指数函数
知识讲解
一、指数函数
1.定义：函数称指数函数，
1）函数的定义域为R；
2）函数的值域为；
3）当时函数为减函数，当时函数为增函数．
2.函数图像：
1）指数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第一、二象限；
2）指数函数都以轴为渐近线（当时，图象向左无限接近轴，当时，图象向右无限接近轴）；指数函数在同一直角坐标系中的图像的相对位置与底数大小的关系是：在轴右侧，图像从上到下相应的底数由大变小，在轴的左侧，图像从下到上相应的底数由大变小．
3）无奇偶性，是非奇非偶函数，但对于相同的，函数的图象关于轴对称，的图象关于x轴对称；的图象关于直线对称．
4）有两个特殊点：零点，不变点．
5）抽象性质：
3函数值的变化特征：
①，
②，
③
①，
②，
③，
典型例题
一．选择题（共8小题）
1．函数y=2x（x≤0）的值域是（ ）
A．（0，1）
B．（﹣∞，1）
C．（0，1]
D．[0，1）
2．下列函数一定是指数函数的是（ ）
A．y=2x+1
B．y=x3
C．y=3?2x
D．y=3﹣x
3．若函数f（x）=（a2﹣2a﹣2）ax是指数函数，则a的值是（ ）
A．﹣1
B．3
C．3或﹣1
D．2
4．如果a＞1，b＜﹣1，那么函数f（x）=ax+b的图象在（ ）
A．第一、二、三象限
B．第一、三、四象限
C．第二、三、四象限
D．第一、二、四象限
5．已知函数g（x）=3x+t的图象不经过第二象限，则t的取值范围为（ ）
A．t≤﹣1
B．t＜﹣1
C．t≤﹣3
D．t≥﹣3
6．若2m＞2n，则下列结论一定成立的是（ ）
A．＞
B．m|m|＞n|n|
C．ln（m﹣n）＞0
D．πm﹣n＜1
7．已知a=0.52.1，b=20.5，c=0.22.1，则a、b、c的大小关系是（ ）
A．a＜c＜b
B．b＞a＞c
C．b＜a＜c
D．c＞a＞b
8．某品牌电脑投放市场的第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好反映销售量y与投放市场月数x之间的关系的是（ ）
A．y=100x
B．y=50x2﹣50x+100
C．y=50×2x
D．y=10x+100
二．填空题（共3小题）
9．函数的定义域是
．
10．方程9x+3x﹣2=0的解是
．
11．若函数f（x）=（a﹣1）x是指数函数，则实数a的取值范围是
．
三．解答题（共3小题）
12．已知指数函数f（x）=ax（a＞0，且a≠1）的图象过点（﹣2，），求函数的解析式．
13．若指数函数的图象经过点（，4），求该函数的解析式及f（﹣）的值．
14．比较a=（）0.2与b=2的大小．指数函数
知识讲解
一、指数函数
1.定义：函数称指数函数，
1）函数的定义域为R；
2）函数的值域为；
3）当时函数为减函数，当时函数为增函数．
2.函数图像：
1）指数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第一、二象限；
2）指数函数都以轴为渐近线（当时，图象向左无限接近轴，当时，图象向右无限接近轴）；指数函数在同一直角坐标系中的图像的相对位置与底数大小的关系是：在轴右侧，图像从上到下相应的底数由大变小，在轴的左侧，图像从下到上相应的底数由大变小．
3）无奇偶性，是非奇非偶函数，但对于相同的，函数的图象关于轴对称，的图象关于x轴对称；的图象关于直线对称．
4）有两个特殊点：零点，不变点．
5）抽象性质：
3函数值的变化特征：
①，
②，
③
①，
②，
③，
典型例题
一．选择题（共8小题）
1．函数y=2x（x≤0）的值域是（ ）
A．（0，1）
B．（﹣∞，1）
C．（0，1]
D．[0，1）
【解答】解：∵y=2x（x≤0）为增函数，且2x＞0，
∴20=1，
∴0＜y≤1．
∴函数的值域为（0，1]．
故选：C．
2．下列函数一定是指数函数的是（ ）
A．y=2x+1
B．y=x3
C．y=3?2x
D．y=3﹣x
【解答】解：对于A，y=2x+1=2?5x，不是指数函数；
对于B，y=x3是幂函数，不是指数函数；
对于C，y=3?2x不是指数函数；
对于D，y=3﹣x=是指数函数．
