黑龙江省大庆市萨尔图区东风高级中学校2020-2021学年高二下学期期末考试数学（文）试题 Word版含答案

萨尔图区东风高中校2020-2021学年高二下学期期末考试
数学学科试卷
一、单选题（每小题5分，共计12题，总分60分）
1．已知集合false，false，则false（ ）
A．false B．false C．false D．false
2．若false是假命题，false是真命题，则（ ）
A．false是真命题 B．false是假命题 C．false是真命题 D．false是真命题
3．命题false的否定是（ ）
A．false，false B．false，false
C．false，false D．false，false
4．函数false的定义域是（ ）
A．false B．false
C．false D．false
5．已知false，则false（ ）
A．1 B．2 C．3 D．15
6．已知函数false的定义域为实数集false，对false，有false成立，且false，则false( )
A．10 B．5 C．0 D．-5
7．已知函数：①false；②false；③false；④false；则下列函数图象（第一象限部分）从左到右依次与函数序号的对应顺序是（ ）
A．②①③④ B．②③①④ C．④①③② D．④③①②
8．已知false，false，false，则（ ）
A．false B．false
C．false D．false
9．函数false的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
10．设函数false，则false零点的个数为（ ）
A．false B．false C．false D．false
11．已知函数false在false上单调递减，则实数false的取值范围是（ ）
A．false B．false C．false D．false
12．若函数false在false上可导，且false，则当false时，下列不等式成立的是(　　 )
A．false B．false
C．false D．false
二、填空题（每小题5分，共计4题，总分20分）
13． “false”是“false ”成立的_____________条件.
14．函数false的值域为______．
15．已知false的定义域为false，则false的定义域为_______________.
16．函数false（false）在false内不存在极值点，则a的取值范围是_______________．
三、解答题（共计6题，总分70分）
17．（10分）计算下列各式的值：
（1）false；
（2）false.
18．（12分)在平面直角坐标系false中，直线false的参数方程为false(其中false为参数).在以false为极点，false轴的非负半轴为极轴的极坐标系(两种坐标系的单位长度相同)中，曲线false的极坐标方程为false.
（1）求直线false的极坐标方程
（2）设直线false与曲线false交于false，false两点，求false.
19．(12分）已知函数false是定义域false上的奇函数．
（1）确定false的解析式；
（2）若false在区间false上是减函数，解不等式false．
20．（12分）已知二次函数false的图象过点false，且不等式false的解集为false．
（1）求false的解析式；
（2）若false在区间false,false上有最小值2，求实数false的值．
21．（12分）2021年4月22日，一则“清华大学要求从2019级学生开始，游泳达到一定标准才能毕业”的消息在体育界和教育界引起了巨大反响.游泳作为一项重要的求生技能和运动项目受到很多人的喜爱.其实，已有不少高校将游泳列为必修内容.某中学为了解2020届高三学生的性别和喜爱游泳是否有关，对100名高三学生进行了问卷调查，得到如下列联表：
喜欢游泳
不喜欢游泳
总计
男生
10
女生
20
总计
已知在这100人中随机抽取1人，抽到喜欢游泳的学生的概率为false.
（1）请将上述列联表补充完整；
（2）判断是否有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关.
附： false
α
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
22．(12分)已知曲线false在false处的切线经过原点．
（1）求实数false的值；
（2）若false，讨论false的极值点的个数．
萨尔图区东风高中校2020-2021学年高二下学期期末考试
数学参考答案
1．A
【详解】
因为集合false，false，则falsefalse，故选：A.
2．C
【详解】
解：false是假命题，false是真命题，
false是假命题，false是真命题，false是真命题，false是假命题，false错，false对．
故选：false．
3．A
【详解】
特称命题的否定是全称命题，
即命题“false”的否定是“false”.故选：A
4．C
【分析】
【详解】
由题意得false解得false或false.所以原函数的定义域为false.
故选：C.
5．A根据分段函数的定义，先求内层函数的值false，然后再求外层函数false的值.
【详解】
解：因为false，所以false，
所以false，故选：A.
6．D
【详解】
对false，有false，所以false，
所以函数false的周期为false，所以false，对于false
令false可得false，所以false，即false，故选：D.
7．D
【详解】
①：函数false是实数集上的增函数，且图象过点false，因此从左到右第三个图象符合；
②：函数false是实数集上的减函数，且图象过点false，因此从左到右第四个图象符合；
③：函数false在第一象限内是减函数，因此从左到右第二个图象符合；
④：函数false在第一象限内是增函数，因此从左到右第一个图象符合，故选：D
8．B【详解】
因为false，false，false，
所以false.
故选：B.
9．C函数false的定义域为false，
false，即函数false是定义域上的奇函数，其图象关于原点对称，排除选项A，B；x>0时，false，而false，则有false，显然选项D不满足，C符合要求.
故选：C
10．B
【详解】令false，得false，即false，
则函数false的零点个数等于函数false和函数false的交点个数，
在同一坐标系中作出函数false和函数false的图象，如下图所示：
由上图可知，函数false和函数false有两个交点，
因此，函数false的零点个数为false，故选B
【点睛】
本题考查函数的零点个数的求解，一般有以下两种方法：
（1）代数法：解方程false的根；
（2）图象法：求函数false的零点个数，可转化为两个函数false和函数false图象的交点个数.
11．C
【分析】
令false，false，分析出内层函数和外层函数的单调性，以及真数在所给的区间上恒为正数可得出关于实数false的不等式组，进而可求得实数false的取值范围.
【详解】
令false，易知false在其定义域上单调递减，
要使false在false上单调递减，则false在false单调递增，
且false，即false，所以false，即false.
因此，实数false的取值范围是false.
故选：C.
