不等式与线性规划
知识讲解
一、不等式的定义
1.定义：用不等号（）连接的式子叫不等式
2.同解不等式变形：一个不等式变形为另一个不等式时，如果这两个不等式是同解不等式，那么这种变形叫做同解不等式变形．
3.不等式的性质
1）（反身性或对称性）
2），（传递性）
3）
4），则．
5），，则；如果，，则．
6），则．
7），则．
8），则
二、不等式的解法
1.一元二次不等式的解集如下表
判别式
二次函数（）的图像
一元二次方程（）
有两个相异实根
（）
有两个相异实根
（）
没有实数根
（）的解集
{或}
（）的解集
{}
2.分式不等式的解法
1）
2）且
3）
3.无理不等式的解法
1）或
2）
4.绝对值不等式
1）绝对值的几何意义：①是指数轴上点到原点的距离；②是指数轴上两点间的距离
2）当时，或，；
当时，，．
3）绝对值不等式的解法
①公式法或
②平方法
③分情况讨论法
4.高次不等式（穿线法：）
一般高次不等式用数轴穿根法（或称穿线法）求解，其步骤是：
1）将最高次项的系数化为正数；
2）将分解为若干个一次因式的积或二次不可分因式之积；
3）将每个因式的标在数周上，从右上方依次通过每一点画曲线（注意重根，偶次方穿而不过，奇次方根穿又过，即所谓的奇穿偶不穿）；
三、基本不等式
均值定理：
定理：对于任意实数，，当且仅当时，等号成立
推论：如果，是正数，那么，当且仅当时，有等号成立．
四、线性规划的有关概念
1.约束条件：由未知数的不等式（或方程）组成的不等式组成为的约束条件．
不等式组就是的一个约束条件．
2.线性约束条件：关于未知数的一次不等式（或方程）组成的不等式组成为的线性约束条件，不等式组就是的一个约束条件．
3.目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量的解析式．
如：已知满足约束条件，分别确定的值，使取到最大值和最小值使达到最值，其中和均为目标函数．
4.线性目标函数：目标函数为变量的一次解析式．如上例中，为线性目标函数，而就不是线性目标函数，只是一个目标函数．
5.线性规划问题：求线性目标函数在约束条件下的最值问题．
6.可行解：满足约束条件的解．
7.可行域：所有可行解组成的集合．
8.最优解：使目标函数取得最值的可行解．
五、线性规划的图解法
1.画：在直角坐标平面上画出可行域和直线（目标函数为）
2.移：平行移动直线，确定使取得最大值或最小值的点．
3.求：求出取得最大值或最小值的坐标（解方程组）及最大值和最小值．
经典例题
一、单选题
1．若实数，满足条件，则的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
2．设，满足约束条件，则的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．5
3．若，则的最小值是（
）
A．0
B．1
C．5
D．9
4．已知，满足约束条件，，则（
）
A．0
B．1
C．2
D．4
5．已知实数满足不等式组，则目标函数的最大值为（
）
A．
B．
C．
D．
6．若实数，满足约束条件，则（
）
A．既有最大值也有最小值
B．有最大值，但无最小值
C．有最小值，但无最大值
D．既无最大值也无最小值
二、填空题
7．已知x，y满足约束条件则的最大值为____________.
8．若实数满足则的最大值为___________.
9．已知实数满足约束条件，则的最大值为__________．
10．已知实数x，y满足条件，则的最小值是________.
11．已知，满足约束条件，则的最小值为______．
12．已知x，y满足，则目标函数的最小值是________.
三、解答题
13．若实数x，y满足约束条件
（1）在平面直角坐标系中画出此约束条件所表示的平面区域；
（2）若，求z的最大值.
14．已知x、y满足约束条件.
（1）作出不等式组表示的平面区域；（用阴影表示）
（2）求目标函数的最小值.
15．已知变量满足，求的最小值．
16．已知，使式中的满足约束条件.
