与事件的概率时，有时可不写出样本空间．
知识点三 随机变量之间的关系
一般地，如果X是一个随机变量，a，b都是实数且a≠0，则Y＝aX＋b也是一个随机变量．由于X＝t的充要条件是Y＝at＋b，因此P(X＝t)＝P(Y＝at＋b)．
[基础自测]
1．给出下列四个命题：
①15秒内，通过某十字路口的汽车的数量是随机变量；
②在一段时间内，某候车室内候车的旅客人数是随机变量；
③一条河流每年的最大流量是随机变量；
④一个剧场共有三个出口，散场后某一出口退场的人数是随机变量．
其中正确的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
2．某人进行射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为ξ，则{ξ＝5}表示的事件是( )
A．第5次击中目标
B．第5次未击中目标
C．前4次均未击中目标
D．第4次击中目标
3．袋中有大小相同的5个球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量X，则X所有可能取值的个数是________．
4．甲进行3次射击，甲击中目标的概率为，记甲击中目标的次数为ξ，则ξ的可能取值为________．
题型一 随机变量的概念
例1 判断下列各个量，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．
利用随机变量的定义判断．(1)北京国际机场候机厅中2019年5月1日的旅客数量；
(2)2019年5月1日至10月1日期间所查酒驾的人数；
(3)2019年6月1日济南到北京的某次动车到北京站的时间；
(4)体积为1
000
cm3的球的半径长．
方法归纳
随机变量的辨析方法
1．随机试验的结果具有可变性，即每次试验对应的结果不尽相同．
2．随机试验的结果具有确定性，即每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果．
如果一个随机试验的结果对应的变量具有以上两点，则该变量即为随机变量．跟踪训练1 (1)下列变量中，不是随机变量的是( )
A．一射击手射击一次命中的环数
B．标准状态下，水沸腾时的温度
C．抛掷两枚骰子，所得点数之和
D．某电话总机在时间区间(0，T)内收到的呼叫次数
(2)10件产品中有3件次品，从中任取2件，可作为随机变量的是( )
A．取到产品的件数
B．取到正品的概率
C．取到次品的件数
D．取到次品的概率
题型二 离散型随机变量的判定
例2 指出下列随机变量是否是离散型随机变量，并说明理由．
(1)某座大桥一天经过的车辆数X；
(2)某超市5月份每天的销售额；
(3)某加工厂加工的一批某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差ξ；
(4)江西九江市长江水位监测站所测水位在(0,29]这一范围内变化，该水位站所测水位ξ.
方法归纳
“三步法”判定离散型随机变量
1．依据具体情境分析变量是否为随机变量．
2．由条件求解随机变量的值域．
3．判断变量的取值能否被一一列举出来，若能，则是离散型随机变量；否则，不是离散型随机变量．
跟踪训练2 一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数为ξ.
(1)列表说明可能出现的结果与对应的ξ的值；
(2)若规定抽取3个球中，每抽到一个白球加5分，抽到黑球不加分，且最后结果都加上6分，求最终得分η的可能取值，并判定η是否为离散型随机变量．
题型三 随机变量的可能取值与事件的对应关系
1.抛掷一枚质地均匀的硬币，可能出现正面向上、反面向上两种结果．这种试验结果能用数字表示吗？
[提示] 可以．用数字1和0分别表示正面向上和反面向上．
2．在一块地里种10棵树苗，设成活的树苗数为X，则X可取哪些数字？
[提示] X＝0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10.
3．抛掷一枚质地均匀的骰子，出现向上的点数为ξ，则“ξ≥4”表示的随机事件是什么？
[提示] “ξ≥4”表示出现的点数为4点，5点，6点．
例3 写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值和所表示的事件．
(1)袋中有大小相同的红球10个，白球5个，从袋中每次任取1个球，直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数；
(2)从标有1,2,3,4,5,6的6张卡片中任取2张，所取卡片上的数字之和．
方法归纳
用随机变量表示事件
问题的关键点和注意点
(1)关键点：解决此类问题的关键是明确随机变量的所有可能取值，以及取每一个值时对应的意义，即一个随机变量的取值可能对应一个或多个随机试验的结果．
(2)注意点：解答过程中不要漏掉某些试验结果．
跟踪训练3 写出下列各随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．
(1)在2018年北京大学的自主招生中，参与面试的5名考生中，通过面试的考生人数X；
(2)射手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，该射手在一次射击中的得分用ξ表示．
题型四 随机变量之间的关系
先求随机变量X的取值及相应概率，再求随机变量X与Y的关系．例4 袋中有4个红球、3个黑球，从袋中随机取球，若取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，从袋中任取4个球．
(1)设取得红球个数为X，求X的所有取值；
(2)设得分为Y，写出X与Y之间的关系式；
(3)求Y>6分的概率．
方法归纳
先求随机变量X的取值及相应概率，再求随机变量X与Y的关系(Y＝at＋b，a，b为常数)；根据：“X＝t的充要条件是Y＝at＋b；因此P(X＝t)＝P(Y＝at＋b)”求Y的概率．
跟踪训练4 在一次比赛中需回答三个问题，比赛规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得－100分．
(1)设选手甲正确回答这三个问题的个数为X，则X的取值是多少？
(2)选手甲回答这三个问题的总得分Y的所有可能取值是多少？
(3)若P(X>1)＝0.6，求P(Y≤－100)．
4．2随机变量
4．2.1 随机变量及其与事件的联系
新知初探·自主学习
知识点一
X Y
[基础自测]
1．解析：由随机变量定义可以直接判断①②③④都是正确的．故选D.
答案：D
2．解析：{ξ＝5}表示前4次均未击中，而第5次可能击中，也可能未击中，故选C.
答案：C
3．解析：由于抽球是在有放回条件下进行的，所以每次抽取的球号均可能是1,2,3,4,5中某个．故两次抽取球号码之和可能为2,3,4,5,6,7,8,9,10，共9种．
答案：9
4．解析：甲可能在3次射击中，一次也未中，也可能中1次，2次，3次．
答案：0,1,2,3
课堂探究·素养提升
例1 【解析】 (1)旅客人数可能是0,1,2，…，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．
(2)所查酒驾的人数可能是0,1,2，…，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．
(3)动车到达的时间可在某一区间内任取一值，是随机的，因此是随机变量．
(4)球的体积为1
000
cm3时，球的半径为定值，不是随机变量．
跟踪训练1 解析：(1)B项中水沸腾时的温度是一个确定值．
(2)A中取到产品的件数是一个常量不是变量，B，D也是一个定值，而C中取到次品的件数可能是0,1,2，是随机变量．
答案：(1)B (2)C
例2 【解析】 (1)车辆数X的取值可以一一列出，故X为离散型随机变量．
(2)某超市5月份每天销售额可以一一列出，故为离散型随机变量．
(3)实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出，不是离散型随机变量．
(4)不是离散型随机变量，水位在(0,29]这一范围内变化，不能按次序一一列举．
跟踪训练2 解析：(1)
ξ
0
1
2
3
结果
取得3
个黑球
取得1个白
球，2个黑球
取得2个白
球，1个黑球
取得3
个白球
(2)由题意可得：η＝5ξ＋6，而ξ可能的取值范围为{0,1,2,3}，所以η对应的各值是：5×0＋6,5×1＋6,5×2＋6,5×3＋6.故η的可能取值为6,11,16,21.显然，η为离散型随机变量．
例3 【解析】 (1)设所需的取球次数为X，则
X＝1,2,3,4，…，10,11，
X＝i表示前i－1次取到红球，第i次取到白球，这里i＝1,2，…，11.
(2)设所取卡片上的数字和为X，则X＝3,4,5，…，11.
X＝3，表示“取出标有1,2的两张卡片”；
X＝4，表示“取出标有1,3的两张卡片”；
X＝5，表示“取出标有2,3或标有1,4的两张卡片”；
X＝6，表示“取出标有2,4或1,5的两张卡片”；
X＝7，表示“取出标有3,4或2,5或1,6的两张卡片”；
X＝8，表示“取出标有2,6或3,5的两张卡片”；
X＝9，表示“取出标有3,6或4,5的两张卡片”；
X＝10，表示“取出标有4,6的两张卡片”；
X＝11，表示“取出标有5,6的两张卡片”．
跟踪训练3 解析：(1)X可能取值0,1,2,3,4,5，
X＝i表示面试通过的有i人，其中i＝0,1,2,3,4,5.
(2)ξ可能取值为0,1，
当ξ＝0时，表明该射手在本次射击中没有击中目标；
当ξ＝1时，表明该射手在本次射击中击中目标．
例4 【解析】 (1)设取得红球个数为X，求X的所有取值为1、2、3、4
(2)依题意有：Y＝2X＋4－X＝X＋4；
(3)因为Y>6，所以X＋4>6，所以X>2，所以P(Y>6)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝＋＝.
跟踪训练4 解析：(1)则X的取值是0、1、2、3；
(2)可能有全对，两对一错，两错一对，全错四种结果，相应得分为300分，100分，－100分，－300分．
(3)因为Y＝100X－100(3－X)＝200X－300，由X>1得Y>－100，所以P(X>1)＝P(Y>－100)＝0.6；P(Y≤－100)＝1－P(Y>－100)＝0.4.
-
7
-4.2.2 离散型随机变量的分布列
最新课程标准
1.理解取有限值的离散型随机变量及其分布列的概念与性质．
2．会求出某些简单的离散型随机变量的分布列．(重点)
3．理解两点分布的定义，并能简单的运用．(难点)
知识点一 离散型随机变量的分布列定义
要掌握一个离散型随机变量X的取值规律，必须知道：
(1)X所有可能取的值x1，x2，…，xn；(2)X取每一个值xi的概率p1，p2，…，pn，需要列出下表：
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
此表称为离散型随机变量X的________，或称为离散型随机变量X的________．
知识点二 离散型随机变量的分布列性质
(1)pi____0，i＝1,2,3，…，n；
(2)p1＋p2＋…＋pn＝____.
