2021-2022学年青岛新版九年级上册数学《第1章 图形的相似》单元测试卷（word版含解析）

2021-2022学年青岛新版九年级上册数学《第1章
图形的相似》单元测试卷
一．选择题
1．如图所示，长为8cm，宽为6cm的矩形中，截去一个矩形（图中阴影部分），如果剩下矩形与原矩形相似，那么剩下矩形的面积是（　　）
A．28cm2
B．27cm2
C．21cm2
D．20cm2
2．两个相似多边形一组对应边分别为3cm，4.5cm，那么它们的相似比为（　　）
A．
B．
C．
D．
3．已知△ABC和△DEF的相似比是1：2，则△ABC和△DEF的面积比是（　　）
A．2：1
B．1：2
C．4：1
D．1：4
4．已知两个直角三角形的三边长分别为3，4，m和6，8，n，且这两个直角三角形不相似，则m+n的值为（　　）
A．10+或5+2
B．15
C．10+
D．15+3
5．如图，∠1＝∠2，则下列各式不能说明△ABC∽△ADE的是（　　）
A．∠D＝∠B
B．＝
C．＝
D．∠E＝∠C
6．下列结论中，错误的有：（　　）
①所有的菱形都相似；
②放大镜下的图形与原图形不一定相似；
③等边三角形都相似；
④有一个角为110度的两个等腰三角形相似；
⑤所有的矩形不一定相似．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
7．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，则在下列五个条件中：①∠AED＝∠B；②DE∥BC；③＝；④AD?BC＝DE?AC；⑤∠ADE＝∠C，能满足△ADE∽△ACB的条件有（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
8．如图，在△ABC中，D、F、E分别为边BC、AB、AC上的一点，连接BE、FD，它们相交于点G，连接DE，若四边形AFDE是平行四边形，则下列说法正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
9．如图，?ABCD对角线AC与BD交于点O，且AD＝3，AB＝5，在AB延长线上取一点E，使BE＝AB，连接OE交BC于F，则BF的长为（　　）
A．
B．
C．
D．1
10．下列图形一定是相似图形的是（　　）
A．两个矩形
B．两个周长相等的直角三角形
C．两个正方形
D．两个等腰三角形
二．填空题
11．四边形ABCD和四边形A'B'C'D'是相似图形，点A、B、C、D分别与A'、B'、C'、D'对应，已知BC＝3，CD＝2.4，B'C′＝2，那么C′D'的长是　
　．
12．如图，△ADE和△ABC中，∠1＝∠2，请添加一个适当的条件　
　，使△ADE∽△ABC（只填一个即可）．
13．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，BG＝4，则△CEF的周长为　
　．
14．如图，边长分别为4和8的两个正方形ABCD和CEFG并排放在一起，连接BD并延长交EG于点T，交FG于点P，则GT的长为　
　．
15．如图，△ABC中，AB＝8cm，AC＝16cm，点P从A出发，以每秒1厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒2厘米的速度向A运动．其中一个动点到达端点时，另一个也相应停止运动．那么，当以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间是　
　．
16．如图，在Rt△ACB中，∠ABC＝90°，D为BC边的中点，BE⊥AD于点E，交AC于F，若AB＝4，BC＝6，则线段EF的长为　
　．
17．一个四边形的各边之比为1：2：3：4，和它相似的另一个四边形的最小边长为5cm，则它的最大边长为　
　cm．
18．若两个相似多边形面积比为4：9，则它们的周长比是　
　．
