函数的应用
知识讲解
一、常见的函数模型
1.一次函数模型：（、为常数，）；
2.反比例函数模型：（、为常数，）；
3.二次函数模型：（、、为常数，）；
4.指数函数模型：f（x）＝abx＋c（、、为常数，，，）；
5.对数函数模型：（、、为常数，，）；
说明：随着新课标的实施，指数、对数函数模型将会起到越来越重要的作用，在高考的舞台上将会扮演愈来愈重要的角色．
6.幂函数模型：（、、为常数，，）；
7.分段函数模型：这个模型实际是以上两种或多种模型的综合，因此应用也十分广泛．
二、数学建模
含义：数学建模是运用数学思想、方法和知识解决实际问题的过程．
可用框图表示为
三种函数增长性的比较
类型：指数函数，对数函数，幂函数
1.在区间上，尽管函数，和都是增函数．但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上．随着的增大，的增长速度越来越快．会超过并远远大于的增长速度，而的增长速度则会越来越慢．因此，总会存在一个，当时，就有．
2.在区间上，尽管函数，和都是减函数．但它们的递减速度不同，而且不在同一个“档次”上．随着的增大，的递减速度越来越快．会超过并远远大于的递减速度，而的递减速度则会越来越慢．因此，总会存在一个，当时，就有．
典型例题
一．选择题（共8小题）
1．计算机中常用十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A～F共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如表：
16进制
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
10进制
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
例如，用十六进制表示：E+D=1B，则A×B=（ ）
A．6E
B．72
C．5F
D．B0
2．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品（ ）
A．60件
B．80件
C．100件
D．120件
3．某宾馆有n（n∈N
）间标准相同的客房，客房的定价将影响入住率．经调查分析，得出每间客房的定价与每天的入住率的大致关系如下表：
每间客房的定价
220元
200元
180元
160元
每天的住房率
50%
60%
70%
75%
对每间客房，若有客住，则成本为80元；若空闲，则成本为40元．要使此宾馆每天的住房利润最高，则每间客房的定价大致应为（ ）
A．220元
B．200元
C．180元
D．160元
4．函数f（x）=的单调增区间是（ ）
A．（﹣∞，1）
B．（1，+∞）
C．（﹣∞，1），（1，+∞）
D．（﹣∞，﹣1），（1，+∞）
5．函数f（x）=|x|和g（x）=x（2﹣x）的递增区间依次是（ ）
A．（﹣∞，0]，（﹣∞，1]
B．（﹣∞，0]，[1，+∞）
C．[0，+∞），（﹣∞，1]
D．[0，+∞），[1，+∞）
6．已知f（x）是定义在[0，+∞）上单调递增的函数，则满足的x取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．函数y=﹣x2+1的单调递增区间为（ ）
A．（﹣∞，0]
B．[0，+∞）
C．（0，+∞）
D．（﹣∞，+∞）
二．填空题（共4小题）
8．函数y=（k+2）x+1在实数集上是增函数，则k的范围是
．
9．函数的单调递增区间为
．
10．根据图象写出函数y=f（x）的单调区间：增区间
；减区间：
．
11．一批设备价值1万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低50%，则3年后这批设备的价值为
（万元）（用数字作答）．
三．解答题（共3小题）
12．某工厂第三年产量比第一年增长21%，问平均每年比上一年增长百分之几？又第一年的产量是第三年的产量的百分之几？（精确到1%）
13．画出下列函数的图象，并写出它的定义域、值域、单调区间、最大最小值．
（1）y=2|x|﹣1；
（2）y=|2x﹣1|；
（3）y=x2﹣4|x|+3；
（4）y=|x2﹣4x+3|．
14．判断函数y=x+的单调性并证明．函数的应用
知识讲解
一、常见的函数模型
1.一次函数模型：（、为常数，）；
2.反比例函数模型：（、为常数，）；
