函数及其表示
知识讲解
一、函数的概念
设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个数，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合A到集合B的一个函数．记作：，其中叫做自变量，的取值范围A叫做函数的定义域；与的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．
注意（1）“”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“”；
（2）函数符号“”中的表示与对应的函数值，一个数，而不是乘．
二、函数的三要素
1.定义域三种形式
①自然型：指函数的解析式有意义的自变量的取值范围（如：分式函数的分母不为零，偶次根式函数的被开方数为非负数等等）；
②限制型：指命题的条件或人为对自变量的限制，这是函数学习中的重点，往往也是难点，因为有时这种限制比较隐蔽，容易犯错误；
③实际型：解决函数的综合问题与应用问题时，应认真考察自变量的实际意义．
2.求值域方法
①配方法（将函数转化为二次函数）；
②判别式法（将函数转化为二次方程）；
③不等式法（运用不等式的各种性质）；
④函数法（运用基本函数性质，或抓住函数的单调性、函数图象等）．
三、两个函数的相等
函数的定义含有三个要素，即定义域A、值域C和对应法则．
当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定．
因此，定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数．
四、区间
1.区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；
2.无穷区间；
3.区间的数轴表示．
五、映射的概念
一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则，使对于集合A中的任意一个元素，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应为从集合A到集合B的一个映射．记作“”．
函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，这种的对应就叫映射．
注意：
（1）这两个集合有先后顺序，A到B的射与B到A的映射是截然不同的．其中f表示具体的对应法则，可以用汉字叙述．
（2）“都有唯一”什么意思？
包含两层意思：一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思．
六、函数的表示方法
解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式；
列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系；
图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系．
七、分段函数
定义：若一个函数的定义域分成了若干个子区间，而每个子区间的解析式不同，这种函数又称分段函数．
1.分段函数的表达式因其特点可以分成两个或两个以上的不同表达式．
2.分段函数的图像可以是光滑的曲线段，也可以是一些孤立的点或几段线段．
3.分段函数的值域，也就是各部分上的函数值集合的并集．
4.分段函数虽然有几部分组成，但它仍是一个函数．
八、复合函数
若，,，，那么称为复合函数，称为中间变量，它的取值范围是的值域．
九、函数图像的作法
1.描点法：列表、描点、用光滑的曲线连线．
2.变化作图法
①平移：；
②对称：；
；
③其他：
经典例题
一．选择题（共6小题）
1．下列函数中哪个与函数y=x相等（ ）
A．y=（）2
B．y=
C．y=
D．y=
【解答】解：A．函数的定义域为{x|x≥0}，两个函数的定义域不同．
B．函数的定义域为R，两个函数的定义域和对应关系相同，是同一函数．
C．函数的定义域为R，y=|x|，对应关系不一致．
D．函数的定义域为{x|x≠0}，两个函数的定义域不同．
故选：B．
2．下列四组函数中表示同一个函数的是（ ）
A．f（x）=x0与
g（x）=1
B．f（x）=|x|与
C．f（x）=x与
D．与
【解答】解：对于A，f（x）=x0=1的定义域为{x|x≠0}，g（x）=1