知识点三 随机变量X与随机变量Y＝aX＋b的分布列的关系
一般地，如果X是一个随机变量，a，b都是任意实数且a≠0，则Y＝aX＋b也是一个随机变量．由于X＝t的充要条件是Y＝at＋b；因此P(X＝t)＝P(Y＝at＋b)所以它们分布列的第二行的概率值是一样的．
知识点四 两点分布
如果随机变量X的分布列为
X
0
1
P
____
____
其中0＜p＜1，q＝1－p，则称离散型随机变量X服从参数为p的两点分布．
[基础自测]
1．设某项试验成功的概率是失败概率的2倍，记Y＝则P(Y＝0)＝( )
A．0
B.
C.
D.
2．设X是一个离散型随机变量，其分布列为
X
0
1
P
9a2－a
3－8a
则常数a的值为( )
A.
B.
C.或
D．－或－
3．已知随机变量X的分布列为P(X＝k)＝，k＝1,2，….则P(2＜X≤4)等于( )
A.
B.
C.
D.
4．随机变量η的分布列如下：
η
1
2
3
4
5
6
P
0.2
x
0.35
0.1
0.15
0.2
则x＝________，P(η≤3)＝________.
题型一 分布列及其性质的应用
例1 设随机变量X的分布列为P(X＝i)＝(i＝1,2,3,4)，求：
(1)P(X＝1或X＝2)；
(2)P.
先由分布列的性质求a，再根据X＝1或X＝2，
方法归纳
利用分布列及其性质解题时要注意以下两个问题：
(1)X的各个取值表示的事件是互斥的．
(2)不仅要注意所有概率和等于1，而且要注意pk≥0，k＝1,2，…，n.
跟踪训练1 若离散型随机变量X的分布列为：
X
0
1
P
4a－1
3a2＋a
求常数a及相应的分布列．
题型二 求离散型随机变量的分布列
例2 口袋中有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，现从中随机取出3个球，用X表示取出的最大号码，求X的分布列．
X的可能取值为3,4,5,6，是离散型随机变量．可以利用组合数公式与古典概型概率公式求各种取值的概率．
方法归纳
1．求离散型随机变量的分布列的步骤
(1)找出随机变量ξ的所有可能的取值xi(i＝1,2，…，n)．
(2)求出取每一个值的概率P(ξ＝xi)＝pi.
(3)列出表格．
2．求离散型随机变量分布列时应注意的问题
(1)确定离散型随机变量ξ的分布列的关键是要搞清ξ取每一个值对应的随机事件，进一步利用排列、组合知识求出ξ取每一个值的概率．对于随机变量ξ取值较多时，应由简单情况先导出一般的通式，从而简化过程．
(2)在求离散型随机变量ξ的分布列时，要充分利用分布列的性质，这样不但可以减少运算量，还可验证分布列是否正确．跟踪训练2 (1)从装有6个白球，4个黑球和2个黄球的箱中随机地取出两个球，规定每取出一个黑球赢2元，而每取出一个白球输1元，取出黄球无输赢，以X表示赢得的钱数，随机变量X可以取哪些值呢？求X的分布列．
(2)某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位游客游览这3个景点的概率分别是0.4,0.5,0.6，且游客是否游览哪个景点互不影响，用ξ表示该游客离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值，求ξ的分布列．
题型三 两点分布
1.利用随机变量研究一类问题，如抽取的奖券是否中奖，买回的一件产品是否为正品，新生婴儿的性别，投篮是否命中等，这些问题有什么共同点？
[提示] 这些问题的共同点是随机试验只有两个可能的结果．定义一个随机变量，使其中一个结果对应于1，另一个结果对应于0，即得到服从两点分布的随机变量．
2．只取两个不同值的随机变量是否一定服从两点分布？
[提示] 不一定．如随机变量X的分布列由下表给出
X
2
5
P
0.3
0.7
X不服从两点分布，因为X的取值不是0或1.
例3 袋内有10个白球，5个红球，从中摸出2个球，记X＝求X的分布列．
X只有两个可能取值，属于两点分布，应用概率知识求出X＝0的概率，最后列出表格的形式即可．
方法归纳
两步法判断一个分布是否为两点分布
1．看取值：随机变量只取两个值0和1.
2．验概率：检验P(X＝0)＋P(X＝1)＝1是否成立．
如果一个分布满足以上两点，则该分布是两点分布，否则不是两点分布．跟踪训练3 若离散型随机变量X的分布列为
X
0
1
P
2a
3a
则a＝( )
A.
B.
C.
D.
教材反思
4．2.2 离散型随机变量的分布列
新知初探·自主学习
知识点一
概率分布 分布列
知识点二
(1)≥ (2)1
知识点四
q p
[基础自测]
1．解析：由题意知，可设P(Y＝1)＝p，则P(Y＝0)＝1－p，
又p＝2(1－p)，解得p＝，故P(Y＝0)＝.
答案：C
2．解析：由离散型随机变量分布列的性质可得
解得a＝.
答案：A
3．解析：2＜X≤4时，X＝3,4.
所以P(2＜X≤4)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝＋＝.
答案：A
4．解析：由分布列的性质得
0．2＋x＋0.35＋0.1＋0.15＋0.2＝1，
解得x＝0.故P(η≤3)＝P(η＝1)＋P(η＝2)＋P(η＝3)＝0.2＋0.35＝0.55.
答案：0 0.55
课堂探究·素养提升
例1 【解析】 (1)∵＋＋＋＝1，
∴a＝10，
则P(X＝1或X＝2)
＝P(X＝1)＋P(X＝2)
＝＋＝.
(2)由a＝10，
可得P
＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)
＝＋＋＝.
跟踪训练1 解析：由分布列的性质可知：3a2＋a＋4a－1＝1，
即3a2＋5a－2＝0，解得a＝或a＝－2，
又因4a－1>0，即a>，故a≠－2.
所以a＝，此时4a－1＝，3a2＋a＝.
所以随机变量X的分布列为：
X
0
1
P
例2 【解析】 随机变量X的可能取值为3,4,5,6.
从袋中随机取3个球，包含的基本事件总数为C，事件“X＝3”包含的基本事件总数为C，事件“X＝4”包含的基本事件总数为CC，事件“X＝5”包含的基本事件总数为CC，事件“X＝6”包含的基本事件总数为CC.
从而有P(X＝3)＝＝，
P(X＝4)＝＝，
P(X＝5)＝＝，
P(X＝6)＝＝，
所以随机变量X的分布列为
X
3
4
5
6
P
跟踪训练2 解析：(1)从箱中取两个球的情形有以下6种：
{2白}，{1白1黄}，{1白1黑}，{2黄}，{1黑1黄}，{2黑}．
当取到2白时，随机变量X＝－2；
当取到1白1黄时，随机变量X＝－1；
当取到1白1黑时，随机变量X＝1；
当取到2黄时，X＝0；
当取到1黑1黄时，X＝2；
当取到2黑时，X＝4.
则X的可能取值为－2，－1,0,1,2,4.
P(X＝－2)＝＝，P(X＝－1)＝＝，
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，P(X＝4)＝＝.
从而得到X的分布列如下：
X
－2
－1
0
1
2
4
P
(2)设游客游览甲、乙、丙景点分别记为事件A1，A2，A3，已知A1，A2，A3相互独立，且P(A1)＝0.4，P(A2)＝0.5，P(A3)＝0.6，游客游览的景点数可能取值为0,1,2,3，相应的游客没有游览的景点数可能取值为3,2,1,0，所以ξ的可能取值为1,3.
则P(ξ＝3)＝P(A1∩A2∩A3)＋P(1∩2∩3)
＝P(A1)·P(A2)·P(A3)＋P(1)·P(2)·P(3)
＝2×0.4×0.5×0.6＝0.24.
P(ξ＝1)＝1－0.24＝0.76.
所以分布列为：
ξ
1
3
P
0.76
0.24
例3 【解析】 由题设可知X服从两点分布．
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝1－P(X＝0)＝.
∴X的分布列为
X
0
1
P
跟踪训练3 解析：由离散型随机变量分布列的性质可知，2a＋3a＝1，解得a＝.
答案：C
-
7
-4.2.3 二项分布与超几何分布
最新课程标准
1.理解n次独立重复试验的模型．
2．理解二项分布；能利用独立重复试验的模型及二项分布解决一些简单的实际问题．(重点)
3．理解超几何分布及其推导过程．(重点、难点)
4．能用超几何分布解决一些简单的实际问题．(难点)
知识点一 n次独立重复试验
在相同的条件下，__________试验，各次试验的结果________，那么一般就称它们为n次独立重复试验．
知识点二 二项分布
若将事件A发生的次数设为X，发生的概率为p，不发生的概率q＝1－p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率是P(X＝k)＝____________(k＝0,1,2，…，n)，
于是得到X的分布列
X
0
1
…
k
…
n
P
Cp0qn
Cp1qn－1
…
Cpkqn－k
…
Cpnq0
由于表中的第二行恰好是二项式展开式(q＋p)n＝Cp0qn＋Cp1qn－1＋…＋Cpkqn－k＋…＋Cpnq0各对应项的值，称这样的离散型随机变量X服从参数为n，p的二项分布，记做____________．
知识点三 超几何分布
设有总数为N件的两类物品，其中一类有M件(M[基础自测]
1．独立重复试验满足的条件是________．(填序号)
①每次试验之间是相互独立的；
②每次试验只有发生和不发生两种情况；
③每次试验中发生的概率是相等的；
④每次试验发生的条件是相同的．
2．一枚硬币连掷三次，只有一次出现正面的概率为________．
3．设10件产品中有3件次品，现从中抽取5件，则表示( )
A．5件产品中有3件次品的概率
B．5件产品中有2件次品的概率
C．5件产品中有2件正品的概率
D．5件产品中至少有2件次品的概率
题型一 独立重复试验中的概率问题
例1 (1)某射手射击一次，击中目标的概率是0.9，他连续射击三次，且他每次射击是否击中目标之间没有影响，有下列结论：
①他三次都击中目标的概率是0.93；
②他第三次击中目标的概率是0.9；
③他恰好2次击中目标的概率是2×0.92×0.1；
④他恰好2次未击中目标的概率是3×0.9×0.12.
