函数的奇偶性
知识讲解
一、函数奇偶性的定义
1.奇函数：设函数的定义域为，如果对于内的任意一个，都有，且，则这个函数叫做奇函数．
2.偶函数：设函数的定义域为，如果对于内的任意一个，都有，且，则这个函数叫做偶函数．
二、奇偶函数的图象特征
1.函数是偶函数的图象关于轴对称；
2.函数是奇函数的图象关于原点对称．
三、判断函数奇偶性的方法
1.定义法：
首先判断其定义域是否关于原点中心对称．
若不对称，则为非奇非偶函数；
若对称，则再判断或是否为恒等式．
定义的等价形式：，．
2.图象法
3.性质法：设，的定义域分别是，那么在它们的公共定义域上：
奇奇奇，偶偶偶，奇奇偶，偶偶偶，奇偶奇；
四、奇偶函数的性质
1.函数具有奇偶性其定义域关于原点对称；
2.函数是偶函数的图象关于轴对称；
3.函数是奇函数的图象关于原点对称．
4.奇函数在对称区间上的单调性相同；偶函数在对称区间上的单调性相反．
5.若奇函数的定义域包含0，则．
五、常见函数的奇偶性
1.正比例函数是奇函数；
2.反比例函数是奇函数；
3.函数是非奇非偶函数；
4.函数是偶函数；
5.常函数是偶函数；
6.对勾函数是奇函数；
经典例题
一．选择题（共4小题）
1．若f（x）=x2+6，x∈[﹣1，2]，则f（x）是（ ）
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数，又是偶函数
D．非奇非偶函数
2．下列判断正确的是（ ）
A．函数f（x）=是奇函数
B．函数f（x）=|x+1|+|x﹣1|是偶函数
C．函数f（x）=是非奇非偶函数
D．函数f（x）=1既是奇函数又是偶函数
3．函数y=f（x+2）为偶函数，y=f（x）在（2，+∞）上单调递减，且f（a）≤f（0），则实数a的取值范围是（ ）
A．a≥0
B．a≤0
C．0≤a≤4
D．a≤0或a≥4
4．对任意x，y∈R，函数f（x）都满足f（x+y）=f（x）+f（y）+2恒成立，则f（5）+f（﹣5）等于（ ）
A．0
B．﹣4
C．﹣2
D．2
二．填空题（共12小题）
5．按顺序写出下列函数的奇偶性
（1）y=
（2）y=
（3）y=+
（4）y=．
6．函数①y=x4②y=2x2﹣3③y=x+④y=x2，x∈[0，1]中偶函数的个数是
．
7．函数①y=；②f（x）=；③y=；④y=x2+2x；⑤y=x2+2|x|﹣1；⑥f（x）=为偶函数的序号为
．
8．求函数y=为奇函数的时，C=
．
9．已知f（x）=3x7+x5+ax3+bx﹣11，且f（﹣2）=﹣3，那么f（2）=
．
10．设f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x2+2x+m（m为常数），则f（﹣1）=
．
11．若偶函数f（x）在（﹣∞，﹣1]上是增函数，则下列关系式中成立的是
．
①f（﹣）＜f（﹣1）＜f（2）；
②f（﹣1）＜f（﹣）＜f（2）；
③f（2）＜f（﹣1）＜f（﹣）；
④f（2）＜f（﹣）＜f（﹣1）．
12．已知函数f（x）=x2+bx+1为R上的偶函数，b=
．
13．已知函数f（x）=，那么f（1）+f（2）+…+f（2009）+f（）+f（）+…+f（）=
．
14．函数的图象的对称中心是
．
15．已知定义域为（﹣1，1）的奇函数y=f（x）在（﹣1，1）上又是减函数，且满足f（2x﹣1）+f（）＜0，则x的取值范围为
．
三．解答题（共2小题）
16．设f（x）=，求f（﹣5）+f（﹣4）+…+f（5）+f（6）的值．
17．若f（x）在定义域R上是偶函数，且当x≥0时为增函数，求使f（π）＜f（a）的实数a的取值范围．函数的奇偶性
知识讲解
一、函数奇偶性的定义
1.奇函数：设函数的定义域为，如果对于内的任意一个，都有，且，则这个函数叫做奇函数．
2.偶函数：设函数的定义域为，如果对于内的任意一个，都有，且，则这个函数叫做偶函数．
二、奇偶函数的图象特征
1.函数是偶函数的图象关于轴对称；
2.函数是奇函数的图象关于原点对称．
三、判断函数奇偶性的方法
1.定义法：
首先判断其定义域是否关于原点中心对称．
