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课程类型：新授课—衔接课
年级：新初一
学科：数学
课程主题
第5讲：有理数的乘方及混合运算
要点1：有理数的乘方
【要点梳理】
1、定义：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂(power)．
即有：.在中，叫做底数，
n叫做指数．
注意：
（1）乘方与幂不同，乘方是几个相同因数的乘法运算，幂是乘方运算的结果．
（2）底数一定是相同的因数，当底数不是单纯的一个数时，要用括号括起来．
（3）一个数可以看作这个数本身的一次方．例如，5就是51，指数1通常省略不写．
2、乘方运算的符号法则
（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；（3）0的任何正整数次幂都是0；（4）任何一个数的偶次幂都是非负数，如
≥0．
【典型例题】
1、（2020七上·南通期中）若
，则n＝（??
）
A.?2022?????B.?2021?????C.?2020?????D.?2019
【答案】
A
2、（2018七上·宜兴期中）下列各组数中，数值相等的是（
??）
A.23和32??????B.﹣22和（﹣2）2????
C.﹣33和（﹣3）3??D.?（﹣3×2）2和﹣32×22
【答案】
C
3、（2019七上·江苏期中）下列各式：
①﹣（﹣7），②﹣|﹣7|，③﹣（﹣2）2
，
④﹣52
，
计算结果为负数的有（ ）．
A.4个????B.3个?????C.2个???D.1个
【答案】
B
4、（2019七下·东台期中）若
，则它们的大小关系是(???
)
A.a
【答案】
C
5、（2019七下·南通月考）若
，则（b-a）2019=（??
）
A.???B.1?????C.??????D.
【答案】
A
6、（2018七上·无锡月考）计算：
?=________．
【答案】
7、（2019七上·江阴期中）定义一种新运算：a
b=a+b-ab，如2
（-2）=2+（-2）-2
（-2）=4，那么（-1）
2=______.
【答案】
3
8、（2020七上·广西壮族自治月考）计算：
.
【答案】
解：
【同步演练】
1、（2019七下·兴化月考）如果
，
，
那么a、b、c的大小关系为（?
）
A.?b＞c＞a????B.?c＞a＞b??C.?c＞b＞a??D.?a＞c＞b
【答案】
A
2、（2019七上·张家港期末）下列算式中，运算结果为负数的是
A.???B.??C.???D.?
【答案】
C
3、（2019七上·新吴期末）在-(-8)，(-1)2007
，
-32
，
-|-1|，-|0|，-
，
中，负有理数共有（??
）
A.4个???B.3个???C.?2个?????D.1个
【答案】
A
4、（2020七上·如皋期中）中国奇书《易经》中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来计数，即“结绳计数”.如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满5进
，用来记录孩子自出生后的天数.由图可知，孩子自出生后的天数是________.
【答案】
294
5、（2019七上·南通月考）用
表示一种运算，它的含义是：
，如果
，那么
________.
【答案】
6、（2021七下·苏州开学考）计算：
【答案】
解：
.
要点2：有理数加减乘除混合运算
【要点梳理】
有理数混合运算的顺序：(1)先乘方，再乘除，最后加减；(2)同级运算，从左到右进行；(3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．
注意：
(1)有理数运算分三级，并且从高级到低级进行运算，加减法是第一级运算，乘除法是第二级运算，乘方和开方(以后学习)是第三级运算；
（2）在含有多重括号的混合运算中，有时根据式子特点也可按大括号、中括号、小括号的顺序进行．
(3)在运算过程中注意运算律的运用．
【典型例题】
1、（2021七上·昆山期末）计算；
（1）
（2）
【答案】
（1）解：原式
（2）解：原式
2、（2019七上·海安期中）a※b是新规定的这样一种运算法则：a※b=a2+2ab，
例如3※(－2)=32+2×3×(－2)=－3
（1）试求（－2）※3的值；
（2）若1※x=3
,
求x的值；
（3）若（－2）※x=－2+x
,
求x的值。
【答案】
（1）解：（-2）※3
（2）解：1※x
，
解得x=1
（3）解：（-2）※x
，
解得
.
【同步演练】
1、（2021七上·溧水期末）计算
（1）（－2.5）÷
×（－
）；
（2）－14－[2－（－3）2].
