对数函数
知识讲解
一、对数函数的图像与性质
①函数（，）叫做对数函数，其中x是自变量，图像如下
图
象
性
质
定义域：（0，+∞）
值域：R
过点（1，0），即当时，
时
时
时
时
在（0，+∞）上是增函数
在（0，+∞）上是减函数
②对数函数的性质：定义域：；值域：R；过点，即当时，．
当时，在（0，）上是增函数；当时，在（0，）上是减函数．
二、对数函数与指数函数的关系
关系：对数函数与指数函数图像关于直线对称．
类型：指数方程和对数方程主要有以下几种类型：
（定义法）
（转化法）
（取对数法）
三、对数函数有关的性质
（1）与；与；与
关于对称，
（2）已知,则
（3）指数函数与对数函数可以有两个或一个交点．
典型例题
一．选择题（共8小题）
1．下列函数中，是对数函数的是（ ）
①y=lgxa（x＞0且x≠1）②y=log2x﹣1③y=2lg8x④y=log5x．
A．①
B．②
C．③
D．④
2．使对数loga（一2a+1）有意义的a的取值范围为（ ）
A．a＞且a≠1
B．0＜a＜
C．a＞0且a≠1
D．a＜
3．函数f（x）=log3（x2﹣x﹣2）的定义域为（ ）
A．{x|x＞2或x＜﹣1}
B．{x|﹣1＜x＜2}
C．{x|﹣2＜x＜1}
D．{x|x＞1或x＜﹣2}
4．函数y=2+log2x（x≥1）的值域为（ ）
A．（2，+∞）
B．（﹣∞，2）
C．[2，+∞）
D．[3，+∞）
5．已知a=log3，b=（），c=log，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＞b＞c
B．b＞a＞c
C．c＞b＞a
D．c＞a＞b
6．若a＞0且a≠1，则函数y=loga（x+1）的图象一定过点（ ）
A．（1，1）
B．（1，0）
C．（﹣1，0）
D．（0，0）
7．函数y=loga（x+2）+1的图象过定点（ ）
A．（1，2）
B．（2，1）
C．（﹣2，1）
D．（﹣1，1）
8．若函数y=loga（x+1）（a＞0，a≠1）的图象过定点，则x值为（ ）
A．﹣1
B．0
C．1
D．无法确定
二．填空题（共4小题）
9．函数f（x）=的定义域为
．
10．集合A={1，log2x}中的实数x的取值范围为
．
11．已知a=log20.3，b=20.3，c=0.32，则小到大排列
．
12．若对数函数y=logax的图象过点（9，2），则a=
．
三．解答题（共2小题）
13．当log
x﹣1（x2﹣5x﹣6）有意义时，求x的取值范围．
14．已知1＜x＜10，且a=lg2x，b=lgx2，c=lg（lgx），那么求a，b，c的大小顺序．对数函数
知识讲解
一、对数函数的图像与性质
①函数（，）叫做对数函数，其中x是自变量，图像如下
图
象
性
质
定义域：（0，+∞）
值域：R
过点（1，0），即当时，
时
时
时
时
在（0，+∞）上是增函数
在（0，+∞）上是减函数
②对数函数的性质：定义域：；值域：R；过点，即当时，．
当时，在（0，）上是增函数；当时，在（0，）上是减函数．
二、对数函数与指数函数的关系
关系：对数函数与指数函数图像关于直线对称．
类型：指数方程和对数方程主要有以下几种类型：
（定义法）
（转化法）
（取对数法）
三、对数函数有关的性质
（1）与；与；与
关于对称，
（2）已知,则
（3）指数函数与对数函数可以有两个或一个交点．
典型例题
一．选择题（共8小题）
1．下列函数中，是对数函数的是（ ）
①y=lgxa（x＞0且x≠1）②y=log2x﹣1③y=2lg8x④y=log5x．
A．①
B．②
C．③
D．④
【解答】解：由对数函数的定义可知：④y=log5x是对数函数，其余3个都不是对数函数．
故选：D．
2．使对数loga（一2a+1）有意义的a的取值范围为（ ）
A．a＞且a≠1
B．0＜a＜
C．a＞0且a≠1
