人教版A版高中数学必修五2.1数列的概念与简单表示法
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知数列的首项，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
【详解】
由，可得，
是以为公差，以为首项的等差数列.
∴，即.
故选C.
2．设数列满足，且对任意正整数，总有成立，则数列的前2019项的乘积为（
）
A．
B．1
C．2
D．.3
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意结合递推关系式求得数列的前几项，确定数列为周期数列，然后结合周期性即可求解数列的前2019项的乘积即可.
【详解】
由题意可得：，故：
，，，
，，
据此可得数列是周期为的周期数列，
注意到，且：，
故数列的前2019项的乘积为：.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查数列的递推关系及其应用，数列的周期性等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
3．已知数列满足，，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
【分析】
通过裂项得，进而利用累加求和即可.
【详解】
由，得.
所以当时，
，
所以，，所以，也满足.
所以.
故选A.
【点睛】
本题主要考查了累加法求通项公式，涉及裂项求和的思想，属于中档题.
4．数列中，对于任意，恒有，若，则等于(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
因为,所以?,?.选D.
5．若在数列中，对任意正整数，都有（常数），则称数列为“等方和数列”，称为“公方和”，若数列为“等方和数列”，其前项和为，且“公方和”为，首项，则的最大值与最小值之和为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】试题分析：由得，两等式相减得：
.又“公方和”为，首项，所以.所以的最大值为1007，最小值为1005，其差为2.选D.
考点：1、新定义；2、数列.
6．正项数列的前n项的乘积，则数列的前n项和中的最大值是
（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意可求得，从而求得，再可以得到中的最大值.
【详解】
根据题意，可得，当时，可得，故，而，，从而最大，故选D.
【点睛】
本题主要考查数列通项的求法，抓住关键词“前n项的乘积”是解决本题的关键，通过可求得通项，意在考查学生的理解能力，分析能力和计算能力，比较综合.
7．数列满足，且对于任意的都有，则等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
由题意可得：，则：
，
以上各式相加可得：，则：，
.
本题选择D选项.
点睛：数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项．使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．
8．设为不超过x的最大整数，为可能取到所有值的个数，是数列前n项的和，则下列结论正确个数的有
（1）
（2）是数列中的项
（3）
（4）当时，取最小值
A．1个
B．2个
C．3个
D．4
【答案】C
【解析】
【分析】
先求得的结果，归纳推理得到个数的表达，即的值，由此对四个结论逐一分析，从而得出正确选项.
【详解】
当时，，故.
当时，，，，，故.
当时，，，，故，共有个数，即，故（1）结论正确.
以此类推，当，时，
，，
故可以取的个数为，即，
当时上式也符合，所以；
令，得，没有整数解，故（2）错误.
，
所以，
故，所以（3）判断正确.
，，当时，当时，故当时取得最小值，故（4）正确.综上所述，正确的有三个，故选C.
【点睛】
本小题主要考查取整函数的理解，考查分析和推理的能力，考查裂项求和法，考查数列最小值的求法，综合性很强，属于难题.当数列的通项公式是两个等差数列相乘的倒数时，求前项和的方法是裂项相消求和法.基本不等式等号不成立时，可在附近的整数点来求取本题（4）所要求的最小值.
9．数列{an}的首项a1＝2，且（n+1）an＝nan+1，则a3的值为（
）
A．5
B．6
C．7
D．8
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题目所给数列的递推关系，依次求得的值.
【详解】
依题意，所以.
故选：B
【点睛】
本小题主要考查根据数列递推关系求某一项的值，属于基础题.
10．数列满足，则等于（
）
A．2
B．
C．
D．1
【答案】B
【解析】
试题分析：，所以数列具有周期性，周期为3，
考点：数列周期性与数列递推公式
二、填空题
11．已知数列、满足，且、是函数的两个零点，则等于______.
【答案】.
【解析】
【分析】
根据韦达定理得出，利用该递推式求出和的值，即可得出的值.
【详解】
由韦达定理得，当时，，，
当时，由，得，两式相除得，
所以，数列中的奇数项成以为首项，以为公比的等比数列，则.
数列中的偶数项成以为首项，以为公比的等比数列，则.
因此，，故答案为．
【点睛】
本题考查根据数列递推式求数列中的项，构建数列递推公式是解题的关键，考查推理能力与运算求解能力，属于中等题．
12．植树节来临，某学校数学活动小组在坐标纸上为学校的一块空地设计植树方案如下：第棵树种植在处,其中，当时，
其中表示非负实数的整数部分,如，.按此方案，第2011棵树种植点的坐标是
.
【答案】.