若不对称，则为非奇非偶函数；
若对称，则再判断或是否为恒等式．
定义的等价形式：，．
2.图象法
3.性质法：设，的定义域分别是，那么在它们的公共定义域上：
奇奇奇，偶偶偶，奇奇偶，偶偶偶，奇偶奇；
四、奇偶函数的性质
1.函数具有奇偶性其定义域关于原点对称；
2.函数是偶函数的图象关于轴对称；
3.函数是奇函数的图象关于原点对称．
4.奇函数在对称区间上的单调性相同；偶函数在对称区间上的单调性相反．
5.若奇函数的定义域包含0，则．
五、常见函数的奇偶性
1.正比例函数是奇函数；
2.反比例函数是奇函数；
3.函数是非奇非偶函数；
4.函数是偶函数；
5.常函数是偶函数；
6.对勾函数是奇函数；
经典例题
一．选择题（共4小题）
1．若f（x）=x2+6，x∈[﹣1，2]，则f（x）是（ ）
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数，又是偶函数
D．非奇非偶函数
【解答】解：由于函数f（x）=x2+6，x∈[﹣1，2]，它的定义域不关于原点对称，故此函数是非奇非偶函数，
故选：D．
2．下列判断正确的是（ ）
A．函数f（x）=是奇函数
B．函数f（x）=|x+1|+|x﹣1|是偶函数
C．函数f（x）=是非奇非偶函数
D．函数f（x）=1既是奇函数又是偶函数
【解答】解：对于A．定义域为{x|x≠2}，不关于原点对称，不具奇偶性，则A错；
对于B．定义域R关于原点对称，且f（﹣x）=|﹣x+1|+|﹣x﹣1|=|x﹣1|+|x+1|=f（x），则为偶函数，则B对；
对于C．定义域R，且f（﹣x）==f（x），则为偶函数，则C错；
对于D．定义域R，f（﹣x）=1，且f（﹣x）=f（x），则为偶函数，则D错．
故选：B．
3．函数y=f（x+2）为偶函数，y=f（x）在（2，+∞）上单调递减，且f（a）≤f（0），则实数a的取值范围是（ ）
A．a≥0
B．a≤0
C．0≤a≤4
D．a≤0或a≥4
【解答】解：∵定义域为R的函数f（x）在（2，+∞）上单调递减，且y=f（x+2）为偶函数，
∴y=f（x+2）的图象关于y轴对称，
则函数f（x）的图象关于直线x=2对称，
则f（0）=f（4），
则f（x）在（﹣∞，2）上为增函数，
若f（a）≤f（0），
则a≤0或a≥4，
故选：D．
4．对任意x，y∈R，函数f（x）都满足f（x+y）=f（x）+f（y）+2恒成立，则f（5）+f（﹣5）等于（ ）
A．0
B．﹣4
C．﹣2
D．2
【解答】解：f（x+y）=f（x）+f（y）+2成立，
∴令x=1，y=0得f（1）=f（1）+f（0）+2，
则f（0）=﹣2；
令x=5，y=﹣5得
f（5﹣5）=f（5）+f（﹣5）+2=f（0），
即f（5）+f（﹣5）=f（0）﹣2=﹣2﹣2=﹣4，
故选：B．
二．填空题（共12小题）
5．按顺序写出下列函数的奇偶性 非奇非偶，奇函数，且奇且偶，偶函数
（1）y=
（2）y=
（3）y=+
（4）y=．
【解答】解：（1）∵，∴??﹣1≤x＜1
所以函数没有奇偶性
（2）∵∴x应满足，∴﹣1≤x＜0或0＜x≤1
∴f（x）=，∴f（﹣x）==
∴f（﹣x）=f（x），
所以函数是奇函数
（3）∵f（x）=+，∴，∴x=±1
∴f（x）=0，∴f（﹣x）=f（x），且f（﹣x）=﹣f（x）
函数即是奇函数又是偶函数
（4）∵f（x）=，∴x∈R∴f（﹣x）==
∴f（﹣x）=f（x）
函数是偶函数
6．函数①y=x4②y=2x2﹣3③y=x+④y=x2，x∈[0，1]中偶函数的个数是 2 ．
【解答】解：函数①y=x4为偶函数；
②y=2x2﹣3，满足f（﹣x）=f（x），为偶函数；
③y=x+，（x≠0），有f（﹣x）=﹣f（x），则为奇函数；
④y=x2，x∈[0，1]，定义域不关于原点对称，不为偶函数．
故答案为：2．
7．函数①y=；②f（x）=；③y=；④y=x2+2x；⑤y=x2+2|x|﹣1；⑥f（x）=为偶函数的序号为 ②，⑤ ．
【解答】解：①y=∵函数的定义域为[0，+∞），定义域关于原点不对称，∴f（x）既不是奇函数也不是偶函数；