D．a＜
【解答】解：要使对数有意义，则，
解得0＜a＜，
故选：B．
3．函数f（x）=log3（x2﹣x﹣2）的定义域为（ ）
A．{x|x＞2或x＜﹣1}
B．{x|﹣1＜x＜2}
C．{x|﹣2＜x＜1}
D．{x|x＞1或x＜﹣2}
【解答】解：由题意得：x2﹣x﹣2＞0，解得：x＞2或x＜﹣1，
∴函数的定义域是：{x|x＞2或x＜﹣1}，
故选：A．
4．函数y=2+log2x（x≥1）的值域为（ ）
A．（2，+∞）
B．（﹣∞，2）
C．[2，+∞）
D．[3，+∞）
【解答】解：∵函数y=2+log2x在[1，+∞）上单调递增，
∴当x=1时，y有最小值2，
即函数y=2+log2x（x≥1）的值域为[2，+∞）．
故选：C．
5．已知a=log3，b=（），c=log，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＞b＞c
B．b＞a＞c
C．c＞b＞a
D．c＞a＞b
【解答】解：∵a=log3，c=log=log35，且5，
∴，
则b=（）＜，
∴c＞a＞b．
故选：D．
6．若a＞0且a≠1，则函数y=loga（x+1）的图象一定过点（ ）
A．（1，1）
B．（1，0）
C．（﹣1，0）
D．（0，0）
【解答】解：令x+1=1，求得
x=0，y=0，
故函数y=loga（x+1）的图象一定过点（0，0），
故选：D．
7．函数y=loga（x+2）+1的图象过定点（ ）
A．（1，2）
B．（2，1）
C．（﹣2，1）
D．（﹣1，1）
【解答】解：由函数图象的平移公式，我们可得：
将函数y=logax（a＞0，a≠1）的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，
即可得到函数y=loga（x+2）+1（a＞0，a≠1）的图象．
又∵函数y=logax（a＞0，a≠1）的图象恒过（1，0）点，
由平移向量公式，易得函数y=loga（x+2）+1（a＞0，a≠1）的图象恒过（﹣1，1）点，
故选：D．
8．若函数y=loga（x+1）（a＞0，a≠1）的图象过定点，则x值为（ ）
A．﹣1
B．0
C．1
D．无法确定
【解答】解：因为y=logax的图象恒过（1，0）点，
又y=loga（x+1）的图象是把y=logax的图象左移1个单位得到的，
所以y=loga（x+1）的图象必过定点（0，0）．
故选：B．
二．填空题（共4小题）
9．函数f（x）=的定义域为
．
【解答】解：∵2x+1＞0
∴x＞﹣
即函数f（x）=的定义域为（﹣，+∞）
故答案为：（﹣，+∞）
10．集合A={1，log2x}中的实数x的取值范围为 （0，2）∪（2，+∞） ．
【解答】解：∵集合A={1，log2x}，
∴，解得x∈（0，2）∪（2，+∞），
故答案为：（0，2）∪（2，+∞）；
11．已知a=log20.3，b=20.3，c=0.32，则小到大排列 a＜c＜b ．
【解答】解：a=log20.3＜0，b=20.3＞1，c=0.32∈（0，1）．
∴a＜c＜b．
故答案为：a＜c＜b．
12．若对数函数y=logax的图象过点（9，2），则a= 3 ．
【解答】解：∵对数函数y=logax的图象经过点P（9，2），
∴2=loga9，
∴a=3，
故答案为：3．
三．解答题（共2小题）
13．当log
x﹣1（x2﹣5x﹣6）有意义时，求x的取值范围．
【解答】解：当log
x﹣1（x2﹣5x﹣6）有意义时，满足，解得x＞6．
∴x∈（6，+∞）．
14．已知1＜x＜10，且a=lg2x，b=lgx2，c=lg（lgx），那么求a，b，c的大小顺序．
【解答】解：∵1＜x＜10，
∴0＜lgx＜1．c=lg（lgx）＜0．
∴a﹣b=（lgx﹣2）lgx＜0，∴0＜a＜b，
∴c＜a＜b．