【点睛】
关键点点睛：解本题的关键点：
（1）利用复合函数的单调性“同增异减”分析出内层函数和外层函数的单调性；
（2）不要忽略了真数要恒大于零.
12．D
【解析】
构造函数：false得函数g（x）为减函数，又false所以falsefalse
点睛：可先观察备选答案中含有false，又false，故想到构造函数false，分析单调性即可得出结论.此题可作为重点积累
13．充要
【分析】
利用充分，必要条件的定义，结合不等式的性质判断
【详解】
false，即false，反过来，当false，
即false，所以“false”是“false ”成立的充要条件.
故答案为：充要
14．false
【分析】
按false和false分别求出函数的值域，取并集可得答案．
【详解】
当false时，false
当false时，false
综上可得，false的值域为false
故答案为：false
15．false
【分析】
由题意得出false，解出该不等式即可得出函数false的定义域.
【详解】
由于函数false的定义域为false，对于函数false，有false，
即false，即false，解得false.
因此，函数false的定义域为false.
故答案为：false.
【点睛】
本题考查抽象函数定义域的求解，解决抽象函数的定义域问题，需要注意以下两个问题：函数的定义域为自变量的取值范围、另外就是中间变量的取值范围一致，考查运算求解能力，属于基础题.
16．false．
【分析】
将函数在false内不存在极值点，转化为函数为单调函数，求导利用导数false或false恒成立即可求解.
【详解】
解：∵函数false（false）在false内不存在极值点，
∴函数false在false内单调递增或单调递减，
∴false或false在false内恒成立，
∵false，
令false，二次函数的对称轴为false，
∴false，
false，
当false时，需满足false，即false，
当false时，需满足false，即false，
综上所述，a的取值范围为false．
故答案为：false．
17．（1）false；（2）8.
【分析】
（1）根据指数幂的运算性质可求得结果；
（2）根据对数的运算性质可求得结果
【详解】
（1）原式false；
（2）原式false
false.
18．（1）falsefalse；（2）false
【分析】
（1）将直线的参数方程化为普通方程，再根据false得到直线的极坐标方程；
（2）因为falsefalse等价于false和falsefalse，联立直线与曲线的极坐标方程，得到false、false，从而计算可得；
【详解】
解：（1）将false(其中false为参数)消去参数false得false，将false代入得false，所以false，即falsefalse
（2）因为falsefalse等价于false和falsefalse
不妨设false与曲线false交于点A，false与曲线false交于点B；
由false，则false
由false，则false
所以false
19．（1）false；（2）false．
【分析】
（1）根据奇函数的定义false，代入求解即可；（2）因为false在false上既是奇函数又是减函数，所以移项根据增减性可列出false的不等关系，解不等式组即可.
【详解】
（1）由于函数false是定义域false上的奇函数，
则false，
即false，化简得false，
因此，false；
（2）因函数false是定义域（-1，1）上的奇函数
由false得false，
又false在区间false上是减函数
所以false，解得false．
因此，不等式false的解集为false．
【点睛】
思路点睛：已知false的奇偶性和单调性，求不等式中变量的范围
（1）对不等式移项，再根据奇偶性转化为false或false；
（2）由单调性建立false的不等关系，求解即可.注意false的范围一定要落在在定义域中.
20．（1）false；（2）false或false．
【分析】
（1）由一元二次不等式的解知，1和3是方程false的两根且false，利用根与系数的关系即可求参数，写出解析式.
（2）由二次函数的开口及对称轴，结合其在闭区间上的最小值，讨论false、false、false情况下，求符合条件的t值即可.
【详解】
（1）由false，得false，又1和3是方程false的两根，
∴false，false．解得false，false，
∴false．
（2）false，false．开口向上且对称轴为false，
当false时，false在false上为增函数，false，解得false，符合题意；
当false时，false在false上为减函数，false在false上为增函数，false，解得false，其中false舍去；
当false时，false在false上为减函数，false，解得false，不符合题意．
综上可得，false或false．
21．（1）列联表见解析；（2）有把握.
【分析】
（1）根据题意分析数据，完成列联表；
（2）套公式计算false，对照参数下结论即可.
【详解】
（1）因为在100人中随机抽取1人抽到喜欢游泳的学生的概率为false
所以喜欢游泳的学生人数为false.
其中女生有20人，男生有40人，列联表补充如下：
喜欢游泳
不喜欢游泳
合计
男生
40
10
50
女生
20
30
50
合计
60
40
100
（2）因为false
所以有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关.
22．（1）false；（2）答案见解析．
【分析】
（1）根据导数的几何意义求出在false处的切线方程，然后将false代入切线方程即可求解.
（2）对false求导，得到false，由于正负不容易确定，故令false，进行再次求导得到false，接下来对false进行分类讨论即可求出结果.
【详解】
解：（1）由题意知false，所以false，
又因为false，所以切线方程为false．
代入点false，得false．
（2）false，false．
令false，则false．
令false．
（ⅰ）若false，则false，false，false在false上单调递减，注意到false，
所以false的单调性如下表：
false
false
1
false
false
false
0
false
false
false
极大值
false
此时false有一个极值点．
（ⅱ）若false，令false，得false（舍），false，易知false在false上单调递减，在false上单调递增．
下面讨论false与1的大小关系，由于false．
①若false，则false，false．由false的单调性知false，而false时，false，则存在false使得false，因此false的单调性如下表：
false
false
1
false
false
false
false
false
0
false
0
false
false
false
极大值
false
极小值
false
此时false有两个极值点．
②若false，则false．又false，由false的单调性知false，即false，所以false单调递增，无极值点．
综上所述：若false，则false有一个极值点；
若false，则false有两个极值点；
若false，则false没有极值点．
【点睛】
导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．