2021年暑假自学八年级数学北师大版上册《第1章勾股定理》优生辅导训练（word版含解析）

2021年北师大版八年级数学上册《第1章勾股定理》暑假自学优生辅导训练（附答案）
1．如图，在高为5m，坡面长为13m的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（　　）
A．17m B．18m C．25m D．26m
2．如图，一只电子蚂蚁从正方体的顶点A处沿着表面爬到顶点C处，电子蚂蚁的部分爬行路线在平面展开图中的表示如图的虚线，其中能说明爬行路线最短的是（　　）
A． B．
C． D．
3．如图，一棵大树在一次强台风中于离地面3m处折断倒下，树干顶部在根部4m处，这棵大树在折断前的高度为（　　）m．
A．3 B．4 C．5 D．8
4．如图，圆柱形容器中，高为1.2米，底面周长为1米，在容器内壁离容器底部0.3m处的点B处有一蚊子．此时，一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3m与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为（　　）米．
A．1.3米 B．1.4米 C．1.5米 D．1.2米
5．如图，是一种饮料的包装盒，长、宽、高分别为4cm、3cm、12cm，现有一长为16cm的吸管插入到盒的底部，则吸管露在盒外的部分h的取值范围为（　　）
A．3＜h＜4 B．3≤h≤4 C．2≤h≤4 D．h＝4
6．如图是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸（单位：mm），可以计算出两圆孔中心A和B的距离为（　　）mm．
A．120 B．135 C．30 D．150
7．如图，一艘船以40km/h的速度沿既定航线由西向东航行，途中接到台风警报，某台风中心正以20km/h的速度由南向北移动，距台风中心200km的圆形区域（包括边界）都属台风影响区，当这艘轮船接到台风警报时，它与台风中心的距离BC＝500km，此时台风中心与轮船既定航线的最近距离BA＝300km，如果这艘轮船会受到台风影响，那么从接到警报开始，经过（　　）小时它就会进入台风影响区．
A．10 B．7 C．6 D．12
8．△ABC中，AB＝17，AC＝10，高AD＝8，则△ABC的周长是（　　）
A．54 B．44 C．36或48 D．54或33
9．如图，小明将一张长为20cm，宽为15cm的长方形纸（AE＞DE）剪去了一角，量得AB＝3cm，CD＝4cm，则剪去的直角三角形的斜边长为（　　）
A．5cm B．12cm C．16cm D．20cm
10．如图，在水池的正中央有一根芦苇，池底长10尺，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面则这根芦苇的长度是（　　）
A．10尺 B．11尺 C．12尺 D．13尺
11．如图是一个三级台阶，它的每一级的长，宽，高分别为100cm，15cm和10cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁想到B点去吃可口的食物，则它所走的最短路线长度为（　　）
A．115cm B．125cm C．135cm D．145cm
12．如图，一架云梯25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，如果梯子的顶端下滑4米，那么梯子的底部在水平方向上滑动了（　　）
A．4米 B．6米 C．8米 D．10米
13．如图，一个底面圆周长为24m，高为5m的圆柱体，一只蚂蚁沿侧表面从点A到点B所经过的最短路线长为（　　）
A．12m B．15m C．13m D．9.13m
14．如图所示，将一根长为24cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在外面的长为hcm，则h的取值范围是（　　）
A．0＜h≤11 B．11≤h≤12 C．h≥12 D．0＜h≤12
15．正方体盒子的棱长为2，BC的中点为M，一只蚂蚁从A点爬行到M点的最短距离为（　　）
A． B． C．5 D．2+
16．一架长5米的梯子AB，斜靠在一竖直的墙上，这时梯子底端距墙底3米，若梯子的顶端沿墙下滑1米，则梯子的底端在水平方向上将滑动（　　）
A．0米 B．1米 C．2米 D．3米
17．如图，动点P从点A出发，沿着圆柱的侧面移动到BC的中点S，若BC＝8，点P移动的最短距离为5，则圆柱的底面周长为（　　）
A．6 B．4π C．8 D．10
