人教版A版高中数学必修五2.3等差数列的前n项
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设Sn为等差数列{an}的前n项和，且，则a2＝( )
A．－2
016
B．－2
018
C．2
018
D．2
016
2．在各项均为正数的等比数列中，公比.若，，，数列的前n项和为，则当取最大值时，n的值为（ ）
A．8
B．9
C．8或9
D．17
3．已知数列{an}为等差数列，Sn是它的前n项和．若＝2，S3＝12，则S4＝( )
A．10
B．16
C．20
D．24
4．已知数列{an}满足，且，设{an}的前项和为，则使得取得最大值的序号的值为(
)
A．7
B．8
C．7或8
D．8或9
5．设数列是等差数列，是其前项和，且，，则下列结论中错误的是（
）
A．
B．
C．
D．与均为的最大值
6．已知等差数列,前项和为,,则(
)
A．140
B．280
C．168
D．56
7．已知Sn＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n－1n，则S17＋S33＋S50等于( )
A．0
B．1
C．－1
D．2
8．已知为等差数列，,,以表示的前项和，则使得达到最大值的是（
）
A．21
B．20
C．19
D．18
9．“天宫一号”成功发射，举国欢庆，据计算，运载“天宫一号”的“长征二号”火箭在点火第一秒钟垂直上升的高度为0.02
km，以后每秒垂直上升的高度都增加0.01
km,在达到离地面约147
km的高度时，火箭与助推器分离，则这一过程需要的时间大约是（
）
A．150
s
B．160
s
C．170
s
D．180
s
10．已知为等差数列的前n项和，若，则（
）
A．18
B．99
C．198
D．297
二、填空题
11．等差数列{an}中，a10<0，且a11>|a10|，Sn为数列{an}的前n项和，则使Sn>0的n的最小值为_____．
12．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝3n2＋2n－1，则数列{an}的通项公式an＝____．
13．某房地产开发商在销售一幢23层的商品楼之前按下列方法确定房价：由于首层与顶层均为复式结构，因此首层价格为a1元/m2，顶层由于景观好价格为a2元/m2，第二层价格为a元/m2，从第三层开始每层在前一层价格上加价元/m2，则该商品房各层的平均价格为________元/m2.
14．数列{a
n}的前项和为S
n
=
4n
2
–n+2，则该数列的通项公式为________.
15．已知等差数列{an}的前n项和Sn＝－n2＋2tn，当且仅当n＝7时Sn最大，则t的取值范围是________．
三、解答题
16．已知数列的前n项和；
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求
17．数列{an}的前n项和记为Sn，点(n，Sn)在曲线f(x)＝x2－4x(x∈N
)上．求数列{an}的通项公式．
18．已知数列是一个等差数列,且,
(1)求的通项公式;
(2)若的前n项和为,求和的值
19．已知等差数列满足：，．的前n项和为．
（Ⅰ）求及；
（Ⅱ）令（）,求数列的前项和．
20．在等差数列中，（1）已知，求的值；
（2）已知，求的值.人教版A版高中数学必修五2.3等差数列的前n项
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设Sn为等差数列{an}的前n项和，且，则a2＝( )
A．－2
016
B．－2
018
C．2
018
D．2
016
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意可知为等差数列，从而可写出通项，求出，求出a2.
【详解】
因为Sn为等差数列{an}的前n项和，所以为等差数列，且首项为－2
018.
又因为，所以公差为1，所以＝－2
018＋1＝－2
017.所以S2＝a1＋a2＝－2
017×2.即a2＝－2
016.
【点睛】
本题主要考查了等差数列的定义，等差数列的通项公式及前n项和的概念，属于中档题.
2．在各项均为正数的等比数列中，公比.若，，，数列的前n项和为，则当取最大值时，n的值为（ ）
A．8
B．9
C．8或9
D．17
【答案】C
【解析】
∵
为等比数列，公比为，且
∴
∴，则
∴
∴
∴，
∴数列是以4为首项，公差为的等差数列
∴数列的前项和为
令
当时，
∴当或9时，取最大值.
故选C
点睛：（1）在解决等差数列、等比数列的运算问题时，有两个处理思路：一是利用基本量将多元问题简化为一元问题；二是利用等差数列、等比数列的性质，性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差数列、等比数列问题的快捷方便的工具；
（2）求等差数列的前项和最值的两种方法：①函数法：利用等差数列前项和的函数表达式，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解；②邻项变号法：当时，满足的项数使得取得最大值为；当时，满足的项数使得取得最小值为.
3．已知数列{an}为等差数列，Sn是它的前n项和．若＝2，S3＝12，则S4＝( )
A．10
B．16
C．20
D．24
【答案】C
【解析】
【分析】
根据等差数列的前n项和公式，即可求出.
