雅安市2020—2021学年下期期末检测高中二年级
数
学（理科）
试
题
（本试卷满分150分，答题时间120分钟）
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上,并检查条形码粘贴是否正确.
2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上；非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.
3.考试结束后，将答题卡收回.
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.
1.已知复数，则在复平面内z对应的点的坐标为
A.
B.
C.
D.
2.
命题“”的否定是
A.
B.
C.
D.
3.我国古代有着辉煌的数学研究成果，其中《周髀算经》
《九章算术》
《孙子算经》
《海岛算经》
《缉古算经》有着丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献.这5部专著中有3部产生于汉.魏.晋.南北朝时期.现拟从这5部专著中选择2部作为学生课外兴趣拓展参考书目，则所选2部专著中至少有一部是汉.魏.晋.南北朝时期专著的概率为
A.
B.
C.
D.
4.若命题命题且，则是的
A.充分不必要条件
B.
必要不充分
C.
充要条件
D.既不充分也不必要条件
X
2
3
4
p
a
b
a
5.若随机变量X的分布列为
则X的数学期望E(X)＝
A.2a＋2b
B.
2a＋b
C.
D.
3
6.的展开式中的常数项是
A.
B.
C.
D.
7.在某项测量中，测得变量
.若在内取值的概率为，则在内的取值的概率为
A.
B.
C.
D.
8.设某项试验的成功率是失败率的3倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则D(X)等于
A.
B.
C.
D.
已知平面的一个法向量，点在平面内，则点到平面的距离为
A.
B.
C.
D.
10.若在是增函数，则实数的取值范围为
A.
B.
C.
D.
11.甲乙两人独立地从五门选修课中各自选两门进行学习，记两人所选选修课程相同的门数为，则为
A.
B.
1
C.
D
.
12.
已知函数，，若方程仅有1个实数解，则实数a的取值范围是
A.
B.
C.
D.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分).将答案填在答题卡相应的横线上.
13.曲线在点处的切线方程为
.
14.A家庭有一对夫妻和两个女儿，B家庭有一对夫妻和两个儿子，共8人，一起去游乐场游玩，坐在共有8个座位的一排座位上，A家庭的两个女儿要相邻，B家庭的两个儿子要相邻，并且为了安全起见，两位爸爸要坐在两端.那么这8人的排座方法种数为
.
15.为了调查高中学生参加课外兴趣活动选篮球和舞蹈是否与性别有关，现随机调查了30名学生，得到如下列联表：
篮球
舞蹈
合计
男
13
7
20
女
2
8
10
合计
15
15
30
根据表中的数据，及观测值（其中），参考数据：
0.05
0.025
0.010
3.841
5.024
6.635
则在犯错误的概率不超过
前提下，认为选择舞蹈与性别有关.
16.已知函数是定义在R上的奇函数，其导函数为，当时，，若则不等式的解集为
.
三、解答题(本大题共6小题，共70分)．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知函数
（1）求函数的极值；
（2）求函数在上的值域.
18.（12分）某校数学教研组，为更好地提高该校高三学生《圆锥曲线》的选填题的得分率，对学生《圆锥曲线》的选填题的训练运用最新的教育技术做了更好的创新，其学校教务处为了检测其质量指标，从中抽取了100名学生的训练成绩（总分50分），经统计质量指标得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求所抽取的样本的众数、中位数、平均数;
（2）将频率视为概率，从该校高三学生中任意抽取3名学生，记这3个学生《圆锥曲线》的选填题的训练的质量指标值位于内的人数为，求的分布列和数学期望.
19.（12分）如图，面BCC1B1是某圆柱的轴截面(过上、下底面圆心连线的截面)，线段AA1是该圆柱的一条母线，BC＝2AB，点D为AA1的中点.
(1)当点E为棱BC的中点时，求证：AE//平面BC1D；
(2)当轴截面BCC1B1是边长为2的正方形时，求平面BDB1与平面BC1D所成角的正弦值.