18．如图，圆柱体盒子放在水平地面上，该圆柱体的高为9cm，点M离盒底的距离为3cm，底面半径为cm，一只蚂蚁沿着该圆柱体盒子的表面从点M爬行到点N，则该蚂蚁爬行的最短路程为（　　）cm．
A．6 B．10 C． D．
19．如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，甲、乙轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，甲、乙轮船每小时分别航行12海里和16海里，1小时后两船分别位于点A，B处，且相距20海里，如果知道甲船沿北偏西40°方向航行，则乙船沿 　 　方向航行．
20．如图，阴影部分是一个正方形，此正方形的面积为　 　cm2．
21．有两根木棒，分别长12cm，5cm，要再在14cm的木棒上取一段，用这三根木棒为边做成直角三角形，这第三根木棒要取的长度是　 　cm．
22．如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中AB＝9，BB1＝5，B1C1＝6，在线段AB的三等分点E（靠近点A）处有一只蚂蚁，B1C1中点F处有一米粒，则蚂蚁沿长方体表面爬到米粒处的最短距离为　 　．
23．如图在平静的湖面上，有一支红莲BA，高出水面的部分AC为1米，一阵风吹来，红莲被吹到一边，花朵齐及水面（即AB＝DB），已知红莲移动的水平距离CD为3米，则湖水深CB为多少？
24．在△ABC中，AB＝c，BC＝a，AC＝b．如图1，若∠C＝90°时，根据勾股定理有a2+b2＝c2．
（1）如图2，当△ABC为锐角三角形时，类比勾股定理，判断a2+b2与c2的大小关系，并证明；
（2）如图3，当△ABC为钝角三角形时，类比勾股定理，判断a2+b2与c2的大小关系，并证明；
（3）如图4，一块四边形的试验田ABCD，已知∠B＝90°，AB＝80米，BC＝60米，CD＝90米，AD＝110米，求这块试验田的面积．
参考答案
1．解：由勾股定理得：
楼梯的水平宽度＝＝12，
∵地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，
地毯的长度至少是12+5＝17（米）．
故选：A．
2．解：一只蚂蚁要从正方体的一个顶点A沿表面爬行到顶点C，则沿线段AC爬行，就可以使爬行路线最短，是根据两点之间，线段最短．
故选：A．
3．解：如图所示：
∵△ABC是直角三角形，AB＝3m，AC＝4m，
∴BC＝＝5（m），
∴这棵树原高：3+5＝8（m），
故选：D．
4．解：如图：
∵高为1.2m，底面周长为1m，在容器内壁离容器底部0.3m的点B处有一蚊子，
此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3m与蚊子相对的点A处，
∴A′D＝0.5m，BD＝1.2m，
∴将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A′，
连接A′B，则A′B即为最短距离，
A′B＝＝＝1.3（m）．
故选：A．
5．解：①当吸管放进杯里垂直于底面时露在杯口外的长度最长，最长为16﹣12＝4（cm）；
②露出部分最短时与底面对角线和高正好组成直角三角形，
底面对角线直径为5cm，高为12cm，
由勾股定理可得杯里面管长为＝13cm，则露在杯口外的长度最长为16﹣13＝3cm；
则可得露在杯口外的长度在3cm和4cm范围变化．
故选：B．
6．解：如图，在Rt△ABC中，∵AC＝150﹣60＝90，BC＝180﹣60＝120，
∴AB＝＝150（mm），
∴两圆孔中心A和B的距离为150mm．
故选：D．
7．解：如图所示：设x小时后，就进入台风影响区，根据题意得出：
CE＝40x千米，BB′＝20x千米，
∵BC＝500km，AB＝300km，
∴AC＝400（km），
∴AE＝400﹣40x，AB′＝300﹣20x，
∴AE2+AB′2＝EB′2，
即（400﹣40x）2+（300﹣20x）2＝2002，
解得：x1＝15，x2＝7，
∴轮船经7小时就进入台风影响区．
故选：B．
8．解：分两种情况：
①如图1所示：
∵AD是BC边上的高，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∴BD＝＝＝15，CD＝＝＝6，
∴BC＝BD+CD＝15+6＝21；
此时，△ABC的周长为：AB+BC+AC＝17+10+21＝48．
②如图2所示：
同①得：BD＝15，CD＝6，
∴BC＝BD﹣CD＝15﹣6＝9；
此时，△ABC的周长为：AB+BC+AC＝17+10+9＝36．
综上所述：△ABC的周长为48或36．故选：C．
