集合初步（1）
集合的概念，集合的表示方法，集合之间的关系
知识讲解
一、集合的概念
1.集合
某些指定的对象集在一起成为集合．集合中的对象称元素，若a是集合A的元素，记作；若b不是集合A的元素，记作；
2.集合的性质
确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立；
互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素；
无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关；
二、集合的表示
1.集合的三种表示方法
列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内；
例如：，
描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内．
例如：大于的所有整数表示为：
方程的所有实数根表示为：{|}
图示法
具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．
注意：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法．
2.常用数集及其记法
非负整数集（或自然数集），记作；
正整数集，记作或；
整数集，记作；
有理数集，记作；
实数集，记作．
三、集合之间的关系
1.子集关系
定义：若集合A的任何一个元素都是集合B的元素，则称A是B的子集（或B包含A），记作AB（或）；
简单性质：1）AA；2）A；3）若AB，BC，则AC；
2.真子集关系
对于两个集合与，若且，则集合是集合的真子集，记作（或）
相等关系：对于两个集合与，如果，且
，那么集合与相等，记作
3.空集
定义：不含任何元素的集合叫做空集
性质：空集的特殊属性，即空集虽空，但空有所用。对任意集合A，有，；；；。
注意事项：
①与是不同的，只是一个数字，而则表示集合，这个集合中含有一个元素，它们的关系是
②与是不同的，中没有任何元素，则表示含有一个元素的集合，它们的关系是两个集合之间的关系（）
③与是不同的，中没有任何元素，则表示含有一个元素的集合，它们的关系是或或
④显然，，
4.子集个数问题
设集合A中元素个数为，则①子集的个数为，②真子集的个数为，③非空真子集的个数为
典型例题
一．选择题（共12小题）
1．下列命题中正确的是（ ）
（1）?与{0}表示同一集合；
（2）由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1}；
（3）方程（x﹣1）2（x﹣2）=0的所有解的集合可表示为{1，1，2}；
（4）集合{x|2＜x＜5}可以用列举法表示．
A．只有（1）和（4）
B．只有（2）和（3）
C．只有（2）
D．以上语句都不对
【解答】解：（1）?没有元素，{0}表示有0这一个元素，故不是同一集合；故（1）错误；
（2）由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1}，故（2）正确；
（3）方程（x﹣1）2（x﹣2）=0的所有解的集合可表示为{1，2}；故（3）错误；
（4）集合{x|2＜x＜5}不可以用列举法表示，故（4）错误，
故选：C．
2．下列说法正确的是（ ）
A．很小的实数可以构成集合
B．{y|y=x2﹣1}={（x，y）|y=x2﹣1}
C．自然数集N中最小的数不是1
D．空集是任何集合的真子集
【解答】解：A、对于“很小”不确定，故本选项错误；
B、对于集合{y|y=x2﹣1}表示的是函数y=x2﹣1的值域；而集合{（x，y）|y=x2﹣1}表示的是y=x2﹣1图象上的点，故本选项错误；
C、自然数集N中最小的数是0，故本选项正确；
D、空集是任何非空集合的真子集，但不是空集的真子集，故本选项错误；
故选：C．
3．下列关系式中，正确的是（ ）
A．?∈{0}
B．0?{0}
C．0∈{0}
D．?={0}
【解答】解：对于A??{0}，用“∈”不对，
对于B和C，元素0与集合{0}用“∈”连接，故C正确；
对于D，空集没有任何元素，{0}有一个元素，故不正确．
4．已知全集U=R，N={x|﹣3＜x＜0}，M={x|x＜﹣1}，则图中阴影部分表示的集合是（ ）
A．{x|﹣3＜x＜﹣1}
B．{x|﹣3＜x＜0}
C．{x|﹣1≤x＜0}
D．{x＜﹣3}
【解答】解：由图象知，图中阴影部分所表示的集合是N∩（CUM），
又M={x|x＜﹣1}，
∴CUM={x|x≥﹣1}
∴N∩（CUM）=[﹣1，0）
故选：C．
