人教版A版高中数学必修五1.1.2余弦定理
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．的三内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c．设向量，．若，则C等于（）．
A．
B．
C．
D．
2．若的内角满足，则（
）
A．
B．
C．
D．
3．在中，已知面积，则角的度数为（
）
A．
B．
C．
D．
4．在中，已知，且满足，则的面积为（
）
A．1
B．2
C．
D．
5．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的形状一定是（
）
A．等腰直角三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等边三角形
6．在中，内角所对的边分别为，已知，是线段上一点，且，则（
）
A．
B．
C．
D．
7．若的内角、、所对应的边、、满足,且,则的值为(
)
A．
B．
C．
D．
8．设的内角所对边的长分别为，若,则角=（
）
A．
B．
C．
D．
9．边长为的三角形的最大角与最小角之和为
（
）
A．
B．
C．
D．
10．在锐角中，角所对的边分别为，若，，，则的值为
A．
B．
C．
D．
二、填空题
11．设的内角所对边的长分别为,若,则角_________．
12．在中，若，则__________．
13．在中，，，的角平分线，则________.
14．若在△ABC中，则=_______。
15．在△ABC中，三个角A，B，C的对边边长分别为a=3，b=4，c=6,则bc
cosA+cacosB+abcosC的值为
．
三、解答题
16．在锐角中，、、分别为角、、所对的边，且．
（）确定角的大小．
（）若，且的面积为，求的值．
17．已知的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且.
(1)若,求的值;
(2)若,求b,c的值.
18．在中，内角A，B，C的对边a，b，c，且，已知，，，求：
（1）a和c的值；
（2）的值.
19．在△ABC中，(1)求B的大小；
(2)求cos
A＋cos
C的最大值．
20．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，.
（1）求b的值；
（2）求的值.人教版A版高中数学必修五1.1.2余弦定理
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．的三内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c．设向量，．若，则C等于（）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先由题意得到，化简整理，根据余弦定理，即可得出结果.
【详解】
因为向量，，，
所以，
整理得：
所以
解得.
故选B
【点睛】
本题主要考查解三角形，熟记余弦定理与向量共线的坐标表示，即可得出结果.
2．若的内角满足，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
，由正弦定理可得，由余弦定理可得，故选D.
3．在中，已知面积，则角的度数为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由面积公式和余弦定理化简条件可得，从而得解.
【详解】
由，得，解得，
又角为的内角，所以.
故选B.
【点睛】
本题主要考查了余弦定理及面积公式求解三角形，属于基础题.
4．在中，已知，且满足，则的面积为（
）
A．1
B．2
C．
D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据正弦定理先进行化简，然后根据余弦定理求出C的大小，结合三角形的面积公式进行计算即可．
【详解】
在中，已知，∴由正弦定理得，
即，∴＝＝，即＝.
∵
，∴的面积．
故选D．
【点睛】
本题主要考查三角形面积的计算，结合正弦定理余弦定理进行化简是解决本题的关键,属于基础题．
5．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的形状一定是（
）
A．等腰直角三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等边三角形
【答案】C
【解析】
【分析】
将角C用角A角B表示出来，和差公式化简得到答案.
【详解】
△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
角A，B，C为△ABC的内角
故答案选C
【点睛】
本题考查了三角函数和差公式，意在考查学生的计算能力.
6．在中，内角所对的边分别为，已知，是线段上一点，且，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
由
，可得解得．
又因为，可得，，得
填B.
7．若的内角、、所对应的边、、满足,且,则的值为(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
的边，满足，又，由余弦定理得，，故选C.
8．设的内角所对边的长分别为，若,则角=（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
【详解】
试题分析：，由正弦定理可得即；
因为，所以，所以，而，所以，故选B.
考点：1.正弦定理；2.余弦定理.
9．边长为的三角形的最大角与最小角之和为
（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
【详解】
解：根据三角形角边关系可得，最大角与最小角所对的边的长分别为8与5，
设长为7的边所对的角为θ，则最大角与最小角的和是180°-θ，
有余弦定理可得，cosθ=，
易得θ=60°，则最大角与最小角的和是180°-θ=120°，故选B．
10．在锐角中，角所对的边分别为，若，，，则的值为
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
【分析】
在锐角中，利用，，可求得，再利用，由余弦定理可求得，解方程组可求得的值．
【详解】
∵在锐角中，，，
∴，
∴，①
又，是锐角，∴，
∴由余弦定理得：，
即，
∴②
由①②得：，解得．
故选A．
【点睛】
本题主要考查正弦定理与余弦定理的应用，考查方程思想与运算能力，属于中档题
二、填空题
11．设的内角所对边的长分别为,若,则角_________．
【答案】
【解析】
∵3sinA＝5sinB，∴3a＝5b.①
又∵b＋c＝2a，②
∴由①②可得，a＝b，c＝b.