9．解：延长AB、DC相交于F，则BFC构成直角三角形，
运用勾股定理得：
BC2＝（15﹣3）2+（20﹣4）2＝122+162＝400，
所以BC＝20．
则剪去的直角三角形的斜边长为20cm．
故选：D．
10．解：设水深为x尺，则芦苇长为（x+1）尺，
根据勾股定理得：x2+（）2＝（x+1）2，
解得：x＝12，
芦苇的长度＝x+1＝12+1＝13（尺），故选：D．
11．解：展开图为：
则AC＝100cm，BC＝15×3+10×3＝75cm，
在Rt△ABC中，AB＝＝125cm．
所以蚂蚁所走的最短路线长度为125cm．
故选：B．
12．解：由题意知AB＝DE＝25米，BC＝7米，AD＝4米，
∵在直角△ABC中，AC为直角边，
∴AC＝＝24米，
已知AD＝4米，则CD＝24﹣4＝20（米），
∵在直角△CDE中，CE为直角边
∴CE＝＝15（米），
BE＝15米﹣7米＝8米．
故选：C．
13．解：将圆柱体的侧面展开，连接AB．如图所示：
由于圆柱体的底面周长为24m，
则AD＝24×＝12m．
又因为AC＝5m，
所以AB＝＝13m．
即蚂蚁沿表面从点A到点B所经过的最短路线长为13m．
故选：C．
14．解：当筷子与杯底垂直时h最大，h最大＝24﹣12＝12cm．
当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时h最小，
如图所示：
此时，AB＝＝＝13cm，
∴h＝24﹣13＝11cm．
∴h的取值范围是11cm≤h≤12cm．
故选：B．
15．解：展开正方体的点M所在的面，
∵BC的中点为M，
所以MC＝BC＝1，
在直角三角形中AM＝＝．
故选：A．
16．解：如图：在Rt△ACB中，BC＝3，AB＝5，AC＝＝4米，
DC＝4﹣1＝3米．
在Rt△DCE中，DC＝3，DE＝5，CE＝＝4米，
BE＝CE﹣CB＝1．
即梯子底端也滑动了1米．
故选：B．
17．解：如图所示，
在圆柱的截面ABCD中，BC＝8，
设AB＝x，
∵点P移动的最短距离为5，
∴AS＝5，
∵点S是BC的中点，
∴BS＝BC＝4，
∴AB＝＝3，
∴圆柱的底面周长为2AB＝6．
故选：A．
18．解：把圆柱侧面展开，展开图如右图所示，点M，N的最短距离为线段MN的长，
∵AM＝9﹣3＝6（cm），AN为底面半圆弧长，AN＝?π＝8（cm），
在Rt△AMN中，
MN＝＝＝10（cm）．
故选：B．
19．解：由题意可知：AP＝12，BP＝16，AB＝20，
∵122+162＝202，
∴△APB是直角三角形，
∴∠APB＝90°，
由题意知∠APN＝40°，
∴∠BPN＝90°﹣∠APN＝90°﹣40°＝50°，
即乙船沿北偏东50°方向航行，
故答案为：北偏东50°．
20．解：由图可知正方形的边长为＝8cm，正方形的面积为8×8＝64cm2．
21．解：①12cm是直角边，
第三根木棒要取的长度是＝13（cm）；
②12cm是斜边，
第三根木棒要取的长度是＝（cm）；
故答案为：13或．
22．解：如图1，∵AB＝9，BB1＝5，B1C1＝6，在线段AB的三等分点E（靠近点A）处有一只蚂蚁，B1C1中点F处有一米粒，
∴BE＝6，BF＝5+3＝8，
∴EF＝＝10；
如图2，∵AB＝9，BB1＝5，B1C1＝6，在线段AB的三等分点E（靠近点A）处有一只蚂蚁，B1C1中点F处有一米粒，
∴BE＝6，EN＝9，FN＝5，
∴EF＝＝．
∵10＜，
∴蚂蚁沿长方体表面爬到米粒处的最短距离为10．
故答案为：10．
23．解：设BC为h米，
Rt△BCD中，BC＝h，AB＝BD＝h+1，DC＝3，
由勾股定理得：BD2＝DC2+BC2，
即（h+1）2＝h2+32，
解得：h＝4．
因此湖深BC为4米．
24．解：（1）a2+b2＞c2，
理由如下：过点A作AD⊥BC 于D，
设CD＝x，则BD＝a﹣x，
由勾股定理得，b2﹣x2＝AD2，c2﹣（a﹣x）2＝AD2，
∴b2﹣x2＝c2﹣（a﹣x）2，
整理得：a2+b2＝c2+2ax，
∵2ax＞0，
∴a2+b2＞c2；
（2）a2+b2＜c2，
理由如下：作AE⊥BC交BC的延长线于E，
设CE＝x，
则c2﹣（a+x）2＝AE2＝b2﹣x2，
整理得：a2+b2＝c2﹣2ax，
∵2ax＞0，
∴a2+b2＜c2；
（3）连接AC，作DF⊥AC于F，
由勾股定理得，AC＝＝100，
由（1）可知，AD2﹣AF2＝DC2﹣CF2，即1102﹣（100﹣CF）2＝902﹣CF2，
解得，CF＝30，
则DF＝＝60，
∴这块试验田的面积＝×60×80+×100×60＝（2400+3000）米2