2021年暑假自学八年级数学北师大版上册 《1.2一定是直角三角形吗》优生辅导训练 （word版含解析）

2021年北师大版八年级数学上册《1.2一定是直角三角形吗》
暑假自学优生辅导训练（附答案）
1．△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（　　）
A．∠A+∠B＝∠C B．∠A：∠B：∠C＝1：2：3
C．a2＝c2﹣b2 D．a：b：c＝3：4：6
2．若△ABC的三边a、b、c满足（a﹣b）2+|a2+b2﹣c2|＝0，则△ABC是（　　）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
3．下列四组线段中，能组成直角三角形的是（　　）
A．a＝1，b＝2，c＝3 B．a＝2，b＝3，c＝4
C．a＝2，b＝4，c＝5 D．a＝3，b＝4，c＝5
4．下列各组数中，是勾股数的为（　　）
A．1，1，2 B．1.5，2，2.5 C．7，24，25 D．6，12，13
5．如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC的形状为（　　）
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．以上答案都不对
6．如图，直线AB∥CD，GH平分∠CGF，GI平分∠DGF，且HG＝15cm，GI＝20cm，HI＝25cm，则直线AB与直线CD之间的距离是（　　）
A．10cm B．12cm C．13cm D．14cm
7．如图，已知四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝13，DA＝12，则四边形ABCD的面积等于　 　．
8．已知：如图，△ABC是边长3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止，当t＝　 　时，△PBQ是直角三角形．
9．如图所示，在△ABC中，AB：BC：CA＝3：4：5，且周长为36cm，点P从点A开始沿AB边向B点以每秒1cm的速度移动；点Q从点B沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动，如果同时出发，则过3秒时，△BPQ的面积为　 　cm2．
10．如图，在单位为1的正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是　 　．
11．如图，点A、B、C分别是正方体展开图的小正方形的顶点，则∠BAC的大小为　 　．
12．如图，AD＝8，CD＝6，∠ADC＝90°，AB＝26，BC＝24，该图形的面积等于　 　．
13．三角形的两边长分别为1cm和2cm，要使这个三角形是直角三角形，则第三条边长是　 　cm．
14．观察下列勾股数：
3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…：a，b，c．
根据你发现的规律，请写出：
（1）当a＝19时，b＝　 　，c＝　 　；
（2）当a＝2n+1时，求b、c的值；
（3）用（2）的结论判断15，111，112是否为一组勾股数，并说明理由．
15．如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，AC＝3，D是CA延长线上一点，AD＝5，BD＝4．求证：AB⊥BD．
16．如图，在△ABC中，AC＝21，BC＝13，D是AC边上一点，BD＝12，AD＝16，
（1）若E是边AB的中点，求线段DE的长；
（2）若E是边AB上的动点，求线段DE的最小值．
17．如图，正方形ABCD中，F为DC的中点，E为BC上一点，且，你能说明∠AFE是直角吗？
18．如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，点E是AD的中点，求CE的长．
19．如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，A，C，D三点在同一直线上，连接BD，AE，并延长AE交BD于F．
（1）求证：△ACE≌△BCD；
（2）直线AE与BD互相垂直吗？请证明你的结论．
