山西省2012届高三四校第四次联考试题数学理

2012届高三年级第四次四校联考
数学（理）试题
（满分150分，考试时间120分钟）
命题： 长治二中 康杰中学 临汾一中 忻州一中
第Ⅰ卷
一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1. 已知
A. B. C. D.
2. 各项都是正数的等比数列中,，则公比
A. B. C. D.
3.
A. B. 2 C. D.
4. 若展开式中第四项与第六项的系数相等，则展开式中的常数项的值等于
A. 8 B. 16 C. 80 D. 70
5. 函数，若，则实数的值是
A. B. C. 或 D. 或
6. 命题：使得；命题：若函数
为偶函数，则函数 关于直线对称
A. 真 B. 真
C. 真 D. 假
7. 执行右图所给的程序框图，则运行后输出的结果是
A. B.
C. D.
8. 由不等式组围成的三角形区域有一个外接
圆，在该圆内随机取一点，该点落在三角形内的概率是
A. B. C. D.
9. 已知A、B、C是圆O：上三点，且=
A. B. C. D.
10. 已知三棱锥中，A、B、C三点在以O为球心的球面上， 若，
，三棱锥的体积为，则球O的表面积为
A. B. C. D.
11. 已知数列{an}为等差数列，若<－1，且它们的前n项和Sn有最大值，则使Sn>0的n的最大值为
A. 11 B. 19 C. 20 D. 21
12. 过双曲线的左焦点，作圆：的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若，则双曲线的离心率为
A. B. C. D.
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分，第13—21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22—24题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题 (本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13. 若,则=___________。
14. 已知为抛物线上不同两点，且直线倾斜角为锐角，为抛物线焦点，若 则直线斜率为 。
15. 某几何体的三视图如图所示，其正视图为矩
形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯
形，则这个几何体的体积为 。
16. 已知函数若函数
有三个零点，则的取值范围
为 　 　 　 。
三、解答题（解答应给出文字说明，证明过程或演算步骤，共70分）
17.（本小题满分12分）
中，角的对边分别为，且
（1）求角；
（2）设函数将函数的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的，把所得图象向右平移个单位，得到函数的图象，求函数的对称中心及单调递增区间.
18.（本小题满分12分）
在三棱锥中，
，，
平面平面，为的中点.
（1）证明：；
（2）求所成角的大小.
19.（本小题满分12分）
某单位为了提高员工素质，举办了一场跳绳比赛，其中男员工12人，女员工18人，其成绩编成如图所示的茎叶图（单位：分），分数在175分以上（含175分）者定为“运动健将”，并给予特别奖励，其他人员则给予“运动积极分子”称号.
（1）若用分层抽样的方法从“运动健将”和“运动积极分子”中抽取10人，然后再从这10人中选4人，求至少有1人是“运动健将”的概率；
（2）若从所有“运动健将”中选3名代表，用表示所选代表中女“运动健将”的人数，试写出的分布列，并求的数学期望.
20.（本小题满分12分）
已知椭圆C：的离心率为，且过点Q(1，）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若过点M(2，0)的直线与椭圆C相交于A，B两点，设P点在直线
上，且满足 (O为坐标原点），求实数t的最小值．
21.（本小题满分12分）
设函数.
（1）当时,求函数在点处的切线方程；
（2）对任意的函数恒成立，求实数的取值范围.
请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多答，则按做的第一题记分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑．
22. (本题满分10分)
选修4-1：几何证明与选讲
如图，为直角三角形，，以为直径的圆交于点，点是边的中点，连交圆于点.
（1）求证：四点共圆；
（2）求证：.
23. (本题满分10分)
选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数）.若以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线C的直角坐标方程;
（2）求直线被曲线所截得的弦长.
24.（本题满分10分）
选修4－5：不等式选讲
函数
（1）画出函数的图象；
（2）若不等式恒成立，求实数的范围.
高三第四次四校联考理科数学答案
1-5. CBADD 6-10. ABCAC 11-12. BA
13. 14. 15. 16.
17.解：（1）因为
---------------3分
又 -------------------5分
（2）由（1）得： ----------------6分
由题可得 --------------------8分
------------------10分
令
即函数 ---------------12分
18.解：（1）取，
平面,又以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， ---------------2分
则，
所以，
故，即 --------6分
（2）由（1）知， -----------------8分，得
则得平面 ---------------10分
则，所以 ------------------12分
19.解：（1）根据茎叶图，有“运动健将”12人，“运动积极分子”18人------------1分
用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率为，所以选中的运动健将有运动积极分子有 -----------------3分
设事件：至少有1名‘运动健将’被选中，则
-----------5分
（2）由茎叶图知男“运动健将有”8人，女“运动健将”有4人，故的取值为
------------7分
----------9分
的分布列为：
1 2 3
---------------10分
-------------- 12分
20. 解：（1）设椭圆的焦距为，因为离心率为，，所以 --------------2分
设椭圆方程为又点在椭圆上，--------------3分
所以椭圆方程为 --------------4分
（2）由已知直线AB的斜率存在，设AB的方程为：
由 得
，得：，即 -------6分
设，
,，显然时；当时，
，-------8分
因为点在直线上所以
即 ------9分
因为（当且仅当时取等号）（因为）
-------11分
综上： -------12分
21解：（1）当时,
由，则 ---------3分
函数在点处的切线方程 为
即 ---------4分
(2) ---------5分
易知，，则
当即时，由得恒成立，
在上单调递增， 符合题意。所以 ---------7分
当时，由得恒成立，在上单调递减，
显然不成立，舍去。 ---------8分
当时，由，得即
则
因为，所以。时，恒成立，
在上单调递减，显然不成立，舍去。---------11分
综上可得: ---------12分
22. 解：（1）连接，则 ----------------1分
又是的中点，所以 ----------------3分
又，所以，所以
故四点共圆. -------------5分(2) 延长交圆于点，
------------8分
，即--------10分
23. 解：(1) 由得：
两边同乘以得： -------------3分
∴ 即 -----------5分
（2）将直线参数方程代入圆C的方程得： ------------6分
------------8分
------------10分
24．解：(1)
---------5分
(2) 由 得
又因为 则有 --------8分
解不等式， 得 --------10分
O
1
1
2
x
y