其中正确结论的序号是________．(把正确结论的序号都填上)
(2)某气象站天气预报的准确率为80%，计算(结果保留到小数点后面第2位)：
①5次预报中恰有2次准确的概率；
②5次预报中至少有2次准确的概率；
③5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率．
方法归纳
独立重复试验概率求法的三个步骤
1．判断：依据n次独立重复试验的特征，判断所给试验是否为独立重复试验．
2．分拆：判断所求事件是否需要分拆．
3．计算：就每个事件依据n次独立重复试验的概率公式求解，最后利用互斥事件概率加法公式计算．
跟踪训练1 甲、乙两队进行排球比赛，已知在一局比赛中甲队胜的概率为，没有平局．若进行三局两胜制比赛，先胜两局者为胜，甲获胜的概率为________．
题型二 二项分布
例2 一名学生每天骑自行车上学，从家到学校的途中有5个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是.
(1)求这名学生在途中遇到红灯的次数ξ的分布列；
(2)求这名学生在首次遇到红灯或到达目的地停车前经过的路口数η的分布列．
(1)首先判断ξ是否服从二项分布，再求分布列．(2)注意“首次遇到”“或到达”的含义，并明确η的取值．再求η取各值的概率．
方法归纳
1．本例属于二项分布，当X服从二项分布时，应弄清X～B(n，p)中的试验次数n与成功概率p.
2．解决二项分布问题的两个关注点
(1)对于公式P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)必须在满足“独立重复试验”时才能运用，否则不能应用该公式．
(2)判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验是独立重复地进行了n次．
跟踪训练2 在一次数学考试中，第14题和第15题为选做题．规定每位考生必须且只需在其中选做一题．设4名考生选做每道题的可能性均为，且各人的选择相互之间没有影响．
(1)求其中甲、乙2名考生选做同一道题的概率；
(2)设这4名考生中选做第15题的人数为ξ名，求ξ的分布列．
题型三 超几何分布的分布列
例3 在8个大小相同的球中，有2个黑球，6个白球，现从中取3个，求取出的球中白球个数X的分布列．
方法归纳
求超几何分布的分布列时，关键是分清其公式中M，N，n的值，然后代入公式即可求出相应取值的概率，最后写出分布列．
跟踪训练3 袋中有4个红球，3个黑球，这些球除颜色外完全相同，从袋中随机抽取球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，从袋中任取4个球．
(1)求得分X的分布列；
(2)求得分大于6分的概率．
题型四 独立重复试验与二项分布综合应用
1.王明在做一道单选题时，从A，B，C，D四个选项中随机选一个答案，他做对的结果数服从二项分布吗？两点分布与二项分布有何关系？
[提示] 做一道题就是做一次试验，做对的次数可以为0次、1次，它服从二项分布．两点分布就是一种特殊的二项分布，即是n＝1的二项分布．
2．王明做5道单选题，每道题都随机选一个答案，那么他做对的道数服从二项分布吗？为什么？
[提示] 服从二项分布．因为每道题都是随机选一个答案，结果只有两个：对与错，并且每道题做对的概率均相等，故做5道题可以看成“一道题”重复做了5次，做对的道数就是5次试验中“做对”这一事件发生的次数，故他做对的“道数”服从二项分布．
3．王明做5道单选题，其中2道会做，其余3道均随机选一个答案，他做对的道数服从二项分布吗？如何判断一随机变量是否服从二项分布？
[提示] 不服从二项分布．因为会做的两道题做对的概率与随机选取一个答案做对的概率不同，不符合二项分布的特点．判断一个随机变量是否服从二项分布关键是看它是否是n次独立重复试验，随机变量是否为在这n次独立重复试验中某事件发生的次数，满足这两点的随机变量才服从二项分布，否则就不服从二项分布．
例4 甲、乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为，，，且各人回答正确与否相互之间没有影响．用ξ表示甲队的总得分．
(1)求随机变量ξ的分布列；
(2)用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P(AB)．
(1)由于甲队中每人答对的概率相同，且正确与否没有影响，所以ξ服从二项分布，其中n＝3，p＝.
(2)AB表示事件A，B同时发生，即甲、乙两队总得分之和为3且甲队总得分大于乙队总得分．
方法归纳
对于概率问题的综合题，首先，要准确地确定事件的性质，把问题化归为古典概型、互斥事件、独立事件、独立重复试验四类事件中的某一种；其次，要判断事件是A＋B还是AB，确定事件至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件公式；最后，选用相应的求古典概型、互斥事件、条件概率、独立事件、n次独立重复试验的概率公式求解．
跟踪训练4 为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类，这三类工程所含项目的个数分别占总数的，，.现有3名工人独立地从中任选一个项目参与建设．
(1)求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；
(2)记ξ为3人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数，求ξ的分布列．
题型五 二项分布与超几何分布的综合应用
例5 在一次购物抽奖活动中，假设抽奖箱中10张奖券，其中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品，其余6张没有奖品．
(1)顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，看完结果后放回抽奖箱，
①若只允许抽奖一次，求中奖次数X的分布列；
②若只允许抽奖二次，求中奖次数X的分布列．
(2)顾客乙从10张奖券中任意抽取2张，
①求顾客乙中奖的概率；
②设顾客乙获得的奖品总价值为Y元，求Y的分布列．
(1)从10张奖券中抽取1张，其结果有中奖和不中奖两种，故X～(0,1)．从10张奖券中有放回的抽取2张，每次有中奖和不中奖两种，故X～B(2，p)(2)从10张奖券中任意抽取2张，其中含有中奖的奖券的张数X(X＝1,2)服从超几何分布．
方法归纳
区别超几何分布与二项分布问题的两个关键点
1．判断一个随机变量是否服从超几何分布时，关键是从总数为N件的甲乙两类元素，其中甲类元素数目M件，从所有元素中一次任取n件，这n件中含甲类元素数目X服从超几何分布．
2．判断一个随机变量是否服从二项分布关键是看它是否是n次独立重复试验，随机变量是否为在这n次独立重复试验中某事件发生的次数，满足这两点的随机变量才服从二项分布，否则就不服从二项分布．本题有放回的抽奖就属于二项分布．跟踪训练5 甲、乙两人参加某电视台举办的答题闯关游戏，按照规则，甲先从6道备选题中一次性抽取3道题独立作答，然后由乙回答剩余3题，每人答对其中2题就停止答题，即闯关成功．已知在6道备选题中，甲能答对其中的4道题，乙答对每道题的概率都是.
(1)求甲、乙至少有一人闯关成功的概率；
(2)设甲答对题目的个数为X，求X的分布列．
教材反思
4．2.3 二项分布与超几何分布
新知初探·自主学习
知识点一
重复地做n次 相互独立
知识点二
Cpkqn－k X～B(n，p)
知识点三
P(X＝m)＝
[基础自测]
1．解析：由n次独立重复试验的定义知①②③④正确．
答案：①②③④
2．解析：抛掷一枚硬币出现正面的概率为，由于每次试验的结果不受影响，故由独立重复试验可知，所求概率为P＝C2＝.
答案：
3．解析：根据超几何分布的定义可知C表示从3件次品中任选2件，C表示从7件正品中任选3件，故选B.
答案：B
课堂探究·素养提升
例1 【解析】 (1)三次射击是三次独立重复试验，故正确结论的序号是①②④.
(2)①记预报一次准确为事件A，则P(A)＝0.8.
5次预报相当于5次独立重复试验，
2次准确的概率为P＝C×0.82×0.23＝0.051
2≈0.05，
因此5次预报中恰有2次准确的概率约为0.05.
②“5次预报中至少有2次准确”的对立事件为“5次预报全部不准确或只有1次准确”，
其概率为P＝C×(0.2)5＋C×0.8×0.24＝0.006
72≈0.01.
所以所求概率为1－P＝1－0.01＝0.99.
所以5次预报中至少有2次准确的概率约为0.99.
③说明第1,2,4,5次中恰有1次准确．
所以概率为P＝C×0.8×0.23×0.8＝0.02
048≈0.02，
所以恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率约为0.02.
【答案】 (1)①②④ (2)见解析
跟踪训练1 解析：“甲获胜”分两类：①甲连胜两局；②前两局中甲胜一局，并胜最后一局．即P＝2＋C×××＝.
答案：
例2 【解析】 (1)ξ～B，ξ的分布列为P(ξ＝k)
＝Ck5－k，k＝0,1,2,3,4,5.
故ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
4
5
P
(2)η的分布列为P(η＝k)＝P(前k个是绿灯，第k＋1个是红灯)＝k·，k＝0,1,2,3,4；
P(η＝5)＝P(5个均为绿灯)＝5.
故η的分布列为
η
0
1
2
3
4
5
P
跟踪训练2 解析：(1)设事件A表示“甲选做第14题”，事件B表示“乙选做第14题”，则甲、乙2名考生选做同一道题的事件为“A∩B＋∩”，且事件A，B相互独立．
∴P(A∩B＋∩)＝P(A)P(B)＋P()P()
＝×＋×＝.
