2021年暑假自学八年级数学 北师大版上册《1.3勾股定理的应用》优生辅导训练（word版含解析）

2021年北师大版八年级数学上册《1.3勾股定理的应用》暑假自学优生辅导训练（附答案）
1．如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙AO上，测得AO＝4m，若梯子的顶端沿墙下滑1m，这时梯子的底端也下滑1m，则梯子AB的长度为（　　）
A．5m B．6m C．3m D．7m
2．如图，圆柱形玻璃杯高为11cm，底面周长为30cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的爬行最短路线长为（杯壁厚度不计）（　　）
A．12cm B．17cm C．20cm D．25cm
3．为打造“绿洲”，计划在市内如图所示的三角形空地上种植某种草皮，已知AB＝10米，BC＝15米，∠B＝150°，这种草皮每平方米售价2a元，则购买这种草皮需（　）元．
A．75a B．50a C．a D．150a
4．如图所示的是一种“羊头”形图案，全部由正方形与等腰直角三角形构成，其作法是从正方形①开始，以它的一条边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②，再分别以正方形②和②的一条边为斜边，向外作等腰直角三角形，…，若正方形⑤的面积为2cm2，则正方形①的面积为（　　）
A．8cm2 B．16cm2 C．32cm2 D．64ccm2
5．△ABC中，AB＝17，AC＝10，高AD＝8，则△ABC的周长是（　　）
A．54 B．44 C．36或48 D．54或33
6．如图，是一种饮料的包装盒，长、宽、高分别为4cm、3cm、12cm，现有一长为16cm的吸管插入到盒的底部，则吸管露在盒外的部分h的取值范围为（　　）
A．3＜h＜4 B．3≤h≤4 C．2≤h≤4 D．h＝4
7．如图，小正方形边长为2，连接小正方形的三个顶点可得△ABC，则AC边上的高为　 　．
8．如图，已知正方形ABCD的面积为4，正方形FHIJ的面积为3，点D、C、G、J、I在同一水平面上，则正方形BEFG的面积为　 　．
9．如图，公路MN和公路PQ在点P处交会，公路PQ上点A处有学校，点A到公路MN的距离为80m．现有一卡车在公路MN上以5m/s的速度沿PN方向行驶，卡车行驶时周围100m以内都会受到噪音的影响，请你算出该学校受影响的时间为　 　秒．
10．如图，三级台阶，每一级的长、宽、高分别为8dm、3dm、2dm．A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为　 　dm．
11．我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”．
观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．
（1）请你根据上述的规律写出下一组勾股数：　 　；
（2）若第一个数用字母n（n为奇数，且n≥3）表示，那么后两个数用含n的代数式分别表示为　 　和　 　．
12．如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AB＝13，AC＝5，动点P从点B出发沿射线BC运动，当△APB为等腰三角形时，这个三角形底边的长为　 　．
13．交通安全是社会关注的热点问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学八年级数学活动小组的同学进行了测试汽车速度的实验．如图，先在笔直的公路L旁选取一点P，在公路L上确定点O、B，使得PO⊥L，OP＝100米，∠PBO＝45°．这时，一辆轿车在公路L上由B向A匀速驶来，测得此车从B处行驶到A处所用的时间为3秒，并测得∠APO＝60°．求AB的距离和此车的速度．（参考数据＝1.41，＝1.73）
14．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝20，BC＝15，点D为AC边上的动点，点D从点C出发，沿CA往A运动，当运动到点A时停止，设点D运动的时间为t秒，点D运动的速度为每秒2个单位长度．
（1）当t＝2秒时，求AD的长；