（1）作出可行域；
（2）求z的最大值．不等式与线性规划
知识讲解
一、不等式的定义
1.定义：用不等号（）连接的式子叫不等式
2.同解不等式变形：一个不等式变形为另一个不等式时，如果这两个不等式是同解不等式，那么这种变形叫做同解不等式变形．
3.不等式的性质
1）（反身性或对称性）
2），（传递性）
3）
4），则．
5），，则；如果，，则．
6），则．
7），则．
8），则
二、不等式的解法
1.一元二次不等式的解集如下表
判别式
二次函数（）的图像
一元二次方程（）
有两个相异实根
（）
有两个相异实根
（）
没有实数根
（）的解集
{或}
（）的解集
{}
2.分式不等式的解法
1）
2）且
3）
3.无理不等式的解法
1）或
2）
4.绝对值不等式
1）绝对值的几何意义：①是指数轴上点到原点的距离；②是指数轴上两点间的距离
2）当时，或，；
当时，，．
3）绝对值不等式的解法
①公式法或
②平方法
③分情况讨论法
4.高次不等式（穿线法：）
一般高次不等式用数轴穿根法（或称穿线法）求解，其步骤是：
1）将最高次项的系数化为正数；
2）将分解为若干个一次因式的积或二次不可分因式之积；
3）将每个因式的标在数周上，从右上方依次通过每一点画曲线（注意重根，偶次方穿而不过，奇次方根穿又过，即所谓的奇穿偶不穿）；
三、基本不等式
均值定理：
定理：对于任意实数，，当且仅当时，等号成立
推论：如果，是正数，那么，当且仅当时，有等号成立．
四、线性规划的有关概念
1.约束条件：由未知数的不等式（或方程）组成的不等式组成为的约束条件．
不等式组就是的一个约束条件．
2.线性约束条件：关于未知数的一次不等式（或方程）组成的不等式组成为的线性约束条件，不等式组就是的一个约束条件．
3.目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量的解析式．
如：已知满足约束条件，分别确定的值，使取到最大值和最小值使达到最值，其中和均为目标函数．
4.线性目标函数：目标函数为变量的一次解析式．如上例中，为线性目标函数，而就不是线性目标函数，只是一个目标函数．
5.线性规划问题：求线性目标函数在约束条件下的最值问题．
6.可行解：满足约束条件的解．
7.可行域：所有可行解组成的集合．
8.最优解：使目标函数取得最值的可行解．
五、线性规划的图解法
1.画：在直角坐标平面上画出可行域和直线（目标函数为）
2.移：平行移动直线，确定使取得最大值或最小值的点．
3.求：求出取得最大值或最小值的坐标（解方程组）及最大值和最小值．
经典例题
一、单选题
1．若实数，满足条件，则的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
【分析】
画出可行域，结合目标函数，进行数形结合，即可得解.
【详解】
如图，阴影部分为可行域，
所以目标函数过取得最小值1，
所以的取值范围为，
故选：B.
【点睛】
本题考查了线性规划求最值问题，考查了对可行域和目标函数的理解，解题的关键是找到最值点，计算量不大，属于基础题.
2．设，满足约束条件，则的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．5
【答案】A
【解析】
【分析】
由线性约束条件，画出可行域，结合直线的平移即可求得的最小值.
【详解】
根据线性约束条件，画出不等式组表示的可行域如图所示：
由平移得到，
由图可知当目标函数经过点处取得最小值，
代入可得为．
故选：A.
【点睛】
本题考查了线性规划的简单应用，线性目标函数最值的求法，属于基础题.
3．若，则的最小值是（
）
A．0
B．1
C．5
D．9
【答案】C
【解析】
【分析】
根据约束条件作出可行域以及直线过点A时在轴上的截距最小，算出最小值.
【详解】
根据约束条件作出可行域如图所示，
当直线过点（2,1）时在轴上的截距最小，最小，
由A(2,1)知的最小值为5.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查线性规划，属于简单题型.
4．已知，满足约束条件，，则（
）
A．0
B．1
C．2
D．4
【答案】C
【解析】
【分析】
作出不等式组表示的平面区域如图，利用图形确定，即可算出结果.
【详解】
作出不等式组表示的平面区域如图，由图知直线经过点时，，当直线经过点时，，所以.
故选：C
【点睛】
本题考查线性规划求目标函数的最值，考查数形结合的思想，属于基础题.
5．已知实数满足不等式组，则目标函数的最大值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
【分析】
画出可行域，然后作出目标函数的一条等值线，通过平移等值线找到目标函数取最大值的最优解，可得结果.
【详解】
如图
由，令，则目标函数的一条等值线为
当该等值线经过点时，目标函数有最大值
所以
故选：D
【点睛】
本题考查线性规划的问题，此种类型的问题，常看几步：（1）画出可行域；（2）根据线性的和非线性的理解的含义，然后简单计算，属基础题.
6．若实数，满足约束条件，则（
）
A．既有最大值也有最小值
B．有最大值，但无最小值
C．有最小值，但无最大值
D．既无最大值也无最小值
【答案】C
【解析】
【分析】
作出可行域，观察图形根据直线在轴上的截距的最值进行分析可得答案．
【详解】
作出可行域，如图所示：
由图可知，当直线经过点时，直线在轴上的截距最大，最小，
因为直线在轴上的截距无最小值，所以无最大值．
故选：C．
【点睛】
本题考查了利用线性规划，求线性目标函数的最值，属于基础题．
二、填空题
7．已知x，y满足约束条件则的最大值为____________.
【答案】4
【解析】
【分析】
先画出不等式组表示的可行域，如图，由得，作出直线向下平移过点时，取最大值，求出点的坐标代入目标函数中可得答案
【详解】
解：不等式组表示的可行域如图所示，
由得，作出直线向下平移过点时，取最大值，
由，解得，得，
所以
故答案为：4
【点睛】
此题考查简单的线性规划的应用，考查数形结合的思想，属于基础题
8．若实数满足则的最大值为___________.
