函数的单调性
知识讲解
一、函数单调性的定义
1.定义
如果函数对区间内的任意，当时都有，则称在内是增函数；当时都有，则在内时减函数．
2.等价形式
设，那么在是增函数；
在是减函数；
在是减函数．
3.应用
即若在区间上递增（递减）且（）；
若在区间上递递减且．（）．
1.比较函数值的大小．
2.可用来解不等式．
3.求函数的值域或最值等
二、单调性判别
1.判断前注意
讨论函数单调性必须在其定义域内进行，因此要研究函数单调性必须先求函数的定义域，函数的单调区间是定义域的子集；
2.用于判断的方法
定义法：
用定义法证明函数单调性的一般步骤：
①取值：即设，是该区间内的任意两个值，且
②作差变形：通过因式分解、配方，有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形．
③定号：确定差（或）的符号，若符号不确定，可以进行分类讨论．
④下结论：即根据定义得出结论，注意下结论时不要忘记说明区间．
子区间法：如果在区间上是增（减）函数，那么在的任一非空子区间上也是增（减）函数；
图象法：
复合性质法：复合函数的单调性结论：“同增异减”
；
运算性质法：在公共定义域内
增函数增函数是增函数；
减函数减函数是减函数；
增函数减函数是增函数；
减函数增函数是减函数．
特殊函数：函数在上单调递增；在上是单调递减．
经典例题
一．选择题（共10小题）
1．函数f（x）的图象如图所示，则最大、最小值分别为（ ）
A．f（），f（﹣）
B．f（0），f（）
C．f（0），f（﹣）
D．f（0），f（3）
【解答】解：根据图象的最高点与最低点，可得函数的最大、最小值分别为f（0），f（﹣），
故选：C．
2．函数f（x）=在[1，+∞）上（ ）
A．有最大值无最小值
B．有最小值无最大值
C．有最大值也有最小值
D．无最大值也无最小值
【解答】解：f（x）=在[1，+∞）上单调递减，
当x=1时，f（x）有最大值，最大值为1，无最小值．
故选：A．
3．函数f（x）=的单调增区间是（ ）
A．（﹣∞，﹣3）
B．[2，+∞）
C．[0，2）
D．[﹣3，2]
【解答】解：函数有意义，则：x2+x﹣6≥0，解得：x≥2或x≤﹣3，
二次函数在区间（﹣∞，﹣3）上单调递减，在区间[2，+∞）上单调递增，
幂函数
在定义域内单调递增，
结合复合函数的单调性可得函数
的单调增区间是[2，+∞）．
故选：B．
4．已知函数f（x）=，则该函数的单调递增区间为（ ）
A．（﹣∞，1]
B．[﹣1，1）
C．（1，3]
D．[1，+∞）
【解答】解：由3+2x﹣x2≥0，
解得﹣1≤x≤3，
令t=3+2x﹣x2，
则y=，
由函数y在t∈[0，+∞）为增函数，
而二次函数t=3+2x﹣x2在[﹣1，1）为增函数，在[1，3]为减函数，
由复合函数的性质：同增异减，可得：
函数y=的递增区间是[﹣1，1）．
故选：B．
5．若定义域为（0，3）的函数f（x）是增函数，且f（2a﹣1）＜f（a），则a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，1）
B．（0，1）
C．（，1）
D．（1，3）
【解答】解：由题意得，，解得，
则a的取值范围是：（，1），
故选：C．
6．若函数f（x）是R上的减函数，则下列各式成立的是（ ）
A．f（a）＞f（2a）
B．f（a2）＜f（a）
C．f（a2+2）＜f（2a）
D．f（a2+1）＞f（a）
【解答】解：因为a和2a，a2和a无法确定大小关系，所以不能确定相应函数值的大小关系，故A、B错误；
因为a2+2﹣2a=（a﹣1）2+1＞0，所以a2+2＞2a，
又因函数f（x）是R上的减函数，所以f（a2+2）＜f（2a），故C正确；
因为a2+1﹣a=+＞0，所以a2+1＞a，
