2021-2022学年北师大版八年级数学上册第一章勾股定理单元测试卷（Word版，附答案解析）

2021-2022学年北师大新版八年级上册数学《第1章
勾股定理》单元测试卷
一．选择题
1．下列四组数据中，不能作为直角三角形的三边长的是（　　）
A．3，4，6
B．7，24，25
C．6，8，10
D．9，12，15
2．已知a、b、c为△ABC的三边，且满足（a﹣b）（a2+b2﹣c2）＝0，则△ABC是（　　）
A．等边三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
3．下列各组数据中，不是勾股数的是（　　）
A．3，4，5
B．7，24，25
C．8，15，17
D．5，6，9
4．如图是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸（单位：mm），可以计算出两圆孔中心A和B的距离为（　　）mm．
A．120
B．135
C．30
D．150
5．在平面直角坐标系中，点P（3，4）到原点的距离是（　　）
A．3
B．4
C．5
D．±5
6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4．分别以AC，BC为直径作半圆，面积分别记为S1，S2，则S1+S2的值等于（　　）
A．2π
B．3π
C．4π
D．8π
7．如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC＝6，BC＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（　　）
A．76
B．72
C．68
D．52
8．历史上对勾股定理的一种证法采用了下列图形：其中两个全等的直角三角形边AE、EB在一条直线上．证明中用到的面积相等关系是（　　）
A．S△EDA＝S△CEB
B．S△EDA+S△CEB＝S△CDE
C．S四边形CDAE＝S四边形CDEB
D．S△EDA+S△CDE+S△CEB＝S四边形ABCD
9．下列各组数是勾股数的一组是（　　）
A．7，24，25
B．32，42，52
C．1.5，2，2.5
D．
10．如图，一棵大树在离地面3m，5m两处折成三段，中间一段AB恰好与地面平行，大树顶部落在离大树底部6m处，则大树折断前的高度是（　　）
A．9m
B．14m
C．11m
D．10m
二．填空题
11．写出一组全是偶数的勾股数是　
　．
12．观察下列一组数：
列举：3、4、5，猜想：32＝4+5；
列举：5、12、13，猜想：52＝12+13；
列举：7、24、25，猜想：72＝24+25；
…
列举：13、b、c，猜想：132＝b+c；
请你分析上述数据的规律，结合相关知识求得b＝　
　，c＝　
　．
13．直角三角形两直角边长分别为3和4，则它斜边上的高为　
　．
14．若一个三角形的三边满足c2﹣a2＝b2，则这个三角形是　
　．
15．在如图所示的方格中，连接格点AB、AC，则∠1+∠2＝　
　度．
16．在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1米，阵风吹来，红莲被吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，则这里水深是　
　m．
17．有一块土地的形状如图所示，∠B＝∠D＝90°，AB＝20m，BC＝15m，CD＝7m，则这块土地的面积为　
　．
18．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积为16，小正方形的面积为3，直角三角形的两直角边分别为a和b，那么（a+b）2的值为　
　．
19．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是线段AB的中点，点E是线段BC上的一个动点，若AC＝6，BC＝8，则DE长度的取值范围是　
　．
20．如图，“赵爽弦图”由4个全等的直角三角形所围成，在Rt△ABC中，AC＝b，BC＝a，∠ACB＝90°，若图中大正方形的面积为42，小正方形的面积为5，则（a+b）2的值为　
　．
三．解答题
21．如图，已知四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，求四边形ABCD的面积．
22．如图，在四边形ABCD中，AB＝20cm，BC＝15cm，CD＝7cm，AD＝24cm，∠ABC＝90°．
（1）求∠ADC的度数；
（2）求出四边形ABCD的面积．
23．著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为c2），也可以表示为4×ab+（a﹣b）2，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2+b2＝c2．
（1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理．