（2）在D运动过程中，△CBD能否为直角三角形？若不能，说明理由，若能，请求出t的值．
15．如图，铁路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA＝15km，CB＝10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C、D两村到E站的距离相等，则：
（1）E站应建在距A站多少千米处？
（2）DE和EC垂直吗？说明理由．
16．如图，在矩形ABCD中，AB＝10cm，BC＝20cm，动点E、F同时从点B出发，分别沿BA、BC的方向向终点A、终点C运动，点E的速度是1cm/s，点F的速度是2cm/s，当一点到达终点后，两点同时停止运动，设运动时间为t（s），四边形DAEF的面积为S（cm2）．
（1）求S与t的函数关系式；
（2）当△DEF为等腰三角形时，求t的值．
17．如图，在四边形ABCD中，CD＝AD＝，∠D＝90°，AB＝5．BC＝3．
（1）求∠C的度数；
（2）求四边形ABCD的面积．
18．《九章算术》是我国古代数学的经典著作．书中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高丈，末折抵地，问折者高几何？”意思是：一根竹子，原来高一丈（一丈为十尺），虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子根部三尺远，问：原处还有多高的竹子？
19．仔细阅读，解答下列问题
（1）有一长方体的食物包装纸盒如图（1），已知长方体的底面长为12，宽为9，高为5，一只蚂蚁想从底面A处爬到B处去吃食物，请问：蚂蚁爬行的最短距离是多少？
（2）如图（2），圆柱形容器的高为1.2米，底面周长为1米，在容器内壁离容器底部0.3米的点B处有一只蚊子，此处一只壁虎正好在容器外壁离容器上沿0.3米与蚊子相对的点A处，求壁虎捕捉到蚊子的最短路程是多少？（容器厚度忽略不计）．
20．在△ABC中，AB＝c，BC＝a，AC＝b．如图1，若∠C＝90°时，根据勾股定理有a2+b2＝c2．
（1）如图2，当△ABC为锐角三角形时，类比勾股定理，判断a2+b2与c2的大小关系，并证明；
（2）如图3，当△ABC为钝角三角形时，类比勾股定理，判断a2+b2与c2的大小关系，并证明；
（3）如图4，一块四边形的试验田ABCD，已知∠B＝90°，AB＝80米，BC＝60米，CD＝90米，AD＝110米，求这块试验田的面积．
参考答案
1．解：设BO＝xm，
由题意得：AC＝1m，BD＝1m，AO＝4m，
在Rt△AOB中，根据勾股定理得：AB2＝AO2+OB2＝42+x2，
在Rt△COD中，根据勾股定理得：CD2＝CO2+OD2＝（4﹣1）2+（x+1）2，
∴42+x2＝（4﹣1）2+（x+1）2，
解得：x＝3，
∴AB＝＝＝5（m），
即梯子AB的长为5m，
故选：A．
2．解：如图：
将杯子侧面展开，
作A关于EF的对称点A′，
则AF+BF为蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离，即A′B的长度，
∵A′B＝＝＝＝17（cm），
∴蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为17cm，
故选：B．
3．解：如图，作BA边的高CD，设与AB的延长线交于点D，
∵∠ABC＝150°，
∴∠DBC＝30°，
∵CD⊥BD，BC＝15米，
∴CD＝7.5米，
∵AB＝10米，
∴S△ABC＝AB×CD＝×10×7.5＝37.5（平方米），
∵每平方米售价2a元，
∴购买这种草皮至少为37.5×2a＝75a（元），
故选：A．
4．解：第一个正方形的面积是S；
第二个正方形的面积是；
第三个正方形的面积是；…
第n个正方形的面积是，
∵正方形⑤的面积是2，
∴正方形①的面积32．
故选：C．
5．解：分两种情况：
①如图1所示：
∵AD是BC边上的高，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∴BD＝＝＝15，CD＝＝＝6，
∴BC＝BD+CD＝15+6＝21；
此时，△ABC的周长为：AB+BC+AC＝17+10+21＝48．