【解析】
【分析】
根据规律找岀种植点横坐标及纵坐标的通式，代入2011即可求得种植点的坐标.
【详解】
∵∴∵∴∵∴∵∴∵∴∵∴
∵所成的数列为：
1，0，0，0，0，1，0，0，0，0，1，0，0，0，0，……
将代入计算得到数列为为：
1，2，3，4，5，1，2，3，4，5，1，2，3，4，5，……
即的重复规律是：
数列为为：
1，1，1，1，1，2，2，2，2，2，3，3，3，3，3，4，4，4，4，4，……
即的重复规律是：
∴第2011棵树种植点的坐标是.
【点睛】
本题考查归纳推理和数列的通项公式，关键在从特殊值找出坐标的变化规律.
13．设数列满足，，，，则______.
【答案】
【解析】
【分析】
数列{an}满足a1＝1，a2＝4，a3＝9，an＝an﹣1+an﹣2﹣an﹣3（n∈N
，n≥4），即an+an﹣3＝an﹣1+an﹣2（n∈N
，n≥4），a4＝a3+a2﹣a1＝12，同理可得：a5＝17．a6＝20，a7＝25，a8＝28，a9＝33，……．可得数列{an}的奇数项与偶数项分别成等差数列，公差都为8,即可得出．
【详解】
∵数列{an}满足a1＝1，a2＝4，a3＝9，an＝an﹣1+an﹣2﹣an﹣3（n∈N
，n≥4），
a4＝a3+a2﹣a1＝12，同理可得：a5＝17．a6＝20，a7＝25，a8＝28，a9＝33，……．
有a1＝1，a3＝9，a5＝17，a7＝25，a9＝33，……
a2＝4，a4＝12；a6＝20，a8＝28，……
∴数列{an}的奇数项与偶数项分别成等差数列，公差都为8．
则a2018＝a2+（1009﹣1）×8＝4+8064＝8068．
故答案为8068．
【点睛】
本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
14．某地区森林原有木材存量为，且每年增长率为，因生产建设的需要每年年底要砍伐的木材量为，设为年后该地区森林木材的存量，则的表达式是________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意得出数列的递推公式，然后利用构造法可得出数列的通项公式.
【详解】
由题意可知，，第年后，，
则，所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，
则，因此，.
故答案为：.
【点睛】
本题考查数列的应用，根据题意得出数列的递推公式，并利用构造法求解是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.
15．数列满足，且对于任意的都有，，则_______．
【答案】820
【解析】
【分析】
根据条件中的递推关系，利用累加法，求出数列的通项公式，然后计算的值.
【详解】
因为，
所以，
，
，
…，
，
上面个式子左右两边分别相加
得，
即，
所以.
【点睛】
本题考查累加法求数列通项，求数列中的项.属于中档题.
三、解答题
16．已知数列的前n项和为，且.
（1）证明：数列是等比数列；
（2）设，证明：.
【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析
【解析】
【分析】
（1）由已知当时，可得，整理为
，根据等比数列的定义，即可证明结论；
（2）由（1）求出，进而求出，根据取等号），要证成立，转化为证等比数列前项和小于或等于，即可证明结论.
【详解】
解：（1）当时，
由
，
令，
则，
故为等比数列；
（2）由（1）得，
，，
时，取等号），
所以原式
，
所以成立.
【点睛】
本题考查数列前项和与通项的关系，考查用定义证明数列是等比数列，考查证明数列和的不等号，将通项放缩是解题的关键点也是难点，属于中档题.
17．已知数列有（常数p>0），对任意的正整数n，Sn＝a1+a2+…+an，
并有满足．
（I）试判断数列是否是等差数列，若是，求其通项公式，若不是，说明理由；
（II）令是数列的前n项和，求证：Tn﹣2n＜3．
【答案】(I)见解析；（II）见解析.