(2)随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3,4，且ξ～B.
∴P(ξ＝k)＝Ck4－k
＝C4(k＝0,1,2,3,4)．
∴随机变量ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
4
P
例3 【解析】 X的可能取值是1,2,3.
P(X＝1)＝＝；
P(X＝2)＝＝；
P(X＝3)＝＝.
故X的分布列为
X
1
2
3
P
跟踪训练3 解析：(1)从袋中任取4个球的情况为：1红3黑，2红2黑，3红1黑，4红，共四种情况，得分分别为5分，6分，7分，8分，故X的可能取值为5,6,7,8.
P(X＝5)＝＝，
P(X＝6)＝＝，
P(X＝7)＝＝，
P(X＝8)＝＝.
故所求分布列为
X
5
6
7
8
P
(2)根据随机变量X的分布列可以得到大于6分的概率为P(X>6)＝P(X＝7)＋P(X＝8)＝＋＝.
例4 【解析】 (1)由题意知，ξ的可能取值为0,1,2,3，且
P(ξ＝0)＝C3＝，
P(ξ＝1)＝C2＝，
P(ξ＝2)＝C2＝，
P(ξ＝3)＝C3＝.
所以ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
P
(2)用C表示“甲得2分乙得1分”这一事件，用D表示“甲得3分乙得0分”这一事件，所以AB＝C∪D，且C，D互斥，
又P(C)＝C2
＝，
P(D)＝C3＝，
由互斥事件的概率公式得
P(AB)＝P(C)＋P(D)
＝＋＝＝.
跟踪训练4 解析：记第i名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件Ai，Bi，Ci，i＝1,2,3.由题意知A1，A2，A3相互独立，B1，B2，B3相互独立，C1，C2，C3相互独立，Ai，Bj，Ck(i，j，k＝1,2,3且i，j，k互不相同)相互独立，用P(Ai)＝，P(Bj)＝，P(Ck)＝.
(1)他们选择的项目所属类别互不相同的概率．
P＝3!
P(A1B2C3)＝6P(A1)P(B2)P(C3)＝6×××＝.
(2)方法一：设3名工人中选择的项目属于民生工程的人数为η，由已知，η～B，且ξ＝3－η，所以P(ξ＝0)＝P(η＝3)＝C3＝，P(ξ＝1)＝P(η＝2)＝C2＝，P(ξ＝2)＝P(η＝1)＝C2＝，P(ξ＝3)＝P(η＝0)＝C3＝.
故ξ的分布列是
ξ
0
1
2
3
p
方法二：记第i名工人选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程分别为事件Di，i＝1,2,3.由已知，D1，D2，D3相互独立，且P(Di)＝P(Ai∪Ci)＝P(Ai)＋P(Ci)＝＋＝，所以ξ～B，即P(ξ＝k)＝Ck3－k，k＝0,1,2,3.
故ξ的分布列是
ξ
0
1
2
3
p
例5 【解析】 (1)①抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况，故X的取值只有0和1两种情况．
P(X＝1)＝＝＝，则P(X＝0)＝1－P(X＝1)＝1－＝.
因此X的分布列为
X
0
1
P
②从10张奖券中有放回的抽取2张，每次有中奖和不中奖两种，故X～B
X
0
1
2
P
(2)①顾客乙中奖可分为互斥的两类事件：所抽取的2张奖券中有1张中奖或2张都中奖．
故所求概率P＝＝＝.
②Y的所有可能取值为0,10,20,50,60，且
P(Y＝0)＝＝＝，P(Y＝10)＝＝＝，
P(Y＝20)＝＝＝，P(Y＝50)＝＝＝，
P(Y＝60)＝＝＝.
因此随机变量Y的分布列为
Y
0
10
20
50
60
P
跟踪训练5 解析：(1)设甲、乙闯关成功分别为事件A，B，
则P()＝＝＝，
P()＝3＋C××2＝＋＝，
则甲、乙至少有一人闯关成功的概率是
1－P(
)＝1－P()·P()＝1－×＝.
(2)由题知X的可能取值是1,2.
P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，
则X的分布列为
X
1
2
P
-
9
-4.2.4 随机变量的数字特征
最新课程标准
1.理解离散型随机变量的数学期望、方差的概念和意义，会根据离散型随机变量的分布列求出数学期望、方差．(重点)
2．掌握两点分布、二项分布的数学期望、方差．(重点)
3．会利用离散型随机变量的数学期望、方差解决一些相关问题．(难点)
知识点一 随机变量的数学期望的定义
一般地，设一个离散型随机变量X所有可能取的值是x1，x2，…，xn，这些值对应的概率是p1，p2，…，pn，则E(X)＝____________________叫做这个离散型随机变量X的均值或数学期望(简称期望)．
知识点二 随机变量的数学期望的意义
刻画了离散型随机变量的____________．
知识点三 离散型随机变量的方差与标准差
名称
定义
意义
方差
一般地，设一个离散型随机变量X所有可能取的值为x1，x2，…，xn，这些值对应的概率是p1，p2，…，pn，则D(X)＝________________________________________，叫做这个离散型随机变量X的方差．
离散型随机变量的方差和标准差反映了离散型随机变量取值相对于期望的____________(或说离散程度)．
标准差
D(X)的算术平方根叫做离散型随机变量X的标准差.
知识点四 两点分布、二项分布的数学期望
名称
两点分布
二项分布
超几何分布
公式
E(X)＝____
E(X)＝____
E(X)＝________
知识点五 服从两点分布与二项分布的随机变量的方差
(1)若X服从两点分布，则D(X)＝________；
(2)若X～B(n，p)，则D(X)＝________.
知识点六 随机变量的数字特征的性质
如果X是一个随机变量，a，b都是任意实数且a≠0，则Y＝aX＋b也是一个随机变量；则E(Y)＝E(aX＋b)＝aE(X)＋b；D(Y)＝a2D(X)．
[基础自测]
1．下列说法正确的有________．(填序号)
①离散型随机变量X的期望E(X)反映了X取值的概率的平均值；
②离散型随机变量X的方差D(X)反映了X取值的平均水平；
③离散型随机变量X的期望E(X)反映了X取值的波动水平；
④离散型随机变量X的方差D(X)反映了X取值的波动水平．
2．已知离散型随机变量X的分布列为：
X
1
2
3
P
则X的数学期望E(X)＝________.
3．设E(X)＝10，则E(3X＋5)＝________.
4．已知随机变量X，D(X)＝，则X的标准差为________．
5．若随机变量X服从二项分布B，则E(X)的值为________．
6．篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，不命中得0分．已知他命中的概率为0.8，则罚球一次得分X的期望是________．
题型一 两点分布与二项分布的数学期望、方差
例1 某运动员投篮命中率为p＝0.6.
(1)求投篮1次时命中次数X的数学期望、方差；
(2)求重复5次投篮时，命中次数Y的数学期望、方差．
(1)利用两点分布求解．(2)利用二项分布的数学期望、方差公式求解．
方法归纳
1．常见的两种分布的均值
设p为一次试验中成功的概率，则
(1)两点分布E(X)＝p；D(X)＝pq
(2)二项分布E(X)＝np.D(X)＝npq
熟练应用上述公式可大大减少运算量，提高解题速度．
2．两点分布与二项分布辨析
(1)相同点：一次试验中要么发生要么不发生．
(2)不同点：
①随机变量的取值不同，两点分布随机变量的取值为0,1，二项分布中随机变量的取值x＝0,1,2，…，n.
②试验次数不同，两点分布一般只有一次试验；二项分布则进行n次试验．
跟踪训练1 (1)某种种子每粒发芽的概率为0.9，现播种了1
000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，每个坑至多补种一次，补种的种子数记为X，则X的数学期望为( )
A．100
B．200
C．300
D．400
(2)已知某离散型随机变量X服从的分布列如下，则随机变量X的数学期望E(X)等于( )
X
0
1
P
m
2m
A.
B.
C.
D.
题型二 离散型随机变量的数学期望、方差的概念及应用
例2 设在12个同类型的零件中有2个次品，抽取3次进行检验，每次抽到一个，并且取出后不再放回，若以X和Y分别表示取出次品和正品的个数．
(1)求X的分布列、期望及方差；
(2)求Y的分布列、期望及方差．
(1)可先求出X分布列，然后利用期望和方差公式求解；(2)可由Y分布列及其期望、方差公式求解，也可由期望、方差性质求解．
方法归纳
求离散型随机变量的数学期望、方差的类型及解决方法
1．已知分布列型(非两点分布或二项分布)：直接利用定义求解，具体如下，
(1)求均值；(2)求方差．
2．已知分布列是两点分布或二项分布型：直接套用公式求解，具体如下，
(1)若X服从两点分布，则D(X)＝p(1－p)．
(2)若X～B(n，p)，则D(X)＝np(1－p)．
3．未知分布列型：求解时可先借助已知条件及概率知识求得分布列，然后求方差．
4．对于已知D(X)求D(aX＋b)型，利用方差的性质求解，即利用D(aX＋b)＝a2D(X)求解．
跟踪训练2 有10张卡片，其中8张标有数字2,2张标有数字5，从中随机地抽取3张卡片，设3张卡片数字之和为ξ，求E(ξ)和D(ξ)．
题型三 期望、方差的综合应用
1.A，B两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表：
A机床
次品数X1
0
1
2
3
P
0.7
0.2
0.06
0.04
B机床
次品数X2
0
1
2
3
P
0.8
0.06
0.04
0.10
试求E(X1)，E(X2)．
[提示] E(X1)＝0×0.7＋1×0.2＋2×0.06＋3×0.04＝0.44.
