人教新课标B版必修2 第二章 2.4.2空间两点间的距离公式 教案

（一）教学目标

空间两点间的距离公式教案

1．知识与技能： 使学生掌握空间两点间的距离公式
先推导特殊情况下空间两点间的距离公式
推导一般情况下的空间两点间的距离公式
由平面上两点间的距离公式，引入空间两点距离公式的猜想
2．过程与方法
3．情态与价值观
通过空间两点间距离公式的推导，使学生经历从易到难，从特殊到一般的认识过程
（二）教学重点、难点
重点：空间两点间的距离公式；
难点：一般情况下，空间两点间的距离公式的推导。
（三）教学设计
教学环节 教学内容
在平面上任意两点 A (x
，y )，

师生互动 设计意图
1 1
B (x ，y )之间的距离的公式为
2 2
复习引入

|AB| = (x
1
? x )2 ? ( y
2 1
? y )2 ，
2
师：只需引导学生大胆猜测，是否正确无关紧要。
通过类比，充分发挥学生的联想 能
那么对于空间中任意两点 A

生：踊跃回答 力。
(x ，y ，z )，B (x ，y ，z ) 之
1 1 1 2 2 2
间的距离的公式会是怎样
呢？你猜猜？
概念形成
（2）空间中任一点P (x，y，z) 到原点之间的距离公式会是怎样呢？
师：为了验证一下同学们的猜想，我们来看比较特殊的情况，引导学生用勾股定理来完成
学生：在教师的指导下作答得出
从特殊的情况入手，化解难度
|OP| = x2 ? y2 ? z 2 .
（3）如果|OP| 是定长 r，那么概念深化 x2 + y2 + z2 = r2 表示什么图
形？
师：注意引导类比平面直角坐标系中， 方程 x2 + y2 = r2 表示的图形中，方程x2 + y2 = r2 表示图形，让学生有种回归感。
生：猜想说出理由
任何知识的猜想都要建立在学生原有知识经验的基础上，学生可以通过类比在平面直角系中，方程 x2 + y2 = r2
（4）如果是空间中任间一点
， ， )到点 P (x ，y ，
P1 (x1 y1 z1 2 2 2
z
) 之间的距离公式是怎样
2
呢？
师生：一起推导，但是在推导的过程中要重视学生思路的引导。
得出结论：
表示原点或圆，得到知识上的升华， 提高学习的兴趣。
人的认识是从特殊情况到一般情况的
|P1P2| = (x
? x )2 ? ( y
2 1
? y )2 ? (z
2 1
? z )2
2
巩固练习 教师引导学生作答
1．先在空间直角坐标系中 1．解析（1） 6 ，图略标出 A、B 两点，再求它们 （2） 70 ，图略
之间的距离： 2．解：设点 M 的坐标是(0，0，z).
1）A(2，3，5)，B(3，1，4)； 依题意，得
2）A(6，0，1)，B(3，5，7)
2．在 z 轴上求一点 M，使点 M 到点 A(1，0，2)与点
B(1，–3，1)的距离相等.
(0 ?1)2 ? 0 ? ( z ? 2)2 =
(0 ?1)2 ? (0 ? 3)2 ? ( z ?1)2 .
3．求证：以 A(10，–1，6)， 解得 z = –3.
B(4，1，9)，C(2，4，3)三点 所求点 M 的坐标是(0，0，–3).
为顶点的三角形是等腰三角 3．证明：根据空间两点间距离公式， 培养学生直接利 形. 得 用公式解决问题能 4．如图，正方体 OABD – 力，进一步加深理
| AB |? (10 ? 4)2 ? (?1 ?1)2 ? (6 ? 9)2 ? 7
D′A′B′C′的棱长为 a，|AN| = 解
2|CN|，|BM| = 2|MC′|. 求 MN
的长.

| BC |? (4 ? 2)2 ? (1? 4)2 ? (9 ? 3)2 ? 7 ，
| AC |? (10 ? 2)2 ? (?1 ? 4)2 ? (6 ? 3)2 ? 98 .
因为 7+7＞ 98 ，且|AB| = |BC|，所以△
ABC 是 等 腰 三 角 形 . 4．解：由已知，得点 N 的坐标为
( a , 2a , 0) ， 3 3
点 M 的坐标为( a , a, 2a ) ，于是
3 3
| MN |? ( a ? a )2 ? ( 2a ? a)2 ? (0 ? 2a )2
3 3
3
3
? 5 a.
3
课外练习
布置作业 练习册
学生独立完成
巩固深化所学知识
（四） 课堂小结
空间两点间的距离公式是什么？
空间中到定点的距离等于定长的点得轨迹是什么？
如何利用坐标法来解决一些几何问题？
第一步；建立坐标系，
用坐标系表示有关的量
第二步：进行有关代数
运算
第三步：把代数运算结果
“翻译”成几何关系
备选例题
例 1 已知点 A 在 y 轴 ，点 B(0，1，2)且| AB |?
5
7556500226866，则点 A 的坐标为 .
( y ?1)2 ? 4
5
【解析】由题意设 A(0，y，0)，则 ? ，
解得：y = 0 或 y = 2，故点 A 的坐标是(0，0，0)或(0，2，0)
例 2 已知点 A（1，-2,11）B（4,2,3）C(6，-1,4)判断该三角形的形状。（直角三角形）
例 3 坐标平面 yOz 上一点 P 满足：（1）横、纵、竖坐标之和为2；（2）到点 A (3，2，5)，B(3，5，2)的距离相等，求点 P 的坐标.
【解析】由题意设 P(0，y，z)，则
? y ? z ? 2 ? y ? 1
?
?(0 ? 3)2
? ( y ? 2)2
? (z ? 5)2
? (0 ? 3)2
? ( y ? 5)2
? (z ? 2)2
解得： ?
?
?z 1
故点 P 的坐标为(0，1，1)