19．如图，平面直角坐标系中，已知点A（8，0）和点B（0，6），点C是AB的中点，点P在折线AOB上，直线CP截△AOB，所得的三角形与△AOB相似，那么点P的坐标是　
　．
20．如果两个相似三角形的相似比为1：4，那么它们的面积比为　
　．
三．解答题
21．如图，AB?AE＝AD?AC，且∠1＝∠2，求证：△ABC∽△ADE．
22．如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上一点连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B
（1）求证：△ADF∽△DEC；
（2）若AB＝8，AD＝6，AF＝4，求DE的长．
23．数学实践小组想利用镜子的反射测量池塘边一棵树的高度AB．测量和计算的部分步骤如下：
①如图，树与地面垂直，在地面上的点C处放置一块镜子，小明站在BC的延长线上，当小明在镜子中刚好看到树的顶点A时，测得小明到镜子的距离CD＝2米，小明的眼睛E到地面的距离ED＝1.5米；
②将镜子从点C沿BC的延长线向后移动10米到点F处，小明向后移动到点H处时，小明的眼睛G又刚好在镜子中看到树的顶点A，这时测得小明到镜子的距离FH＝3米；
③计算树的高度AB；
24．如图1，将A4纸2次折叠，发现第一次的折痕与A4纸较长的边重合，如图2，将1张A4纸对折，使其较长的边一分为二，沿折痕剪开，可得2张A5纸．
（1）A4纸较长边与较短边的比为　
　；
（2）A4纸与A5纸是否为相似图形？请说明理由．
25．如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、DC上，△ABE∽△DEF，AB＝6，AE＝9，DE＝2，求EF的长．
26．定义：顶点都在网格点上的四边形叫做格点四边形，端点都在网格点上的线段叫做格点线．如图1，在正方形网格中，格点线DE、CE将格点四边形ABCD分割成三个彼此相似的三角形．请你在图2、图3中分别画出格点线，将阴影四边形分割成三个彼此相似的三角形．
27．如图，点E是菱形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一个菱形AEFG，且菱形AEFG∽菱形ABCD，连接EB，GD．
（1）求证：EB＝GD；
（2）若∠DAB＝60°，AB＝2，AG＝，求GD的长．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．解：依题意，在矩形ABDC中截取矩形ABFE，
则矩形ABDC∽矩形FDCE，
则
设DF＝xcm，得到：
解得：x＝4.5，
则剩下的矩形面积是：4.5×6＝27cm2．
2．解：∵两个相似多边形一组对应边分别为3cm，4.5cm，
∴它们的相似比为：＝．
故选：A．
3．解：∵△ABC和△DEF的相似比是1：2，
∴△ABC和△DEF的面积比是1：4．
故选：D．
4．解：当3，4为直角边，6，8也为直角边时，此时两三角形相似，不合题意；
当三边分别为3，4，，和6，8，2，此时两三角形相似，不合题意舍去
当3，4为直角边，m＝5；则8为另一三角形的斜边，其直角边为：＝2，
故m+n＝5+2；
当6，8为直角边，n＝10；则4为另一三角形的斜边，其直角边为：＝，
故m+n＝10+；
故选：A．
5．解：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠BAE＝∠2+∠BAE，
即∠DAE＝∠BAC．
A和D符合有两组角对应相等的两个三角形相似；
B、对应边成比例但无法证明其夹角相等，故其不能推出两三角形相似；
C、符合两组对应边的比相等且夹角相等的两个三角形相似．
故选：B．
6．解：①：菱形的两组对角不一定分别对应相等，故所有的菱形不一定都相似；即：选项①错误．
②：放大镜下的图形与原图形只是大小不相等，但形状相同，所以它们一定相似；即：选项②错误．
③：等边三角形的三个内角相等，三条边都相等，故所有的等边三角形都相似；即：选项③正确
