4.2 比较线段的长短 课件 2021—2022学年北师大版数学七年级上册（29张）

4.2 比较线段的长短
看图思考
为什么大家都喜欢走捷径呢？
绿地里本没有路，走的人多了… …
情境导入
两点之间线段的长度，叫做两点之间的距离.
如图，从A到C地有四条道路，哪条路最近？
AC
两点之间的所有连线中，线段最短.
简称：两点之间，线段最短.
两点之间的距离的概念描述的是数量，而不是图形，指的是连接两点的线段的长度，而不是线段本身．
要点解析
如图所示，直线MN表示一条铁路，铁路两旁各有一点A和点B表示两个工厂．要在铁路上建一货站，使它到两厂的距离之和最短，则这个货站应建在何处？请在图中用点P表示货站的位置．
解：连接AB，交MN于点P，则这个货站应建在点P处．图略．
比较两条线段的长短
下图中哪棵树高？哪支铅笔长？窗框相邻的两条边哪条边长？你是怎么比较的？与同伴进行交流.
1
3
5
4
6
7
2
8
0
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怎样比较两条线段的长短?？
(1) 度量法
(2) 叠合法
将其中一条线段“移动”，使其一端点与另一线段的一端点重合，两线段的另一端点均在同一射线上.
用刻度尺量出它们的长度，再进行比较.
A B
C D
a
b
获取新知
C
D
(A)
B
＜
叠合法结论：
B
A
C
(B)
(A)
D
A
B
C
D
B
(A)
B
A
1.若点A与点C重合,点B落在C、D之间,那么AB___CD.
2.若点A与点C重合,点B与点D_____,那么AB=CD.
3.若点A与点C重合,点B落在CD的延长线上,那么AB ___ CD.
重合
>
尺规作图
在数学中，我们常限定用无刻度的直尺和圆规作图，这就是尺规作图，利用尺规作图可以将一条线段移到另一条线段上．
例1 尺规作图的工具是(　　)
A．刻度尺和圆规
B．三角尺和圆规
C．直尺和圆规
D．没有刻度的直尺和圆规
例题讲解
D
例2 如图，已知线段AB，用尺规作一条线段等于已知线段AB.
(1)作射线A'C'；
(2)用圆规在射线A'C'上截取A'B'=AB.
(3)线段A'B'为所求作的线段.
A' C'
B'
A
B
解：作图步骤如下：
常见的作图用语：(1)作射线**；
(2)在射线**上截取**＝**；
(3)在线段**上截取**＝**.
注意：画图时要保留作图痕迹——弧线．
如图，已知线段a，b，求作线段AB＝2a＋b.
[解析] 作线段AB＝2a＋b，实际就是顺次作三条线段分别等于a，a和b.
解：作图步骤如下：
(1)作射线AM；
(2)在AM上顺次截取AB1＝a，B1B2＝a，B2B＝b，则线段AB＝2a＋b.
A
M
a
a
b
B1
B2
B
如何找到一条绳子的中点呢？
获取新知
谁可以描述一下线段中点的概念呢？(对照图形)
点M把线段AB分成相等的两条线段AM和BM，点M叫做线段AB的中点.
∵M是线段AB的中点
∴AM= MB = AB
（或AB=2AM=2MB）
1
2
中点定义
数学语言：
例3 如图所示，C为线段AB上一点，D是线段AC的中点，E是线段CB的中点，AB＝9 cm，AC＝5 cm.
求：(1)AD的长；(2)DE的长．
解：(1)∵D是AC的中点，AC＝5 cm，
∴DE＝DC＋CE＝2.5＋2＝4.5(cm)．
解法二：
∵点D、点E分别是线段AC、BC的中点
∴
∵AC＋BC=AB
∴DE=DC＋CE= (AC＋CB)= AB=4.5(cm)
(1)逐段计算：求线段的长度，主要围绕线段的和、差、倍、分关系展开．若每一条线段的长度均已确定，所求问题可迎刃而解．
计算线段长度的一般方法：
(2)整体转化：巧妙转化是解题关键．首先将线段转化为两条线段的和，然后再通过线段的中点的等量关系进行替换，将未知线段转化为已知线段．
1．平面上A，B两点间的距离是指(　　)
A．经过点A，B的直线
B．射线AB
C．A，B两点间的线段
D．A，B两点间线段的长度
D
随堂演练
B
3．如图，小明家到小颖家有四条路，小明想尽快到小颖家，他应该走第___条路，其中的道理是_________________．
②
两点之间线段最短
4．如图，已知三条线段a，b，c.请画出线段AB，使AB＝a＋b＋c.
5．如图，C，D是线段AB上两点，若AB＝10 cm，BC＝4 cm，且D是线段AC的中点，求BD的长．
1. 如图，B、C两点把线段AD分成2∶3∶4的三部分，点E是线段AD的中点，EC＝2cm，求：
（1）AD的长；
（2）AB∶BE.
解：（1）设AB＝2x，则BC＝3x，CD＝4x，
由线段的和差，得AD＝AB＋BC＋CD＝9x.
由E为AD的中点，得ED＝ AD＝ x.
由线段的和差得，CE＝DE－CD＝ x－4x＝ ＝2
解得x＝4，∴AD＝9x＝36（cm）.
课外拓展：
（2）AB∶BE.
解：AB＝2x＝8，BC＝3x＝12.
由线段的和差，
得BE＝BC－CE＝12－2＝10（cm）.
∴ AB∶BE＝8∶10＝4∶5.
如果线段AB＝6，点C在直线AB上，BC＝4，D是AC的中点，那么A、D两点间的距离是（　　）
A.5 B.2.5 C.5或2.5 D.5或1
本题有两种情形：
（1）当点C在线段AB上时，如图：
AC＝AB－BC，
又∵AB＝6，BC＝4，∴AC＝6－4＝2，
∵D是AC的中点，∴AD＝1；
（2）当点C在线段AB的延长线上时，如图：
AC＝AB＋BC，
又∵AB＝6，BC＝4，∴AC＝6＋4＝10，
∵D是AC的中点，∴AD＝5.故选D.
课堂小结