②如图2所示：
同①得：BD＝15，CD＝6，
∴BC＝BD﹣CD＝15﹣6＝9；
此时，△ABC的周长为：AB+BC+AC＝17+10+9＝36．
综上所述：△ABC的周长为48或36．
故选：C．
6．解：①当吸管放进杯里垂直于底面时露在杯口外的长度最长，最长为16﹣12＝4（cm）；
②露出部分最短时与底面对角线和高正好组成直角三角形，
底面对角线直径为5cm，高为12cm，
由勾股定理可得杯里面管长为＝13cm，则露在杯口外的长度最长为16﹣13＝3cm；
则可得露在杯口外的长度在3cm和4cm范围变化．
故选：B．
7．解：四边形DEFA是正方形，面积是16；
△ABF，△ACD的面积相等，且都是×4×2＝4．
△BCE的面积是：×2×2＝2．
则△ABC的面积是：16﹣4﹣4﹣2＝6．
在直角△ADC中根据勾股定理得到：AC＝＝2．
设AC边上的高线长是x．
则AC?x＝x＝6，
解得：x＝．
故答案为：．
8．解：∵四边形ABCD、四边形FHIJ和四边形BEFG都是正方形，
∴∠BCG＝∠BGF＝∠GJF＝90°，BG＝GF，
∴∠CBG+∠BGC＝90°，∠JGF+∠BGC＝90°，
∴∠CBG＝∠JGF，
在△BCG和△GJF中，
，
∴△BCG≌△GJF（AAS），
∴BC＝GJ，
∵正方形ABCD的面积为4，正方形FHIJ的面积为3，
∴BC2＝4，FJ2＝3，
∴GJ2＝4，
在Rt△GJF中，由勾股定理得：
FG2＝GJ2+FJ2＝4+3＝7，
∴正方形BEFG的面积为7．
故答案为：7．
9．解：设卡车开到C处刚好开始受到影响，行驶到D处时结束了噪声的影响．
则有CA＝DA＝100m，
在Rt△ABC中，CB＝＝60（m），
∴CD＝2CB＝120（m），
则该校受影响的时间为：120÷5＝24（s）．
答：该学校受影响的时间为24秒，
故答案为：24．
10．解：三级台阶平面展开图为长方形，长为8dm，宽为（2+3）×3dm，
则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．
可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xdm，
由勾股定理得：x2＝82+[（2+3）×3]2＝172，
解得x＝17．
故答案为：17．
11．解：（1）11，60，61；
故答案为：11，60，61．
（2）后两个数表示为和，
∵n2+（）2＝n2+＝，（）2＝，
∴n2+（）2＝（）2．
又∵n≥3，且n为奇数，
∴由n，，三个数组成的数是勾股数．
故答案为：，．
12．解：由勾股定理可知：BC＝＝＝12，分类讨论：
①A为等腰三角形的顶点时，有AB＝AP，
相当于以A点为圆心，AB为半径的圆，P点在BC的延长线上，如图1所示，
此时△APB的底边BP＝2BC＝2×12＝24；
②B为等腰三角形顶点时，有BA＝BP，
相当于以点B为圆心，AB为半径画圆，P点在BC的延长线上，如图2所示，
此时△APB的底边为AP，
在Rt△ABP中，AP＝＝＝；
③P为等腰三角形顶点时，有PA＝PB，如图3所示，
此时P点在线段AB的垂直平分线上，△APB的底边为AB＝13，
综上所述，当△ABP为等腰三角形时，这个三角形的底边的长为24或或13，
故答案为：24或或13．
13．解：∵∠POB＝90°，∠PBO＝45°，
∴△POB是等腰直角三角形，
∴OB＝OP＝100米，
∵∠APO＝60°，
∴OA＝OP＝100≈173（米），
∴AB＝OA＝OB＝73米，
∴24（米/秒），
答：AB的距离为73米，此车的速度约为24米/秒．
14．解：（1）由勾股定理得：AC＝＝＝25，
当t＝2秒时，CD＝2×2＝4，
所以AD＝AC﹣CD＝25﹣4＝21；
（2）△CBD能为直角三角形，
理由是：分为两种情况：①∠BDC＝90°时，
∵S△ABC＝，
∴BD＝＝＝12，
由勾股定理得：CD＝＝＝9，
所以t＝＝4.5，
②当∠CBD＝90°时，此时点D和A重合，
t＝＝12.5，
∴t的值是4.5或12.5
15．解：（1）∵使得C，D两村到E站的距离相等．
∴DE＝CE，
∵DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，