E(X2)＝0×0.8＋1×0.06＋2×0.04＋3×0.10＝0.44.
2．在1中，由E(X1)和E(X2)的值能比较两台机床的产品质量吗？为什么？
[提示] 不能．因为E(X1)＝E(X2)．
3．在1中，试想利用什么指标可以比较A，B两台机床加工质量？
[提示] 利用样本的方差．方差越小，加工的质量越稳定．
例3 甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量ξ，η，已知甲、乙两名射手在每次射击中射中的环数大于6环，且甲射中10,9,8,7环的概率分别为0.5,3a，a,0.1，乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2.
(1)求ξ，η的分布列；
(2)求ξ，η的数学期望与方差，并以此比较甲、乙的射击技术．
(1)由分布列的性质先求出a和乙射中7环的概率，再列出ξ，η的分布列．
(2)要比较甲、乙两射手的射击水平，需先比较两射手击中环数的数学期望，然后再看其方差值．
方法归纳
利用均值和方差的意义分析解决实际问题的步骤
1．比较均值．离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，因此，在实际决策问题中，需先计算均值，看一下谁的平均水平高．
2．在均值相等的情况下计算方差．方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度．通过计算方差，分析一下谁的水平发挥相对稳定．
3．下结论．依据方差的几何意义做出结论．跟踪训练3 甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大致相等．两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件次数的分布列分别为：
甲保护区：
X
0
1
2
3
P
0.3
0.3
0.2
0.2
乙保护区：
Y
0
1
2
P
0.1
0.5
0.4
试评定这两个保护区的管理水平．
教材反思
4．2.4 随机变量的数字特征
新知初探·自主学习
知识点一
x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝
知识点二
平均取值
知识点三
[x1－E(X)]2p1＋[x2－E(X)]2p2＋…＋[xn－E(X)]2pn＝[xi－E(X)]2pi 平均波动大小
知识点四
p np
知识点五
(1)p(1－p) (2)np(1－p)
[基础自测]
1．解析：①错误．因为离散型随机变量X的期望E(X)反映了X取值的平均水平．
②错误．因为离散型随机变量X的方差D(X)反映了随机变量偏离于期望的平均程度．
③错误．因为离散型随机变量的方差D(X)反映了X取值的波动水平，而随机变量的期望E(X)反映了X取值的平均水平．
④正确．由方差的意义可知．
答案：④
2．解析：E(X)＝1×＋2×＋3×＝.
答案：
3．解析：E(3X＋5)＝3E(X)＋5＝3×10＋5＝35.
答案：35
4．解析：X的标准差＝＝.
答案：
5．解析：E(X)＝np＝4×＝.
答案：
6．解析：因为P(X＝1)＝0.8，P(X＝0)＝0.2，所以
E(X)＝1×0.8＋0×0.2＝0.8.
答案：0.8
课堂探究·素养提升
例1 【解析】 (1)投篮1次，命中次数X的分布列如下表：
X
0
1
P
0.4
0.6
则E(X)＝0.6，D(X)＝0.24.
(2)由题意，重复5次投篮，命中的次数Y服从二项分布，即Y～B(5,0.6)，则E(Y)＝np＝5×0.6＝3.D(X)＝npq＝1.2.
跟踪训练1 解析：(1)由题意可知，补种的种子数记为X，X服从二项分布，即X～B(1
000,0.1)，所以不发芽种子的数学期望为1
000×0.1＝100.所以补种的种子数的数学期望为2×100＝200.
(2)由题意可知m＋2m＝1，所以m＝，所以E(X)＝0×＋1×＝.
答案：(1)B (2)D
例2 【解析】 (1)X的可能取值为0,1,2.
若X＝0，表示没有取出次品，其概率为P(X＝0)＝＝，同理，有P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝.
∴X的分布列为
X
0
1
2
P
∴E(X)＝0×＋1×＋2×＝，
D(X)＝2×＋2×＋2×＝＋＋＝.
(2)Y的可能取值为1,2,3，显然X＋Y＝3.
方法一：P(Y＝1)＝P(X＝2)＝，
P(Y＝2)＝P(X＝1)＝，
P(Y＝3)＝P(X＝0)＝，
∴Y的分布列为
Y
1
2
3
P
E(Y)＝1×＋2×＋3×＝，
D(Y)＝2×＋2×＋2×＝.
方法二：E(Y)＝E(3－X)＝3－E(X)＝，
D(Y)＝D(3－X)＝(－1)2D(X)＝.
跟踪训练2 解析：这3张卡片上的数字之和为ξ，这一变量的可能取值为6,9,12.ξ＝6表示取出的3张卡片上均标有2，
则P(ξ＝6)＝＝.
ξ＝9表示取出的3张卡片上两张标有2，一张标有5，
则P(ξ＝9)＝＝.
ξ＝12表示取出的3张卡片上一张标有2，两张标有5，
则P(ξ＝12)＝＝.
∴ξ的分布列为
ξ
6
9
12
P
∴E(ξ)＝6×＋9×＋12×＝7.8.
D(ξ)＝(6－7.8)2×＋(9－7.8)2×＋(12－7.8)2×＝3.36.
例3 【解析】 (1)由题意得：0.5＋3a＋a＋0.1＝1，解得a＝0.1.
因为乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2，所以乙射中7环的概率为1－(0.3＋0.3＋0.2)＝0.2.
所以ξ，η的分布列分别为
ξ
10
9
8
7
P
0.5
0.3
0.1
0.1
η
10
9
8
7
P
0.3
0.3
0.2
0.2
(2)由(1)得：
E(ξ)＝10×0.5＋9×0.3＋8×0.1＋7×0.1＝9.2；
E(η)＝10×0.3＋9×0.3＋8×0.2＋7×0.2＝8.7；
D(ξ)＝(10－9.2)2×0.5＋(9－9.2)2×0.3＋(8－9.2)2×0.1＋(7－9.2)2×0.1＝0.96；
D(η)＝(10－8.7)2×0.3＋(9－8.7)2×0.3＋(8－8.7)2×0.2＋(7－8.7)2×0.2＝1.21.
由于E(ξ)>E(η)，D(ξ)跟踪训练3 解析：甲保护区的违规次数X的数学期望和方差分别为：
E(X)＝0×0.3＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.2＝1.3；
D(X)＝(0－1.3)2×0.3＋(1－1.3)2×0.3＋(2－1.3)2×0.2＋(3－1.3)2×0.2＝1.21.
乙保护区的违规次数Y的数学期望和方差分别为：
E(Y)＝0×0.1＋1×0.5＋2×0.4＝1.3；
D(Y)＝(0－1.3)2×0.1＋(1－1.3)2×0.5＋(2－1.3)2×0.4＝0.41.
因为E(X)＝E(Y)，D(X)>D(Y)，所以两个保护区内每季度发生的平均违规次数是相同的，但乙保护区内的违规事件次数更集中和稳定，而甲保护区的违规事件次数相对分散，故乙保护区的管理水平较高．
-
1
-4．2.5 正态分布
最新课程标准
1.了解二项分布与正态曲线的关系．
2．能借助正态曲线的图象理解正态分布的性质和意义．(重点)
3．会利用φ(x)，F(x)的意义求正态总体小于X的概率．(难点)
4．了解标准正态分布在正态分布中的核心地位.
知识点一 二项分布与正态曲线
很多服从二项分布的分布列的直观图都具有类似的正态曲线的特点．
知识点二 正态曲线及正态曲线的性质
1．正态变量的概率密度函数的图象叫做正态曲线
正态变量概率密度曲线的函数表达式为φ(x)＝______________________.
其中μ，σ是参数，且σ＞0，－∞＜μ＜＋∞，μ和σ分别为正态变量的________和________．
2．正态曲线的性质
(1)曲线在________的上方，并且关于直线________对称；
(2)曲线在________时处于最高点，并由此处向左右两边延伸时，曲线逐渐降低，呈现“________，________”的形状；
(3)曲线的形状由参数σ确定，________，曲线越“矮胖”；________，曲线越“高瘦”．
知识点三 正态分布
一般地，如果随机变量X落在区间[a，b]内的概率，总是等于φ(x)对应的正态曲线与x轴在区间[a，b]内围成的面积，则称X服从参数为μ、σ的正态分布．记为：X～N(μ，σ2)．
知识点四 正态总体在三个特殊区间的概率
1．正态总体在三个特殊区间内取值的概率值
若X～N(μ，σ2)，则
P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈________，
P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈________，
P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈________.
上述结果可用图表示如下：
2．3σ原则
由P(μ－3σ知识点五 标准正态分布
数学期望为______，标准差为______的正态分布叫做标准正态分布，记做________．任意正态分布通过变换都可以化为标准正态分布．
[基础自测]
1．下列判断正确的是________．
(1)正态变量函数表达式中参数μ，σ的意义分别是样本的均值与方差．
(2)服从正态分布的随机变量是连续型随机变量．
(3)正态曲线是一条钟形曲线．
(4)离散型随机变量的概率分布规律用分布密度曲线描述，连续型随机变量的概率分布用分布列描述．
2．把一条正态曲线a沿着横轴方向向右移动2个单位，得到一条新的曲线b，下列说法中不正确的是________．(填序号)
①曲线b仍然是正态曲线；
②曲线a和曲线b的最高点的纵坐标相等；
③以曲线b为正态分布的总体的方差比以曲线a为正态分布的总体的方差大2；
④以曲线b为正态分布的总体的均值比以曲线a为正态分布的总体的均值大2.