故选：D．
3．若函数f（x）=（a2﹣2a﹣2）ax是指数函数，则a的值是（ ）
A．﹣1
B．3
C．3或﹣1
D．2
【解答】解：∵函数f（x）=（a2﹣2a+2）（a+1）x是指数函数，
∴a2﹣2a﹣2=1，且a＞0，a≠1
解得a=3．
故选：B．
4．如果a＞1，b＜﹣1，那么函数f（x）=ax+b的图象在（ ）
A．第一、二、三象限
B．第一、三、四象限
C．第二、三、四象限
D．第一、二、四象限
【解答】解：∵a＞1，
∴y=ax的图象过第一、第二象限，且是单调增函数，经过（0，1），
f（x）=ax+b
的图象可看成把
y=ax的图象向下平移﹣b（﹣b＞1）个单位得到的，
故函数f（x）=ax+b的图象
经过第一、第三、第四象限，不经过第二象限，
故选：B．
5．已知函数g（x）=3x+t的图象不经过第二象限，则t的取值范围为（ ）
A．t≤﹣1
B．t＜﹣1
C．t≤﹣3
D．t≥﹣3
【解答】解：由指数函数的性质，可得函数g（x）=3x+t恒过点坐标为（0，1+t），函数g（x）是增函数，图象不经过第二象限，∴1+t≤0，解得：t≤﹣1．
故选：A．
6．若2m＞2n，则下列结论一定成立的是（ ）
A．＞
B．m|m|＞n|n|
C．ln（m﹣n）＞0
D．πm﹣n＜1
【解答】解：方法一：由2m＞2n得到m＞n．当m＞n＞0时，由不等式同向可乘性知m2＞n2，即m|m|＞n|n|；
当m＞0＞n时，m|m|＞0＞n|n|；
当n＜m＜0时，﹣n＞﹣m＞0，由不等式同向可乘性知n2＞m2，故﹣n2＞﹣m2，m|m|＞n|n|．
方法二：由2m＞2n得到m＞n，当m=1.5，n=1时，A不成立，C不成立，D不成立，
故选：B．
7．已知a=0.52.1，b=20.5，c=0.22.1，则a、b、c的大小关系是（ ）
A．a＜c＜b
B．b＞a＞c
C．b＜a＜c
D．c＞a＞b
【解答】解：a=0.52.1∈（0，1），b=20.5＞1，c=0.22.1，
∵y=x2.1为增函数，
∴0.52.1＞0.22.1，
∴a＞c，
∴b＞a＞c．
故选：B．
8．某品牌电脑投放市场的第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好反映销售量y与投放市场月数x之间的关系的是（ ）
A．y=100x
B．y=50x2﹣50x+100
C．y=50×2x
D．y=10x+100
【解答】解：对于A中的函数，当
x=3或4时，误差较大．对于B中的函数，当
x=3或4时误差也较大．
对于C中的函数，当
x=1，2，3时，误差为0，x=4时，误差为10，误差很小．
对于D中的函数，当x=4时，据函数式得到的结果为300，与实际值790相差很远．
综上，只有C中的函数误差最小，
故选：C．
二．填空题（共3小题）
9．函数的定义域是 [0，+∞） ．
【解答】解：由函数可得，1﹣≥0，即
≤，解得
x≥0，故函数的定义域是[0，+∞），
故答案为[0，+∞）．
10．方程9x+3x﹣2=0的解是 0 ．
【解答】解：∵9x+3x﹣2=0
即（3x）2+3x﹣2=0
∴（3x+2）（3x﹣1）=0
?3x=﹣2（舍），3x=1．
解得x=0
故答案为0
11．若函数f（x）=（a﹣1）x是指数函数，则实数a的取值范围是 （1，2）∪（2，+∞） ．
【解答】解：∵函数f（x）=（a﹣1）x是指数函数，
∴，
解得a＞1且a≠2；
∴实数a的取值范围是（1，2）∪（2，+∞）．
故答案为：（1，2）∪（2，+∞）．
三．解答题（共3小题）
12．已知指数函数f（x）=ax（a＞0，且a≠1）的图象过点（﹣2，），求函数的解析式．
【解答】解：设指数函数为y=ax（a＞0且a≠1）
将（﹣2，），代入得
=a﹣2解得a=，所以y=，
函数的解析式：f（x）=．
13．若指数函数的图象经过点（，4），求该函数的解析式及f（﹣）的值．
【解答】解：设指数函数y=f（x）=ax（a＞0且a≠1），
且函数的图象经过点（，4），
∴=4，
解得a=8；
∴该函数的解析式为y=f（x）=8x，
∴f（﹣）===．
14．比较a=（）0.2与b=2的大小．
【解答】解：∵a=＜=1，b=＞20=1，
∴a＜b．