【答案】
（1）解：原式＝﹣
×
×(﹣
)
＝﹣4×(﹣
)
＝1；
（2）解：原式＝﹣1﹣(2﹣9)
＝﹣1＋7
＝
6.
2、（2020七上·兴化期中）用“
”定义一种新运算：对于任意有理数
和
，规定
.如：
.
（1）求
的值；
（2）若
，求
的值；
（3）若
，
（其中
为有理数），试比较
、
大小关系，并说明理由.
【答案】
（1）解：
=
=-32-16-4
=-52；
（2）解：∵
∴
去括号得，
移项，合并得，
解得，
；
（3）解：
，
∴
，
∵
≥0
∴
∴
∴
要点3：科学计数法
【要点梳理】
1、定义：把一个大于10的数表示成的形式（其中是整数数位只有一位的数，l≤||<10，是正整数），这种记数法叫做科学记数法，如＝.
注意：
（1）负数也可以用科学记数法表示，“”照写，其它与正数一样，如=；
（2）把一个数写成形式时，若这个数是大于10的数，则n比这个数的整数位数少1.
【典型例题】
1、（2021七上·丹徒期末）根据美国约翰斯·霍普金斯大学统计的数据，截至美国东部时间2020年12月31日17时美国新冠肺炎确诊病例总数已超过1989万例．1989万用科学记数法可表示为（
）
A.?
万????B.?
万??????
?C.?
万??D.?
万
【答案】
B
2、某种细菌在培养过程中，每半小时分裂一次（由一个分裂成两个），若这种细菌由1个分裂为16个，则这个过程要经过多长时间？______?
【答案】
2小时
【同步演练】
1、（2021七上·海陵期末）信息来自国家卫生健康委员会官方网站：截至2020年12月14日24时，据31个省（自治区、直辖市）和新疆生产建设兵团报告，现有确诊“新冠”病例312例（其中重症病例7例），累计治愈出院病例81812例.将81812用科学记数法表示为（?
）
A.?818.12×102???B.?81.812×103?????????????
C.?8.1812×104???D.?0.81812×105
【答案】
C
2、（2020七上·兴化月考）一张长方形的纸对折，如图所示可得到一条折痕（图中虚线），继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折2次后，可以得3条折痕，那么对折4次可以得到________条折痕.
【答案】
15
【课后巩固】
1、（2021七上·丹徒期末）两个同样大小的正方体按如图的方式放在一起，每个正方体相对两个面上写的数字之和都等于0．现将两个正方体并排放置，看得见的5个面上的数如图所示，则看不见的7个面上所写的数字之和等于（??
）
A.?-5????B.?-7????C.?5????D.?无法确定
【答案】
A
2、（2021七上·丹徒期末）如图所示为我市2021年1月11日的天气预报图，则这天的温差是（
??）
A.????B.????C.???????D.?
【答案】
D
3、（2021七上·如皋期末）苏中国际集装箱码头位于国家一类开放口岸——如皋港，2020年该码头集装箱吞吐量目标突破500000箱，致力打造长江下游集装箱港口“小巨人”.请将数500000用科学记数法表示为（??
）
A.????B.?????C.?500000???D.?
【答案】
B
4、（2019七上·南通月考）一个机器人从数轴原点出发，沿数轴正方向，以每前进3步后退2步的程序运动，设该机器人每秒钟前进或后退
步，并且每步的距离为1个单位长，
表示第
秒时机器人在数轴上的位置所对应的数，给出下列结论（1）
；（2）
；（3）
；（4）
；（5）
其中，正确结论的个数是（??
）
A.?1个????B.?2个?????C.?3个??D.?4个
【答案】
C
5、（2021七上·东台期末）据官方数据，截止到2020年5月31日，全国各级财政共安排新冠疫情防控资金约162400000000元，将162400000000用科学记数法表示为________.
【答案】
6、（2021七上·泰州期末）若
，那么yx=________.
【答案】
1
7、（2020七上·南通期中）若a，b为整数，且
，则
________.
【答案】
4或16或-3或-27
8、（2020七上·无锡期中）
=________(n为正整数).
【答案】
0
9、（2021七上·江阴期末）先化简，再求值:
，其中
、
满足?
.
