人教版A版高中数学必修五2.4等比数列
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知数列满足：，.设，，且数列是单调递增数列，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
分析：由a，可得数列
是以2为首项，2为公比的等比数列，求出等比数列的通项公式；把数列的通项公式代入，结合数列{bn}是单调递增数列，可得
且对任意的恒成立，由此求得实数的取值范围．
详解：∵数满足：，，
化为∴数列是等比数列，首项为，公比为2，
∴
，
∵
，且数列是单调递增数列，
∴
，∴
，
解得
，由
，可得
对于任意的
恒成立，
，
故答案为：.
故选B.
点睛：本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了等比数列通项公式的求法，考查数列的函数特性，是中档题．
2．设{an}是有正数组成的等比数列，为其前n项和．已知a2a4＝1，S3＝7，则S5＝（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由等比数列的性质易得a3＝1，进而由求和公式可得q，再代入求和公式计算可得．
【详解】
由题意可得a2a4＝a32＝1，∴a3＝1，
设{an}的公比为q，则q＞0，
∴S31＝7，解得q或q（舍去），
∴a14，∴S5
故选B.
【点睛】
本题考查等比数列的通项公式和求和公式，属基础题．
3．正项等比数列中，，，则的值是
A．4
B．8
C．16
D．64
【答案】C
【解析】
分析：设正项等比数列{an}的公比为q，由a3=2，a4?a6=64，利用通项公式解得q2，再利用通项公式即可得出．
详解：设正项等比数列{an}的公比为q，∵a3=2，a4?a6=64，
∴
解得q2=4，
则=42=16．
故选：C．
点睛：本题考查了等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．解决等差等比数列的小题时，常见的思路是可以化基本量，解方程；利用等差等比数列的性质解决题目；还有就是如果题目中涉及到的项较多时，可以观察项和项之间的脚码间的关系，也可以通过这个发现规律.
4．已知等比数列满足,,则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
试题分析：由题意可得,所以,故,选C.
考点：本题主要考查等比数列性质及基本运算.
5．已知等比数列满足，且，则当时，（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
试题分析：因为为等比数列，所以,.故C正确.
考点：1等比比数列的性质;2对数的运算法则.
6．已知等比数列中，，数列是等差数列，且，则（
）
A．2
B．4
C．8
D．16
【答案】B
【解析】
【详解】
试题分析：因,即,故,故由可得,所以,应选B.
考点：等差数列等比数列的性质及运用.
7．已知等比数列的公比为，且，数列满足，若数列有连续四项在集合中，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由题可知数列的连续四项，从而可判断，再分别列举满足符合条件的情况，从而得到公比.
【详解】
因为数列有连续四项在集合中，，所以数列有连续四项在集合中，所以数列的连续四项不同号，即.因为，所以，按此要求在集合中取四个数排成数列，有-27，24，-18，8；-27，24，-12，8；-27，18，-12，8三种情况，因为-27，24，-12，8和-27，24，-18，8不是等比数列，所以数列的连续四项为-27，18，-12，8，所以数列的公比为.
【点睛】
本题主要考查等比数列的综合应用，意在考查学生的分析能力，逻辑推理能力，分类讨论能力，难度较大.
8．等比数列满足，．则公比q的值为（
）
A．2
B．
C．1
D．2或
【答案】D
【解析】
等比数列中，，，所以得，即，∴，化简得，解得或，故选．
9．已知等比数列中，有，数列是等差数列，其前项和为，且，则（
）
A．26
B．52
C．78
D．104
【答案】B
【解析】
【分析】
设等比数列的公比为q，利用等比性质可得，即，再结合，即可得到结果.
【详解】
设等比数列的公比为q，∵，∴≠0，解得＝4，
数列是等差数列，且．
∴
故选B．
【点睛】
本题考查了等比数列与等差数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
10．在等比数列中，，公比.若，则m=
A．9
B．10
C．11
D．12
【答案】C
【解析】
试题分析：由等比数列的性质可知，答案选C.
考点：等比数列的性质
二、填空题
11．已知数列满足：，若
，且数列是单调递增数列,则实数的取值范围为_____________.
【答案】.
【解析】
【分析】
数列满足：，两边取倒数可得
化为
利用等比数列的通项公式可得
于是，由于，且数列是单调递增数列，可得
，解出即可．
【详解】
∵数列满足：，
∴化为
∴数列{
是等比数列，首项为，公比为2，
∴
∴，
∵数列是单调递增数列，
∴，
∴时，
1，
化为，
∵数列为单调递增数列，
∴．
又时，
1，解得
．
综上可得：实数的取值范围为．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了变形利用等比数列的通项公式的方法、单调递增数列，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
12．若等比数列的各项均为正数，且，则等于__________．
【答案】50
【解析】
由题意可得，=，填50.
13．设等比数列满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2…an的最大值为
．
【答案】
【解析】
试题分析：设等比数列的公比为，由得，，解得.所以，于是当或时，取得最大值.
考点：等比数列及其应用
14．在等比数列中，，，则__________．
【答案】8
【解析】
【分析】
可先计算出公比，从而利用求得结果.
【详解】
因为，所以，所以，则.
【点睛】
本题主要考查等比数列基本量的相关计算，难度很小.
15．已知数列的前n项和为，若，则_________________.
【答案】9
【解析】
【分析】
由,利用与的关系可证得为等比数列,求出公比,即可解得.
【详解】
,
,
,即,
为等比数列,公比为,则.
故答案为:.
【点睛】
本题考查与的关系,考查利用递推公式证明等比数列,难度较易.
三、解答题
16．设数列{an}的前n项和为Sn，已知ban－2n＝(b－1)Sn.