3．关于正态分布N(μ，σ2)，下列说法正确的是________．(填序号)
①随机变量落在区间长度为3σ的区间之外是一个小概率事件；
②随机变量落在区间长度为6σ的区间之外是一个小概率事件；
③随机变量落在(－3σ，3σ)之外是一个小概率事件；
④随机变量落在(μ－3σ，μ＋3σ)之外是一个小概率事件．
4．在某项测量中，测量结果X服从正态分布N(1，σ2)(σ>0)．若X在(0,1)内取值的概率为0.4，则X在(0,2)内取值的概率为________.
题型一 正态分布的概念及正态曲线的性质
例1 如图所示是一个正态曲线，试根据该图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式，求出总体随机变量的期望和方差．
给出了一个正态曲线，就给出了该曲线的对称轴和最大值，从而就能求出总体随机变量的期望、标准差及解析式.
方法归纳
利用正态曲线的性质可以求参数μ，σ，具体方法如下：
(1)正态曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称，由此性质结合图象求μ.
(2)正态曲线在x＝μ处达到峰值，由此性质结合图象可求σ.
跟踪训练1 (1)设两个正态分布N(μ1，σ)(σ1>0)和N(μ2，σ)(σ2>0)的密度函数图象如图所示，则有( )
A．μ1<μ2，σ1<σ2
B．μ1<μ2，σ1>σ2
C．μ1>μ2，σ1<σ2
D．μ1>μ2，σ1>σ2
(2)如图所示是正态分布N(μ，σ)，N(μ，σ)，N(μ，σ)(σ1，σ2，σ3>0)相应的曲线，那么σ1，σ2，σ3的大小关系是( )
A．σ1>σ2>σ3
B．σ3>σ2>σ1
C．σ1>σ3>σ2
D．σ2>σ1>σ3
题型二 服从正态分布变量的概率问题
例2 (1)已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ<4)＝0.8，则P(0<ξ<2)＝( )
A．0.6
B．0.4
C．0.3
D．0.2
(2)在某项测量中，测量结果服从正态分布N(1,4)，求正态总体X在(－1,1)内取值的概率．
(1)根据正态曲线的性质对称性进行求解；(2)题可先求出X在(－1,3)内取值的概率，然后由正态曲线关于x＝1对称知，X在(－1,1)内取值的概率就等于在(－1,3)内取值的概率的一半．
方法归纳
利用正态分布求概率的两个方法
1．对称法：由于正态曲线是关于直线x＝μ对称的，且概率的和为1，故关于直线x＝μ对称的区间上概率相等．如：
(1)P(X(2)P(X<μ－a)＝P(X>μ＋a)．
2．“3σ”法：利用X落在区间(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)内的概率分别是0.682
6,0.954
4,0.997
4求解．
跟踪训练2 设随机变量X～N(2,9)，若P(X>c＋1)＝P(X(1)求c的值；
(2)求P(－4题型三 正态分布的实际应用
1.若某工厂生产的圆柱形零件的外直径ε～N(4,0.25)，那么该圆柱形零件外直径的均值，标准差分别是什么？
[提示] 零件外直径的均值为μ＝4，标准差σ＝0.5.
2．某工厂生产的圆柱形零件的外直径ε～N(4，0.25)，若零件的外直径在(3.5,4.5]内的为一等品．试问1
000件这种的零件中约有多少件一等品？
[提示] P(3.5<ε≤4.5)＝P(μ－σ<ε<μ＋σ)＝0.682
6，所以1
000件产品中大约有1
000×0.682
6≈683(件)一等品．
3．某厂生产的圆柱形零件的外直径ε～N(4,0.25)．质检人员从该厂生产的1
000件这种零件中随机抽查一件，测得它的外直径为5.7
cm.试问该厂生产的这批零件是否合格？
[提示] 由于圆柱形零件的外直径ε～N(4,0.25)，
由正态分布的特征可知，正态分布N(4,0.25)在区间(4－3×0.5,4＋3×0.5)，
即(2.5,5.5)之外取值的概率只有0.003，而5.7∈(2.5，5.5)．
这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发生的小概率事件，根据统计中假设检验的基本思想，认为该厂这批零件是不合格的．
例3 设在一次数学考试中，某班学生的分数X～N(110,202)，且知试卷满分150分，这个班的学生共54人，求这个班在这次数学考试中及格(即90分以上)的人数和130分以上的人数．
将P(X≥90)转化为P(X－μ≥－σ)，然后利用对称性及概率和为1，得到2P(X－μ≤－σ)＋0.682
6＝1，进而求出P(X≥90)的值，同理可解得P(X≥130)的值．
方法归纳
1．本题利用转化的思想方法，把普通的区间转化为3σ区间，由特殊区间的概率值求出．
2．解答正态分布的实际应用题，其关键是如何转化，同时应熟练掌握正态分布在(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)三个区间内的概率．在此过程中用到归纳思想和数形结合思想．
跟踪训练3 某人从某城市的南郊乘公交车前往北区火车站，由于交通拥挤，所需时间X(单位：分)近似服从正态分布X～N(50,102)，求他在(30,60]分内赶到火车站的概率．
教材反思
4．2.5 正态分布
新知初探·自主学习
知识点二
1.e－ 数学期望 标准差
2．(1)x轴 x＝μ (2)x＝μ 中间高 两边低
(3)σ越大 σ越小
知识点四
68．3% 95.4% 99.7%
知识点五
μ＝0 σ＝1 X～N(0,1)
[基础自测]
1．解析：(1)错误，因为正态分布变量函数表达式中参数μ是随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计，而σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，用样本的标准差去估计．
(2)正确．
(3)正确，由正态分布曲线的形状可知该说法正确．
(4)错误，因为离散型随机变量的概率分布规律用分布列描述，连续型随机变量的概率分布规律用分布密度曲线(函数)描述．
答案：(2)(3)
2．解析：正态曲线向右平移2个单位，σ不发生变化，故③错误．
答案：③
3．解析：∵P(μ－3σ＜X＜μ＋3σ)＝0.997
4，
∴P(X＞μ＋3σ或X＜μ－3σ)＝1－P(μ－3σ＜X＜μ＋3σ)＝1－0.997
4＝0.002
6，
∴随机变量落在(μ－3σ，μ＋3σ)之外是一个小概率事件．
答案：④
4．解析：∵X服从正态分布(1，σ2)，
∴X在(0,1)与(1,2)内取值的概率相同，均为0.4.
∴X在(0,2)内取值的概率为0.4＋0.4＝0.8.
答案：0.8
课堂探究·素养提升
例1 【解析】 从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直线x＝20对称，最大值是，所以μ＝20.
由＝，得σ＝.
于是概率密度函数的解析式是
f(x)＝·，x∈(－∞，＋∞)，
总体随机变量的期望是μ＝20，方差是σ2＝()2＝2.
跟踪训练1 解析：(1)根据正态分布的性质：对称轴方程x＝μ，σ表示正态曲线的形状．由题图可得，选A.
(2)由σ的意义可知，图象越瘦高，数据越集中，σ2越小，故有σ1>σ2>σ3.
答案：(1)A (2)A
例2 【解析】 (1)∵随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，
∴μ＝2，对称轴是x＝2.∵P(ξ<4)＝0.8，
∴P(ξ≥4)＝P(ξ<0)＝0.2，
∴P(0<ξ<4)＝0.6，∴P(0<ξ<2)＝0.3.故选C.
(2)由题意得μ＝1，σ＝2，
所以P(－1＜X＜3)＝P(1－2＜X＜1＋2)＝0.682
6.
又因为正态曲线关于x＝1对称，
所以P(－1＜X＜1)＝P(1＜X＜3)＝P(－1＜X＜3)＝0.341
3.
【答案】 (1)C (2)见解析
跟踪训练2
解析：(1)由X～N(2,9)可知，密度函数关于直线x＝2对称(如图所示)，
又P(X>c＋1)＝P(X(2)P(－44.
例3 【解析】 μ＝110，σ＝20，P(X≥90)＝P(X－110≥－20)＝P(X－μ≥－σ)，
∵P(X－μ≤－σ)＋P(－σ≤X－μ≤σ)＋P(X－μ≥σ)
＝2P(X－μ≤－σ)＋0.682
6＝1，
∴P(X－μ≤－σ)＝0.158
7，
∴P(X≥90)＝1－P(X－μ≤－σ)＝1－0.158
7＝0.841
3.
∵P(X≥130)＝P(X－110≥20)＝P(X－μ≥σ)，
∴P(X－μ≤－σ)＋P(－σ≤X－μ≤σ)＋P(X－μ≥σ)
＝0.682
6＋2P(X－μ≥σ)＝1，
∴54×0.841
3≈45(人)，即及格人数约为45人．
∵P(X－μ≥σ)＝0.158
7，即P(X≥130)＝0.158
7.
∴54×0.158
7≈9(人)，即130分以上的人数约为9人．
跟踪训练3 解析：∵X～N(50,102)，∴μ＝50，σ＝10.
∴P(30＝P(μ－2σ＝×0.954
4＋×0.682
6＝0.818
5.
即他在(30,60]分内赶到火车站的概率是0.818
5.
-
2
-4.3 统计模型
4．3.1 一元线性回归模型
最新课程标准
1.通过对典型案例的探究，了解回归分析的基本思想、方法及其初步应用．
2．会求回归直线方程，并用回归直线方程进行预报．(重点、难点)
知识点一 相关关系
1．两个变量之间有一定的关系，但没有达到可以相互决定的程度，他们之间的关系具有一定的随机性，统计学上称为相关关系．
2．线性相关：如果变量x与变量y之间的关系可以近似地用一次函数来刻画，则称x与y线性相关．
3．如果一个变量增大，另一个变量大体上也增大，则称这两个变量正相关．如果一个变量增大，另一个变量大体上减少，则称这两个变量负相关．
知识点二 回归直线方程
知识点三 回归直线方程的性质
1．回归直线过样本点的中心(，)；
2．一次函数＝x＋的单调性由的符号决定，函数递增的充要条件是>0.这说明x与y正相关的充要条件是>0；x与y负相关的充要条件是<0.