的定义域为1，定义域不同，不是同一函数；
对于B，f（x）=|x|的定义域为R，g（x）==|x|的定义域为R，定义域相同，对应关系也相同，是同一函数；
对于C，f（x）=x的定义域为R，g（x）==x的定义域为{x|x≠0}，定义域不同，不是同一函数；
对于D，f（x）==x的定义域为R，g（x）==x的定义域为[0，+∞），定义域不同，不是同一函数．
故选：B．
3．下列四组函数中，表示相同函数的一组是（ ）
A．f（x）=，g（x）=x+1
B．f（x）=，g（x）=（）2
C．f（x）=|x|，g（x）=
D．
【解答】解：A．函数f（x）==x+1，x≠1，则定义域为{x|x≠1}，所以两个函数的定义域不同，所以A不是相同函数
B．f（x）=（）2=x，x≥0，g（x）==|x|，所以两个函数的定义域和对应法则不同，所以B不是相同函数
C．g（x）==|x|，两个函数的定义域和对应法则，所以C表示的是相同函数．
D．由
即x≥1，由x2﹣1≥0得x≥1或x≤﹣1，则两个函数的定义域不同，不是相同函数．
故选：C．
4．函数f（x）=2x﹣1，x∈{﹣1，1}，则f（x）的值域为（ ）
A．[﹣3，1）
B．（﹣3，1]
C．[﹣3，1]
D．{﹣3，1}
【解答】解：f（﹣1）=﹣2﹣1=﹣3，
f（1）=2﹣1=1．
所以该函数的值域为{﹣3，1}．
故选：D．
5．函数y=的值域为（ ）
A．[﹣1，+∞）
B．[0，+∞）
C．（﹣∞，0]
D．（﹣∞，﹣1]
【解答】解：由x+1≥0，得x≥﹣1，
函数y=在[﹣1，+∞）上为单调增函数，
∴函数y=的值域为[0，+∞）．
故选：B．
6．已知某二次函数的图象与函数y=2x2的图象的形状一样，开口方向相反，且其顶点为（﹣1，3），则此函数的解析式为（ ）
A．y=2（x﹣1）2+3
B．y=2（x+1）2+3
C．y=﹣2（x﹣1）2+3
D．y=﹣2（x+1）2+3
【解答】解：设所求函数的解析式为y=﹣2（x+h）2+k（a≠0），根据顶点为（﹣1，3），可得h=1，且
k=3，
故所求的函数解析式为
y=﹣2（x+1）2+3，
故选：D．
二．填空题（共23小题）
7．函数f（x）=﹣的定义域是 {x|﹣1≤x≤1} ．
【解答】解：要使函数f（x）有意义，则，
即，
解得﹣1≤x≤1，
故函数的定义域为{x|﹣1≤x≤1}，
故答案为：{x|﹣1≤x≤1}
8．函数的定义域是 （﹣∞，0）∪（0，1] （用区间表示）
【解答】解：由，
解①得：x≤1．
解②得：x≠0．
∴x≤1且x≠0．
∴函数的定义域是（﹣∞，0）∪（0，1]．
故答案为：（﹣∞，0）∪（0，1]．
9．函数的定义域为
（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，1]∪[3，+∞） ．
【解答】解：要使函数的解析式有意义，
自变量x须满足：
即
即
即
即x∈（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，1]∪[3，+∞）
即函数的定义域为：（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，1]∪[3，+∞）
故答案为：（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，1]∪[3，+∞）
10．函数y=的定义域为 {x|x≥4或x≤﹣2} ．
【解答】解：由x2﹣2x﹣8≥0，得
（x+2）（x﹣4）≥0，解得：x≥4或x≤﹣2．
∴函数y=的定义域为{x|x≥4或x≤﹣2}．
故答案为：{x|x≥4或x≤﹣2}．
11．已知f（2x﹣1）的定义域[1，4]，则f（x）的定义域为 [1，7] ，f（2x+1）的定义域为 [0，3] ．
【解答】解：∵f（2x﹣1）的定义域[1，4]，
∴1≤x≤4，
∴1≤2x﹣1≤7，
即f（x）的定义域为[1，7]；
又∵1≤2x+1≤7，
∴0≤2x≤6，
∴0≤x≤3，
即f（2x+1）的定义域为[0，3]．
故答案为：[1，7]，[0，3]．
12．若函数y=f（x）的定义域为[﹣1，1），则y=f（x2﹣3）的定义域为 （﹣2，﹣]∪[，2） ．
【解答】解：∵函数y=f（x）的定义域为[﹣1，1），
∴﹣1≤x2﹣3＜1，
即2≤x2＜4，
解得﹣2＜x≤﹣，或≤x＜2；
∴y=f（x2﹣3）的定义域为（﹣2，﹣]∪[，2）．
故答案为：（﹣2，﹣]∪[，2）．
