幂函数
知识讲解
一、幂函数的定义
定义：一般地，形如的函数称为幂函数，其中是常数．
二、幂函数的图象
函数的图象：
定义域
值域
单调性
单调递增
在上减
在上增
单调递增
单调递增
在和上单调递减
公共点
图象所在象限
一、三
一、二
一、三
一
一、三
三、幂函数的性质
（1）所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过点；
（2）时，幂函数的图象通过原点，并且在上是增函数；
（3）时，①幂函数在上是减函数；
②在第一象限内，图象向上与轴无限地接近，向右与轴无限地接近．
（4）任何幂函数图象都不经过第四象限；
（5）任何两个幂函数的图象最多有三个交点．
（6）任何幂函数的图象与坐标轴至多只有一个交点；
经典例题
一．选择题（共21小题）
1．幂函数的图象经过点，则f（2）的值等于（ ）
A．4
B．
C．
D．
2．已知幂函数f（x）的图象过点（4，），则f（8）的值为（ ）
A．
B．64
C．2
D．
3．已知幂函数y=f（x）过点（2，8），则f（3）=（ ）
A．27
B．9
C．8
D．4
4．已知幂函数f（x）=λ?xα的图象过点，则λ+α=（ ）
A．2
B．1
C．
D．
5．函数的图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．如图是①y=xa；②y=xb；③y=xc，在第一象限的图象，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＞b＞c
B．a＜b＜c
C．b＜c＜a
D．a＜c＜b
7．已知幂函数f（x）=k?xα的图象经过点（），则k﹣α=（ ）
A．
B．1
C．
D．2
8．幂函数y=xm，y=xn，y=xp的图象如图所示，以下结论正确的是（ ）
A．m＞n＞p
B．m＞p＞n
C．n＞p＞m
D．p＞n＞m
9．如图：曲线C1与C2分别是y=xm，y=xn在第一象限的图象，则（ ）
A．n＜m＜0
B．m＜n＜0
C．n＞m＞0
D．m＞n＞0
10．幂函数y=（m2﹣m﹣1），当x∈（0，+∞）时为减函数，则实数m的值为（ ）
A．m=2
B．m=﹣1
C．m=﹣1或2
D．m≠
11．幂函数f（x）=（m2﹣2m+1）x2m﹣1在（0，+∞）上为增函数，则实数m的值为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．1或2
12．设a∈{﹣2，﹣1，﹣，，，1，2，3}，则使函数f（x）=xa为奇函数且在（0，+∞）上单调递减的a的个数是（ ）
13．幂函数的图象过点（2，），则它的单调增区间是（ ）
A．（0，+∞）
B．[0，+∞）
C．（﹣∞，+∞）
D．（﹣∞，0）
14．若幂函数y=xm是偶函数，且x∈（0，+∞）时为减函数，则实数m的值可能为（ ）
A．
B．
C．﹣2
D．2
15．函数f（x）=（m2﹣m﹣1）x2m﹣3是幂函数，且在x∈（0，+∞）上是减函数，则实数m=（ ）
A．2
B．﹣1
C．2或﹣1
D．5
16．已知函数f（x）=xα，α∈{﹣1，，1，2，3}，若f（x）是区间（﹣∞，+∞）上的增函数，则α的所有可能取值为（ ）
A．{1，3}
B．{，1，2，3}
C．{1，2，3}
D．{﹣1，，1，2}
17．已知幂函数f（x）的图象经过点（4，2），则f（x）的增区间为（ ）
A．（﹣∞，+∞）
B．（﹣∞，0）
C．（0，+∞）
D．（1，+∞）
18．若幂函数y=xα在
（0，+∞）上是增函数，则α一定（ ）
A．α＞0
B．α＜0
C．α＞1
D．不确定
19．若，则实数m的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，]
B．[，+∞）
C．（﹣1，2）
D．[，2）
20．下列结论正确的是（ ）
A．幂函数的图象一定过原点
B．当α＜0时，幂函数y=xα是减函数
C．当α＞0时，幂函数y=xα是增函数