【详解】
因为S3＝3＋d＝6＋3d＝12，解得d＝2，所以S4＝4＋
d＝20.
【点睛】
本题主要考查了等差数列的前n项和公式，属于中档题.
4．已知数列{an}满足，且，设{an}的前项和为，则使得取得最大值的序号的值为(
)
A．7
B．8
C．7或8
D．8或9
【答案】C
【解析】
数列满足，且，数列是公差，首项的等差数列，，或时，取得最大值，故选C.
【方法点睛】本题主要考查等差数列的通项公式与求和公式，以及等差数列的前项和的最值，属于中档题.
求等差数列前项和的最大值的方法通常有两种：①将前项和表示成关于的二次函数，，当时有最大值（若不是整数，等于离它较近的一个或两个整数时最大）；②可根据且确定最大时的值.
5．设数列是等差数列，是其前项和，且，，则下列结论中错误的是（
）
A．
B．
C．
D．与均为的最大值
【答案】C
【解析】
【分析】
根据等差数列的性质，结合，，分析出错误结论.
【详解】
由于，，所以，，，所以，与均为的最大值.而，所以，所以C选项结论错误.
故选：C.
【点睛】
本小题主要考查等差数列的性质，考查分析与推理能力，属于基础题.
6．已知等差数列,前项和为,,则(
)
A．140
B．280
C．168
D．56
【答案】A
【解析】
由等差数列的性质得，，其前项之和为，故选A.
7．已知Sn＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n－1n，则S17＋S33＋S50等于( )
A．0
B．1
C．－1
D．2
【答案】B
【解析】
【分析】
先分别求S17，S33，S50，再求S17＋S33＋S50的值.
【详解】
S17＝1－2＋3－4＋…＋17＝－8＋17＝9，
S33＝1－2＋3－4＋…＋33＝－16＋33＝17，
S50＝1－2＋3－4＋…－50＝－25，
∴S17＋S33＋S50＝9＋17－25＝1.
故答案为：B
【点睛】
(1)本题主要考查数列求和，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2)本题利用的是并项求和.
8．已知为等差数列，,,以表示的前项和，则使得达到最大值的是（
）
A．21
B．20
C．19
D．18
【答案】B
【解析】
试题分析：设等差数列的公差为，则由已知,,得：
，解得：，
，
由，得：，
当时，，当时，，
故当时，达到最大值.
故选B．
考点：等差数列的前n项和．
【易错点晴】本题主要考查了等差数列的通项公式，及等差数列前n项和取最值的条件及求法，如果从等数列的前n项和公的角度，由二次函数求最值时，对于n等于21还是20时，取得最大值，学生是最容易出错的.
9．“天宫一号”成功发射，举国欢庆，据计算，运载“天宫一号”的“长征二号”火箭在点火第一秒钟垂直上升的高度为0.02
km，以后每秒垂直上升的高度都增加0.01
km,在达到离地面约147
km的高度时，火箭与助推器分离，则这一过程需要的时间大约是（
）
A．150
s
B．160
s
C．170
s
D．180
s
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意可知，每秒垂直上升的高度符合等差数列，根据等差数列的前项和公式表示离地面的高度，让高度等于147列出关于时间的方程，解方程即可得到的值.
【详解】
设每一秒火箭在垂直上升的高度为
由题可知，数列是首项，公差为的等差数列，
由求和公式得，
解得，即大约需要170s.
故选C.
【点睛】
本题考查等差数列的基本概念和前项和公式的应用，考查学生灵活运用等差数列的公式解决实际问题，是一道灵活应用题.
10．已知为等差数列的前n项和，若，则（
）
A．18
B．99
C．198
D．297
【答案】B
【解析】
【分析】
由等差数列的性质得，再根据等差数列的前n项和公式，即可求出结果.
【详解】
由等差数列性质知，，
又，得，则，
.
故选B
.
【点睛】
本题考查等差数列性质和前n项和的计算，通过合理的转化，建立已知条件和求解问题之间的联系是解题关键.
二、填空题
11．等差数列{an}中，a10<0，且a11>|a10|，Sn为数列{an}的前n项和，则使Sn>0的n的最小值为_____．
【答案】20
【解析】
【分析】
由题意可得：由等差数列的性质可得：，，所以使的的最小值为20．
【详解】
由题意可得：因为，，且，所以，
所以由等差数列的性质可得：，又，所以，所以使的的最小值为20．
【点睛】
本题主要考查学生灵活运用等差数列的性质化简求值，掌握等差数列的前项和公式．
12．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝3n2＋2n－1，则数列{an}的通项公式an＝____．
【答案】
【解析】
当时，
当时，
所以an.