13．若函数f（x2﹣2）的定义域为[1，3]，则函数f（3x+2）的定义域为 [﹣1，] ．
【解答】解：∵函数f（x2﹣2）的定义域为[1，3]，即1≤x≤3，
∴1≤x2≤9，则﹣1≤x2﹣2≤7，
∴函数f（x）的定义域为[﹣1，7]．
再由﹣1≤3x+2≤7，解得：．
∴函数f（3x+2）的定义域为[﹣1，]．
故答案为：[﹣1，]．
14．函数y=的值域是 （0，1] ．
【解答】解：因为x2+1≥1，
所以，
函数的值域为：（0，1]．
15．函数y=2x+的值域为 （﹣∞，] ．
【解答】解：令，∴x=3﹣t2；
∴y=6﹣2t2+t=；
∴；
∴函数y=6﹣2t2+t的值域为（﹣∞，]；
即函数y=2x+的值域为（﹣∞，]．
故答案为：（﹣∞，]．
16．函数的值域为 [0，3] ．
【解答】解：令f（x）=﹣x2+4x+5=﹣（x﹣2）2+9，
∵﹣x2+4x+5≥0，
∴0≤f（x）≤9，
∴0≤y≤3，
故答案为：[0，3]．
17．已知函数f（x+1）=3x+2，则f（x）的解析式是 f（x）=3x﹣1 ．
【解答】解：令x+1=t，则x=t﹣1，
∴f（t）=3（t﹣1）+2=3t﹣1，
∴f（x）=3x﹣1．
故答案为f（x）=3x﹣1．
18．已知f（x﹣1）=2x+3，则f（x）= 2x+5 ．
【解答】解：∵f（x﹣1）=﹣2x+3，
设x﹣1=t，则x=t+1，
∴f（t）=2（t+1）+3=2t+5；
即f（x）=2x+5．
故答案为：2x+5
19．已知f（2x+1）=x2﹣2x，则f（3）= ﹣1 ．
【解答】解：【方法一】∵f（2x+1）=x2﹣2x，
设2x+1=t，则x=，
∴f（t）=﹣2×=t2﹣t+，
∴f（3）=×32﹣×3+=﹣1．
【方法二】∵f（2x+1）=x2﹣2x，
令2x+1=3，解得x=1，
∴f（3）=12﹣2×1=﹣1．
故答案为：﹣1．
20．函数f（x）满足f（x+2）=x2+3，则f（x）= x2﹣4x+7 ．
【解答】解：由f（x+2）=x2+3，
得到f（x+2）
=（x+2﹣2）2+3
=（x+2）2﹣4（x+2）+7
故f（x）=x2﹣4x+7．
故答案为：x2﹣4x+7．
21．已知f（x﹣1）=2x2﹣8x+11，则函数f（x）的解析式为 f（x）=2x2﹣4x+5 ．
【解答】解：f（x﹣1）=2x2﹣8x+11，
设x﹣1=t，则x=t+1，
∴f（t）=2（t+1）2﹣8（t+1）+11=2t2﹣4t+5，
∴f（x）=2x2﹣4x+5．
故答案为：f（x）=2x2﹣4x+5．
22．设f（x）表示﹣x+6和﹣2x2+4x+6中的较小者，则函数f（x）的解析式为 f（x）= ．
【解答】解：令﹣x+6＜﹣2x2+4x+6，
变形可得2x2﹣5x＜0，解得0＜x＜，
∴当0＜x＜时，f（x）=﹣x+6
当x≤0或x≥时，f（x）=﹣2x2+4x+6，
∴f（x）=，
故答案为：f（x）=
23．函数y=f（x）的图象如图所示，那么，f（x）的定义域是 [﹣3，0]∪[2，3]， ；值域是 [1，5] ．
【解答】解：观察函数的图象，图象上各点的横坐标范围为[﹣3，0]∪[2，3]，
∴函数的定义域为[﹣3，0]∪[2，3]，
观察函数的图象，图象上各点的纵坐标范围为[2，4]∪[1，5]，
∵[2，4]∪[1，5]=[1，5]，
故函数的值域为[1，5]，
24．某供电公司为了合理分配电力，采用分段计算电费政策，月用电量x（度）与相应电费y（元）之间的函数关系的图象如图所示．
（1）填空：月用电量为100度时，应交电费 60 元；
（2）当x≥100时，y与x之间的函数关系式为 y=+10，x≥100 ；
（3）月用电量为260度时，应交电费 140 元．
【解答】解：（1）由图象可知，当x=100度时，y=60，即月用电量为100度时，应交电费60元，
（2）设y=ax+b，图象经过点（100，60），（200，110），
∴，
解得a=，b=10，
∴y=x+10，x≥100
（3）当x=260时，y=×260+10=140
故答案为：（1）60 （2）y=x+10 （3）140
25．把函数y=f（2x）经过 向左2个单位 平移得到函数y=f（2x+4）的图象．
【解答】解：设函数y=f（2x）向左平移m个单位后，
得到函数y=f（2x+4）的图象
则2（x+m）=2x+4
解得m=2
即函数y=f（2x）向左平移2个单位后，
得到函数y=f（2x+4）的图象
故答案为：向左2个单位
26．把f（x）=2x2+x﹣1的图象向右平移一个单位长度，再向下平移一个单位长度得到函数g（x）的图象，则g（x）的解析式为 g（x）=2x2﹣3x﹣1 ．