D．函数y=x2既是二次函数，也是幂函数幂函数
知识讲解
一、幂函数的定义
定义：一般地，形如的函数称为幂函数，其中是常数．
二、幂函数的图象
函数的图象：
定义域
值域
单调性
单调递增
在上减
在上增
单调递增
单调递增
在和上单调递减
公共点
图象所在象限
一、三
一、二
一、三
一
一、三
三、幂函数的性质
（1）所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过点；
（2）时，幂函数的图象通过原点，并且在上是增函数；
（3）时，①幂函数在上是减函数；
②在第一象限内，图象向上与轴无限地接近，向右与轴无限地接近．
（4）任何幂函数图象都不经过第四象限；
（5）任何两个幂函数的图象最多有三个交点．
（6）任何幂函数的图象与坐标轴至多只有一个交点；
经典例题
一．选择题（共21小题）
1．幂函数的图象经过点，则f（2）的值等于（ ）
A．4
B．
C．
D．
【解答】解：幂函数f（x）=xn的图象经过点，
可得3n=，
解得n=﹣，
则f（2）=2=，
故选：D．
2．已知幂函数f（x）的图象过点（4，），则f（8）的值为（ ）
A．
B．64
C．2
D．
【解答】解：∵幂函数f（x）=xa的图象过点（4，），
∴=4α，
∴α=﹣，
∴f（x）=，
∴f（8）==
故选：A．
3．已知幂函数y=f（x）过点（2，8），则f（3）=（ ）
A．27
B．9
C．8
D．4
【解答】解：因为幂函数y=f（x）=xα过点（2，8），
所以8=2α，解得α=3，
故f（x）=x3，f（3）=27，
故选：A．
4．已知幂函数f（x）=λ?xα的图象过点，则λ+α=（ ）
A．2
B．1
C．
D．
【解答】解：∵幂函数f（x）=λ?xα的图象过点，
∴，
解得，
∴λ+α=1+=．
故选：C．
5．函数的图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：因为函数的定义域是[0，+∞），所以图象位于y轴右侧，排除选项C、D；
又函数在[0，+∞）上单调递增，所以排除选项B．
故选：A．
6．如图是①y=xa；②y=xb；③y=xc，在第一象限的图象，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＞b＞c
B．a＜b＜c
C．b＜c＜a
D．a＜c＜b
【解答】解：由幂函数图象和单调性可知：
a＜0，b＞1，0＜c＜1．
∴a＜c＜b．
故选：D．
7．已知幂函数f（x）=k?xα的图象经过点（），则k﹣α=（ ）
A．
B．1
C．
D．2
【解答】解：由题意：根据幂函数的定义，可得k=1，
函数f（x）=k?xα的图象经过点（），
可得：
解得：α=
那么：k﹣α=1﹣=
故选：A．
8．幂函数y=xm，y=xn，y=xp的图象如图所示，以下结论正确的是（ ）
A．m＞n＞p
B．m＞p＞n
C．n＞p＞m
D．p＞n＞m
【解答】解：在第一象限作出幂函数y=xm，y=xn，y=xp的图象．
在（0，1）内取同一值x0，
作直线x=x0，与各图象有交点．
则“点低指数大”，
如图，知0＜p＜1，﹣1＜m＜0，n＞1，
∴n＞p＞m
故选：C．
9．如图：曲线C1与C2分别是y=xm，y=xn在第一象限的图象，则（ ）
A．n＜m＜0
B．m＜n＜0
C．n＞m＞0
D．m＞n＞0
【解答】解：由图象及其单调性可得：m＜n＜0．
故选：B．
10．幂函数y=（m2﹣m﹣1），当x∈（0，+∞）时为减函数，则实数m的值为（ ）
A．m=2
B．m=﹣1
C．m=﹣1或2
D．m≠
【解答】解：∵y=（m2﹣m﹣1）为幂函数，
∴m2﹣m﹣1=1，即m2﹣m﹣2=0．
解得：m=2或m=﹣1．
当m=2时，m2﹣2m﹣3=﹣3，y=x﹣3在（0，+∞）上为减函数；
当m=﹣1时，m2﹣2m﹣3=0，y=x0=1（x≠0）在（0，+∞）上为常数函数（舍去），
∴使幂函数y=（m2﹣m﹣1）为（0，+∞）上的减函数的实数m的值为2．