②f（x）===f（﹣x），故为偶函数；
③=﹣，故为奇函数；
④（﹣x）2+2（﹣x）=x2﹣2x≠x2+2x，故不是偶函数；
⑤（﹣x）2+2|﹣x|﹣1=x2+2|x|﹣1，故为偶函数；
⑥f（﹣x）==﹣，故不是偶函数；
综上所述，②，⑤为偶函数．
故答案为：②，⑤
8．求函数y=为奇函数的时，C= 0 ．
【解答】解：∵函数y=为奇函数
∴f（﹣x）=﹣f（x）
即=，
即﹣x+c=﹣x﹣c
c=0
故答案为：0
9．已知f（x）=3x7+x5+ax3+bx﹣11，且f（﹣2）=﹣3，那么f（2）= ﹣19 ．
【解答】解：设g（x）=3x7+x5+ax3+bx，则f（x）=g（x）﹣11，
∵g（﹣x）=﹣3x7﹣x5﹣ax3﹣bx=﹣g（x），
∴f（2）=g（2）﹣11，f（﹣2）=g（﹣2）﹣11，
∴f（2）+f（﹣2）=﹣22，
∵f（﹣2）=﹣3，∴f（2）=﹣19．
故答案为：﹣19．
10．设f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x2+2x+m（m为常数），则f（﹣1）= ﹣3 ．
【解答】解：∵f（x）为定义在R上的奇函数，且x≥0时，f（x）=x2+2x+m．
有f（0）=0，解得m=0，则f（x）=x2+2x．
设x＜0，则﹣x＞0，
∴f（x）=﹣f（﹣x）=﹣[（﹣x）2﹣2x]=﹣x2+2x．
∴f（﹣1）=﹣（﹣1）2﹣2=﹣3．
故答案为：﹣3．
11．若偶函数f（x）在（﹣∞，﹣1]上是增函数，则下列关系式中成立的是 ④ ．
①f（﹣）＜f（﹣1）＜f（2）；
②f（﹣1）＜f（﹣）＜f（2）；
③f（2）＜f（﹣1）＜f（﹣）；
④f（2）＜f（﹣）＜f（﹣1）．
【解答】解：∵f（x）是偶函数，
∴f（﹣）=f（），f（﹣1）=f（1），f（﹣2）=f（2），
又f（x）在（﹣∝，﹣1]上是增函数，
∴f（﹣2）＜f（﹣）＜f（﹣1）
即f（2）＜f（﹣）＜f（﹣1）
故答案为：④．
12．已知函数f（x）=x2+bx+1为R上的偶函数，b= 0 ．
【解答】解：由已知，函数f（x）是偶函数，所以有f（﹣x）=f（x），即：
（﹣x）2+b（﹣x）+1=x2+bx+1，即：
2bx=0，因为x∈R，所以只有b=0
故答案为：0
13．已知函数f（x）=，那么f（1）+f（2）+…+f（2009）+f（）+f（）+…+f（）= 2008.5 ．
【解答】解：∵函数f（x）=，
∴f（x）+f（）=+=+=1，
∴f（1）+[f（2）+f（）]+[f（3）+f（）]+…+[f（2009）+f（）]
=+1×2008
=2008.5．
故答案为：2008.5．
14．函数的图象的对称中心是
（﹣2，﹣3） ．
【解答】解：因为==﹣3+即y+3=，可设y′=y+3，x′=x+2得到y′=
所以y′与x′成反比例函数关系且为奇函数，则对称中心为（0，0）即y′=0，x′=0得到y=﹣3，x=﹣2
所以函数y的对称中心为（﹣2，﹣3）
故答案为（﹣2，﹣3）
15．已知定义域为（﹣1，1）的奇函数y=f（x）在（﹣1，1）上又是减函数，且满足f（2x﹣1）+f（）＜0，则x的取值范围为 （，+∞） ．
【解答】解：∵f（x）是奇函数，且满足f（2x﹣1）+f（）＜0，
∴得f（2x﹣1）＜﹣f（）=f（﹣）
∵f（x）在（﹣1，1）上是单调递减函数，
∴有2x﹣1＞﹣，即有x＞．可得x的取值范围为（，+∞）．
故答案为：（，+∞）．
三．解答题（共2小题）
16．设f（x）=，求f（﹣5）+f（﹣4）+…+f（5）+f（6）的值．
【解答】解：∵f（x）=，
∴f（1﹣x）+f（x）=+
=+
=+=，
∴f（﹣5）+f（﹣4）+…+f（5）+f（6）
=6×=3．
17．若f（x）在定义域R上是偶函数，且当x≥0时为增函数，求使f（π）＜f（a）的实数a的取值范围．
【解答】解：∵f（x）在定义域R上是偶函数，且当x≥0时为增函数，
∴不等式f（π）＜f（a）等价为f（π）＜f（|a|），
则|a|＞π，即a＞π或a＜﹣π，
故实数a的取值范围是a＞π或a＜﹣π．