【答案】
解：∵
∴
且
∴
且
；
∵
；
∴原式
10、（2020七上·丹徒期中）计算
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】
（1）解：原式
=24+16﹣25﹣32
=﹣17
（2）解：原式=
=
（3）解：原式=
=﹣20+1+1
=﹣18；
（4）解：原式=
=
=﹣9﹣30+32﹣24
=﹣31.
11、（2019七上·南通月考）???
（1）当式子
有最小值时，
________；（直接写答案）
（2）已知：
，求
的值.
【答案】
（1）2
（2）解：∵
，
∴
，
，
∴
，
，
∴
.
12、小明有5张写着不同数字的卡片，请按要求抽出卡片，完成下列各问题：
（1）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最大，如何抽取？最大值是多少?
答：我抽取的2张卡片是________、________，乘积的最大值为________．
（2）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，如何抽取？最小值是多少?
答：我抽取的2张卡片是________、________，商的最小值为________．
（3）从中取出4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24。如何抽取？写出运算式子。（写出一种即可）。
答：我抽取的4张卡片是________、________、________、________，
算24的式子为________.
【答案】
（1）-3；-5；15
（2）-5；3；
（3）-3；-5；0；3；3×[0-（-5）-（-3）]
13、（2019七上·江阴期中）随着手机的普及，微信（一种聊天软件）的兴起，许多人抓住这种机会，做起了“微商”，很多农产品也改变了原来的销售模式，实行了网上销售，这不刚大学毕业的小明把自家的冬枣产品也放到了网上实行包邮销售，他原计划每天卖100斤冬枣，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有出入，下表是某周的销售情况（超额记为正，不足记为负.单位：斤）；
?星期
?一
?二
?三
?四
?五
?六
?日
与计划量的差值
+4
-3?
-5
+10
-8
+23
-6
（1）根据记录的数据可知前三天共卖出________斤；
（2）根据记录的数据可知销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售________斤；
（3）若冬季每斤按7元出售，每斤冬枣的运费平均2元，那么小明本周一共收入多少元？
【答案】
（1）296
（2）31
（3）解：∵+4-3-5+10-8+23-6=15＞0，
∴一周收入=（15+100×7）×（7-2）
=715×5
=3575（元）.
答：小明本周一共收入3575元
14、（2019七上·江阴期中）随着手机的普及，微信
一种聊天软件
的兴起，许多人抓住这种机会，做起了“微商”，很多农产品也改变了原来的销售模式，实行了网上销售，这不刚大学毕业的小明把自家的冬枣产品也放到了网上，他原计划每天卖100斤冬枣，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有出入，下表是某周的销售情况
超额记为正，不足记为负
单位：斤
；
?星期
?一
?二
?三
?四
?五
?六
?日
?与计划量的差值
?
?
?
?
?
?
?
（1）根据记录的数据可知前三天共卖出
________
斤；
（2）根据记录的数据可知销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售
________
斤；
（3）本周实际销售总量达到了计划数量没有？
（4）若冬季每斤按8元出售，每斤冬枣的运费平均3元，那么小明本周一共收入多少元？
【答案】
（1）296
（2）29
（3）解：
，
答：本周实际销量达到了计划数量；
（4）解：
元
.
答：小明本周一共收入3585元.
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课程类型：新授课—衔接课
年级：新初一
学科：数学
课程主题
第5讲：有理数的乘方及混合运算
要点1：有理数的乘方
【要点梳理】
1、定义：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂(power)．
即有：.在中，叫做底数，
n叫做指数．
注意：
（1）乘方与幂不同，乘方是几个相同因数的乘法运算，幂是乘方运算的结果．
（2）底数一定是相同的因数，当底数不是单纯的一个数时，要用括号括起来．
（3）一个数可以看作这个数本身的一次方．例如，5就是51，指数1通常省略不写．
2、乘方运算的符号法则
（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；（3）0的任何正整数次幂都是0；（4）任何一个数的偶次幂都是非负数，如
≥0．
【典型例题】
1、（2020七上·南通期中）若
，则n＝（??
）
A.?2022?????B.?2021?????C.?2020?????D.?2019
2、（2018七上·宜兴期中）下列各组数中，数值相等的是（
??）
A.23和32??????B.﹣22和（﹣2）2????
