幂与指数
知识讲解
一、指数运算
1.根式的概念：
①定义：若一个数的次方等于，则这个数称的次方根．即若，
则称的次方根，
当为奇数时，次方根记作；
当为偶数时，负数没有次方根，而正数有两个次方根且互为相反数，记作．
②性质：1）；
2）当为奇数时，；
3）当为偶数时，．
2.幂的有关概念
①规定：1）N
；
N
个
2）；
3）Q，4）、N
且．
②性质：1）、Q）；
2）、
Q）；
3）
Q）．
注：上述性质对均适用．
典型例题
一、单选题
1．下列各式正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
2．化简的结果为（
）
A．5
B．
C．
D．
3．的值为（
）
A．
B．
C．
D．
4．若，则（
）
A．
B．
C．4
D．
5．已知，将表示成分数指数幂，其结果是（
）
A．
B．
C．
D．
6．设2x＝8y＋1，9y＝3x－9，则x＋y的值为( )
A．18
B．21
C．24
D．27
7．的值是（
）．
A．
B．
C．
D．
二、填空题
8．计算：（）0+_____．
9．的值为______.
10．若，则__________.
11．化简：______.
12．计算：化简的结果是____________．
三、解答题
13．（1）化简；
（2）已知，求的值.
14．用分数指数幂表示下列各式（字母均表示正实数）．
①
②
15．计算下列各式：
①；
②．
16．已知a＝3，求＋＋＋的值.
17．化简求值：
（1）；
（2）.
18．计算：.
19．计算下列各式（式中字母均是正数）：
（1）；（2）；（3）.
20．幂与指数
知识讲解
一、指数运算
1.根式的概念：
①定义：若一个数的次方等于，则这个数称的次方根．即若，
则称的次方根，
当为奇数时，次方根记作；
当为偶数时，负数没有次方根，而正数有两个次方根且互为相反数，记作．
②性质：1）；
2）当为奇数时，；
3）当为偶数时，．
2.幂的有关概念
①规定：1）N
；
N
个
2）；
3）Q，4）、N
且．
②性质：1）、Q）；
2）、
Q）；
3）
Q）．
注：上述性质对均适用．
典型例题
一、单选题
1．下列各式正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根式化简及零指数意义.
【详解】
对于A，，当为负数时等式不成立，故A不正确；
对于B，，当时无意义，故B不正确；
对于C，，左边为正，右边为负，故C不正确；
对于D，，故D正确.
故选：D.
【点睛】
根式化简注意根指数的奇偶性.
2．化简的结果为（
）
A．5
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先将根式化为分数指数幂，再根据分数指数幂的运算即可得解.
【详解】
解：由，
故选B.
【点睛】
本题考查了根式与分数指数幂的互化，重点考查了分数指数幂的运算，属基础题.
3．的值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
【分析】
直接利用根式与分数指数幂的互化公式求解即可
【详解】
解：，
故选：A
【点睛】
此题考查根式的化简求值，考查根式与分数指数幂的互化，属于基础题.
4．若，则（
）
A．
B．
C．4
D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先由求出，然后可求出的值.
【详解】
解：因为，所以，
则，
故选：D
【点睛】
此题考查指数幂和根式的运算，属于基础题.
5．已知，将表示成分数指数幂，其结果是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由根式与分数指数幂的互化规则，将所给的根式化简，即可将其表示成分数指数幂，得解.
【详解】
解：因为，
故选C.
【点睛】
本题考查了根式与分数指数幂的互化，重点考查了分数指数幂的运算，属基础题.
6．设2x＝8y＋1，9y＝3x－9，则x＋y的值为( )
A．18
B．21
C．24
D．27
【答案】D
【解析】
【分析】
根据指数幂的运算法则，可得到x＝3y＋3和x－9＝2y，解之即可得到结果.
【详解】
因为2x＝8y＋1＝23(y＋1)，所以x＝3y＋3，
因为9y＝3x－9＝32y，所以x－9＝2y，
解得x＝21，y＝6，所以x＋y＝27.
所以本题选D.
【点睛】
本题考查指数幂运算，熟记运算公式是基础，需要基本的运算能力，属基础题.