5．有以下四个集合（1）{x|x2﹣2x+1=0}；（2）{﹣1，2}；（3）{（﹣1，2）}；（4）{边长为3，4的三角形}．其中为单元素集合的是（ ）
A．（3）（4）
B．（1）（3）
C．（1）（3）（4）
D．（2）（4）
【解答】解：（1）{x|x2﹣2x+1=0}={1}为单元素集；
（2）{﹣1，2}为二元素集；
（3）{（﹣1，2）}为单元素集；
（4）{边长为3，4的三角形}有两个满足条件的等腰三角形，为二元素集；
故选：B．
6．若集合A={x|kx2﹣2x﹣1=0}只有一个元素，则实数k的取值集合为（ ）
A．{﹣1}
B．{0}
C．{﹣1，0}
D．（﹣∞，﹣1]∪{0}
【解答】解：由集合A={x|kx2﹣2x﹣1=0}中只有一个元素，
当k=0时，﹣2x﹣1=0，即x=﹣，A={﹣}，成立；
当k≠0时，△=4+4k=0，解得k=﹣1．A={x|﹣x2﹣2x﹣1=0}={﹣1}，成立．
综上，k=0或﹣1．
故选：C．
7．已知集合A={x∈N|x2+2x﹣3≤0}，则集合A的真子集个数为（ ）
A．31
B．32
C．3
D．4
【解答】解：∵集合A={x∈N|x2+2x﹣3≤0}={x∈N|﹣3≤x≤1}={0，1}，
∴集合A的真子集个数为22﹣1=3．
故选：C．
8．已知集合A={0，1，2}，B={1，m}．若B?A，则实数m的值是（ ）
A．0
B．2
C．0或2
D．0或1或2
【解答】解：∵集合A={0，1，2}，B={1，m}，B?A，
∴m=0或m=2．
∴实数m的值是0或2．
故选：C．
9．已知集合A={1，2}，B={x|x2﹣（a+1）x+a=0，a∈R}，若A=B，则a=（ ）
A．1
B．2
C．﹣1
D．﹣2
【解答】解：∵A={1，2}，B={x|x2﹣（a+1）x+a=0，a∈R}，
若A=B，则1，2是方程|x2﹣（a+1）x+a=0得两根，
则，即a=2．
故选：B．
10．含有三个实数的集合可表示为{a，，1}，也可表示为{a2，a+b，0}，则a2012+b2013的值为（ ）
A．0
B．1
C．﹣1
D．±1
【解答】解：根据题意，由{a，，1}={a2，a+b，0}可得a=0或=0，
又由的意义，则a≠0，必有=0，
则b=0，
则{a，0，1}={a2，a，0}，则有a2=1，即a=1或a=﹣1，
集合{a，0，1}中，a≠1，则必有a=﹣1，
则a2012+b2013=（﹣1）2012+02013=1，
故选：B．
11．集合A={（x，y）|y=x}和，则以下结论中正确的是（ ）
A．1∈A
B．B?A
C．（1，1）?B
D．?∈A
【解答】解：解方程组得，
∴B={（1，1）}，满足A={（x，y）|y=x}，
∴B?A，
故选：B．
12．若{1，2}?A?{1，2，3，4，5}，则集合A的个数是（ ）
A．8
B．7
C．4
D．3
【解答】解：集合A有：{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，
{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}．
故选：A．
二．填空题（共2小题）
13．已知集合，则集合A、B的关系为 A=B ．
【解答】解：由集合A得：
A={x|x=（2n+1），n∈Z}，
由集合B得：
B={x|x=（2n+3），n∈Z
}，
∵{x|x=2n+1，n∈Z}={x|x=2n+3，n∈Z}，
∴A=B，
故答案为：A=B．
14．已知集合A={x|﹣2≤x≤7}，B={x|m+1＜x＜2m﹣1}，若B?A，则实数m的取值范围是 （﹣∞，4] ．
【解答】解：∵集合A={x|﹣2≤x≤7}，B={x|m+1＜x＜2m﹣1}，B?A，
∴当B=?时，m+1≥2m﹣1，解得m≤2，
当B≠?时，，且m+1＜2m﹣1，
解得2＜m≤4．
综上，m≤4．
∴实数m的取值范围是（﹣∞，4]．
故答案为：（﹣∞，4]．
三．解答题（共1小题）
15．设A={﹣3，4}，B={x|x2﹣2ax+b=0}，B≠?且B?A，求a，b．
【解答】解：由B≠?，B?A知B={﹣3}或{4}或{﹣3，4}．
当B={﹣3}时，a=﹣3，b=9；
当B={4}时，a=4，b=16；
当B={﹣3，4}时，a=，b=﹣12．集合初步（1）
集合的概念，集合的表示方法，集合之间的关系
知识讲解
一、集合的概念
1.集合
某些指定的对象集在一起成为集合．集合中的对象称元素，若a是集合A的元素，记作；若b不是集合A的元素，记作；
2.集合的性质
确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立；