【解答】解：由题意知g（x）=f（x﹣1）﹣1=2（x﹣1）2+（x﹣1）﹣1﹣1=2x2﹣3x﹣1．
答案：g（x）=2x2﹣3x﹣1．
27．函数y=1﹣的图象是 （1） ．
【解答】解：函数y=1﹣=+1，此函数的图象可以看成由反比例函数先向右平移1个单位得函数y=的图象，
再向上平移1个单位得函数y=+1的图象，
∵反比例函数的图象在二四象限，两支都是增函数，
故答案为：（1）．
28．（2017春?和平区期末）设函数f（x）=，若f（x0）=8，则x0= 4或 ．
【解答】解：由题意，得
①当x0≤2时，有x02+2=8，解之得x0=±，
而＞2不符合，所以x0=﹣；
②当x0＞2时，有2x0=8，解之得x0=4．
综上所述，得x0=4或．
故答案为：4或．
三．解答题（共3小题）
29．求分别满足下列条件的函数f（x）的解析式：
（Ⅰ）；
（Ⅱ）．
【解答】解：（I）∵…①；
∴…②
②×2﹣①得：3f（x）=﹣x
∴f（x）=（﹣x）=
（II）∵…①；
∴…②
②×x+①得：（x2+1）f（x）=
f（x）=（）=
30．已知函数f（x）=．
（1）求f（π）；
（2）在坐标系中画出y=f（x）的图象；
（3）若f（a）=3，求a的值．
【解答】解：（1）f（π）=2π；
（2）如下图：
（3）由图可知，f（a）=3时，a2=3，
解得，a=．
31．作出下列函数图象
（1）y=x+1（x∈{0，1}）；
（2）y=|x|﹣2；
（3）f（x）=|x2﹣2x|．
【解答】解：（1）∵x∈{0，1}，∴x=0或x=1，函数图象只是两个点：
∵f（0）=0+1=1，∴（0，1）是图象的一部分；
∵f（1）=1+1=2，∴（1，2）是图象的一部分；
∴函数的图象为：
（2）函数为偶函数，只画出x＞0的图象，再关于y轴对称即可得x＜0的图象：
（3）先画f（x）=x2﹣2x的图象，再把x轴一下的部分翻转到x轴的上面：函数及其表示
知识讲解
一、函数的概念
设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个数，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合A到集合B的一个函数．记作：，其中叫做自变量，的取值范围A叫做函数的定义域；与的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．
注意（1）“”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“”；
（2）函数符号“”中的表示与对应的函数值，一个数，而不是乘．
二、函数的三要素
1.定义域三种形式
①自然型：指函数的解析式有意义的自变量的取值范围（如：分式函数的分母不为零，偶次根式函数的被开方数为非负数等等）；
②限制型：指命题的条件或人为对自变量的限制，这是函数学习中的重点，往往也是难点，因为有时这种限制比较隐蔽，容易犯错误；
③实际型：解决函数的综合问题与应用问题时，应认真考察自变量的实际意义．
2.求值域方法
①配方法（将函数转化为二次函数）；
②判别式法（将函数转化为二次方程）；
③不等式法（运用不等式的各种性质）；
④函数法（运用基本函数性质，或抓住函数的单调性、函数图象等）．
三、两个函数的相等
函数的定义含有三个要素，即定义域A、值域C和对应法则．
当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定．
因此，定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数．
四、区间
1.区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；
2.无穷区间；
3.区间的数轴表示．
五、映射的概念
一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则，使对于集合A中的任意一个元素，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应为从集合A到集合B的一个映射．记作“”．
函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，这种的对应就叫映射．
注意：
（1）这两个集合有先后顺序，A到B的射与B到A的映射是截然不同的．其中f表示具体的对应法则，可以用汉字叙述．