【解析】
【分析】
（I）令n＝1，可得a1＝0，从而，再写一式，两式相减，利用叠乘法，即可得到结论；
（II）先确定{Pn}的通项，利用裂项法求和，即可证得结论．
【详解】
（I）令n＝1，则，即a1＝0，∴
∴当n＞1时，∴
∴，
∵当n＝1时，a1＝（1﹣1）p＝0也满足上式，
∴数列{an}是一个以0为首项，p为公差的等差数列
（II）∵
∴
∴Tn﹣2n2（1）
＝2（1）＝3﹣2（）＜3
∴原不等式成立．
【点睛】
本题考查数列递推式，考查等差数列的证明，考查数列与不等式的综合，确定数列的通项，利用裂项法求和是关键．
18．一位幼儿园老师给班上k（k≥3）个小朋友分糖果．她发现糖果盒中原有糖果数为a0，就先从别处抓2块糖加入盒中，然后把盒内糖果的分给第一个小朋友；再从别处抓2块糖加入盒中，然后把盒内糖果的分给第二个小朋友；…，以后她总是在分给一个小朋友后，就从别处抓2块糖放入盒中，然后把盒内糖果的分给第n（n=1，2，3，…k）个小朋友．如果设分给第n个小朋友后（未加入2块糖果前）盒内剩下的糖果数为an．
（1）当k=3，a0=12时，分别求a1，a2，a3；
（2）请用an-1表示an；令bn=（n+1）an，求数列{bn}的通项公式；
（3）是否存在正整数k（k≥3）和非负整数a0，使得数列{an}（n≤k）成等差数列，如果存在，请求出所有的k和a0，如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）a1=7，a2=6，a3=6
（2）an=（an-1+2），bn=n（n+1）+a0
（3）存在，当a0=0时，an=n，对任意正整数k（k≥3），有{an}（n≤k）成等差数列．
【解析】
【分析】
（1）由题意知：an＝（an﹣1+2）（an﹣1+2），将k＝3，a0＝12代入可得a1，a2，a3；
（2）将an＝（an﹣1+2）（an﹣1+2）变形得（n+1）an＝n（an﹣1+2）＝nan﹣1+2n，即bn﹣bn﹣1＝2n，利用累加法可得bn﹣b0＝n（n+1），进而得到数列{bn}的通项公式；
（3）由（2）得an＝n，根据等差数列满足a1+a3＝2a2，代入求出a0＝0，an＝n时，满足条件．
【详解】
（1）当k＝3，a0＝12时，
a1＝（a0+2）（a0+2）＝7，
a2＝（a1+2）（a1+2）＝6，
a3＝（a2+2）（a0+2）＝6，
（2）由题意知：an＝（an﹣1+2）（an﹣1+2）（an﹣1+2），
即（n+1）an＝n（an﹣1+2）＝nan﹣1+2n，
∵bn＝（n+1）an，
∴bn﹣bn﹣1＝2n，
∴bn﹣1﹣bn﹣2＝2n﹣2，
…
b1﹣b0＝2，
累加得bn﹣b0n（n+1）
又∵b0＝a0，
∴bn＝n（n+1）+a0，
（3）由bn＝n（n+1）+a0，得an＝n，
若存在正整数k（k≥3）和非负整数a0，使得数列{an}（n≤k）成等差数列，
则a1+a3＝2a2
即（1a0）+3a0＝2（2a0）
∴a0＝0
即当a0＝0时，an＝n，对任意正整数k（k≥3），有{an}（n≤k）成等差数列．
【点睛】
本题主要考查数列的定义、通项求法；考查递推思想；考查推理论证能力；考查阅读理解能力、建模能力、应用数学解决问题能力，属于中档题．
19．等差数列首项和公差都是，记的前n项和为，等比数列各项均为正数，公比为q，记的前n项和为：
（1）写出构成的集合A；
（2）若将中的整数项按从小到大的顺序构成数列，求的一个通项公式；
（3）若q为正整数，问是否存在大于1的正整数k，使得同时为（1）中集合A的元素？若存在，写出所有符合条件的的通项公式，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）；（2）n为奇数，；n为偶数，；（3）存在；或或.
【解析】
【分析】
（1）直接由等差数列的求和公式得到，再把分别代入，即可求出集合；（2）写出，根据整数项构成，得到或为的整数倍，从而得到的通项；（3）根据的前n项和为，根据同时为（1）中集合A的元素，进行分类讨论，从而得到的通项公式.
【详解】
（1）因为等差数列的首项和公差都是，
所以.
把分别代入上式，
得到；
（2）由（1）得，
因为中的整数项按从小到大的顺序构成数列，
所以或为的整数倍，
①当，即时，
此时是的奇数项，所以
所以，
②当时，
此时是的偶数项，所以
所以
综上所述，为奇数，；为偶数，；
（3）①当时，，，
所以，
同时为（1）中集合A的元素，
所以,，得，
所以，
所以；
②当时，，
所以，
因为为正整数，正整数大于，
所以i）当时，，
得到，此时，，
所以，得，
故；
ii）当时，，得，此时，，
所以，得，
故；
iii）当，，时，找不到满足条件的.
综上所述，存在符合条件的，
通项公式为：或或.
【点睛】
本题考查等差数列求和，等比数列求和，求数列的通项，考查逻辑思维能力和转化能力，涉及分类讨论的思想，属于难题.
20．定义：对于任意，满足条件且（是与无关的常数）的无穷数列称为数列.