互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素；
无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关；
二、集合的表示
1.集合的三种表示方法
列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内；
例如：，
描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内．
例如：大于的所有整数表示为：
方程的所有实数根表示为：{|}
图示法
具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．
注意：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法．
2.常用数集及其记法
非负整数集（或自然数集），记作；
正整数集，记作或；
整数集，记作；
有理数集，记作；
实数集，记作．
三、集合之间的关系
1.子集关系
定义：若集合A的任何一个元素都是集合B的元素，则称A是B的子集（或B包含A），记作AB（或）；
简单性质：1）AA；2）A；3）若AB，BC，则AC；
2.真子集关系
对于两个集合与，若且，则集合是集合的真子集，记作（或）
相等关系：对于两个集合与，如果，且
，那么集合与相等，记作
3.空集
定义：不含任何元素的集合叫做空集
性质：空集的特殊属性，即空集虽空，但空有所用。对任意集合A，有，；；；。
注意事项：
①与是不同的，只是一个数字，而则表示集合，这个集合中含有一个元素，它们的关系是
②与是不同的，中没有任何元素，则表示含有一个元素的集合，它们的关系是两个集合之间的关系（）
③与是不同的，中没有任何元素，则表示含有一个元素的集合，它们的关系是或或
④显然，，
4.子集个数问题
设集合A中元素个数为，则①子集的个数为，②真子集的个数为，③非空真子集的个数为
典型例题
一．选择题（共12小题）
1．下列命题中正确的是（ ）
（1）?与{0}表示同一集合；
（2）由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1}；
（3）方程（x﹣1）2（x﹣2）=0的所有解的集合可表示为{1，1，2}；
（4）集合{x|2＜x＜5}可以用列举法表示．
A．只有（1）和（4）
B．只有（2）和（3）
C．只有（2）
D．以上语句都不对
2．下列说法正确的是（ ）
A．很小的实数可以构成集合
B．{y|y=x2﹣1}={（x，y）|y=x2﹣1}
C．自然数集N中最小的数不是1
D．空集是任何集合的真子集
3．下列关系式中，正确的是（ ）
A．?∈{0}
B．0?{0}
C．0∈{0}
D．?={0}
4．已知全集U=R，N={x|﹣3＜x＜0}，M={x|x＜﹣1}，则图中阴影部分表示的集合是（ ）
A．{x|﹣3＜x＜﹣1}
B．{x|﹣3＜x＜0}
C．{x|﹣1≤x＜0}
D．{x＜﹣3}
5．有以下四个集合（1）{x|x2﹣2x+1=0}；（2）{﹣1，2}；（3）{（﹣1，2）}；（4）{边长为3，4的三角形}．其中为单元素集合的是（ ）
A．（3）（4）
B．（1）（3）
C．（1）（3）（4）
D．（2）（4）
6．若集合A={x|kx2﹣2x﹣1=0}只有一个元素，则实数k的取值集合为（ ）
A．{﹣1}
B．{0}
C．{﹣1，0}
D．（﹣∞，﹣1]∪{0}
7．已知集合A={x∈N|x2+2x﹣3≤0}，则集合A的真子集个数为（ ）
A．31
B．32
C．3
D．4
8．已知集合A={0，1，2}，B={1，m}．若B?A，则实数m的值是（ ）
A．0
B．2
C．0或2
D．0或1或2
9．已知集合A={1，2}，B={x|x2﹣（a+1）x+a=0，a∈R}，若A=B，则a=（ ）
A．1
B．2
C．﹣1
D．﹣2
10．含有三个实数的集合可表示为{a，，1}，也可表示为{a2，a+b，0}，则a2012+b2013的值为（ ）
A．0
B．1
C．﹣1
D．±1
11．集合A={（x，y）|y=x}和，则以下结论中正确的是（ ）
A．1∈A
B．B?A
C．（1，1）?B
D．?∈A
12．若{1，2}?A?{1，2，3，4，5}，则集合A的个数是（ ）
A．8
B．7
C．4
D．3
二．填空题（共2小题）
13．已知集合，则集合A、B的关系为
．
14．已知集合A={x|﹣2≤x≤7}，B={x|m+1＜x＜2m﹣1}，若B?A，则实数m的取值范围是
．
三．解答题（共1小题）
15．设A={﹣3，4}，B={x|x2﹣2ax+b=0}，B≠?且B?A，求a，b．