【答案】
【解析】
【分析】
由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数即可求得的最小值.
【详解】
解：由作出可行域，如下图：
将目标函数化为，
由图可知，当直线过点时，直线在轴上的截距最大，
有最大值，即：.
故答案为：
【点睛】
本题考查简单的线性规划求目标函数的最小值，考查数形结合思想.
9．已知实数满足约束条件，则的最大值为__________．
【答案】7
【解析】
【分析】
画出可行域，平移基准直线到可行域边界位置，由此求得目标函数的最大值.
【详解】
画出可行域如下图所示，由图可知，平移基准直线到可行域边界点的位置，此时取得最大值为.
故答案为：
【点睛】
本小题主要考查线性规划求目标函数的最大值，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.
10．已知实数x，y满足条件，则的最小值是________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据约束条件画出可行域，由目标函数的几何意义，结合图形，即可求出最值.
【详解】
画出约束条件表示的平面区域如下，
因为可化为，
则表示直线在轴上的截距，
由图像可得，当直线过点时，在轴上的截距最小，即最小；
所以
当目标函数经过点时，z取得最小值.
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查求线性目标函数的最值，利用数形结合的方法求解即可，属于基础题型.
11．已知，满足约束条件，则的最小值为______．
【答案】2
【解析】
【分析】
作出可行域，平移基准直线到处，求得的最小值.
【详解】
画出可行域如下图所示，由图可知平移基准直线到处时，取得最小值为.
故答案为：
【点睛】
本小题主要考查线性规划求最值，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.
12．已知x，y满足，则目标函数的最小值是________.
【答案】6
【解析】
【分析】
画出不等式组表示的平面区域，平移目标函数，要最小，则直线要尽量下移，可观察出取最小值时，所过得点，代入点的坐标即可求解．
【详解】
画出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分，做直线并平移，如图中虚线，当虚线平移到过点C时，取到最小值，求出C点坐标为（2，0），代入，得，故答案为6.
【点睛】
本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．
三、解答题
13．若实数x，y满足约束条件
（1）在平面直角坐标系中画出此约束条件所表示的平面区域；
（2）若，求z的最大值.
【答案】（1）作图见答案
；（2）11.
【解析】
【分析】
（1）直接由约束条件作出平面区域；
（2）化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案.
【详解】
(1)
条件作出平面区域如图.
约束条件所表示的平面区域为图中三角形部分.
(2)
中表示直线的截距的相反数.
当直线的截距最小时，有最大值.
如图当直线过点时，截距最小.
所以z的最大值为.
所以z的最大值为11.
【点睛】
本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．
14．已知x、y满足约束条件.
（1）作出不等式组表示的平面区域；（用阴影表示）
（2）求目标函数的最小值.
【答案】（1）见解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）先画四条直线，再利用一元二次不等式表示平面区域的规律，确定可行域，画成阴影即可；
（2）将目标函数的最小值看成直线在轴上截距的最大值，从可行域中找到最优解，进而求得目标函数的最小值.
【详解】
（1）可行域如图所示：
（2）易得点，
当直线过点时，直线在轴上截距达到最大，此时，取得最小值，
所以.
【点睛】
本题考查线性规划，考查数形结合思想的运用，求解时注意利用直线在轴上截距的最大值求得目标函数的最小值，考查基本运算求解能力.
15．已知变量满足，求的最小值．
【答案】
【解析】
【分析】
由约束条件作出可行域，将目标函数化为，因此当直线在轴截距最小时，目标函数取最小值，结合图像，即可得出结果.
【详解】
由约束条件作出可行域如下：
又目标函数可化为，
因此当直线在轴截距最小时，目标函数取最小值，
由图像可得，当直线过点时，截距最小，
由得，
因此，的最小值是.
【点睛】
本题主要考查简单的线性规划，由约束条件作出可行域，结合目标函数的几何意义即可求解，属于常考题型.
16．已知，使式中的满足约束条件.
（1）作出可行域；
（2）求z的最大值．
【答案】（1）可行域如下图：直角坐标系中及内部是所求的可行域；
（2）.
【解析】
【分析】
（1）在直角坐标系内，画出直线，然后利用特殊点法，画出不等式组所表示的区域；
（2）在上面所画的可行解域内，平行移动直线，找到直线在纵轴上的截距最大时，所经过的点，求出该点的坐标，代入目标函数中即可求出目标函数的最大值.
【详解】
（1）在平面直角坐标系内，画出可行解域，如下图:
及内部是所求的可行域；
（2）在上图的可行解域内，平行移动直线，发现直线在纵轴上的截距最大时，经过点，即直线和直线的交点，解得，所以.
【点睛】
本题考查了画可行域，求目标函数的最大值问题，正确画出可行解域，是解题的关键.