（1）若，证明：数列是数列；
（2）设数列的通项为，且数列是数列，求常数的取值范围；
（3）设数列，若数列是数列，求的取值范围.
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.
【解析】
【分析】
（1）根据题中的新定义代入即可证出.
（2）设，
，，代入通项解不等式组，使即可求解.
（3）首先根据可求时，，当时，，根据题中新定义求出成立，可得，再验证恒成立即可求解.
【详解】
（1），
且，
则满足，则数列是数列.
综上所述，结论是：数列是数列.
（2）设，
，
则，
得，
，，
则数列的最大值为，
则
（3）
，
当时，
当时，，
由，得，
当时，恒成立，
则要使数列是数列，则的取值范围为.
【点睛】
本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化.人教版A版高中数学必修五2.1数列的概念与简单表示法
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知数列的首项，则（
）
A．
B．
C．
D．
2．设数列满足，且对任意正整数，总有成立，则数列的前2019项的乘积为（
）
A．
B．1
C．2
D．.3
3．已知数列满足，，则（
）
A．
B．
C．
D．
4．数列中，对于任意，恒有，若，则等于(
)
A．
B．
C．
D．
5．若在数列中，对任意正整数，都有（常数），则称数列为“等方和数列”，称为“公方和”，若数列为“等方和数列”，其前项和为，且“公方和”为，首项，则的最大值与最小值之和为（
）
A．
B．
C．
D．
6．正项数列的前n项的乘积，则数列的前n项和中的最大值是
（
）
A．
B．
C．
D．
7．数列满足，且对于任意的都有，则等于（ ）
A．
B．
C．
D．
8．设为不超过x的最大整数，为可能取到所有值的个数，是数列前n项的和，则下列结论正确个数的有
（1）
（2）是数列中的项
（3）
（4）当时，取最小值
A．1个
B．2个
C．3个
D．4
9．数列{an}的首项a1＝2，且（n+1）an＝nan+1，则a3的值为（
）
A．5
B．6
C．7
D．8
10．数列满足，则等于（
）
A．2
B．
C．
D．1
二、填空题
11．已知数列、满足，且、是函数的两个零点，则等于______.
12．植树节来临，某学校数学活动小组在坐标纸上为学校的一块空地设计植树方案如下：第棵树种植在处,其中，当时，
其中表示非负实数的整数部分,如，.按此方案，第2011棵树种植点的坐标是
.
13．设数列满足，，，，则______.
14．某地区森林原有木材存量为，且每年增长率为，因生产建设的需要每年年底要砍伐的木材量为，设为年后该地区森林木材的存量，则的表达式是________.
15．数列满足，且对于任意的都有，，则_______．
三、解答题
16．已知数列的前n项和为，且.
（1）证明：数列是等比数列；
设，证明：.
17．已知数列有（常数p>0），对任意的正整数n，Sn＝a1+a2+…+an，
并有满足．
（I）试判断数列是否是等差数列，若是，求其通项公式，若不是，说明理由；
（II）令是数列的前n项和，求证：Tn﹣2n＜3．
18．一位幼儿园老师给班上k（k≥3）个小朋友分糖果．她发现糖果盒中原有糖果数为a0，就先从别处抓2块糖加入盒中，然后把盒内糖果的分给第一个小朋友；再从别处抓2块糖加入盒中，然后把盒内糖果的分给第二个小朋友；…，以后她总是在分给一个小朋友后，就从别处抓2块糖放入盒中，然后把盒内糖果的分给第n（n=1，2，3，…k）个小朋友．如果设分给第n个小朋友后（未加入2块糖果前）盒内剩下的糖果数为an．
（1）当k=3，a0=12时，分别求a1，a2，a3；
（2）请用an-1表示an；令bn=（n+1）an，求数列{bn}的通项公式；
（3）是否存在正整数k（k≥3）和非负整数a0，使得数列{an}（n≤k）成等差数列，如果存在，请求出所有的k和a0，如果不存在，请说明理由．
19．等差数列首项和公差都是，记的前n项和为，等比数列各项均为正数，公比为q，记的前n项和为：
（1）写出构成的集合A；
（2）若将中的整数项按从小到大的顺序构成数列，求的一个通项公式；
（3）若q为正整数，问是否存在大于1的正整数k，使得同时为（1）中集合A的元素？若存在，写出所有符合条件的的通项公式，若不存在，请说明理由.
20．定义：对于任意，满足条件且（是与无关的常数）的无穷数列称为数列.
（1）若，证明：数列是数列；
（2）设数列的通项为，且数列是数列，求常数的取值范围；
（3）设数列，若数列是数列，求的取值范围.