④：有一个角为110度的两个等腰三角形一定相似．因为它们的顶角均为110°，两锐角均为35°，根据“两内角对应相等的两个三角形相似”即可判定．故：选项④正确．
⑤：只有长与宽对应成比例的两个矩形相似，故选项⑤正确
故选：B．
7．解：①∠B＝∠AED，∠A＝∠A，则可判断△ADE∽△ACB，故①符合题意；
②DE∥BC，则△ADE∽△ABC，故②不符合题意，
③，且夹角∠A＝∠A，能确定△ADE∽△ACB，故③符合题意；
④由AD?BC＝DE?AC可得，此时不确定∠ADE＝∠ACB，故不能确定△ADE∽△ACB；
故④不符合题意，
⑤∠ADE＝∠C，∠A＝∠A，则可判断△ADE∽△ACB，故⑤符合题意；
故选：C．
8．解：A、∵四边形AFDE是平行四边形，
∴AE∥DF，DE∥AB，DE＝AF，
∴△BFG∽△EDG，
∴，
∴，故正确；
B、∵，，
∴，故错误；
C、∵DF∥AC，
∴，故错误；
D、∵，，
∴＝．故错误．
故选：A．
9．解：取AB的中点M，连接OM，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，OB＝OD，
∴OM∥AD∥BC，OM＝AD＝×3＝，
∴△EFB∽△EOM，
∴＝，
∵AB＝5，BE＝AB，
∴BE＝2，BM＝，
∴EM＝+2＝，
∴，
∴BF＝，
故选：A．
10．解：A、两个矩形，对应角相等，对应边不一定成比例，故不符合题意；
B、两个周长相等的直角三角形的对应角不一定相等，不符合题意；
C、两个正方形，形状相同，大小不一定相同，符合相似性定义，故符合题意；
D、两个等腰三角形顶角不一定相等，故不符合题意．
故选：C．
二．填空题
11．解：∵四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，
∴CD：C′D′＝BC：B′C′，
∵BC＝3，CD＝2.4，B'C′＝2，
∴C′D′＝1.6，
故答案为：1.6．
12．解：∵∠1＝∠2，
∴∠DAE＝∠BAC，
∴要使△ADE∽△ABC，则添加的一个条件可以是∠D＝∠B或∠E＝∠C或＝．
故答案为：∠D＝∠B或∠E＝∠C或＝．
13．解：∵在?ABCD中，AB＝CD＝6，AD＝BC＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，
∴∠BAF＝∠DAF，
∵AB∥DF，
∴∠BAF＝∠F，
∴∠F＝∠DAF，
∴△ADF是等腰三角形，AD＝DF＝9；
∵AD∥BC，
∴△EFC是等腰三角形，且FC＝CE．
∴EC＝FC＝9﹣6＝3，
∴AB＝BE．
∴在△ABG中，BG⊥AE，AB＝6，BG＝，
可得：AG＝2，
又∵BG⊥AE，
∴AE＝2AG＝4，
∴△ABE的周长等于16，
又∵?ABCD，
∴△CEF∽△BEA，相似比为1：2，
∴△CEF的周长为8．
故答案为8．
14．解：∵BD、GE分别是正方形ABCD，正方形CEFG的对角线，
∴∠ADB＝∠CGE＝45°，
∴∠GDT＝180°﹣90°﹣45°＝45°，
∴∠DTG＝180°﹣∠GDT﹣∠CGE＝180°﹣45°﹣45°＝90°，
∴△DGT是等腰直角三角形，
∵两正方形的边长分别为4，8，
∴DG＝8﹣4＝4，
∴GT＝×4＝2．
故答案为：2．
15．解：∵点P从A出发，以每秒1厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒2厘米的速度向A运动．
∴AP＝t，CQ＝2t，AQ＝16﹣2t，
∵∠BAC＝∠PAQ，且以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，
∴或，
∴或
∴t＝4或
故答案为：4或
16．解：过点D作DG∥BF交AC于点G，如右图所示，
∵D为BC边的中点，BC＝6，
∴BD＝3，
∵在Rt△ACB中，∠ABC＝90°，AB＝4，
∴AD＝＝5，
∵BE⊥AD于点E，交AC于F，