点睛：给出与的递推关系求，常用思路是：一是利用转化为的递推关系，再求其通项公式；二是转化为的递推关系，先求出与之间的关系，再求.
应用关系式时，一定要注意分两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起.
13．某房地产开发商在销售一幢23层的商品楼之前按下列方法确定房价：由于首层与顶层均为复式结构，因此首层价格为a1元/m2，顶层由于景观好价格为a2元/m2，第二层价格为a元/m2，从第三层开始每层在前一层价格上加价元/m2，则该商品房各层的平均价格为________元/m2.
【答案】
(a1＋a2＋23.1a)
【解析】
【分析】
先求出S21，再求平均价格得解.
【详解】
设第二层到第22层的价格构成数列{bn}，
则{bn}是等差数列，b1＝a，公差d＝，共21项，
所以其和为S21＝21a＋·＝23.1a，
故平均价格为
(a1＋a2＋23.1a)元/m2.
故答案为：
(a1＋a2＋23.1a)
【点睛】
本题主要考查等比数列的前n项和，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.
14．数列{a
n}的前项和为S
n
=
4n
2
–n+2，则该数列的通项公式为________.
【答案】
【解析】
【分析】
由数列的前项和求通项公式，做法都是一样的，第项的表达式由前项和减去前项和求得，只是解题时不要忽略首项要代入通项验证看是否符合，若不符合则要写成分段函数形式．
【详解】
，
当
时，，
∴
故答案为．
【点睛】
本题考查由数列的前项和求通项公式，属基础题.
15．已知等差数列{an}的前n项和Sn＝－n2＋2tn，当且仅当n＝7时Sn最大，则t的取值范围是________．
【答案】(6.5，7.5)
【解析】数形结合，利用二次函数图象可得对称轴x＝t∈(6.5，7.5),故填(6.5，7.5).
三、解答题
16．已知数列的前n项和；
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）直接利用求解即可；（2）由，利用裂项相消法可得结果.
【详解】
（1）当时，①
当时，，也满足①式
所以数列的通项公式为.
（2），
.
【点睛】
裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2）
；
（3）；（4）；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.
17．数列{an}的前n项和记为Sn，点(n，Sn)在曲线f(x)＝x2－4x(x∈N
)上．求数列{an}的通项公式．
【答案】an＝2n－5.
【解析】
【分析】
先由题得到Sn＝n2－4n，再由项和公式求数列{an}的通项公式．
【详解】
解：由点(n，Sn)在曲线f(x)＝x2－4x(x∈N
)上知，
Sn＝n2－4n，
当n≥2时an＝Sn－Sn－1＝n2－4n－[(n－1)2－4(n－1)]＝2n－5；
当n＝1时，a1＝S1＝－3，满足上式；
∴数列{an}的通项公式为an＝2n－5.
【点睛】
（1）本题主要考查项和公式求数列的通项，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2)
若在已知数列中存在：的关系，可以利用项和公式，求数列的通项.
18．已知数列是一个等差数列,且,
(1)求的通项公式;
(2)若的前n项和为,求和的值
【答案】（1）；（2）42,42
【解析】
【分析】
(1)先根据条件列关于首项与公差的方程组，解得首项与公差，再代入等差数列通项公式得结果，(2)根据等差数列前n项和公式求结果.
【详解】
（1）设等差数列的公差为，则解得所以.
（2）由（1）得，，
所以，.
【点睛】
本题考查等差数列通项公式以及前n项和公式，考查基本求解能力，属基础题.
19．已知等差数列满足：，．的前n项和为．
（Ⅰ）求及；
（Ⅱ）令（）,求数列的前项和．
【答案】（Ⅰ）;
（Ⅱ）．
【解析】
试题分析：（1）设等差数列的公差为，由已知可得
解得，则及可求；（2）由（1）可得，裂项求和即可
试题解析：（1）设等差数列的公差为，因为，，所以有，
解得，所以，.
（2）由（1）知，，
所以，
所以，
即数列的前项和.
考点：等差数列的通项公式，前项和公式．裂项求和
20．在等差数列中，（1）已知，求的值；
（2）已知，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）利用等差数列下标和的性质求出的值，然后利用等差数列求和公式可求出的值；
（2）利用等差中项的性质和等差数列的求和公式可计算出的值.
【详解】
（1）由等差数列的性质可得，
解得，因此，；
（2）由等差中项的性质和等差数列的求和公式得.
【点睛】
本题考查等差数列求和，解题时充分利用下标和性质以及等差中项性质，可简化计算，考查运算求解能力，属于基础题.
