2.2基本不等式
选择题
1．若，则的最小值为（
）
A．2
B．4
C．6
D．8
2．已知，，，则的最大值为（
）
A．1
B．
C．
D．
3.若正实数a，b满足，则下列说法正确的是
A．ab有最小值
B．有最小值
C．有最小值4
D．有最小值
4．若，则的最小值为（
）
A．-1
B．3
C．-3
D．1
5．用篱笆围一个面积为的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是（ ）
A．30
B．36
C．40
D．50
6．已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8,
则x＋2y的最小值是( )
A．3
B．4
C.
D.
7．设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0.则当取得最小值时，x＋2y－z的最大值为( )
A．0
B.
C．2
D.
8.《几何原本》中的几何代数法(用几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据,通过这一方法,很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明,并称之为“无字证明”.如图3－3－1所示,AB是半圆O的直径,点C是AB上一点(不同于A,B,O),点D在半圆O上,且CD⊥AB,CE⊥OD于E,设AC＝a,BC＝b,则该图形可以完成的“无字证明”为(
)
填空题
9．当时，的最大值为__________.
10、已知，，若不等式恒成立，则取最大值时， ．
11．如图，在半径为4(单位：cm)的半圆形(O为圆心)铁皮上取一块矩形材料ABCD，其顶点A，B在直径上，顶点C，D在圆周上，则矩形ABCD面积的最大值为________(单位：cm2)．
三、解答题
12．已知a＞0，b＞0，且4a＋b＝1，求ab的最大值；
（2）若正数x，y满足x＋3y＝5xy，求3x＋4y的最小值；
（3）已知x＜，求f（x）＝4x－2＋的最大值；
13、x，y，a，b均为正实数，x，y为变数，a，b为常数，且a＋b＝10，＋＝1，x＋y的最小值为18，求a，b的值．
14．某单位修建一个长方形无盖蓄水池，其容积为立方米，深度为米，池底每平方米的造价为元，池壁每平方米的造价为元，设池底长方形的长为米.
（1）用含的表达式表示池壁面积；
（2）当为多少米时，水池的总造价最低，最低造价是多少？2.2基本不等式
选择题
1．若，则的最小值为（
）
A．2
B．4
C．6
D．8
【答案】C
【解析】∵（当且仅当n＝3时等号成立）故选：C．
2．已知，，，则的最大值为（
）
A．1
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为，，，所以有，当且仅当时取等号，故本题选D.
3.若正实数a，b满足，则下列说法正确的是
A．ab有最小值
B．有最小值
C．有最小值4
D．有最小值
【答案】C
【解析】，，且；；
；有最大值，选项A错误；
，，即有最大值，B项错误.
，有最小值4，C正确；
,的最小值是，不是，D错误．
4．若，则的最小值为（
）
A．-1
B．3
C．-3
D．1
【答案】A
【解析】，当且仅当时等号成立，故选A.
5．用篱笆围一个面积为的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是（ ）
A．30
B．36
C．40
D．50
【答案】C
【解析】设矩形的长为，则宽为，设所用篱笆的长为，所以有，根据基本不等式可知：，（当且仅当时，等号成立，即时，取等号）故本题选C.
6．已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8,
则x＋2y的最小值是( )
A．3
B．4
C.
D.
【答案】B
【解析】解法一：∵x＋2y＋2xy＝8，∴y＝>0.∴0－2＝4.
当且仅当x＋1＝，即x＝2时，取“＝”号，
此时x＝2，y＝1.
解法二：由x＋2y＋2xy＝8得(x＋1)(2y＋1)＝9，
又x＋2y＝x＋1＋2y＋1－2≥2－2＝4，当且仅当x＋1＝2y＋1时“＝”成立，
又x＋2y＋2xy＝8，∴x＝2，y＝1时，取“＝”．
7．设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0.则当取得最小值时，x＋2y－z的最大值为( )
A．0
B.
C．2
D.
【答案】C
【解析】＝＝＋－3≥2－3＝1，当且仅当x＝2y时等号成立，因此z＝4y2－6y2＋4y2＝2y2，所以x＋2y－z＝4y－2y2＝－2(y－1)2＋2≤2.
8.《几何原本》中的几何代数法(用几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据,通过这一方法,很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明,并称之为“无字证明”.如图3－3－1所示,AB是半圆O的直径,点C是AB上一点(不同于A,B,O),点D在半圆O上,且CD⊥AB,CE⊥OD于E,设AC＝a,BC＝b,则该图形可以完成的“无字证明”为(
)
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】根据圆中弦长关系，可得不等式：.
【详解】由，可得半圆的半径，易得
，
，，
.故选
填空题
9．当时，的最大值为__________.
【答案】-3.
【解析】当时，
又，,故答案为：-3
10、已知，，若不等式恒成立，则取最大值时， ．
【答案】
【解析】利用分离常数法和基本不等式求出的最大值，以及取最大值时与的关系，再计算的值．
【详解】，时，不等式可化为，
即；
又，当且仅当时取“”，
所以，且取最大值时，此时．
故答案为．
【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值的应用问题，也考查了不等式恒成立问题，是基础题．利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.
11．如图，在半径为4(单位：cm)的半圆形(O为圆心)铁皮上取一块矩形材料ABCD，其顶点A，B在直径上，顶点C，D在圆周上，则矩形ABCD面积的最大值为________(单位：cm2)．
【答案】16
【解析】如图所示，连接OC，设OB＝x(0三、解答题
12．已知a＞0，b＞0，且4a＋b＝1，求ab的最大值；
（2）若正数x，y满足x＋3y＝5xy，求3x＋4y的最小值；
（3）已知x＜，求f（x）＝4x－2＋的最大值；
【答案】（1）的最大值；（2）的最小值为5；
（3）函数的最大值为
【解析】（1）
,
当且仅当,时取等号，故的最大值为
（2）
，
当且仅当即时取等号
（3）
当且仅当,即时,上式成立,故当时,
函数的最大值为.
13、x，y，a，b均为正实数，x，y为变数，a，b为常数，且a＋b＝10，＋＝1，x＋y的最小值为18，求a，b的值．
【答案】
或
【解析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．
【详解】∵x＋y＞0，a＞0，b＞0且＋＝1，
∴x＋y＝(x＋y)
＝a＋b＋＋≥a＋b＋2＝a＋b＋2＝(＋)2，
当且仅当时取等号．
此时(x＋y)min＝(＋)2＝18，即a＋b＋2＝18.
又a＋b＝10，联立
解得
或
14．某单位修建一个长方形无盖蓄水池，其容积为立方米，深度为米，池底每平方米的造价为元，池壁每平方米的造价为元，设池底长方形的长为米.
（1）用含的表达式表示池壁面积；
（2）当为多少米时，水池的总造价最低，最低造价是多少？
【答案】（1）；（2）当米时，最低造价是元.
【解析】（1）由题意得：池底面积为平方米，池底长方形的宽为米
（2）设总造价为元，则：
化简得：
因为，当且仅当，即时取等号
即当米时，最低造价是元
