黑龙江省哈尔滨市重点高中2020-2021学年高二下学期期末考试数学（理）试卷 Word版含答案

哈尔滨市重点高中2020-2021学年高二下学期期末考试
理科数学试题
考试说明：本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，
满分150分，考试时间120分钟．
（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；
（2）选择题必须使用2B铅笔填涂, 非选择题必须使用0.5毫米黑色的签字笔书写, 字迹清楚；
（3）请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸上答题无效；
（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的
1．已知集合false，false，若false，则实数false的取值范围为（ ）
A．false B．false C．false D．false
2．若复数false满足false，则false的虚部为（ ）
A. false B. false C. false D. false
3．已知false，那么“false”的一个充分必要条件是（ ）
A.false B.false C.false D.false
4．我国即将进入双航母时代，航母编队的要求是每艘航母配2～3艘驱逐舰，1～2艘核潜艇.船厂现有5艘驱逐舰和3艘核潜艇全部用来组建航母编队，则不同组建方法种数为（ ）
A．30 B．60 C．90 D．120
5．已知定义在false上的偶函数false满足false，且在false上有false，则false ( )
A．false B．false C．false D．false
6．函数false的图像大致为( 　)
4175125-457207．设false，其正态分布密度曲线如图所示，那么从正方形false中随机取false个点，则取自阴影部分的点的个数的估计值是（ ）
（注：若false，则false）
A．7539 B．6038 C．7028 D．6587
8．已知函数false，则不等式false的解集为 ( )
A．false B．false C． false D．false
9．417004553975某校进行了一次创新作文大赛，共有100名同学参赛，经过评判，这100名参赛者的得分都在false之间，其得分的频率分布直方图如图，则下列结论错误的是（ ）
A．得分在false之间的共有40人
B．从这100名参赛者中随机选取1人，其得分在false的概率为0.5
C．估计得分的众数为55
D．这100名参赛者得分的中位数为65
10．为了庆祝学校的元旦晚会，甲、乙、丙、丁计划报名参加晚会的相声、小品、歌唱、舞蹈这false个节目，每个同学限报false个节目，在乙、丙、丁三个同学报的节目与甲不同的条件下，每个同学报的节目都不相同的概率为（ ）
A．false B．false C．false D．false
11．设正实数false满足false ，则下面成立的是（　　）
A．false B．false C．false D． false
12．已知关于false的不等式false在false恒成立，则false的取值范围是false　　false
A．false B． false C．false D．false
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案写在答题卡上相应的位置
13. 已知false，则false展开式中的常数项为___________．
14．有下列四个命题：
①在回归分析中，残差的平方和越小，模型的拟合效果越好；
②在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适；
③若数据false，false，…，false的平均数为1，则false，false，…false的平均数为2；
④对分类变量false与false的随机变量false的观测值false来说，false越小，判断“false与false有关系”的把握越大
其中真命题的个数为___________．
15．若函数false在区间false上存在减区间，则实数false的取值范围是_________．
16．设函数false，若不等式false，恰有两个整数解，则实数false的取值范围是__________．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
17．（本小题满分10分）
以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为false，直线l的极坐标方程为false（false）．
（1）求曲线C的参数方程；
（2）当false时，直线l与曲线C交于A，B两点，求false．
18. （本小题满分12分）
已知false是定义在false上的奇函数，false时，false，false是定义在false的函数，且false．
（1）求函数false的解析式；
（2）若对于false，false，使得false成立，求实数false的取值范围．
19．（本小题满分12分）
垃圾分类指的是按照一定规定或者标准将垃圾分类储存、投放和搬运，从而转变成公共资源的一系列活动的总称我国的垃圾分类大致分为厨余垃圾、可回收垃圾、有害垃圾、其他垃圾四类，而正确的掌握垃圾分类也是中学生的必修课之一．某学校从甲、乙两个班级中各随机抽取了8名学生参加垃圾分类知识的检测，并将检测后的成绩统计如表所示：
甲
73
64
74
78
65
72
87
85
乙
74
85
76
74
false
false
77
86
其中false，false，false，false．
（1）求false，false的值；
（2）现从乙班同学中随机抽取4人，记80分以上的人数为false，求false的分布列以及数学期望．
20. （本小题满分12分）
3875405302260如图所示的多面体是由一个直平行六面体被平面false所截后得到的，其中false，false，false.