7．的值是（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据指数运算性质，化简
，再根据幂的运算化简即可．
【详解】
化简式子得
所以选A
【点睛】
本题考查了分数指数幂的化简求值，主要依据幂的运算法则，属于基础题．
二、填空题
8．计算：（）0+_____．
【答案】
【解析】
【分析】
根据根式、指数和对数运算化简所求表达式.
【详解】
依题意，原式.
故答案为：
【点睛】
本小题主要考查根式、指数和对数运算，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.
9．的值为______.
【答案】
【解析】
【分析】
将根式用指数幂表示,即可得到答案.
【详解】
故答案为:.
【点睛】
本题考查了根式与分数指数幂的转化与化简,属于基础题.
10．若，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】
先将根式化为分数指数幂，可得：，
再计算出，，再结合分数指数幂的运算性质运算即可得解.
【详解】
解：因为，
所以，所以，．
所以．
故答案为.
【点睛】
本题考查了根式与分数指数幂的互化及分数指数幂的运算，重点考查了运算能力，属基础题.
11．化简：______.
【答案】
【解析】
【分析】
将根式化为指数幂的形式，根据指数幂运算法则求得结果.
【详解】
故答案为
【点睛】
本题考查根式与指数幂运算的互化、指数幂运算法则的应用，属于基础题.
12．计算：化简的结果是____________．
【答案】
【解析】
【分析】
利用指数运算的性质化简即可.
【详解】
.
故答案为.
【点睛】
本题主要考查了指数的运算性质，属于基础题.
三、解答题
13．（1）化简；
（2）已知，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）利用根式的性质可得出结果；
（2）在等式两边平方可求出的值.
【详解】
（1）原式；
（2）在等式两边平方得，.
【点睛】
本题考查根式的性质，同时也考查了指数的运算，考查计算能力，属于基础题.
14．用分数指数幂表示下列各式（字母均表示正实数）．
①
②
【答案】①；②.
【解析】
【分析】
根据根式与指数幂的互化公式，逐问计算，即可得出结果.
【详解】
①；
②.
【点睛】
本题主要考查根式化为指数幂的形式，属于基础题型.
15．计算下列各式：
①；
②．
【答案】①；②.
【解析】
【分析】
①根据指数幂的运算法则，直接化简，即可得出结果；
②根据指数幂的运算法则，逐步化简，即可得出结果.
【详解】
①；
②
.
【点睛】
本题主要考查指数幂的化简求值，熟记运算法则即可，属于基础题型.
16．已知a＝3，求＋＋＋的值.
【答案】－1
【解析】
【分析】
先化简原式为，再把a＝3的值代入即得解.
【详解】
由题得＋＋＋
＝＋＋
＝＋＋
＝＋
＝＋＝＝－1.
【点睛】
本题主要考查指数幂的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
17．化简求值：
（1）；
（2）.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
根据指数幂的运算法则，以及根式与指数幂的互化公式，直接计算，即可得出结果.
【详解】
（1）
；
（2）
.
【点睛】
本题主要考查指数幂以及根式的化简求值，属于基础题型.
18．计算：.
【答案】
【解析】
【分析】
利用指数幂的运算性质计算即可.
【详解】
原式.
【点睛】
本题考查指数幂的计算，考查计算能力，属于基础题.
19．计算下列各式（式中字母均是正数）：
（1）；（2）；（3）.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】
【分析】
（1）利用指数幂的运算性质化简计算即可，但需注意底数相同的项对应指数相加减；
（2）利用指数幂的运算性质化简计算即可；
（3）将根式化为分数指数幂，然后利用指数幂的运算性质化简即可.
【详解】
（1）；
（2）；
（3）
【点睛】
本题考查指数幂的运算，解题时要注意将同类项进行合并，将根式化为分数指数幂，考查计算能力，属于基础题.
20．
【答案】
【解析】
【分析】
根据指数的运算公式和根式与指数式的互化公式直接求解即可.
【详解】
【点睛】
本题考查了指数的运算公式以及根式与指数式互化公式，考查了数学运算能力.