又因函数f（x）是R上的减函数，所以f（a2+1）＜f（a），故D错误．
故选：C．
7．f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，则不等式f（x）＞f[8（x﹣2）]的解集是（ ）
A．（0，+∞）
B．（0，2）
C．（2，+∞）
D．（2，）
【解答】解：由f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数得，?2＜x＜，
故选：D．
8．函数f（x）=|x2﹣6x+8|的单调递增区间为（ ）
A．[3，+∞）
B．（﹣∞，2），（4，+∞）
C．（2，3），（4，+∞）
D．（﹣∞，2]，[3，4]
【解答】解：函数f（x）=|x2﹣6x+8|，
当x2﹣6x+8＞0即x＞4或x＜2，
可得f（x）=x2﹣6x+8=（x﹣3）2﹣1，
即有f（x）在（4，+∞）递增；
当x2﹣6x+8＜0即2＜x＜4，
可得f（x）=﹣x2+6x﹣8=﹣（x﹣3）2+1，
即有f（x）在（2，3）递增；
则f（x）的增区间为（4，+∞），（2，3）．
故选：C．
9．设函数f（x）=则函数f（x）的单调递增区间为（ ）
A．（﹣∞，0），（1，2）
B．（0，1），（1，2）
C．（﹣∞，0]，[0，1]
D．（﹣∞，0）∪（1，2）
【解答】解：函数f（x）=，
当0≤x≤2时，f（x）=|x﹣1|的增区间为（1，2）；
当x＜0或x＞2时，f（x）=﹣x2+2x+1的对称轴为x=1，
增区间为（﹣∞，0），
即有函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，0），（1，2）．
故选：A．
10．已知函数则不等式f（x）≤x的解集为（ ）
A．[﹣1，3]
B．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）
C．[﹣3，1]
D．（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）
【解答】解：函数，
则不等式f（x）≤x，
可得或，
解得0≤x≤3或﹣1≤x＜0，
即为﹣1≤x≤3．
则不等式f（x）≤x的解集为[﹣1，3]，
故选：A．
二．填空题（共11小题）
11．根据图象写出函数y=f（x）的单调区间：增区间 （﹣∞，﹣3），（﹣1，3） ；减区间： （﹣3，﹣1），（3，+∞） ．
【解答】解：函数的增区间体现在：在该区间函数图象上是从左往右看，图象成上升趋势，
反之是单调递减区间；
故增区间为（﹣∞，﹣3），（﹣1，3），减区间为（﹣3，﹣1），（3，+∞）
故答案为（﹣∞，﹣3），（﹣1，3）；（﹣3，﹣1），（3，+∞）．
12．函数的单调递增区间是 [2，+∞） ．
【解答】解：；
∴f（x）在定义域[2，+∞）上单调递增；
即f（x）的单调递增区间是[2，+∞）．
故答案为：[2，+∞）．
13．函数的单调递减区间为 （﹣∞，﹣2），（﹣2，+∞） ．
【解答】解：函数的图象
可由函数y=的图象向左平移2个单位得到，
且函数y=的减区间为（﹣∞，0），（0，+∞），
则f（x）的单调递减区间为（﹣∞，﹣2），（﹣2，+∞），
故答案为：（﹣∞，﹣2），（﹣2，+∞）．
14．函数f（x）=的单调递减区间为 ．
【解答】解：函数f（x）的定义域为，且，
所以，函数f（x）的单调递减区间为（﹣和，
故答案为：和．
15．函数y=﹣|x﹣1|（x﹣5）的单调递增区间为 （1，3） ．
【解答】解：由题意知，y=﹣|x﹣1|（x﹣5）=，
由二次函数的单调性得，
所求的单调递增区间是：（1，3），
故答案为：（1，3）．
16．写出函数f（x）=﹣x2+2|x|的单调递增区间 （﹣∞，﹣1）和（0，1） ．