20．如图，在四边形ABFC中，AC2＝AB2+BC2，CD⊥AD，AD2＝2AB2﹣CD2，连接EF．
（1）找出图中的所有直角三角形；
（2）求证：AB＝BC．
21．如图，方格中小正方形的边长为1，△ABC的三个顶点都在小正方形的格点上，求：
（1）△ABC的周长；
（2）请判断三角形ABC是否是直角三角形，并说明理由；
（3）△ABC的面积；
（4）点C到AB边的距离．
参考答案
1．解：A、∠A+∠B＝∠C，又∠A+∠B+∠C＝180°，则∠C＝90°，是直角三角形；
B、∠A：∠B：∠C＝1：2：3，又∠A+∠B+∠C＝180°，则∠C＝90°，是直角三角形；
C、由a2＝c2﹣b2，得a2+b2＝c2，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；
D、32+42≠62，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形．
故选：D．
2．解：∵（a﹣b）2+|a2+b2﹣c2|＝0，
∴a﹣b＝0，a2+b2﹣c2＝0，
解得：a＝b，a2+b2＝c2，
∴△ABC的形状为等腰直角三角形；
故选：C．
3．解：A、∵1+2＝3，∴不能构成三角形，故本选项错误；
B、∵22+32＝13≠42，∴不能构成直角三角形，故本选项错误；
C、∵22+42＝20≠52，∴不能构成直角三角形，故本选项错误；
D、∵32+42＝25＝52，∴能构成直角三角形，故本选项正确．
故选：D．
4．解：A、∵12+12≠22，∴不是勾股数，此选项错误；
B、1.5和2.5不是整数，此选项错误；
C、∵72+242＝252，∴是勾股数，此选项正确；
D、∵62+122≠132，∴不是勾股数，此选项错误．
故选：C．
5．解：∵正方形小方格边长为1，
∴BC＝＝2，
AC＝＝，
AB＝＝，
在△ABC中，
∵BC2+AC2＝52+13＝65，AB2＝65，
∴BC2+AC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形．
故选：A．
6．解：∵GH平分∠CGF，GI平分∠DGF，∠CGF+∠FGD＝180°，
∴∠HGF+∠FGI＝90°，
∵HG＝15cm，GI＝20cm，HI＝25cm，
∴△HGI的边HI的高＝，
即直线AB与直线CD之间的距离是12，
故选：B．
7．解：连接AC，
∵∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，
∴AC＝＝＝5，
在△ACD中，AC2+CD2＝25+144＝169＝AD2，
∴△ACD是直角三角形，
∴S四边形ABCD＝AB?BC+AC?CD＝×3×4+×5×12＝36．
故答案为：36．
8．解：根据题意得AP＝tcm，BQ＝tcm，
△ABC中，AB＝BC＝3cm，∠B＝60°，
∴BP＝（3﹣t）cm，
△PBQ中，BP＝3﹣t，BQ＝t，若△PBQ是直角三角形，则
∠BQP＝90°或∠BPQ＝90°，
当∠BQP＝90°时，BQ＝BP，
即t＝（3﹣t），t＝1（秒），
当∠BPQ＝90°时，BP＝BQ，
3﹣t＝t，t＝2（秒）．
答：当t＝1秒或t＝2秒时，△PBQ是直角三角形．
故答案为：1或2．
9．解：设AB为3xcm，BC为4xcm，AC为5xcm，
∵周长为36cm，
AB+BC+AC＝36cm，
∴3x+4x+5x＝36，
解得x＝3，
∴AB＝9cm，BC＝12cm，AC＝15cm，
∵AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，
过3秒时，BP＝9﹣3×1＝6（cm），BQ＝2×3＝6（cm），
∴S△PBQ＝BP?BQ＝×（9﹣3）×6＝18（cm2）．
故答案为：18．
10．解：AB2＝22+22＝8，
CD2＝42+22＝20，
EF2＝12+22＝5，
GH2＝32+22＝13，
所以AB2+EF2＝GH2．
故其中能构成一个直角三角形三边的线段是AB，EF，GH．
故答案为：AB，EF，GH．
11．解：连接BC．
根据勾股定理可以得到：AB＝BC＝，AC＝2，
∵（）2+（）2＝（2）2，即AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC是等腰直角三角形．