（2）“都有唯一”什么意思？
包含两层意思：一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思．
六、函数的表示方法
解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式；
列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系；
图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系．
七、分段函数
定义：若一个函数的定义域分成了若干个子区间，而每个子区间的解析式不同，这种函数又称分段函数．
1.分段函数的表达式因其特点可以分成两个或两个以上的不同表达式．
2.分段函数的图像可以是光滑的曲线段，也可以是一些孤立的点或几段线段．
3.分段函数的值域，也就是各部分上的函数值集合的并集．
4.分段函数虽然有几部分组成，但它仍是一个函数．
八、复合函数
若，,，，那么称为复合函数，称为中间变量，它的取值范围是的值域．
九、函数图像的作法
1.描点法：列表、描点、用光滑的曲线连线．
2.变化作图法
①平移：；
②对称：；
；
③其他：
经典例题
一．选择题（共6小题）
1．下列函数中哪个与函数y=x相等（ ）
A．y=（）2
B．y=
C．y=
D．y=
2．下列四组函数中表示同一个函数的是（ ）
A．f（x）=x0与
g（x）=1
B．f（x）=|x|与
C．f（x）=x与
D．与
3．下列四组函数中，表示相同函数的一组是（ ）
A．f（x）=，g（x）=x+1
B．f（x）=，g（x）=（）2
C．f（x）=|x|，g（x）=
D．
4．函数f（x）=2x﹣1，x∈{﹣1，1}，则f（x）的值域为（ ）
A．[﹣3，1）
B．（﹣3，1]
C．[﹣3，1]
D．{﹣3，1}
5．函数y=的值域为（ ）
A．[﹣1，+∞）
B．[0，+∞）
C．（﹣∞，0]
D．（﹣∞，﹣1]
6．已知某二次函数的图象与函数y=2x2的图象的形状一样，开口方向相反，且其顶点为（﹣1，3），则此函数的解析式为（ ）
A．y=2（x﹣1）2+3
B．y=2（x+1）2+3
C．y=﹣2（x﹣1）2+3
D．y=﹣2（x+1）2+3
二．填空题（共23小题）
7．函数f（x）=﹣的定义域是
．
8．函数的定义域是
（用区间表示）
9．函数的定义域为
．
10．函数y=的定义域为
．
11．已知f（2x﹣1）的定义域[1，4]，则f（x）的定义域为
，f（2x+1）的定义域为
．
12．若函数y=f（x）的定义域为[﹣1，1），则y=f（x2﹣3）的定义域为
．
13．若函数f（x2﹣2）的定义域为[1，3]，则函数f（3x+2）的定义域为
．
14．函数y=的值域是
．
15．函数y=2x+的值域为
．
16．函数的值域为
．
17．已知函数f（x+1）=3x+2，则f（x）的解析式是
．
18．已知f（x﹣1）=2x+3，则f（x）=
．
19．已知f（2x+1）=x2﹣2x，则f（3）=
．
20．函数f（x）满足f（x+2）=x2+3，则f（x）=
．
21．已知f（x﹣1）=2x2﹣8x+11，则函数f（x）的解析式为
．
22．设f（x）表示﹣x+6和﹣2x2+4x+6中的较小者，则函数f（x）的解析式为
．
23．函数y=f（x）的图象如图所示，那么，f（x）的定义域是
；值域是
．
24．某供电公司为了合理分配电力，采用分段计算电费政策，月用电量x（度）与相应电费y（元）之间的函数关系的图象如图所示．
（1）填空：月用电量为100度时，应交电费
元；
（2）当x≥100时，y与x之间的函数关系式为
；
（3）月用电量为260度时，应交电费
元．
25．把函数y=f（2x）经过
平移得到函数y=f（2x+4）的图象．
26．把f（x）=2x2+x﹣1的图象向右平移一个单位长度，再向下平移一个单位长度得到函数g（x）的图象，则g（x）的解析式为
．
27．函数y=1﹣的图象是
．
28．设函数f（x）=，若f（x0）=8，则x0=
．
三．解答题（共3小题）
29．求分别满足下列条件的函数f（x）的解析式：
（Ⅰ）；
（Ⅱ）．
30．已知函数f（x）=．
（1）求f（π）；
（2）在坐标系中画出y=f（x）的图象；
（3）若f（a）=3，求a的值．
31．作出下列函数图象
（1）y=x+1（x∈{0，1}）；
（2）y=|x|﹣2；
（3）f（x）=|x2﹣2x|．