【解答】解：由题意，函数，
作出函数f（x）的图象如图所示：
由图象知，函数f（x）的单调递增区间是（﹣∞，﹣1）和（0，1）．
故答案为：（﹣∞，﹣1）和（0，1）．
17．二次函数y=x2+bx+c在区间[2，+∞）上是增函数，则实数b的取值集合是 {b|b≥﹣4} ．
【解答】解：二次函数y=x2+bx+c的对称轴为x=﹣，
由函数在区间[2，+∞）上是增函数，
可得﹣≤2，解得b≥﹣4．
故答案为：{b|b≥﹣4}．
18．已知f（x）在R上是增函数，且f（2）=0，则使f（x﹣2）＞0成立的x的取值范围是 （4，+∞） ．
【解答】解：∵f（x）在R上是增函数，且f（2）=0，要使f（x﹣2）＞0，
则有x﹣2＞2，即
x＞4，成立的x的取值范围是（4，+∞），
故答案为：（4，+∞）．
19．已知函数y=f（x）是R上的增函数，且f（m+3）≤f（5），则实数m的取值范围是 （﹣∞，2] ．
【解答】解：函数y=f（x）是R上的增函数，且f（m+3）≤f（5），
故m+3≤5，解得：m≤2，
故答案为：（﹣∞，2]．
20．f（x）是定义在[﹣1，1]上的函数，且在[﹣1，1]上单调递减，若f（m﹣1）＞f（2m﹣1），则实数m的取值范围是 （0，1] ．
【解答】解：f（x）是定义在[﹣1，1]上的函数，且在[﹣1，1]上单调递减，若f（m﹣1）＞f（2m﹣1），则有
，
求得
0＜m≤1，
故答案为：（0，1]．
21．函数y=f（x）的图象如图所示，则函数f（x）的单调递增区间是 （﹣∞，1]和（1，+∞） ．
【解答】解：由已知中函数y=f（x）的图象可得：
函数f（x）的单调递增区间是：（﹣∞，1]和（1，+∞），
故答案为：（﹣∞，1]和（1，+∞）
三．解答题（共3小题）
22．证明函数f（x）=x3在（﹣∞，+∞）上是增函数．
【解答】解：法一：定义法
任取（﹣∞，+∞）两个实数x1，x2，且x1＜x2，
∴x1﹣x2＜0，x12+x1x2+x22＞0
∴f（x1）﹣f（x2）=x13﹣x23=（x1﹣x2）（x12+x1x2+x22）＜0
∴f（x1）＜f（x2）
∴函数f（x）=x3在（﹣∞，+∞）上是增函数．
法二：导数法
∵f（x）=x3，
∴f′（x）=3x2，
∴在（﹣∞，+∞）上f′（x）≥0恒成立
∴函数f（x）=x3在（﹣∞，+∞）上是增函数．
23．用定义法证明函数在定义域内是减函数．
【解答】解：设在R上任取两个数x1，x2，且x1＞x2；
则f（x1）﹣f（x2）=﹣x1﹣（﹣x2）
=﹣+（x2﹣x1）
=+（x2﹣x1）
=（x1﹣x2）（﹣1）
∵x1＞x2；
∴x1﹣x2＞0，﹣1＜0
则f（x1）﹣f（x2）＜0
∴函数在定义域内是减函数．
24．已知函数，求证：f（x）在上是增函数．
【解答】证明：f'（x）=1﹣
当x∈时，f'（x）＞0
∴f（x）在上是增函数．函数的单调性
知识讲解
一、函数单调性的定义
1.定义
如果函数对区间内的任意，当时都有，则称在内是增函数；当时都有，则在内时减函数．
2.等价形式
设，那么在是增函数；
在是减函数；
在是减函数．
3.应用
即若在区间上递增（递减）且（）；
若在区间上递递减且．（）．
1.比较函数值的大小．
2.可用来解不等式．
3.求函数的值域或最值等
二、单调性判别
1.判断前注意
讨论函数单调性必须在其定义域内进行，因此要研究函数单调性必须先求函数的定义域，函数的单调区间是定义域的子集；
2.用于判断的方法
定义法：
用定义法证明函数单调性的一般步骤：
①取值：即设，是该区间内的任意两个值，且
②作差变形：通过因式分解、配方，有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形．