∴∠BAC＝45°．
故答案为：45°．
12．解：连接AC，在Rt△ACD中，AD＝8，CD＝6，
∴AC＝＝＝10，
在△ABC中，
∵AC2+BC2＝102+242＝262＝AB2，
∴△ABC为直角三角形；
∴图形面积为：
S△ABC﹣S△ACD＝×10×24﹣×6×8＝96．
故答案为：96．
13．解：∵三角形的两边长分别为1cm和2cm，
∴可设第三边为xcm，
∵此三角形是直角三角形，
∴当x是斜边时，x2＝12+22，解得x＝；
当x是直角边时，x2+12＝22，解得x＝．
故答案为：或．
14．解：（1）观察得给出的勾股数中，斜边与较大直角边的差是1，即c﹣b＝1
∵a＝19，a2+b2＝c2，
∴192+b2＝（b+1）2，
∴b＝180，
∴c＝181；
（2）通过观察知c﹣b＝1，
∵（2n+1）2+b2＝c2，
∴c2﹣b2＝（2n+1）2，
（b+c）（c﹣b）＝（2n+1）2，∴b+c＝（2n+1）2，
又∵c＝b+1，
∴2b+1＝（2n+1）2，
∴b＝2n2+2n，c＝2n2+2n+1；
（3）由（2）知，2n+1，2n2+2n，2n2+2n+1为一组勾股数，
当n＝7时，2n+1＝15，112﹣111＝1，
但2n2+2n＝112≠111，
∴15，111，112不是一组勾股数．
故答案为：180，181．
15．证明：∵∠ABC＝∠ACB，AC＝3，
∴AB＝AC＝3，
又∵AD＝5，BD＝4，
∴AB2+BD2＝25＝AD2，
∴△ABD是直角三角形，且∠ABD＝90°，
∴AB⊥BD．
16．解：（1）在△BCD中，BC＝13，BD＝12，CD＝AC﹣AD＝5，
∵52+122＝169＝132，即CD2+BD2＝BC2，
∴∠BDC＝90°．
在Rt△ABD中，AD＝16，BD＝12，∠ADB＝90°，
∴AB＝＝20．
又∵点E是边AB的中点，
∴DE＝AB＝10．
（2）当DE⊥AB时，DE长度最小．
此时：S△ABD＝AD?BD＝AB?DE，
∴DE＝＝．
∴线段DE的最小值为．
17．解：连接AE，
设CE＝a，则BC＝4a，DF＝2a，BE＝3a，
AF2＝AD2+DF2＝20a2，EF2＝FC2+EC2＝5a2，AE2＝AB2+BE2＝25a2，
∵AE2＝AF2+EF2
∴∠AFE是直角．
18．解：在Rt△ABC中，∠B＝90°，
∵AB＝3，BC＝4，
∴，
∵CD＝12，AD＝13，
∵AC2+CD2＝52+122＝169，
AD2＝169，
∴AC2+CD2＝AD2，
∴∠ACD＝90°，
∴△ACD是直角三角形，
∵点E是AD的中点，
∴CE＝．
19．（1）证明：∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，
∴AC＝BC，CE＝CD，∠ACE＝∠BCD＝90°，
在△ACE和△BCD，
∴△ACE≌△BCD（SAS）；
（2）解：直线AE与BD互相垂直，理由为：
证明：∵△ACE≌△BCD，
∴∠EAC＝∠DBC，
又∵∠DBC+∠CDB＝90°，
∴∠EAC+∠CDB＝90°，
∴∠AFD＝90°，
∴AF⊥BD，
即直线AE与BD互相垂直．
20．解：（1）∵AC2＝AB2+BC2，
∴△ABC是直角三角形，
∵CD⊥AD，
∴△ADC，△EDC，△EDF，△ABC，△ABE是直角三角形；
（2）∵AC2＝AB2+BC2，AD2＝2AB2﹣CD2，
∵△ADC是直角三角形，
∴AC2＝AD2+DC2，
∴AB2+BC2＝AD2+DC2，
∴AB2+BC2＝2AB2﹣DC2+DC2
即AB2＝BC2，
∴AB＝BC．
21．解：（1）根据勾股定理知，BC＝＝，AC＝＝，AB＝＝，
故△ABC的周长＝AB+BC+AC＝++；
（2）△ABC不是直角三角形，理由如下：
由（1）可知，BC＝，AC＝，AB＝，AC＜BC＜AB，
∵AC2+BC2≠AB2，
∴△ABC不是直角三角形；
（3）如图，
S△ABC＝S正方形BDEF﹣S△BCD﹣S△ACE﹣S△ABF
＝3×3﹣×1×3﹣×1×2﹣×2×3
＝；
（3）设点C到AB的距离是h．
由（3）知，三角形ABC的面积是，则AB?h＝，即×h＝，
解得，h＝，即点C到AB的距离为．