3．回归方程中的实际意义是，当x增大一个单位时，增大
个单位．
知识点四 相关系数
计算
r＝＝
性质
范围
|r|≤1且x与y正相关的充要条件是r>0
x与y负相关的充要条件是r<0
线性相
关程度
|r|越接近1，线性相关性越强
|r|越接近0，线性相关性越弱
|r|＝1的充要条件是成对数据构成的点都在回归直线上
知识点五 非线性回归
两个变量x与y的关系，不再是线性相关关系，成为非线性相关关系，所得到的方程成为非线性回归方程(也简称回归方程)，一般地，非线性回归方程的曲线类型可以通过做出散点图进行猜测，而回归方程有时可以通过变量替换后，借助求回归直线的过程确定．当然，确定了非线性回归方程之后，也可以利用它进行预测．
[基础自测]
1．设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系．根据一组样本数据(xi，yi)(i＝1,2，…，n)，用最小二乘法建立的回归方程为＝0.85x－85.71，则下列结论中正确的是________．(填序号)
①y与x具有正的线性相关关系；
②回归直线过样本点的中心(，)；
③若该大学某女生身高增加1
cm，则其体重约增加0.85
kg；
④若该大学某女生身高为170
cm，则可断定其体重必为58.79
kg.
2．下列判断正确的____________
(1)求回归直线方程前必须进行相关性检验．
(2)两个变量的相关系数越大，它们的相关程度越强．
(3)若相关系数r＝0，则两变量x，y之间没有关系．
3．下列结论正确的是( )
①函数关系是一种确定性关系；②相关关系是一种非确定性关系；③回归分析是对具有函数关系的两个变量进行统计分析的一种方法；④回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法．
A．①②
B．①②③
C．①②④
D．①②③④
4．下表是x和y之间的一组数据，则y关于x的线性回归方程必过点( )
x
1
2
3
4
y
1
3
5
7
A.(2,3)
B．(1.5,4)
C．(2.5,4)
D．(2.5,5)
题型一 回归分析的有关概念
例1 (1)有下列说法：
①线性回归分析就是由样本点去寻找一条直线，使之贴近这些样本点的数学方法；②利用样本点的散点图可以直观判断两个变量的关系是否可以用线性关系表示；③通过回归方程＝x＋，可以估计和观测变量的取值和变化趋势；④因为由任何一组观测值都可以求得一个线性回归方程，所以没有必要进行相关性检验．
其中正确命题的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
(2)关于变量y与x之间的回归直线方程，叙述正确的是( )
A．表示y与x之间的一种确定性关系
B．表示y与x之间的相关关系
C．表示y与x之间的最真实的关系
D．表示y与x之间真实关系的一种效果最好的拟合
(3)如果某地的财政收入x与支出y满足线性回归方程＝x＋＋ε(单位：亿元)，其中＝0.8，＝2，|ε|≤0.5，如果今年该地区财政收入10亿元，则今年支出预计不会超过________亿．
方法归纳
1．在分析两个变量的相关关系时，可根据样本数据散点图确定两个变量之间是否存在相关关系，然后利用最小二乘法求出回归直线方程．
2．由线性回归方程给出的是一个预报值而非精确值．
3．随机误差的主要来源．
(1)线性回归模型与真实情况引起的误差；
(2)省略了一些因素的影响产生的误差；
(3)观测与计算产生的误差．
跟踪训练1 下列有关线性回归的说法，不正确的是________(填序号)．
①自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系；
②在平面直角坐标系中，用描点的方法得到表示具有相关关系的两个量的一组数据的图形叫做散点图；
③线性回归方程最能代表观测值x，y之间的关系；
④任何一组观测值都能得到具有代表意义的回归直线方程．
题型二 线性回归分析
例2 为研究拉力x(N)对弹簧长度y(cm)的影响，对不同拉力的6根弹簧进行测量，测得如下表中的数据：
x
5
10
15
20
25
30
y
7.25
8.12
8.95
9.9
10.9
11.8
(1)画出散点图；
(2)如果散点图中的各点大致分布在一条直线的附近，求y与x之间的回归直线方程．
→→
方法归纳
1．散点图是定义在具有相关关系的两个变量基础上的，对于性质不明确的两组数据，可先作散点图，在图上看它们有无关系，关系的密切程度，然后再进行相关回归分析．
2．求回归直线方程时，首先应注意到，只有在散点图大致呈线性时，求出的回归直线方程才有实际意义，否则，求出的回归直线方程毫无意义．
跟踪训练2 本例条件不变，若x增加2个单位，增加多少？
题型三 非线性回归分析
1.如何解答非线性回归问题？
[提示] 非线性回归问题有时并不给出经验公式．这时我们可以画出已知数据的散点图，把它与学过的各种函数(幂函数、指数函数、对数函数等)图象作比较，挑选一种跟这些散点拟合得最好的函数，然后采用适当的变量变换，把问题化为线性回归分析问题，使之得到解决．其一般步骤为：
2．已知x和y之间的一组数据，则下列四个函数中，哪一个作为回归模型最好？
x
1
2
3
y
3
5.99
12.01
①y＝3×2x－1；②y＝log2x；③y＝4x；④y＝x2.
[提示] 观察散点图中样本点的分布规律可判断样本点分布在曲线y＝3×2x－1附近．①作为回归模型最好．
例3 某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表：
身高x(cm)
60
70
80
90
100
110
体重y(kg)
6.13
7.90
9.99
12.15
15.02
17.50
身高x(cm)
120
130
140
150
160
170
体重y(kg)
20.92
26.86
31.11
38.85
47.25
55.05
(1)试建立y与x之间的回归直线方程；
(2)如果一名在校男生身高为168
cm，预测他的体重约为多少？
先由散点图确定相应的函数模型，再通过对数变换将非线性相关转化为线性相关的两个变量来求解．
方法归纳
两个变量不具有线性关系，不能直接利用线性回归方程建立两个变量的关系，可以通过变换的方法转化为线性回归模型，如y＝c1ec2x，我们可以通过对数变换把指数关系变为线性关系，令z＝ln
y，则变换后样本点应该分布在直线z＝bx＋a(a＝ln
c1，b＝c2)的周围．
跟踪训练3 有一个测量水流量的实验装置，测得试验数据如下表：
i
1
2
3
4
5
6
7
水深h(厘米)
0.7
1.1
2.5
4.9
8.1
10.2
13.5
流量Q(升/分钟)
0.082
0.25
1.8
11.2
37.5
66.5
134
根据表中数据，建立Q与h之间的回归方程．
教材反思
4．3 统计模型
4．3.1 一元线性回归模型
新知初探·自主学习
知识点二
i i －
[基础自测]
1．解析：回归方程中x的系数为0.85>0，因此y与x具有正的线性相关关系，①正确；
由回归方程系数的意义可知回归直线过样本点的中心(，)，②正确；
依据回归方程中的含义可知，x每变化1个单位，相应变化约0.85个单位，③正确；
用回归方程对总体进行估计不能得到肯定结论，故④不正确．
答案：①②③
2．解析：(1)正确，相关性检验是了解成对数据的变化规律的，所以求回归方程前必须进行相关性检验．
(2)错误，相关系数|r|越接近1，线性相关程度越强；|r|越接近0，线性相关程度越弱．
(3)错误，若r＝0是指x，y之间的相关关系弱，但并不能说没有关系．
答案：(1)
3．解析：函数关系和相关关系的区别是前者是确定性关系，后者是非确定性关系，故①②正确；回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种方法，故③错误，④正确．
答案：C
4．解析：线性回归方程必过样本点的中心(，)，即(2.5,4)，故选C.
答案：C
课堂探究·素养提升
例1 【解析】 (1)①反映的正是最小二乘法思想，故正确．②反映的是画散点图的作用，也正确．③解释的是回归方程＝x＋的作用，故也正确．④是不正确的，在求回归方程之前必须进行相关性检验，以发现两变量的关系．
(2)回归直线方程能最大可能地反映y与x之间的真实关系，故选项D正确．
(3)由题意可得：＝0.8x＋2＋ε，当x＝10时，＝0.8×10＋2＋ε＝10＋ε，又|ε|≤0.5，∴9.5≤≤10.5.
故今年支出预计不会超过10.5亿．
【答案】 (1)C (2)D (3)10.5
跟踪训练1 解析：只有具有线性相关的两个观测值才能得到具有代表意义的回归直线方程．
答案：④
例2 【解析】 (1)散点图如图所示．
(2)将已知表中的数据列成下表：
xi
5
10
15
20
25
30
yi
7.25
8.12
8.95
9.9
10.9
11.8
xiyi
36.25
81.2
134.25
198
272.5
354
x
25
100
225
400
625
900
＝17.5，≈9.49，iyi＝1
076.2，＝2
275.
∴＝＝≈0.18，
＝－＝9.49－0.18×17.5＝6.34，
∴回归直线方程为＝0.18x＋6.34.
跟踪训练2 解析：若x增加2个单位，则
＝0.18(x＋2)＋6.34
＝0.18x＋6.34＋0.36，
故增加0.36个单位．
例3 【解析】 (1)根据表中的数据画出散点图，如下：
由图看出，这些点分布在某条指数型函数曲线y＝c1ec2x的周围，于是令z＝ln
y，列表如下：
x
60
70
80
90
100
110
z
1.81
2.07
2.30
2.50
2.71
2.86
x
120
130
140
150
160
170
z
3.04
3.29
3.44
3.66
3.86
4.01
作出散点图，如下：
由表中数据可求得z与x之间的回归直线方程为＝0.693＋0.020x，则有＝e0.693＋0.020x.
