宜宾市普通高中2019级期末调研考试
理科数学
（考试时间：120分钟；全卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的考号、姓名、班级填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上.
写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知为虚数单位，则
A．
B．
C．
D．
2．已知命题，则是
A．
B．
C．
D．
3．已知函数，若在区间内随机取一个数，则的概率为
A．
B．
C．
D．
4．“”是“直线与直线垂直”的
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5．已知一个盒子中装有个小球，其中红色、黄色小球各个，白色小球个，从中随机摸出个小球，则这个小球颜色不相同的概率是
A．
B．
C．
D．
6．某地气象局统计，当地某日刮风的概率为，既刮风又下雨的概率为，则该地在刮风天里，下雨的概率为
A．
B．
C．
D．
7．若复数满足，则在复平面内对应点的轨迹为
A．两个点
B．两条直线
C．一个圆
D．两个圆
8．已知随机变量服从正态分布，若，则
A．
B．
C．
D．
9．已知是的导函数，方程的根叫做的“原导驻点”，若函数的“原导驻点”是，则满足
A．
B．
C．
D．
10．已知是的导函数，若，，则不等式的解集是
A．
B．
C．
D．
11．箱子中有5件产品，其中3件正品，2件次品，每次随机取出1件产品检验，直到把所有次品检验出时停止，则恰好检验3次就停止的概率为
A．
B．
C．
D．
12．已知，，若，使得成立，则实数的取值范围是
A．
B．
C．
D．
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.
13．在的展开式中，的系数为______．
14．已知甲、乙、丙、丁四名专家因疫情防控需要被随机分配到三个学校去指导疫情防控工作，要求每名专家去一个学校，每个学校至少去一名专家，则恰好有两名专家去校的概率为_______．
15．观察以下等式：
，
，
，
分析上述各式的共同特点，写出一个反映一般规律的恒等式是_______．
16．已知函数在上有两个零点，则的取值范围是_______．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答；22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17．（12分）
已知函数在点处的切线的斜率为．
（1）求的值；
（2）求函数的单调区间和极值．
18．（12分）
高铁、网购、移动支付、共享单车被誉为中国“新四大发明”，为人们的生活带来许多便利，某市为了了解移动支付的使用情况，随机抽取了该市100名手机用户最近三周的使用情况进行调查，得到如下数据：
平均每周使用移动支付次数
0
1
2
3
4
5及以上
50岁及以下人数
2
3
4
6
5
40
50岁以上人数
6
5
3
2
4
20
（1）若将平均每周使用移动支付次数为5及以上用户称为“移动支付达人”，完成下面列联表，并判断在犯错误概率不超过的前提下，能否认为“移动支付达人”与年龄有关？
非“移动支付达人”
“移动支付达人”
合计
50岁及以下人数
50岁以上人数
合计
（2）视频率为概率，在该市所有手机用户中，随机抽取3名用户，设其中“移动支付达人”的人数为，求的期望和方差．
附：，其中
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
19．（12分）
已知函数．
（1）若在点的切线,与直线平行，求过点的切线方程；
（2）设函数在区间内是减函数，求实数的取值范围．
20．（12分）
某大学组织学生观看电影《夺冠》后，受到几代女排人“无私奉献，团结协作、艰苦创业，自强不息”精神的感召，开展了“学习女排精神，做新时代的奋斗者”的主题活动，学生的学习热情不断提高，将该大学开展此活动5周来图书馆每周科技类书籍借阅人次进行统计，得到如下表格：
第周周次
1
2
3
4
5
借阅人次
280
350
420
480
560
（1）若该大学每周科技类书籍借阅人次与周次具有线性相关关系，请预测从第几周开始该大学图书馆每周科技类书籍借阅人次不少于？
（2）该大学学生在这个活动中也掀起了排球热，甲、乙、丙三位同学在一次排球传接球训练中，若任意一人控制球时，只能将球传给另外两人，另外两人接球的概率都是，现球恰由甲控制，经过次传球和次接球后（不考虑传接球失误），设其中丙接球的次数为，求的分布列和期望．
附1：线性回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
；.
附2：参考数据：，.
21．（12分）
已知函数，且在处取得极值，.
（1）证明：函数存在唯一的极小值点；
（2）若，且当时，（）恒成立，求的最大值.
（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所作的第一题计分.
22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）
在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求曲线的极坐标方程；
（2）射线和射线与的交点分别为，求的面积．
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知．
（1）解不等式；
（2）若，求证：，使成立．
(
高二理科数学试卷
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)宜宾市普通高中2019级期末调研考试
理科数学参考答案
注意：
1．答卷前，考生务必将自己的考号、姓名、班级填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上.
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
选择题
DCCAD，BCBBA，CA
二、填空题
13.；14.；15.；
16.
三．解答题
17.解：
…………………2分
函数在点处的切线的斜率为
…………3分
……………………………………………………………………4分
…………………………………………………………………………6分
（2）由（1）得
……………………7分
令即，解得
…………………………8分
当时，，递减；
…………………………9分
当时，，递增．
…………………………10分
，无极大值．
…………………………12分
18.解：列联表
…………………2分
非“移动支付达”人
“移动支付达人”
合计
50岁及以下人数
20
40
60
50岁以上人数
20
20
40
合计
40
60
100
…………………………5分
在犯错误概率不超过0.1的前提下，可以认为“移动支付达人”与年龄有关.
……6分
（2）由题知，每次抽到“移动支付达人”的概率，~
……8分，
……………10分
…………………12分
19.解:(1)由在点的切线,与直线平行,
…………………1分
,解得
…………………2分
设过点的切线与函数相切于，
即
或，
…………………4分
切点分别为，
切线方程为：，.
…6分
在区间内是减函数
在上恒成立
即在上恒成立
…………………7分
…………………8分
令，则在递增，在递减
又，
…………………10分
…………………11分
综上所述:的取值范围为.
…………………12分
20.解：（1）解：（1）由已知可得：，…………………1分
，
…………………2分
所以，
…………………4分
，所以，
…………………5分
当时，，
预测从第8周开始该大学每周科技类书籍借阅人次不少于
…………6分
（2）由题知的可能取值为0，1，2；
…………………7分
；
…………………8分
；
…………………9分
；
…………………10分
的分布列为：
…………………12分
21.解：（1）,且在处取得极值，
…………………1分
，解出，………………2分
，
…………3分
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
…………………4分
，又，
，使得，又
在上，，单调递减
在上，，单调递增
在上，，单调递减
存在唯一的极小值点.
…………………7分
（2）依题意得
当时,恒成立，
即为，在时恒成立.
令，
…………………9分
令，
单增，则，且，
，使得，即
…………………10分
当时,，单调递减；
当时,，单调递增，
………11分
即
，故的最大值为3.…………………12分
22.解：（1）将曲线的参数方程化为普通方程为：
即：
根据，，可得：
曲线的极坐标方程为：
…………………………5分
（2）分别将和代入曲线的极坐标得:
所以，
…………………………10分
23解：（1）可化为
……3分
………5分
注：用几何意义参照给分.
（2）
………7分
，
，
，
………9分
，使．
………10分
2
