5.6 应用一元一次方程---追赶小明 课件 2021—2022学年北师大版数学七年级上册（36张）

5.6 应用一元一次方程——追赶小明
小明和小华相距10米，他们同时出发，相向而行，小明每秒走3米，小华每秒走4米，他们能相遇吗？几秒钟可以相遇？
等量关系：
小明走的路程+小华走的路程=相距的路程
所用公式：路程=速度×时间
情境导入
这道题是小学做过的一种很常见的应用题：行程问题，
用到的数量关系主要有：
路程=平均速度×时间；
时间=路程÷平均速度.
行程问题就是要抓住速度、路程、时间三个量之间的关系，找出等量关系，正确地列出方程，解决实际问题.
1.若杰瑞的速度是6米/秒，则它5秒跑了________米．
2.若汤姆的速度是7米/秒，要抓到14米远处正在吃食物而毫无防备的杰瑞需要________秒．
3.若杰瑞想在4秒钟内抢在汤姆前面吃到放在30米处的奶酪，则它至少每秒钟要跑________米．
30
2
7.25
小明每天早上要在7: 50之前赶到距家1 000 m的学校上学.一天，小明以80 m/min的速度出发，5 min后，小明的爸爸发现他忘了带语文书.于是, 爸爸立即以180 m/min的速度去追小明，并且在途中追上了他.
(1)爸爸追上小明用了多长时间？
(2)追上小明时，距离学校还有多远？
获取新知
分析：当爸爸追上小明时，两人所走路程相等.
解：(1)设爸爸追上小明用了x分钟，则此题的数量关系可用线段图表示.
据题意，得 80×5＋80x=180x.
答：爸爸追上小明用了4分钟．
（2）180×4=720（米），1000－720=280（米）.
答：追上小明时，距离学校还有280米．
化简，得 100x=400. x=4.
80×5
80x
180x
在审题过程中，如果能把文字语言变成图形语言——线段图，即可使问题更加直观，等量关系更加清晰.我们只要设出未知数，并用代数式表示出来，便可以得到方程.
例1 小丽和小红每天早晨坚持跑步，小红每秒跑 4米，小丽每秒跑6米.
（1）如果她们从100米跑道的两端相向跑，那么几秒之后两人相遇？
（2）如果小丽站在百米跑道起跑处，小红站在她面前10米处，两人同时同向起跑，几秒后小丽追上小红？
例题讲解
（1）如果她们从100米跑道的两端相向跑，那么几秒之后两人相遇？
题目中已知些什么？用图表示出来.
等量关系:小丽所跑的路程+小红所跑的路程=100米.
小丽跑的路程
小红跑的路程
100米
解：设经过x秒后两人相遇，则小丽跑的路程为6x米，小红跑的路程为4x米，由此可得方程：
6x+4x=100.
解得：x=10.
答：经过10秒后两人相遇.
小丽跑的路程
小红跑的路程
100米
题目中已知些什么？用图表示出来.
（2）如果小丽站在百米跑道起跑处，小红站在她面前10米处，两人同时同向起跑，几秒后小丽追上小红？
小丽跑的路程
(6x)
小红跑的路程
(4x)
10米
追及点
等量关系:小丽所跑的路程-小红所跑的路程=10米.
解：设经过x秒后小丽追上小红，则小丽跑的路程为6x米，小红跑的路程为4x米，由此可得方程：
6x-4x=10.
解得：x=5.
答：经过5秒后小丽追上小红.
小丽跑的路程
(6x)
小红跑的路程
(4x)
10米
追及点
相遇问题：
关于两人从两地出发相向而行的行程问题称为相遇问题，这
类问题往往根据路程之和等于总路程列方程．如图5－6－1所示，甲的行程＋乙的行程＝两地相距的路程．
图5－6－1
A，B两地相距60千米，甲、乙两人分别从A，B两地出发相向而行，甲的速度是8千米/时，乙的速度是6千米/时．经过多长时间两人相距4千米？
8x
6x
60
4
A
B
8x
6x
60
4
A
B
追及问题：
(1)对于同向同时不同地的问题，如图5－6－2所示，甲的行程－乙的行程＝两出发地相距的路程；
图5－6－2
(2)对于同向同地不同时的问题，如图5－6－3所示，甲的
行程＝乙先走的路程＋乙后走的路程．
注意：同向而行注意始发时间和地点．
一队学生去校外进行军事野营训练，他们以5 km/h的速度行进，走了18 min的时候，学校要将一个紧急通知传给队长，通讯员从学校出发，骑自行车以14 km/h的速度按原路追上去，通讯员用多少时间可以追上学生的队伍？
相等关系：通讯员的行进路程＝学生的行进路程．
5×18/60
5x
14x
注意单位统一
问题1：操场一周是400米，小明每秒跑5米,小华骑自行车每秒10米,两人绕跑道同时同地同向而行，他俩能相遇吗？
环形跑道问题
分 析
小华
小明
同时同地同向而行
能相遇
问题2：操场一周是400米，小明每秒跑5米,小华骑自行车每秒10米,两人绕跑道同时同地同向而行，经过几秒钟两人第一次相遇？
分 析
小华
小明
同时同地同向而行
拓展训练：
经过几秒钟两人第三次相遇？
解：设经过x秒两人第一次相遇，依题意，得
10x-5x=400,
解得x=80.