∴∠A＝∠B＝90°，
∴AE2+AD2＝DE2，BE2+BC2＝EC2，
∴AE2+AD2＝BE2+BC2，
设AE＝x，则BE＝AB﹣AE＝（25﹣x），
∵DA＝15km，CB＝10km，
∴x2+152＝（25﹣x）2+102，
解得：x＝10，
∴AE＝10km．
∴BE＝15km．
（2）DE和EC垂直，理由如下：
在△DAE与△EBC中，
，
∴△DAE≌△EBC（SAS），
∴∠DEA＝∠ECB，∠ADE＝∠CEB，
∠DEA+∠D＝90°，
∴∠DEA+∠CEB＝90°，
∴∠DEC＝90°，
即DE⊥EC．
16．解：（1）由题可知：BE＝t，BF＝2t，CF＝20﹣2t，AE＝10﹣t，
∴S＝S矩形ABCD﹣S△BEF﹣S△CDF
＝＝﹣t2+10t+100；
（2）由勾股定理可得：EF2＝BE2+BF2＝t2+（2t）2＝5t2，
DF2＝CD2+CF2＝102+（20﹣2t）2＝4t2﹣80t+500，
DE2＝AE2+AD2＝（10﹣t）2+202＝t2﹣20t+500，
①当DE＝DF时，DE2＝DF2，
即t2﹣20t+500＝4t2﹣80t+500，
解得：t1＝0，t2＝20，都不符合题意，舍去，
②当DE＝EF时，DE2＝EF2，
即t2﹣20t+500＝5t2，
解得：（不符合题意，舍去），，
③当EF＝DF时，EF2＝DF2，
即5t2＝4t2﹣80t+500，
解得：，（不符合题意，舍去），
综上所述，当△DEF为等腰三角形时，或．
17．解：（1）连接AC
∵CD＝AD＝，∠D＝90°，
∴∠ACD＝∠DAC＝45°，AC＝＝＝4，
∵AB＝5．BC＝3，
∴AB2＝AC2+BC2，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BCD＝90°+45°＝135°；
（2）S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD＝+＝6+4＝10．
18．解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10﹣x）尺，
根据勾股定理得：x2+32＝（10﹣x）2，
解得：x＝4.55．
答：原处还有4.55尺高的竹子．
19．解：（1）第一种情况：把我们所看到的前面和上面组成一个平面，
则这个长方形的长和宽分别是12cm和14cm，
则所走的最短线段是 ＝2，
第二种情况：把我们看到的左面与上面组成一个长方形，
则这个长方形的长和宽分别是9cm和17cm，
所以走的最短线段是＝cm；
第三种情况：把我们所看到的前面和右面组成一个长方形，
则这个长方形的长和宽分别是21cm和5cm，
所以走的最短线段是＝cm；
三种情况比较而言，第一种情况最短，
∴蚂蚁爬行的最短距离是2cm；
（2）如图：∵高为1.2m，底面周长为1m，在容器内壁离容器底部0.3m的点B处有一蚊子，
此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3m与蚊子相对的点A处，
∴A′D＝0.5m，BD＝1.2m，
∴将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A′，
连接A′B，则A′B即为最短距离，
A′B＝＝＝1.3（m）．
答：壁虎捕捉到蚊子的最短路程是1.3m．
20．解：（1）a2+b2＞c2，
理由如下：过点A作AD⊥BC 于D，
设CD＝x，则BD＝a﹣x，
由勾股定理得，b2﹣x2＝AD2，c2﹣（a﹣x）2＝AD2，
∴b2﹣x2＝c2﹣（a﹣x）2，
整理得：a2+b2＝c2+2ax，
∵2ax＞0，
∴a2+b2＞c2；
（2）a2+b2＜c2，
理由如下：作AE⊥BC交BC的延长线于E，
设CE＝x，
则c2﹣（a+x）2＝AE2＝b2﹣x2，
整理得：a2+b2＝c2﹣2ax，
∵2ax＞0，
∴a2+b2＜c2；
（3）连接AC，作DF⊥AC于F，
由勾股定理得，AC＝＝100，
由（1）可知，AD2﹣AF2＝DC2﹣CF2，即1102﹣（100﹣CF）2＝902﹣CF2，
解得，CF＝30，
则DF＝＝60，
∴这块试验田的面积＝×60×80+×100×60＝（2400+3000）米2