③定号：确定差（或）的符号，若符号不确定，可以进行分类讨论．
④下结论：即根据定义得出结论，注意下结论时不要忘记说明区间．
子区间法：如果在区间上是增（减）函数，那么在的任一非空子区间上也是增（减）函数；
图象法：
复合性质法：复合函数的单调性结论：“同增异减”
；
运算性质法：在公共定义域内
增函数增函数是增函数；
减函数减函数是减函数；
增函数减函数是增函数；
减函数增函数是减函数．
特殊函数：函数在上单调递增；在上是单调递减．
经典例题
一．选择题（共10小题）
1．函数f（x）的图象如图所示，则最大、最小值分别为（ ）
A．f（），f（﹣）
B．f（0），f（）
C．f（0），f（﹣）
D．f（0），f（3）
2．函数f（x）=在[1，+∞）上（ ）
A．有最大值无最小值
B．有最小值无最大值
C．有最大值也有最小值
D．无最大值也无最小值
3．函数f（x）=的单调增区间是（ ）
A．（﹣∞，﹣3）
B．[2，+∞）
C．[0，2）
D．[﹣3，2]
4．已知函数f（x）=，则该函数的单调递增区间为（ ）
A．（﹣∞，1]
B．[﹣1，1）
C．（1，3]
D．[1，+∞）
5．若定义域为（0，3）的函数f（x）是增函数，且f（2a﹣1）＜f（a），则a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，1）
B．（0，1）
C．（，1）
D．（1，3）
6．若函数f（x）是R上的减函数，则下列各式成立的是（ ）
A．f（a）＞f（2a）
B．f（a2）＜f（a）
C．f（a2+2）＜f（2a）
D．f（a2+1）＞f（a）
7．f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，则不等式f（x）＞f[8（x﹣2）]的解集是（ ）
A．（0，+∞）
B．（0，2）
C．（2，+∞）
D．（2，）
8．函数f（x）=|x2﹣6x+8|的单调递增区间为（ ）
A．[3，+∞）
B．（﹣∞，2），（4，+∞）
C．（2，3），（4，+∞）
D．（﹣∞，2]，[3，4]
9．设函数f（x）=则函数f（x）的单调递增区间为（ ）
A．（﹣∞，0），（1，2）
B．（0，1），（1，2）
C．（﹣∞，0]，[0，1]
D．（﹣∞，0）∪（1，2）
10．已知函数则不等式f（x）≤x的解集为（ ）
A．[﹣1，3]
B．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）
C．[﹣3，1]
D．（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）
二．填空题（共11小题）
11．根据图象写出函数y=f（x）的单调区间：增区间
；减区间：
．
12．函数的单调递增区间是
．
13．函数的单调递减区间为
．
14．函数f（x）=的单调递减区间为
．
15．函数y=﹣|x﹣1|（x﹣5）的单调递增区间为
．
16．写出函数f（x）=﹣x2+2|x|的单调递增区间
．
17．二次函数y=x2+bx+c在区间[2，+∞）上是增函数，则实数b的取值集合是
．
18．已知f（x）在R上是增函数，且f（2）=0，则使f（x﹣2）＞0成立的x的取值范围是
．
19．已知函数y=f（x）是R上的增函数，且f（m+3）≤f（5），则实数m的取值范围是
．
20．f（x）是定义在[﹣1，1]上的函数，且在[﹣1，1]上单调递减，若f（m﹣1）＞f（2m﹣1），则实数m的取值范围是
．
21．函数y=f（x）的图象如图所示，则函数f（x）的单调递增区间是
．
三．解答题（共3小题）
22．证明函数f（x）=x3在（﹣∞，+∞）上是增函数．
23．用定义法证明函数在定义域内是减函数．
24．已知函数，求证：f（x）在上是增函数．