3.二次函数模型：（、、为常数，）；
4.指数函数模型：f（x）＝abx＋c（、、为常数，，，）；
5.对数函数模型：（、、为常数，，）；
说明：随着新课标的实施，指数、对数函数模型将会起到越来越重要的作用，在高考的舞台上将会扮演愈来愈重要的角色．
6.幂函数模型：（、、为常数，，）；
7.分段函数模型：这个模型实际是以上两种或多种模型的综合，因此应用也十分广泛．
二、数学建模
含义：数学建模是运用数学思想、方法和知识解决实际问题的过程．
可用框图表示为
三种函数增长性的比较
类型：指数函数，对数函数，幂函数
1.在区间上，尽管函数，和都是增函数．但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上．随着的增大，的增长速度越来越快．会超过并远远大于的增长速度，而的增长速度则会越来越慢．因此，总会存在一个，当时，就有．
2.在区间上，尽管函数，和都是减函数．但它们的递减速度不同，而且不在同一个“档次”上．随着的增大，的递减速度越来越快．会超过并远远大于的递减速度，而的递减速度则会越来越慢．因此，总会存在一个，当时，就有．
典型例题
一．选择题（共8小题）
1．计算机中常用十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A～F共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如表：
16进制
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
10进制
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
例如，用十六进制表示：E+D=1B，则A×B=（ ）
A．6E
B．72
C．5F
D．B0
【解答】解：由表，10×11=110，
110÷16商是6余数是14，
故A×B=6E
应选A．
2．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品（ ）
A．60件
B．80件
C．100件
D．120件
【解答】解：根据题意，该生产x件产品的生产准备费用与仓储费用之和是=
这样平均每件的生产准备费用与仓储费用之和为（x为正整数）
由基本不等式，得
当且仅当时，f（x）取得最小值、
可得x=80时，每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小
故选：B．
3．某宾馆有n（n∈N
）间标准相同的客房，客房的定价将影响入住率．经调查分析，得出每间客房的定价与每天的入住率的大致关系如下表：
每间客房的定价
220元
200元
180元
160元
每天的住房率
50%
60%
70%
75%
对每间客房，若有客住，则成本为80元；若空闲，则成本为40元．要使此宾馆每天的住房利润最高，则每间客房的定价大致应为（ ）
A．220元
B．200元
C．180元
D．160元
【解答】解：A、当每间客房的定价为220元时，有客住的房间数为，则住房利润为（220﹣80）×﹣40×=50n；
B、当每间客房的定价为220元时，有客住的房间数为0.6n，则住房利润为（200﹣80）×0.6n﹣40×0.4n=56n；
C、当每间客房的定价为180元时，有客住的房间数为0.7n，则住房利润为（180﹣80）×0.7n﹣40×0.3n=58n；
D、当每间客房的定价为160元时，有客住的房间数为0.75n，则住房利润为（160﹣80）×0.75n﹣40×0.25n=50n；
综上，当每间客房的定价为180元时，宾馆每天的住房利润最高．
故选：C．
4．函数f（x）=的单调增区间是（ ）
A．（﹣∞，1）
B．（1，+∞）
C．（﹣∞，1），（1，+∞）
D．（﹣∞，﹣1），（1，+∞）
【解答】解：；
∴f（x）的图象是由y=的图象沿x轴向右平移1个单位，然后沿y轴向下平移一个单位得到；
而y=的单调增区间为（﹣∞，0），（0，+∞）；
∴f（x）的单调增区间是（﹣∞，1），（1，+∞）．
故选：C．
5．函数f（x）=|x|和g（x）=x（2﹣x）的递增区间依次是（ ）
A．（﹣∞，0]，（﹣∞，1]
B．（﹣∞，0]，[1，+∞）
C．[0，+∞），（﹣∞，1]
D．[0，+∞），[1，+∞）
【解答】解：f（x）=|x|=，∴函数f（x）的递增区间是[0，+∞），