(2)由(1)知，当x＝168时，＝e0.693＋0.020×168≈57.57，所以在校男生身高为168
cm，预测他的体重约为57.57
kg.
跟踪训练3 解析：由表中测得的数据可以作出散点图，如图．
观察散点图中样本点的分布规律，可以判断样本点分布在某一条曲线附近，表示该曲线的函数模型是Q＝m·hn(m，n是正的常数)．两边取常用对数，
则lg
Q＝lg
m＋n·lg
h，
令y＝lg
Q，x＝lg
h，那么y＝nx＋lg
m，
即为线性函数模型y＝bx＋a的形式(其中b＝n，a＝lg
m)．
由下面的数据表，用最小二乘法可求得≈2.509
7，＝－0.707
7，所以n≈2.51，m≈0.196.
i
hi
Qi
xi＝lg
hi
yi＝lg
Qi
x
xiyi
1
0.7
0.082
－0.154
9
－1.086
2
0.024
0.168
3
2
1.1
0.25
0.041
4
－0.602
1
0.001
7
－0.024
9
3
2.5
1.8
0.397
9
0.255
3
0.158
3
0.101
6
4
4.9
11.2
0.690
2
1.049
2
0.476
4
0.724
2
5
8.1
37.5
0.908
5
1.574
0
0.825
4
1.430
0
6
10.2
66.5
1.008
6
1.822
8
1.017
3
1.838
5
7
13.5
134
1.130
3
2.127
1
1.277
6
2.404
3
∑
41
251.332
4.022
5.140
1
3.780
7
6.642
于是所求得的回归方程为Q＝0.196·h2.51.
-
1
-4.3.2 独立性检验
最新课程标准
1.了解2×2列联表、随机变量χ2的意义．
2．通过对典型案例的分析，了解独立性检验的基本思想方法．(重点)
3．通过对典型案例的分析，了解两个事件的独立性检验的应用．(难点)
知识点一 卡方统计量
χ2＝，用χ2的大小可以决定是否拒绝原来的统计假设“事件A与B独立”．如果算出的χ2值________，就拒绝“事件A与B独立”，从而就认为它们是有关的了．
知识点二 五个临界值
(1)当根据具体的数据算出的χ2>2.706时，有________的把握说事件A与B有关；
(2)当χ2>3.841时，有________的把握说事件A与B有关；
(3)当χ2>6.635时，有________的把握说事件A与B有关；
(4)当χ2>7.879时，有________的把握说事件A与B有关；
(5)当χ2>10.828时，有________的把握说事件A与B有关；当χ2≤2.706时，认为事件A与B是________的．
[基础自测]
1．下列选项中，哪一个χ2的值可以有95%以上的把握认为“A与B有关系”( )
A．χ2＝2.700
B．χ2＝2.710
C．χ2＝3.765
D．χ2＝5.014
2．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：
男
女
合计
爱好
40
20
60
不爱好
20
30
50
合计
60
50
110
经计算得
χ2＝≈7.8.
则正确结论是( )
A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”
B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”
C．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
D．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
3．考察棉花种子是否经过处理与是否生病之间的关系，得到下表中的数据：
种子处理
种子未处理
合计
得病
32
101
133
不得病
61
213
274
合计
93
314
407
根据以上数据可得出( )
A．种子是否经过处理与是否生病有关
B．种子是否经过处理与是否生病无关
C．种子是否经过处理决定是否生病
D．有90%的把握认为种子经过处理与生病有关
4．若由一个2×2列联表中的数据计算得χ2＝4.013，那么有________的把握认为两个变量之间有关系．
题型一 用2×2列联表分析两事件之间的关系
例1 在对人们饮食习惯的一次调查中，共调查了124人，其中六十岁以上的70人，六十岁以下的54人．六十岁以上的人中有43人的饮食以蔬菜为主，另外27人则以肉类为主；六十岁以下的人中有21人的饮食以蔬菜为主，另外33人则以肉类为主．请根据以上数据作出饮食习惯与年龄的列联表，并利用与判断二者是否有关系．
→→→
方法归纳
1．作2×2列联表时，注意应该是4行4列，计算时要准确无误．
2．作2×2列联表时，关键是对涉及的变量分清类别．
跟踪训练1 上例中条件不变，尝试用|n11n22－n12n21|的大小判断饮食习惯与年龄是否有关．
题型二 由χ2进行独立性检验
例2 在500人身上试验某种血清预防感冒的作用，把他们一年中的感冒记录与另外500名未用血清的人的感冒记录作比较，结果如表所示．问：能否在犯错误的概率不超过1%的前提下认为该种血清能起到预防感冒的作用．
未感冒
感冒
合计
使用血清
258
242
500
未使用血清
216
284
500
合计
474
526
1
000
独立性检验可以通过2×2列联表计算χ2的值，然后和临界值对照作出判断．
方法归纳
1．独立性检验的关注点
在2×2列联表中，如果两个分类变量没有关系，则应满足n11n22－n12n21≈0，因此|n11n22－n12n21|越小，关系越弱；|n11n22－n12n21|越大，关系越强．
2．独立性检验的具体做法
(1)根据实际问题的需要确定允许推断“事件A与B有关系”犯错误的概率的上界α，然后查表确定临界值k0.
(2)利用公式χ2＝计算随机变量χ2.
(3)如果χ2≥k0，推断“X与Y有关系”这种推断犯错误的概率不超过α；否则，就认为在犯错误的概率不超过α的前提下不能推断“X与Y有关系”，或者在样本数据中没有发现足够的证据支持结论“X与Y有关系”．跟踪训练2 为了调查胃病是否与生活规律有关，在某地对540名40岁以上的人的调查结果如下：
患胃病
未患胃病
合计
生活不规律
60
260
320
生活有规律
20
200
220
合计
80
460
540
根据以上数据判断40岁以上的人患胃病与生活规律有关吗？
题型三 独立性检验的综合应用
1.利用χ2进行独立性检验，估计值的准确度与样本容量有关吗？
[提示] 利用χ2进行独立性检验，可以对推断的正确性的概率作出估计，样本容量n越大，这个估计值越准确，如果抽取的样本容量很小，那么利用χ2进行独立性检验的结果就不具有可靠性．
2．在χ2运算后，得到χ2的值为29.78，在判断变量相关时，P(χ2≥6.635)≈0.01和P(χ2≥7.879)≈0.005，哪种说法是正确的？
[提示] 两种说法均正确．P(χ2≥6.635)≈0.01的含义是在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为两个变量相关；而P(χ2≥7.879)≈0.005的含义是在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为两个变量相关．
例3 为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：
男
女
需要
40
30
不需要
160
270
(1)估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；
(2)能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？
(3)根据(2)的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中需要志愿者提供帮助的老年人的比例？说明理由．
根据题中表格提供的数据，可通过求χ2的值进行判定．对于(1)(3)可依据古典概率及抽样方法分析求解．
方法归纳
1．检验两个变量是否相互独立，主要依据是利用χ2＝公式计算χ2的值，再利用该值与3.841,6.635两个值进行比较作出判断．
2．χ2计算公式较复杂，一是公式要清楚；二是代入数值时不能张冠李戴；三是计算时要细心．
3．统计的基本思维模式是归纳，它的特征之一是通过部分数据的性质来推测全部数据的性质．因此，统计推断是可能犯错误的，即从数据上体现的只是统计关系，而不是因果关系．跟踪训练3 若两个分类变量x和y的列联表为：
y
x
y1
y2
x1
5
15
x2
40
10
则x与y之间有关系的概率约为________．
教材反思
4．3.2 独立性检验
新知初探·自主学习
知识点一
较大
知识点二
(1)90% (2)95% (3)99% (4)99.5% (5)99.9% 无关
[基础自测]
1．解析：∵5.014>3.841，故D正确．
答案：D
2．解析：根据独立性检验的思想方法，正确选项为C.
答案：C
3．解析：χ2＝≈0.164<3.841，
即没有充足的理由认为种子是否经过处理跟生病有关．
答案：B
4．解析：查阅χ2表知有95%的把握认为两个变量之间有关系．
答案：95%
课堂探究·素养提升
例1 【解析】 饮食习惯与年龄2×2列联表如下：
年龄在六
十岁以上
年龄在六
十岁以下
合计
饮食以蔬菜为主
43
21
64
饮食以肉类为主
27
33
60
合计
70
54
124
将表中数据代入公式得
＝≈0.67，
＝＝0.45.
显然二者数据具有较为明显的差距，据此可以在某种程度上认为饮食习惯与年龄有关系．
跟踪训练1 解析：将本例2×2列联表中的数据代入可得
|n11n22－n12n21|＝|43×33－21×27|＝852.
相差较大，可在某种程度上认为饮食习惯与年龄有关系．
例2 【解析】 假设感冒与是否使用该种血清没有关系．
由列联表中的数据，求得
χ2＝≈7.075.
χ2＝7.075＞6.635，
P(χ2≥6.635)＝0.01，
故我们在犯错误的概率不超过1%的前提下，即有99%的把握认为该种血清能起到预防感冒的作用．
跟踪训练2 解析：由公式得χ2＝≈9.638.
∵9.638>6.635，
∴有99%的把握说40岁以上的人患胃病与生活是否有规律有关，即生活不规律的人易患胃病．
例3 【解析】 (1)调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中，需要帮助的老年人的比例的估计值为＝14%.
(2)χ2＝≈9.967.
由于9.967>6.635，所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关．
(3)由(2)的结论知，该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法进行抽样，这比采用简单随机抽样方法更好．
跟踪训练3 解析：χ2＝≈18.822.
∵18.822>6.635，
∴x与y之间有关系的概率约为1－0.01＝0.99.
答案：0.99
-
6
-