∴cosC＝＝＝－.
∴C＝π.
12．在中，若，则__________．
【答案】
【解析】
∵由正弦定理可得，∴，令，，（），利用余弦定理有，∵，∴，故答案为.
13．在中，，，的角平分线，则________.
【答案】
【解析】
试题分析：由正弦定理可得，所以．在中，所以，所以在中．又因为，所以．所以，所以＝，所以．
考点：正余弦定理．
【技巧点睛】（1）在三角形中处理边角关系时，一般全部转化为角的关系，或全部转化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用正弦定理，出现边的二次式一般采用余弦定理，应用正弦、余弦定理时，注意公式变形的应用，解决三角形问题时，注意角的限制范围．
14．若在△ABC中，则=_______。
【答案】
【解析】
【分析】
由A的度数求出sinA和cosA的值，根据sinA的值，三角形的面积及b的值，利用三角形面积公式求出c的值，再由cosA，b及c的值，利用余弦定理求出a的值，最后根据正弦定理及比例性质即可得到所求式子的比值．
【详解】
由∠A=60°，得到sinA=，cosA=，
又b=1，S△ABC=，
∴bcsinA=×1×c×=，
解得c=4，
根据余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=1+16﹣4=13，
解得a=，
根据正弦定理====，
则=．
故答案为：
【点睛】
此题考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，特殊角的三角函数值以及比例的性质，正弦定理、余弦定理建立了三角形的边与角之间的关系，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．
15．在△ABC中，三个角A，B，C的对边边长分别为a=3，b=4，c=6,则bc
cosA+cacosB+abcosC的值为
．
【答案】
【解析】
由余弦定理有，原式．
三、解答题
16．在锐角中，、、分别为角、、所对的边，且．
（）确定角的大小．
（）若，且的面积为，求的值．
【答案】（）；（）
【解析】
试题分析：（1）由正弦定理可知，，所以；（2）由题意，，，得到．
试题解析：
（），∴，
∵，∴．
（），，
，
∴．
17．已知的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且.
(1)若,求的值;
(2)若,求b,c的值.
【答案】(1);(2)
【解析】
【分析】
(1)先求出，再利用正弦定理可得结果；
(2)由求出，再利用余弦定理解三角形.
【详解】
(1)∵,且，
∴，
由正弦定理得，
∴；
(2)∵，
∴，
∴，
由余弦定理得，
∴.
【点睛】
本题考查正弦余弦定理解三角形，是基础题.
18．在中，内角A，B，C的对边a，b，c，且，已知，，，求：
（1）a和c的值；
（2）的值.
【答案】（1）；（2）
【解析】
试题分析：（1）由和，得ac=6.由余弦定理，得.
解，即可求出a，c；（2）
在中，利用同角基本关系得
由正弦定理，得，又因为，所以C为锐角，因此，利用，即可求出结果.
（1）由得，，又，所以ac=6.
由余弦定理，得.
又b=3，所以.
解，得a=2，c=3或a=3，c=2.
因为a>c,∴
a=3，c=2.
（2）在中，
由正弦定理，得，又因为，所以C为锐角，因此.
于是=.
考点：1.解三角形；2.三角恒等变换.
19．在△ABC中，(1)求B的大小；
(2)求cos
A＋cos
C的最大值．
【答案】（1）（2）1
【解析】
试题分析：（1）由余弦定理及题设得；（2）由（1）知当时，取得最大值．
试题解析：
（1）由余弦定理及题设得，
又∵，∴；（2）由（1）知，
，因为，所以当时，取得最大值．
考点：1、解三角形；2、函数的最值.
20．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，.
（1）求b的值；
（2）求的值.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】
（1）由余弦定理代入数据计算可得；（2）由可得，再根据正弦定理，代值计算即可.
【详解】
（1）由余弦定理得，所以.
（2）因为，所以.由正弦定理，得，所以.
【点睛】
本题主要考查正弦定理与余弦定理的应用.在解三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据，解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更为方便、简捷，一般来说，当条件中出现，，时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数，再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.