（1）求证：平面false平面false；
（2）求直线false与平面false所成角的正弦值.
21. （本小题满分12分）
已知抛物线false：false（false），点false在抛物线false上，点false在false轴的正半轴上，等边false的边长为false.
（1）求抛物线的方程；
（2）若直线false false与抛物线false相交于false，false两点，直线false不经过点false，false的面积为false，求false的取值范围.
22．（本小题满分12分）
已知函数false．
（1）若曲线false在false上单调递增，求false的取值范围；
（2）若false在区间false上存在极大值false，证明：false．
哈尔滨市重点高中2020-2021学年高二下学期期末考试
理科数学答案
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10
11
12
C
D
A
B
C
B
D
A
D
D
C
B
13.20 14. 3 15. false 16. false
17. （1）false；（2）3．
解：（1）将false，false代入false，
得曲线C的直角坐标方程为false，∴曲线C的参数方程为false（α为参数）．
（2）当false时，曲线C的极坐标方程为false，
将false代入false，得false．设A、B两点对应的极径分别为false，false，
∴false，false，∴false．
18. （1）false；（2）false．
（1）设false，则false，所以false，又false是奇函数，所以false，所以false，又false，所以false
（2）由题意得false．
当false时，false，所以false在false上单调递增，所以false；
当false时，false，所以false在false上单调递增，
所以false，所以false．
对于false，因为false，false，所以false，当且仅当false即false时等式成立．
所以false，所以false，整理得false，
所以实数a的取值范围是false．
19.（1）记false，false的个位数分别为false，false．
false，故false，①
而false，故false，②
联立①②解得，false，false，则false，false．
（2）依题意，false的可能取值为0，1，2，3，
则false，false，false，false，
故false的分布列为，
false
0
1
2
3
false
false
false
false
false
故false．
20．（1）见解析（2）false
（1）证明：在false中，因为false，false.
由余弦定理得，false，解得false，∴false，∴false，
在直平行六面体中，false平面false，false平面false，
∴false又false，∴false平面false，∴平面false平面false.
（2）解：如图以false为原点建立空间直角坐标系false，
因为false，false，所以false，false，false，false，false，false，false.
设平面false的法向量false，false，
令false，得false，false，∴false.
设直线false和平面false的夹角为false，
所以false，
所以直线false与平面false所成角的正弦值为false.
21. （1）false；（2）false
解：（1）false是边长为false的等边三角形，点false在抛物线false上，点false在false轴的正半轴上，
false，即false，解得：false，false抛物线方程为false.
（2）将直线false的方程为false与抛物线false的方程false联立，
消去false，得false，设false，false，
则false，false，
false，
false点false，false点false到直线false：false的距离为false，
false的面积false，
false，false，
设false，则false，
false在false上单调递增，即false，false.故false的取值范围为false.
22. 【答案】（1）false；（2）证明见详解．
【解析】（1）由题意得false在区间false内恒成立，
即false在区间false内恒成立，令false，则false．
当false时，false，false在区间false内单调递减；
当false时，false，false在区间false内单调递增，故false，
所以false，所以false的取值范围为false；
（2）由（1）知当false时，false在区间false内单调递增，则不存在极大值．
当false时，falsefalse．false，令false，则false．
令false，则false，则易知函数false在区间false内单调递减，
在区间false内单调递增．又false，false，
false（易知false），
false，
令false，false，
所以false在false上单调递增，所以false，
所以false，故存在false，使得false，
存在false，使得false，则当false时，false；
当false时false；当false时，false，
故false在区间false内单调递增，在区间false内单调递减，在区间false内单调递，增，所以当false时，false取得极大值，即false．
由false，得false，false，由false，得false，
故false，所以false．