北京市昌平区2020-2021学年高一下学期期末考试数学试题 Word版含答案

1153160011887200昌平区2020—2021学年第二学期高一年级期末质量抽测
数学试卷
2021.7
本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将答题卡收回.
第一部分（选择题 共50分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）
1. 在复平面内，复数false对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. false（ ）
A. false B. false C. false D. false
3. 已知角false终边经过点false，且false，则false（ ）
A. false B. false C. false D. false
4. 已知false中，false，false，false，则false（ ）
A. 2 B. false C. 4 D. false
5. 已知函数false的部分图象如图所示，则false，false分别是（ ）

A. false，false B. false，false
C. false，false D. false，false
6. 在false中，若false，则false（ ）
A. false B. false C. false D. false
7. 要得到函数false的图象，只需将函数false的图象（ ）
A. 向右平移false个单位长度 B. 向左平移false个单位长度
C. 向右平移false个单位长度 D. 向左平移false个单位长度
8. 已知正四棱锥的侧棱长为2，高为false.则该正四棱锥的表面积为（ ）
A. false B. false C. false D. false
9. 在平面直角坐标系false中，false，false，false，false是单位圆上的四段弧（如图），点false在其中一段上，角false是以false为始边，false为终边.则“点false在false上”是“false”的（ ）

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
10. 在棱长为1的正方体false中，false，false分别为false，false的中点，false为底面false的中心，点false在正方体的表面上运动，且满足false，则下列说法正确的是（ ）

A. 点false可以是棱false的中点 B. 线段false的最大值为false
C. 点false的轨迹是平行四边形 D. 点false轨迹的长度为false
第二部分（非选择题 共100分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
11. 函数false的定义域是___________.
12. 设false，复数false.若复数false是纯虚数，则false__________；若复数false在复平面内对应的点位于实轴上，则false__________.
13. 已知单位向量false，false满足false，则false与false夹角的大小为__________；false__________.
14. 已知false是平面false外的一条直线.给出下列三个论断：
①false；②false；③false.
以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________.
15. 已知false，则false__________.
16. 设向量false，false，函数false.若函数false的定义域为false，值域为false.给出下列四个结论：
①false； ②false； ③false； ④false.
则false的值可能是__________.（填上所有正确的结论的序号）
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 已知false，且false是第二象限角.
（Ⅰ）求false及false的值；
（Ⅱ）求false的值.
18. 已知向量false，false.
（Ⅰ）求false；
（Ⅱ）求向量false与向量false的夹角false的余弦值；
（Ⅲ）若false，且false，求向量false与向量false的夹角.
19. 在false中，false，false.再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：
（Ⅰ）false的大小；
（Ⅱ）false和false的值.
条件①：false；
条件②：false.
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.
20. 如图，在直四棱柱false中，false，false，false为false上一点，false，false.

（Ⅰ）求证：false；
（Ⅱ）求证：false平面false；
（Ⅲ）设平面false与棱false交于点false，确定点false的位置，并求出线段false的长度.
21. 已知函数false.
（Ⅰ）若false的最小正周期为false，求false的单调递增区间；
（Ⅱ）若false在false上恒成立，求实数false的取值范围；
（Ⅲ）若false，false，证明：存在无穷多个互不相同的正整数false，使得false.

昌平区2020—2021学年第二学期高一年级期末质量抽测
数学试卷参考答案及评分标准
2020.7
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）
1-5：ABACD 6-10：DCCAB
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
11. false 12. -1；1 13. false；false
14. 若false，false，则false.false
若false，false，则false.false
15. false 16. ②③④
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17. 解：（Ⅰ）已知false，且false是第二象限角.
所以false，false.
所以false，
false.
（Ⅱ）因为false
false
false
false
false.
18. 解：（Ⅰ）因为false，false，
所以false.
所以false.
（Ⅱ）因为false，
false，
false，
所以false.
（Ⅲ）因为false，
所以false.
即false.
所以false.
即false，
所以false.
因为false，
所以false.
19. 解：选择①：false.
（1）在false中，因为false，false，
所以由正弦定理得false.
因为false，
所以false.
所以false.
所以false.
（Ⅱ）因为false，
所以false.
所以false.
因为false，
所以false.
所以false
false
false.
法一：
所以false.
由正弦定理得false，即false.
因为false，
所以false.
法二：
因为false，
所以false.
因为false，
所以false.
所以false
false.
所以false.
所以false.
所以false.
（或false.即false）
所以false或false.
因为false，
所以false（舍）.
所以false.
解：选择②：false.
（Ⅰ）在false中，因为false，false，
所以由正弦定理得false.
在false中，false，
所以false.
所以false.
（Ⅱ）因为false，
所以false.
所以false.
因为false，
所以false.
所以false
false
false.
法一：
所以false.
因为false，
所以false.
由正弦定理得false，
所以false.
法二：
因为false，
所以false.
所以false.
所以false
false.
所以false.
20. 解：（Ⅰ）在直四棱柱false中，
因为false平面false，false平面false，
所以false.
因为false，false，
所以false平面false.
因为false平面false，
所以false.
（Ⅱ）法一：
因为false，false，false，false，
所以平面false平面false.
因为false平面false，
所以false平面false.
法二：
取false中点false，连接false.
因为false，false，false，
所以false且false.
所以false是平行四边形.
所以false且false.
在false上取点false，使false，连接false.
所以false且false.
所以false是平行四边形.
所以false且false.
所以false且false.
所以false是平行四边形.
所以false.
因为false平面false，false平面false，
所以false平面false.

（Ⅲ）法一：
延长false，false交于点false，连结false，延长false交false于点false，连接false.
因为false，false，false，
所以false，false分别为false，false的中点.
因为false，
所以false为false的中点.
所以false.

法二：
由（Ⅱ）法二，在平面false中作false，交false于点false，连接false.
所以false.
所以点false即为平面false与棱false的交点.
因为false为false中点，
所以false为false中点.
因为false，
所以false.

21. 解：（Ⅰ）因为false
false
false
false，
因为false的最小正周期为false，
所以false.
所以false.
因为函数false的单调递增区间为false，
由false，
得false.
所以false的单调递增区间为false.
（Ⅱ）由第（Ⅰ）问可知，false.
要使false在false上恒成立，只需false在false上恒成立.
因为false，false，
所以false.
当false时，即false时，false；
当false时，false.
所以要使false在false上恒成立，只需false，
即false.
所以false的取值范围是false.
（Ⅲ）要证明存在无穷多个互不相同的正整数false，使得false，就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数false，使得false，即false.
由false可知，存在false，使得false.
由正弦函数的性质可知，当false时，均有false.
因为false的周期为false，
所以当false时，均有false.
因为对任意的整数false，false，
因为false，
所以对任意的正整数false，都存在正整数false，使得false.
亦即存在无穷多个互不相同的正整数false，使得false.