（2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路CH，且CH⊥AB．测得CH＝1.2千米，HB＝0.9千米，求新路CH比原路CA少多少千米？
（3）在第（2）问中若AB≠AC时，CH⊥AB，AC＝4，BC＝5，AB＝6，设AH＝x，求x的值．
24．已知：整式A＝（n2﹣1）2+（2n）2，整式B＞0．
尝试
化简整式A．
发现
A＝B2，求整式B．
联想
由上可知，B2＝（n2﹣1）2+（2n）2，当n＞1时，n2﹣1，2n，B为直角三角形的三边长，如图．填写下表中B的值：
直角三角形三边
n2﹣1
2n
B
勾股数组Ⅰ
/
8
　
　
勾股数组Ⅱ
35
/
　
　
25．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AD＝12，BD＝16，CD＝5．
求：（1）△ABC的周长；
（2）判断△ABC是否是直角三角形？为什么？
26．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝2，CD＝3，DA＝1，且AB⊥BC于B．
求（1）∠BAD的度数；
（2）四边形ABCD的面积．
27．如图，在△ABD中，AC⊥BD于C，点E为AC上一点，连接BE、DE，DE的延长线交AB于F，已知DE＝AB，∠CAD＝45°．
（1）求证：DF⊥AB；
（2）利用图中阴影部分面积完成勾股定理的证明，已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，求证：a2+b2＝c2．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．解：A、32+42≠62，不能组成直角三角形，符合题意；
B、72+242＝252，能组成直角三角形，不符合题意；
C、62+82＝102，能组成直角三角形，不符合题意；
D、92+122＝152，能组成直角三角形，不符合题意．
故选：A．
2．解：∵（a﹣b）（a2+b2﹣c2）＝0，
∴a﹣b＝0，或a2+b2﹣c2＝0，
即a＝b或a2+b2＝c2，
∴△ABC的形状为等腰三角形或直角三角形．
故选：D．
3．解：A、32+42＝52，是勾股数；
B、72+242＝252，是勾股数；
C、82+152＝172，是勾股数；
D、52+62≠92，不是勾股数．
故选：D．
4．解：如图，在Rt△ABC中，∵AC＝150﹣60＝90，BC＝180﹣60＝120，
∴AB＝＝150（mm），
∴两圆孔中心A和B的距离为150mm．
故选：D．
5．解：∵点P（3，4），
∴点P到原点的距离是＝5．
故选：C．
6．解：∵S1＝π（）2＝πAC2，S2＝πBC2，
∴S1+S2＝π（AC2+BC2）＝πAB2＝2π．
故选：A．
7．解：依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x，则
x2＝122+52＝169
所以x＝13
所以“数学风车”的周长是：（13+6）×4＝76．
故选：A．
8．解：∵由S△EDA+S△CDE+S△CEB＝S四边形ABCD．
可知ab+c2+ab＝（a+b）2，
∴c2+2ab＝a2+2ab+b2，整理得a2+b2＝c2，
∴证明中用到的面积相等关系是：S△EDA+S△CDE+S△CEB＝S四边形ABCD．
故选：D．
9．解：A、∵72+242＝252，
∴7、24、25是一组勾股数，故本选项符合题意；
B、∵（32）2+（42）2≠（52）2，
∴32、42、52不是一组勾股数，故本选项不符合题意；
C、∵1.5和2.5不是正整数，
∴1.5、2、2.5不是一组勾股数，故本选项不符合题意；
D、∵和不是正整数，
∴、、不是一组勾股数，故本选项不符合题意；
故选：A．
10．解：如图，作BD⊥OC于点D，
由题意得：AO＝BD＝3m，AB＝OD＝2m，
∵OC＝6m，
∴DC＝4m，
∴由勾股定理得：BC＝＝＝5（m），
∴大树的高度为5+5＝10（m），
故选：D．
二．填空题
11．解：∵62+82＝102，
∴全是偶数的勾股数是6，8，10，
故答案为：6，8，10．
12．解：在32＝4+5中，4＝，5＝；
在52＝12+13中，12＝，13＝；
…
则在13、b、c中，b＝＝84，c＝＝85．
13．解：设斜边长为c，高为h．
由勾股定理可得：c2＝32+42，
则c＝5，
直角三角形面积S＝×3×4＝×c×h
可得h＝，
故答案为：．
14．解：∵c2﹣a2＝b2，
∴a2+b2＝c2，
∴此三角形是直角三角形．
15．解：由勾股定理得，AD2＝22+12＝5，DE2＝22+12＝5，AE2＝32+12＝10，
则AD2+DE2＝AE2，
∴△ADE为等腰直角三角形，
∴∠DAE＝45°，
∴∠GAD+∠EAF＝90°﹣45°＝45°，
故答案为：45．