故选：A．
11．幂函数f（x）=（m2﹣2m+1）x2m﹣1在（0，+∞）上为增函数，则实数m的值为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．1或2
【解答】解：∵幂函数f（x）=（m2﹣2m+1）x2m﹣1在（0，+∞）上为增函数，
∴，
解得m=2．
故选：C．
12．设a∈{﹣2，﹣1，﹣，，，1，2，3}，则使函数f（x）=xa为奇函数且在（0，+∞）上单调递减的a的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【解答】解：∵a∈{﹣2，﹣1，﹣，，，1，2，3}，
∴当a=﹣1时，函数f（x）=xa为奇函数且在（0，+∞）上单调递减，
∴使函数f（x）=xa为奇函数且在（0，+∞）上单调递减的a的个数是1个．
故选：A．
13．幂函数的图象过点（2，），则它的单调增区间是（ ）
A．（0，+∞）
B．[0，+∞）
C．（﹣∞，+∞）
D．（﹣∞，0）
【解答】解：幂函数f（x）=xα的图象过点（2，），
所以=2α，即
α=﹣2，所以幂函数为f（x）=x﹣2
它的单调递增区间是：（﹣∞，0]．
故选：D．
14．若幂函数y=xm是偶函数，且x∈（0，+∞）时为减函数，则实数m的值可能为（ ）
A．
B．
C．﹣2
D．2
【解答】解：∵幂函数y=xm是偶函数，且x∈（0，+∞）时为减函数，
∴m为负偶数，
∴实数m的值可能为﹣2．
故选：C．
15．函数f（x）=（m2﹣m﹣1）x2m﹣3是幂函数，且在x∈（0，+∞）上是减函数，则实数m=（ ）
A．2
B．﹣1
C．2或﹣1
D．5
【解答】解：∵f（x）=（m2﹣m﹣1）x2m﹣3是幂函数，
∴m2﹣m﹣1=1，
解得m=2，或m=﹣1；
当m=2时，2m﹣3=1，
y=x﹣在x∈（0，+∞）上为增函数，不满足题意；
当m=﹣1时，2m﹣3=﹣5，
y=x﹣5在x∈（0，+∞）上是减函数，满足题意；
∴m=﹣1；
故选：B．
16．已知函数f（x）=xα，α∈{﹣1，，1，2，3}，若f（x）是区间（﹣∞，+∞）上的增函数，则α的所有可能取值为（ ）
A．{1，3}
B．{，1，2，3}
C．{1，2，3}
D．{﹣1，，1，2}
【解答】解：∵函数f（x）的定义域为（﹣∞，+∞），
∴α≠﹣1，α≠，排除B，D，
当α=2时，f（x）=x2，在区间（﹣∞，+∞）上不是单调函数，排除C，
故选：A．
17．已知幂函数f（x）的图象经过点（4，2），则f（x）的增区间为（ ）
A．（﹣∞，+∞）
B．（﹣∞，0）
C．（0，+∞）
D．（1，+∞）
【解答】解：设幂函数f（x）=xn，
则4n=2，解得，n=，
即有f（x）=，
则有x≥0，
则增区间为（0，+∞）．
故选：C．
18．若幂函数y=xα在
（0，+∞）上是增函数，则α一定（ ）
A．α＞0
B．α＜0
C．α＞1
D．不确定
【解答】解：∵幂函数y=xα在
（0，+∞）上是增函数，
∴α＞0，
故选：A．
19．若，则实数m的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，]
B．[，+∞）
C．（﹣1，2）
D．[，2）
【解答】解：考察幂函数y=x，它在[0，+∞）上是增函数，
∵，
∴2m+1＞m2+m﹣1≥0，
解得，x∈[，2）．
故选：D．
20．下列结论正确的是（ ）
A．幂函数的图象一定过原点
B．当α＜0时，幂函数y=xα是减函数
C．当α＞0时，幂函数y=xα是增函数
D．函数y=x2既是二次函数，也是幂函数
【解答】解：①中，当α=0时，00无意义，幂函数y=xα不可能过原点，不正确；
②中，α＜0时，幂函数y=xα在（0，+∞）上为减函数，但不一定幂函数y=xα在整个定义域上是减函数，错误．
③中，α=2时，幂函数y=xα在（﹣∞，0）上为减函数，错误；
④中，函数y=x2既是二次函数，也是幂函数，正确．
故选：D．