C.﹣33和（﹣3）3??D.?（﹣3×2）2和﹣32×22
3、（2019七上·江苏期中）下列各式：
①﹣（﹣7），②﹣|﹣7|，③﹣（﹣2）2
，
④﹣52
，
计算结果为负数的有（ ）．
A.4个????B.3个?????C.2个???D.1个
4、（2019七下·东台期中）若
，则它们的大小关系是(???
)
A.a5、（2019七下·南通月考）若
，则（b-a）2019=（??
）
A.???B.1?????C.??????D.
6、（2018七上·无锡月考）计算：
?=________．
7、（2019七上·江阴期中）定义一种新运算：a
b=a+b-ab，如2
（-2）=2+（-2）-2
（-2）=4，那么（-1）
2=______.
8、（2020七上·广西壮族自治月考）计算：
.
【同步演练】
1、（2019七下·兴化月考）如果
，
，
那么a、b、c的大小关系为（?
）
A.?b＞c＞a????B.?c＞a＞b??C.?c＞b＞a??D.?a＞c＞b
2、（2019七上·张家港期末）下列算式中，运算结果为负数的是
A.???B.??C.???D.?
3、（2019七上·新吴期末）在-(-8)，(-1)2007
，
-32
，
-|-1|，-|0|，-
，
中，负有理数共有（??
）
A.4个???B.3个???C.?2个?????D.1个
4、（2020七上·如皋期中）中国奇书《易经》中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来计数，即“结绳计数”.如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满5进
，用来记录孩子自出生后的天数.由图可知，孩子自出生后的天数是________.
5、（2019七上·南通月考）用
表示一种运算，它的含义是：
，如果
，那么
________.
6、（2021七下·苏州开学考）计算：
要点2：有理数加减乘除混合运算
【要点梳理】
有理数混合运算的顺序：(1)先乘方，再乘除，最后加减；(2)同级运算，从左到右进行；(3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．
注意：
(1)有理数运算分三级，并且从高级到低级进行运算，加减法是第一级运算，乘除法是第二级运算，乘方和开方(以后学习)是第三级运算；
（2）在含有多重括号的混合运算中，有时根据式子特点也可按大括号、中括号、小括号的顺序进行．
(3)在运算过程中注意运算律的运用．
【典型例题】
1、（2021七上·昆山期末）计算；
（1）
（2）
2、（2019七上·海安期中）a※b是新规定的这样一种运算法则：a※b=a2+2ab，
例如3※(－2)=32+2×3×(－2)=－3
（1）试求（－2）※3的值；
（2）若1※x=3
,
求x的值；
（3）若（－2）※x=－2+x
,
求x的值。
【同步演练】
1、（2021七上·溧水期末）计算
（1）（－2.5）÷
×（－
）；
（2）－14－[2－（－3）2].
2、（2020七上·兴化期中）用“
”定义一种新运算：对于任意有理数
和
，规定
.如：
.
（1）求
的值；
（2）若
，求
的值；
（3）若
，
（其中
为有理数），试比较
、
大小关系，并说明理由.
要点3：科学计数法
【要点梳理】
1、定义：把一个大于10的数表示成的形式（其中是整数数位只有一位的数，l≤||<10，是正整数），这种记数法叫做科学记数法，如＝.
注意：
（1）负数也可以用科学记数法表示，“”照写，其它与正数一样，如=；
（2）把一个数写成形式时，若这个数是大于10的数，则n比这个数的整数位数少1.
【典型例题】
1、（2021七上·丹徒期末）根据美国约翰斯·霍普金斯大学统计的数据，截至美国东部时间2020年12月31日17时美国新冠肺炎确诊病例总数已超过1989万例．1989万用科学记数法可表示为（
）
A.?
万??B.?
万??????
C.?
万??D.?
万
2、某种细菌在培养过程中，每半小时分裂一次（由一个分裂成两个），若这种细菌由1个分裂为16个，则这个过程要经过多长时间？______?
【同步演练】
1、（2021七上·海陵期末）信息来自国家卫生健康委员会官方网站：截至2020年12月14日24时，据31个省（自治区、直辖市）和新疆生产建设兵团报告，现有确诊“新冠”病例312例（其中重症病例7例），累计治愈出院病例81812例.将81812用科学记数法表示为（?
）
A.?818.12×102???B.?81.812×103?????????????