16．解：如图，AD是红莲高出水面部分，即AD＝1，B是红莲入泥处（根部）．
设BD＝x，则BA＝1+x，
所以BC＝AB＝1+x，
在Rt△BCD中，CD2+BD2＝BC2，
即22+x2＝（1+x）2，
4+x2＝1+2x+x2，
2x＝3
解得：x＝．
即这里的水深m．
故答案为：．
17．解：连接AC，将四边形分割成两个三角形，其面积为两个三角形的面积之和，
在Rt△ABC中，AC为斜边，
则AC＝＝＝25（m），
在Rt△ACD中，AC为斜边
则AD＝＝═24（m），
四边形ABCD面积S＝AB×BC+AD×CD＝×20×25+×7×24＝234（m2）．
答：此块地的面积为234平方米．
故答案为：234m2．
18．解：大正方形的面积为16，得到它的边长为4，
即得a2+b2＝42＝16，
由题意4×ab+3＝16，
2ab＝13，
所以（a+b）2＝a2+2ab+b2＝16+13＝29，
故答案为：29．
19．解：当E与C或重合时，DE最长，
在Rt△ABC中，AB＝，
∵点D是线段AB的中点，
∴CD＝5，
当DE⊥BC时，DE最短，DE＝，
所以DE长度的取值范围是3≤DE≤5，
故答案为：3≤DE≤5
20．解：由图可知，（b﹣a）2＝5，
4×ab＝42﹣5＝37，
∴2ab＝37，
（a+b）2＝（b﹣a）2+4ab＝5+2×37＝79．
故答案为79．
三．解答题
21．解：连接AC，如图所示：
∵∠B＝90°，
∴△ABC为直角三角形，
又∵AB＝3，BC＝4，
∴根据勾股定理得：AC＝＝5，
又∵CD＝12，AD＝13，
∴AD2＝132＝169，CD2+AC2＝122+52＝144+25＝169，
∴CD2+AC2＝AD2，
∴△ACD为直角三角形，∠ACD＝90°，
则S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD＝AB?BC+AC?CD＝×3×4+×5×12＝36．
故四边形ABCD的面积是36．
22．解：（1）连接AC，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，
∵AB＝20，BC＝15，
∴由勾股定理可得：AC＝＝＝25；
∵在△ADC中，CD＝7，AD＝24，
∴CD2+AD2＝AC2，
∴∠ADC＝90°；
（2）由（1）知，∠ADC＝90°，
∴四边形ABCD的面积＝S△ABC+S△ACD＝+＝234（cm2）．
23．解：（1）梯形ABCD的面积为（a+b）（a+b）＝a2+ab+b2，
也可以表示为ab+ab+c2，
∴ab+ab+c2＝a2+ab+b2，
即a2+b2＝c2；
（2）∵CA＝x，
∴AH＝x﹣0.9，
在Rt△ACH中，CA2＝CH2+AH2，
即x2＝1.22+（x﹣0.9）2，
解得x＝1.25，
即CA＝1.25，
CA﹣CH＝1.25﹣1.2＝0.05（千米），
答：新路CH比原路CA少0.05千米；
（3）设AH＝x，则BH＝6﹣x，
在Rt△ACH中，CH2＝CA2﹣AH2，
在Rt△BCH中，CH2＝CB2﹣BH2，
∴CA2﹣AH2＝CB2﹣BH2，
即42﹣x2＝52﹣（6﹣x）2，
解得：x＝．
24．解：尝试：A＝（n2﹣1）2+（2n）2＝n4﹣2n2+1+4n2＝n4+2n2+1，
发现∵n4+2n2+1＝（n2+1）2，A＝B2，B＞0，
∴B＝n2+1，
当2n＝8时，n＝4，∴n2+1＝42+1＝17；
当n2﹣1＝35时，n2+1＝37．
故答案为：17；37．
25．解：（1）在Rt△ABD和Rt△ACD中，
根据勾股定理得：AB2＝AD2+BD2，AC2＝AD2+CD2，
又AD＝12，BD＝16，CD＝5，
∴AB＝20，AC＝13，
△ABC的周长＝AB+AC+BC＝AB+AC+BD+DC＝20+13+16+5＝54．
（2）∵AB＝20，AC＝13，BC＝21，
AB2+AC2≠BC2，
∴△ABC不是直角三角形．
26．解：（1）连接AC，
∵∠B＝90°，AB＝BC＝2，
∴AC＝＝2，∠BAC＝45°，
又∵CD＝3，DA＝1，
∴AC2+DA2＝8+1＝9，CD2＝9，
∴AC2+DA2＝CD2，
∴△ACD是直角三角形，
∴∠CAD＝90°，
∴∠BAD＝45°+90°＝135°．
（2）∴四边形ABCD的面积
＝△ABC的面积+△ACD的面积
＝×2×2+×1×2＝2+．
27．解：（1）∵AC⊥BD，∠CAD＝45°，
∴AC＝DC，∠ACB＝∠DCE＝90°，
在Rt△ABC与Rt△DEC中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DEC（HL），
∴∠BAC＝∠EDC，
∵∠EDC+∠CED＝90°，∠CED＝∠AEF，
∴∠AEF+∠BAC＝90°，
∴∠AFE＝90°，
∴DF⊥AB．
（2）∵S△BCE+S△ACD＝S△ABD﹣S△ABE，
∴a2+b2＝?c?DF﹣?c?EF＝?c?（DF﹣EF）＝?c?DE＝c2，
∴a2+b2＝c2．