(1)证明：当b＝2时，{an－n·2n－1}是等比数列；
(2)求{an}的通项公式．
【答案】（1）见解析（2）当b＝2时，an＝(n＋1)·2n－1；当b≠2时，an＝
【解析】
【分析】
【详解】
由题意知a1＝2，且ban－2n＝(b－1)Sn，ban＋1－2n＋1＝(b－1)Sn＋1，
两式相减得b(an＋1－an)－2n＝(b－1)an＋1，
即an＋1＝ban＋2n.①
(1)证明 当b＝2时，由①知an＋1＝2an＋2n，
于是an＋1－(n＋1)·2n＝2an＋2n－(n＋1)·2n＝2(an－n·2n－1)，
又a1－1·21－1＝1≠0，所以{an－n·2n－1}是首项为1，公比为2的等比数列．
(2)当b＝2时，由(1)知an－n·2n－1＝2n－1，即an＝(n＋1)·2n－1；当b≠2时，由①得，an＋1－·2n＋1＝ban＋2n－·2n＋1＝ban－·2n＝b，因此an＋1－·2n＋1＝b＝·bn，
得an＝
综上:
当b＝2时，an＝(n＋1)·2n－1；当b≠2时，an＝
17．已知递增的等比数列满足，且是的等差中项．求数列的通项公式．
【答案】
【解析】
试题分析：
利用题意列出关于首项和公比的方程组，求解方程组结合数列的通项公式可得数列的通项公式为
.
解：设等比数列的公比为，依题意：有①，
又，
将①代入得，∴∴,解得或，
又为递增数列.
∴，∴.
18．记为等比数列的前项和，，.
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）已知，且的最大值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）根据等比数列通项公式及求和公式，代入即可求得公比，进而求得通项公式．
（2）根据等比数列的乘积，表示为指数为等差数列求和，进而求得，再根据二次函数的单调性求得最大值即可．
【详解】
（1）设的公比为，由题意得：
所以，即
则
所以.
（2）
当或4时，取得最大值，且.
【点睛】
本题考查了等比数列基本量的计算，等差数列求和公式的应用及最值求法，属于基础题．
19．已知数列满足：，其中.
（1）求证：数列是等比数列；
（2）令，求数列的最大项.
【答案】（1）详见解析；（2）最大项为.
【解析】
【分析】
【详解】
试题分析：（1）首先根据已知等式，令，可得，再根据已知等式可得，将两式相减，即可得到数列的一个递推公式，只需验证将此递推公式变形得到形如的形式，从可证明数列是等比数列；（2）由（1）可得，从而，因此要求数列的最大项，可以通过利用作差法判断数列的单调性来求得：，
当时，，即；当时，；
当时，，即，因此数列的最大项为.
试题解析：（1）当时，，∴，
又∵，
∴，即，∴.
又∵，∴数列是首项为，公比为的等比数列；
（2）由（1）知，，
∴，
∴，
当时，，即，
当时，，
当时，，即，
∴数列的最大项为，
考点：1.数列的通项公式；2.数列的单调性判断.
20．已知等差数列的前n项和为，且，．
（1）求的通项公式；
（2）若，且，，成等比数列，求k的值．
【答案】（1）；
（2）4.
【解析】
【分析】
（1）设等差数列的公差为d，根据等差数列的通项公式，列出方程组，即可求解．
（2）由（1），求得，再根据，，成等比数列，得到关于的方程，即可求解．
【详解】
（1）设等差数列的公差为d，
由题意可得：，解得．
所以数列的通项公式为．
（2）由知，
因为，，成等比数列，所以，即，
解得．
【点睛】
本题主要考查了等差数列的通项公式，以及前n项和公式的应用，其中解答中熟记等差数列的通项公式和前n项和公式，列出方程准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．人教版A版高中数学必修五2.4等比数列
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知数列满足：，.设，，且数列是单调递增数列，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
2．设{an}是有正数组成的等比数列，为其前n项和．已知a2a4＝1，S3＝7，则S5＝（
）
A．
B．
C．
D．
3．正项等比数列中，，，则的值是
A．4
B．8
C．16
D．64
4．已知等比数列满足,,则（
）
A．
B．
C．
D．
5．已知等比数列满足，且，则当时，（
）
A．
B．
C．
D．
6．已知等比数列中，，数列是等差数列，且，则（
）
A．2
B．4
C．8
D．16
7．已知等比数列的公比为，且，数列满足，若数列有连续四项在集合中，则（
）
A．
B．
C．
D．
8．等比数列满足，．则公比q的值为（
）
A．2
B．
C．1
D．2或
9．已知等比数列中，有，数列是等差数列，其前项和为，且，则（
）
A．26
B．52
C．78
D．104
10．在等比数列中，，公比.若，则m=
A．9
B．10
C．11
D．12
二、填空题
11．已知数列满足：，若
，且数列是单调递增数列,则实数的取值范围为_____________.
12．若等比数列的各项均为正数，且，则等于__________．
13．设等比数列满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2…an的最大值为
．
14．在等比数列中，，，则__________．
15．已知数列的前n项和为，若，则_________________.
三、解答题
16．设数列{an}的前n项和为Sn，已知ban－2n＝(b－1)Sn.
(1)证明：当b＝2时，{an－n·2n－1}是等比数列；
(2)求{an}的通项公式．
17．已知递增的等比数列满足，且是的等差中项．求数列的通项公式．
18．记为等比数列的前项和，，.
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）已知，且的最大值.
19．已知数列满足：，其中.
（1）求证：数列是等比数列；
（2）令，求数列的最大项.
20．已知等差数列的前n项和为，且，．
（1）求的通项公式；
（2）若，且，，成等比数列，求k的值．
