5.3 应用一元一次方程---水箱变高了 课件 2021—2022学年北师大版数学七年级上册（28张）

5.3 应用一元一次方程——水箱变高了
h
r
阿基米德用非常巧妙地方法测出了皇冠的体积，你知道他是如何测量的吗？
形状改变，
体积不变.
=
思考：在这个过程中什么没有发生变化？
情境导入
(1)若该长方形的长比宽多1.4m，此时长方形的长、宽各是多少？
在这个过程中什么没有发生变化？
长方形的周长(或长与宽的和)不变
用一根长为10m的铁丝围成一个长方形.
获取新知
x m
(x+1.4) m
等量关系：
（长+宽）× 2=周长
解： 设此时长方形的宽为xm，则它的长为(x+1.4)m. 根据题意，得
(x+1.4 +x) ×2 =10
解得 x =1.8
1.8+1.4=3.2
此时长方形的长为3.2m，宽为1.8m.
(2)若该长方形的长比宽多0.8m，此时长方形的长和宽各为多少米？它围成的长方形与(1)中所围成的长方形相比，面积有什么变化？
x m
(x+1.4) m
解：设此时长方形的宽为xm，则它的长为（x+0.8）m.根据题意，得
(x+0.8 +x) ×2 =10
解得 x=2.1
2.1+0.8=2.9
此时长方形的长为2.9m，宽为2.1m，面积为2.9 ×2.1=6.09(m2)，(1)中长方形的面积为3.2 × 1.8=5.76(m2).
此时长方形的面积比(1)中长方形的面积增大6.09－5.76=0.33(m2).
(3)若该长方形的长与宽相等，即围成一个正方形，那么正方形的边长是多少？它围成的正方形的面积与(2)中相比，又有什么变化？
x m
(x +x) ×2 =10
解得 x=2.5
正方形的面积为2.5 × 2.5 =6. 25(m2)
解：设正方形的边长为xm.
根据题意，得
比(2)中面积增大 6. 25 -6.09=0.16（m2）
正方形的边长为2.5m
同样长的铁丝可以围更大的地方
面积：1.8 × 3.2=5.76
面积：
2.9 ×2.1=6.09
面积：
2.5 × 2.5 =6. 25
围成正方形时面积最大
比较
(1)形状、面积发生了变化，而周长没变；
(2)形状、周长不同，但是根据题意找出周长之间的关系，把这个关系作为等量关系．解决问题的关键是通过分析变化过程，挖掘其等量关系，从而可列方程．
例1 用两根等长的铁丝分别绕成一个正方形和一个圆，已知正方形的边长比圆的半径长2(π－2) m，求这两根等长的铁丝的长度，并通过计算说明谁的面积大．
[解析] 比较两图形的面积大小，关键是通过题中的等量关系列方程求得圆的半径和正方形的边长，本题的等量关系为正方形的周长＝圆的周长．
例题讲解
解：设圆的半径为r m，则正方形的边长为[r＋2(π－2)]m.根据题意，得
答：铁丝的长为8π m，圆的面积较大．
因为4π×4＞4π×π，所以16π＞4π2，
所以圆的面积大．
正方形的面积为[4＋2(π－2)]2＝4π2(m 2)．
所以圆的面积是π×42＝16π(m 2)，
所以铁丝的长为2πr＝8π(m)．
2πr＝4(r＋2π－4)，解得r＝4.
某居民楼顶有一个底面直径和高均为4m的圆柱形储水箱.现该楼进行维修改造，为减少楼顶原有储水箱的占地面积，需要将它的底面直径由4m减少为3.2m.那么在容积不变的前提下，水箱的高度将由原先的4m增高为多少米？
获取新知
解：设水箱的高变为 x 米，填写下表：
旧水箱
新水箱
底面半径
高
体积
等量关系：
旧水箱的体积=新水箱的体积
解：设水箱的高为 x m，
解得
因此，水箱的高变成了6.25米.
旧水箱的容积=新水箱的容积
等量关系：
由题意得 ：
1.“等积变形”是以形状改变而体积不变为前提，常用
的关系有：
(1)形状变了，体积没变；
(2)原材料的体积＝成品的体积．
2.解决等积变形的问题时，通常利用体积相等建立方程．
你认为列一元一次方程解应用题的主要步骤有哪些？关键是什么？
思考：
1.审——通过审题找出等量关系.
6.答——注意单位名称.
5.检——检验求出的值是否为方程的解，并检验是否符合实际问题.
4.解——求出方程的解(对间接设的未知数切忌继续求解).
3.列——依据找到的等量关系，列出方程.
2.设——设出合理的未知数(直接或间接)，注意单位名称.
D
随堂演练
2．用5.2 m长的铁丝围成一个长方形，使得长比宽多0.6 m，求围成的长方形的宽为多少．设长方形的宽为x m，可列方程为(　　)
A．x＋(x＋0.6)＝5.2 B．x＋(x－0.6)＝5.2
C．2(x＋x＋0.6)＝5.2 D．2[x＋(x－0.6)]＝5.2
C
3.要锻造一个直径为8厘米、高为4厘米的圆柱形毛坯，则至少应截取直径为4厘米的圆钢______厘米
4.钢锭的截面是正方形，其边长是20厘米，要锻造成长、宽、高分别为40厘米、30厘米、10厘米的长方体，则应截取这种钢锭多长？
答案：30厘米.
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5．已知长方形的周长是30 cm，长比宽多3 cm，求这个长方形的面积．
解：设长方形的宽为x cm，则长为(x＋3)cm.
依题意，得2(x＋x＋3)＝30.
解这个方程，得x＝6，则x＋3＝9.
因此，这个长方形的面积为6×9＝54(cm2)．
6. 墙上钉着用一根彩绳围成的梯形形状的饰物，如下图实线所示(单位：cm).小颖将梯形下底的钉子去掉，并 将这条彩绳钉成一个长方形，如下图虚线所示.小颖所钉长方形的长、宽各为多少厘米？
长14cm，宽10cm.
7．一种饮水机上的圆柱形水桶的内径为25 cm，内壁高为35 cm，有一个内径为6 cm，内壁高为10 cm的圆柱形玻璃杯，如果一桶饮用水全用这个玻璃杯去盛，可以盛满多少杯？
8. 如图，有甲、乙两个容器，甲容器盛满水，乙容器里没有水，现将甲容器中的水全部倒入乙容器，问：乙容器中的水会不会溢出？如果不会溢出，请你求出倒入水后乙容器中的水深；如果水会溢出，请你说明理由．(容器壁厚度忽略不计，图中数据的单位：cm)
解：乙容器中的水不会溢出．
设甲容器中的水全部倒入乙容器后，乙容器中的
水深x cm.
由题意，得π×102×20＝π×202×x.
解得x＝5.
因为5 cm＜10 cm，所以水不会溢出，倒入水后
乙容器中的水深5 cm.
9.小明的爸爸想用10米铁线在墙边围成一个鸡棚，使长比宽大4米，问小明要帮他爸爸围成的鸡棚的长和宽各是多少呢？
铁线
墙面
x
x+4
x+x+x+4=10
门
墙面
铁线
变式：小明若小明用10米铁线在墙边围成一个长方形鸡棚，使长比宽大5米，但在宽的一边有一扇1米宽的门，那么，请问小明围成的鸡棚的长和宽又是多少呢？
（x-1）+x+（x+5）=10
x
课堂小结