C.?8.1812×104???D.?0.81812×105
2、（2020七上·兴化月考）一张长方形的纸对折，如图所示可得到一条折痕（图中虚线），继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折2次后，可以得3条折痕，那么对折4次可以得到________条折痕.
【课后巩固】
1、（2021七上·丹徒期末）两个同样大小的正方体按如图的方式放在一起，每个正方体相对两个面上写的数字之和都等于0．现将两个正方体并排放置，看得见的5个面上的数如图所示，则看不见的7个面上所写的数字之和等于（??
）
A.?-5????B.?-7????C.?5????D.?无法确定
2、（2021七上·丹徒期末）如图所示为我市2021年1月11日的天气预报图，则这天的温差是（
??）
A.????B.????C.???????D.?
3、（2021七上·如皋期末）苏中国际集装箱码头位于国家一类开放口岸——如皋港，2020年该码头集装箱吞吐量目标突破500000箱，致力打造长江下游集装箱港口“小巨人”.请将数500000用科学记数法表示为（??
）
A.????B.?????C.?500000???D.?
4、（2019七上·南通月考）一个机器人从数轴原点出发，沿数轴正方向，以每前进3步后退2步的程序运动，设该机器人每秒钟前进或后退
步，并且每步的距离为1个单位长，
表示第
秒时机器人在数轴上的位置所对应的数，给出下列结论（1）
；（2）
；（3）
；（4）
；（5）
其中，正确结论的个数是（??
）
A.?1个????B.?2个?????C.?3个??D.?4个
5、（2021七上·东台期末）据官方数据，截止到2020年5月31日，全国各级财政共安排新冠疫情防控资金约162400000000元，将162400000000用科学记数法表示为________.
6、（2021七上·泰州期末）若
，那么yx=________.
7、（2020七上·南通期中）若a，b为整数，且
，则
________.
8、（2020七上·无锡期中）
=________(n为正整数).
9、（2021七上·江阴期末）先化简，再求值:
，其中
、
满足?
.
10、（2020七上·丹徒期中）计算
（1）
（2）
（3）
（4）
11、（2019七上·南通月考）???
（1）当式子
有最小值时，
________；（直接写答案）
（2）已知：
，求
的值.
12、小明有5张写着不同数字的卡片，请按要求抽出卡片，完成下列各问题：
（1）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最大，如何抽取？最大值是多少?
答：我抽取的2张卡片是________、________，乘积的最大值为________．
（2）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，如何抽取？最小值是多少?
答：我抽取的2张卡片是________、________，商的最小值为________．
（3）从中取出4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24。如何抽取？写出运算式子。（写出一种即可）。
答：我抽取的4张卡片是________、________、________、________，
算24的式子为________.
13、（2019七上·江阴期中）随着手机的普及，微信（一种聊天软件）的兴起，许多人抓住这种机会，做起了“微商”，很多农产品也改变了原来的销售模式，实行了网上销售，这不刚大学毕业的小明把自家的冬枣产品也放到了网上实行包邮销售，他原计划每天卖100斤冬枣，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有出入，下表是某周的销售情况（超额记为正，不足记为负.单位：斤）；
?星期
?一
?二
?三
?四
?五
?六
?日
与计划量的差值
+4
-3?
-5
+10
-8
+23
-6
（1）根据记录的数据可知前三天共卖出________斤；
（2）根据记录的数据可知销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售________斤；
（3）若冬季每斤按7元出售，每斤冬枣的运费平均2元，那么小明本周一共收入多少元？
14、（2019七上·江阴期中）随着手机的普及，微信
一种聊天软件
的兴起，许多人抓住这种机会，做起了“微商”，很多农产品也改变了原来的销售模式，实行了网上销售，这不刚大学毕业的小明把自家的冬枣产品也放到了网上，他原计划每天卖100斤冬枣，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有出入，下表是某周的销售情况
超额记为正，不足记为负
单位：斤
；
?星期
?一
?二
?三
?四
?五
?六
?日
?与计划量的差值
?
?
?
?
?
?
?
（1）根据记录的数据可知前三天共卖出
________
斤；
（2）根据记录的数据可知销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售
________
斤；
（3）本周实际销售总量达到了计划数量没有？
（4）若冬季每斤按8元出售，每斤冬枣的运费平均3元，那么小明本周一共收入多少元？
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精品试卷·第
2
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