20.（12分）某5G科技公司对某款5G产品在2021年1月至4月的月销售量及月销售单价进行了调查，月销售单价x和月销售量y之间的一组数据如下表所示：
月份
1
2
3
4
月销售单价（百元）
9
8.8
8.6
8.4
月销售量（万件)
73
79
83
85
(1)由散点图可知变量y与x具有线性相关关系，根据1月至4月的数据，求出y关于x的回归直线方程；
(2)预计在今后的销售中，月销售量与月销售单价仍然服从(1)中的关系，若该种产品的成本是350元/件，则该产品的月销售单价应定为多少元才能获得最大月利润?(注：利润＝销售收入－成本)
附参考公式和数据：.
21.（12分）已知命题p：关于的不等式的解集为，命题q：函数的定义域为R，若为假命题，为真命题，求实数的取值范围.
22.（12分）设函数
（1）讨论函数的单调性；
（2）令，，对于任意，，总有成立，求实数的取值范围.
高二数学（理科）试题
第
1
页
共
5
页雅安市2020—2021学年下期期末检测高中二年级
数学（理科）参考答案及评分标准
一、选择题（每题3分，共60分）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
B
D
C
A
D
B
C
D
C
B
D
D
二、填空题（每题5分，共20分）
14.
192种
15.0.025
16.
三、解答题
17.（10分）解：（1），.........................................1分
令......................................2分
所以函数在和上单调递增，......................................3分
在上单调递减。......................................4分
=，......................................5分
由（1）知在上单调递减，在上单调递增，......................7分
又因为，......................................9分
在上的值域为：......................................10分
18.（12分）解：（1）从样本数据的频率分布直方图可以估计样本的
众数：；......................................1分
平均数：
；..........3分
设中位数为，则：
所以，因此中位数为。......................................5分
选填题的训练的质量指标值位于内的概率为：
；......................................6分
又因为的可能取值为：0，1，2，3
所以
；
；
；
；......................8分
所以的分别列为：
0
1
2
3
............................................................................10分
所以......................................12分
19.（12分）（1）证明：取中点，连接,,又因为为中点，......................................2分
,所以四边形为平行四边形，,......................................4分
又因为,
,
................................5分
解：由题意知两两垂直，以为原点，以,,,为,建立空间直角坐标系；
又因为,且,所以,......................................
所以,,......................................7分
设平面的一个法向量，则：,
所以，......................................9分
又因为是平面的一个法向量，
所以
，......................................11分
所以平面与平面所成角的正弦值为......................................12分
（12分）解：，
......................................1分
......................................2分
=
......................................4分
......................................6分
所以关于的线性回归直线方程为：.......................................8分
设利润为Z，
则：......................................10分
所以当时，即月销售单价应定为810元时，才能获得最大月利润。......................................12分
21.（12分）解：由P命题知：，......................................
由命题知：当时，不符合题意，所以；......................................2分
当时，，......................................4分
所以综上所述：
......................................6分
又为假命题，为真命题，所以
当假真时，；......................................8分
当真假时，；......................................10分
所以，综上所述
的取值范围为：
......................................12分
22.（12分）解：（1）定义域：
，......................................1分
因为，所以......................................2分
当时，即时，恒成立，所有在（0，+）上单调递增;
......................................3分
当时，即时，令，则，所以在上单调递增，在上单调递减.......................................4分
（2）由（1）可知
当时，
，...................................5分
，......................................6分
对于任意，，总有成立，
等价于恒成立.......................................7分
因为，所以......................................8分
若时，易证所以，
即在上单调递增，恒成立，符合题意............................9分
若时，设，
所以在上单调递增，且，则存在，使得，所以在上单调递减，在上单调递增，又，所以不恒成立，不符合题意.......................................11分
综上所述，所求实数的取值范围是
.......................................12分