∴BE＝＝，
∵AB＝4，BE＝，∠AEB＝90°，
∴AE＝＝，
设DG＝x，则BF＝2x，EF＝2x﹣，
∵EF∥DG，
∴△AEF∽△ADG，
∴，
即，
解得，x＝，
∴EF＝2x﹣＝2×﹣＝，
故答案为：．
17．解：∵两个四边形相似，一个四边形的各边之比为1：2：3：4，
∴和它相似的多边形的对应边的比为1：2：3：4，
∵另一个四边形的最小边长为5cm，
∴最长边为4×5＝20cm，
故答案为：20．
18．解：∵两个相似多边形面积比为4：9，
∴两个相似多边形相似比为2：3，
∴两个相似多边形周长比为2：3，
故答案为：2：3．
19．解：当PC∥OA时，△BPC∽△BOA，
由点C是AB的中点，可得P为OB的中点，
此时P点坐标为（0，3）；
当PC∥OB时，△ACP∽△ABO，
由点C是AB的中点，可得P为OA的中点，
此时P点坐标为（4，0）；
当PC⊥AB时，如图，
∵∠CAP＝∠OAB，
∴Rt△APC∽Rt△ABO，
∴＝，
∵点A（8，0）和点B（0，6），
∴AB＝＝10，
∵点C是AB的中点，
∴AC＝5，
∴＝，
∴AP＝，
∴OP＝OA﹣AP＝8﹣＝，
此时P点坐标为（，0），
综上所述，满足条件的P点坐标为（0，3）、（4，0）、（，0）．
故答案为：（0，3）、（4，0）、（，0）
20．解：∵两个相似三角形的相似比为1：4，
∴它们的面积比为1：16．
故答案为1：16．
三．解答题
21．证明：如图，∵AB?AE＝AD?AC，
∴＝．
又∵∠1＝∠2，
∴∠2+∠BAE＝∠1+∠BAE，即∠BAC＝∠DAE，
∴△ABC∽△AED．
22．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠C+∠B＝180°，∠ADF＝∠DEC．
∵∠AFD+∠AFE＝180°，∠AFE＝∠B，
∴∠AFD＝∠C，
∴△ADF∽△DEC；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝8，
∵△ADF∽△DEC，
∴，
∴．
23．解：设AB＝x米，BC＝y米．
∵∠ABC＝∠EDC＝90°，∠ACB＝∠ECD
∴△ABC∽△EDC
∴＝，
∴＝，
∵∠ABF＝∠GHF＝90°，∠AFB＝∠GFH，
∴△ABF∽△GHF，
∴＝，
∴＝，
∴＝，
解得：y＝20，
把y＝20代入＝中，得x＝15，
∴树的高度AB为15米．
24．解：（1）如图1，
由折叠过程可以看到：第一次折叠，A与D重合，四边形ABDC为正方形，折痕BC为对角线，由勾股定理可得BC＝AB；第二次折叠，第一次的折痕与A4纸较长的边重合，即BC与较长边重合．所以，较长边＝AB．
∴A4纸较长边与较短边的比为：．
故答案为：．
（2）A4纸与A5纸是相似图形．理由：
∵A4纸较长边与较短边的比为：，
∴设A4纸较短边的长为a，则较长边为a．
∵由图2可知：A5纸的长边与A4纸的短边重合，短边等于A4纸的长边的一半，
∴A5纸的长边为a，短边为．
∴A5纸的长边与短边的比为：＝．
∴A4纸较长边与较短边的比＝A5纸的长边与短边的比．
又∵A4纸与A5纸的四个角均为直角，
∴A4纸与A5纸相似．
25．解：∵△ABE∽△DEF，AB＝6，AE＝9，DE＝2，
∴＝，即＝，解得DF＝3，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠D＝90°，
由勾股定理得：
EF＝＝＝．
26．解：如图所示
27．（1）证明：∵菱形AEFG∽菱形ABCD，
∴∠EAG＝∠BAD，
∴∠EAG+∠GAB＝∠BAD+∠GAB，
∴∠EAB＝∠GAD，
∵AE＝AG，AB＝AD，
∴△AEB≌△AGD（SAS），
∴EB＝GD；
（2）解：连接BD交AC于点P，则BP⊥AC，
∵∠DAB＝60°，
∴∠PAB＝30°，
∴BP＝AB＝1，
AP＝＝，AE＝AG＝，
∴EP＝2，
∴EB＝＝＝，
∴由（1）知GD＝EB＝．