答：经过80秒两人第一次相遇
变式训练：操场一周是400米，小明每秒跑5米,小华骑自行车每秒10米,两人绕跑道同时同地同向而行，两人同时同地相背而行，则两个人何时相遇？
分 析
小华
小明
同时同地
相背而行
解：设经过x秒两人第一次相遇，依题意，得
10x+5x=400,
解得x= .
答：经过 秒两人第一次相遇
环形跑道问题：设v甲＞v乙，环形跑道长s米，经过t秒甲、乙第一次相遇.
一般有如下两种情形：
①同时同地、同向而行：
v甲t-v乙t=s.
①同时同地、背向而行：
v甲t+v乙t=s.
例2 小明和他的哥哥早晨起来沿长为400 m的环形跑道练习跑步．小明跑2圈用的时间和他的哥哥跑3圈用的时间相等．两人同时同地同向出发，结果经过2 min 40 s他们第一次相遇，若他们两人同时同地反向出发，则经过几秒他们第一次相遇？
解：设小明的速度为x m/s，
则他的哥哥的速度为 x m/s，
由题意得160x＝160× －400.
解得x＝5.
则小明的哥哥的速度为5× ＝7.5(m/s)．
设经过y s他们第一次相遇，
由题意，得(5＋7.5)y＝400.解得y＝32.
答：经过32 s他们第一次相遇．
例2 顺(逆)水(风)问题一架飞机在两个城市之间飞行，当顺风飞行时需2.9 h，当逆风飞行时则需3.1 h．已知风速为20 km/h，求无风时飞机的航速和这两个城市之间的距离．
设无风时飞机的航速为x km/h，根据顺风速度＝无风速度＋风速，逆风速度＝无风速度－风速，由路程＝速度×时间列出方程，求出方程的解即可得到结果．
解：设无风时飞机的航速为x km/h，
根据题意，得2.9(x＋20)＝3.1(x－20)．
解这个方程，得x＝600.
则3.1(x－20)＝1798.
因此，无风时飞机的航速为600 km/h，这两个城市之间的距离为1798 km.
1．顺(逆)风问题中的有关公式：
①顺风速度＝无风速度＋风速；②逆风速度＝无风速度－风
速；③顺风速度－逆风速度＝2×风速．
2．顺(逆)水问题中的有关公式：
①顺水速度＝静水中的速度＋水流速度；②逆水速度＝静水
中的速度－水流速度；③顺水速度－逆水速度＝2×水流速度．
例3家住山脚下的孔明同学想从家出发登山游玩，据以往的经验，他获得如下信息：
①他下山时的速度比上山时的速度每小时快1 km；
②他上山2 h到达的位置，离山顶还有1 km；
③抄近路下山，下山路程比上山路程近2 km；
④下山用1 h.
根据上面信息，他做出如下计划：
(1)在山顶游览1 h；
(2)中午12：00回到家吃中餐．
若依据以上信息和计划登山游玩，
请问：孔明同学应该在什么时间从家出发？
解：设上山的速度为v km/h，
则下山的速度为(v＋1) km/h，
由题意得2v＋1＝v＋1＋2，解得v＝2.
即上山速度是2 km/h.
A
随堂演练
2．甲、乙两人在环形跑道上练习跑步，已知环形跑道一圈长400米，乙每秒跑6米，甲每秒跑8米．如果甲在乙前面8米处同时同向出发，那么经过几秒两人首次相遇(　　)
A．208秒 B．204秒
C．200秒 D．196秒
D
3．甲、乙两人赛跑，甲的速度是8米/秒，乙的速度是5米/秒，如果甲从起点处往后退20米，乙从起点处向前进10米，若甲、乙两人同时出发，则甲经过几秒钟追上乙？
解：设甲经过x秒追上乙．由题意，得8x－5x＝20＋10.解这个方程，得x＝10.
因此，甲经过10秒追上乙．
4．A，B两地相距30千米．甲、乙两人分别从A，B两地同时出发，相向而行．已知甲比乙每小时多走1千米，经过2.5小时两人相遇，求甲、乙两人的速度．
解：设乙的速度为x千米/时，则甲的速度为(x＋1)千米/时．
根据题意，得2.5x＋2.5(x＋1)＝30.
解这个方程，得x＝5.5.则x＋1＝6.5.
因此，甲、乙两人的速度分别为6.5千米/时、5.5千米/时．
5.甲站和乙站相距1 500 km，一列慢车从甲站开出，速度为60 km/h，一列快车从乙站开出，速度为90 km/h.
(1)若两车相向而行，慢车先开30 min，快车开出几小时后两车相遇？
(2)若两车同时开出，相背而行，多少小时后两车相距1 800 km？　
(3)若两车同时开出，快车在慢车后面同向而行，多少小时后两车相距1 200 km(此时快车在慢车的后面)?
解：(1)设快车开出x h后两车相遇．
由题意，得60× ＋90x＝1 500，
解得x＝9.8.
答：快车开出9.8 h后两车相遇．
(2)设y h后两车相距1 800 km.
由题意，得60y＋90y＋1 500＝1 800，
解得y＝2.
答：2 h后两车相距1 800 km.
(3)设z h后两车相距1 200 km(此时快车在慢车的后面)．
由题意，得60z＋1 500－90z＝1 200，
解得z＝10.
答：10 h后两车相距1 200 km(此时快车在慢车的
后面)．
课堂小结