g（x）=x（2﹣x）=﹣x2+2x=﹣（x﹣1）2+1，
对称轴是x=1，a=﹣1＜0
∴函数g（x）的单调递增区间为（﹣∞，1]．
故选：C．
6．已知f（x）是定义在[0，+∞）上单调递增的函数，则满足的x取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：∵f（x）是定义在[0，+∞）上单调递增的函数，
∴不等式等价为0≤2x﹣1＜，即≤x＜，
即不等式的解集为，
故选：C．
7．函数y=﹣x2+1的单调递增区间为（ ）
A．（﹣∞，0]
B．[0，+∞）
C．（0，+∞）
D．（﹣∞，+∞）
【解答】解：函数y=﹣x2+1是二次函数，它的图象是开口向上的抛物线，图象的对称轴为x=0，
故该函数的递增区间为（﹣∞，0]，
故选：A．
二．填空题（共4小题）
8．函数y=（k+2）x+1在实数集上是增函数，则k的范围是
（﹣2，+∞） ．
【解答】解：∵函数y=（k+2）x+1在实数集上是增函数，
当k+2=0时，y=1是常函数，不满足题意，
∴k+2＞0，∴k＞﹣2
故答案为：（﹣2，+∞）
9．函数的单调递增区间为 [﹣2，2] ．
【解答】解：令g（x）=﹣x2+4x+12=﹣（x﹣2）2+16，
令g（x）≥0，解得：﹣2≤x≤6，
而g（x）的对称轴是：x=2，
故g（x）在[﹣2，2）递增，在（2，6]递减，
故函数f（x）在[﹣2，2]递增，
故答案为：[﹣2，2]．
10．根据图象写出函数y=f（x）的单调区间：增区间 （﹣∞，﹣3），（﹣1，3） ；减区间： （﹣3，﹣1），（3，+∞） ．
【解答】解：函数的增区间体现在：在该区间函数图象上是从左往右看，图象成上升趋势，
反之是单调递减区间；
故增区间为（﹣∞，﹣3），（﹣1，3），减区间为（﹣3，﹣1），（3，+∞）
故答案为（﹣∞，﹣3），（﹣1，3）；（﹣3，﹣1），（3，+∞）．
11．一批设备价值1万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低50%，则3年后这批设备的价值为 （万元）（用数字作答）．
【解答】解：∵一批设备价值1万元，，每年比上一年价值降低50%，
∴3年后这批设备的价值为（1﹣50%）3=
故答案为：
三．解答题（共3小题）
12．某工厂第三年产量比第一年增长21%，问平均每年比上一年增长百分之几？又第一年的产量是第三年的产量的百分之几？（精确到1%）
【解答】解：设平均每年增长x%，
则得（1+x%）2=1+21%，x=10．
又，
故该工厂平均每年比上一年增长10%，第一年的产量是第三年的产量的83%．
13．画出下列函数的图象，并写出它的定义域、值域、单调区间、最大最小值．
（1）y=2|x|﹣1；
（2）y=|2x﹣1|；
（3）y=x2﹣4|x|+3；
（4）y=|x2﹣4x+3|．
【解答】解：先根据函数的解析式画出各个函数的图象，如图所示：
故（1）函数y=2|x|﹣1
的定义域为R；值域为[﹣1，+∞）；单调增区间为[0，+∞）、减区间为（﹣∞，0）；无最大最，最小值为﹣1．
（2）函数y=|2x﹣1|的定义域为R；值域为[0，+∞）；单调增区间为[，+∞）、减区间为（﹣∞，）；无最大最，最小值为0．
（3）函数y=x2﹣4|x|+3的定义域为R；值域为[﹣1，+∞）；单调增区间为[﹣2，0]、[2，+∞）；减区间为（﹣∞，﹣2）、（0，2）；无最大最，最小值为﹣1．
（4）y=|x2﹣4x+3|的定义域为R；值域为[0，+∞）；单调增区间为[3，+∞）、[1，2]；减区间为（﹣∞，1）、（2，3）；无最大最，最小值为．
14．判断函数y=x+的单调性并证明．
【解答】解：函数f（x）在（﹣∞，﹣1），（1，+∞）是增函数，在（﹣1，0），（0，1）是减函数．
理由如下：设x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=（x1+）﹣（x2+）=（x1﹣x2）+（﹣）
=（x1﹣x2）?，
∵x1＜x2，∴x1﹣x2＜0，
若x1＜x2＜﹣1，或1＜x1＜x2，则x1x2＞1，即有＞0，
∴f（x1）＜f（x2）．
若﹣1＜x1＜x2＜0，或0＜x1＜x2＜1，则0＜x1x2＜1，即有＜0，
∴f（x1）＞f（x2）．
∴函数f（x）在（﹣∞，﹣1），（1，+∞）是增函数，在（﹣1，0），（0，1）是减函数．
