人教版A版高中数学必修五1.2应用举例
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为( )
A．α>β
B．α＝β
C．α＋β＝90°
D．α＋β＝180°
【答案】B
【解析】
【分析】
作图分析可知A，B两处之间的仰角和俯角相等
【详解】
根据题意和仰角、俯角的概念画出草图,如图．
平行线之间内错角相等，则α＝β.故应选B．
【点睛】
本题考查了仰角、俯角的概念，以及仰角与俯角的关系；与目标视线在同一铅垂平面内的水平线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角.
2．要直接测量河岸之间的距离(河的两岸可视为平行)，由于受地理条件和测量工具的限制，可采用如下办法：如图所示，在河的一岸边选取A、B两点，观察对岸的点C，测得且AB＝120
m，由此可得河宽约为（精确到1
m，）
A．170
m
B．98
m
C．95
m
D．86
m
【答案】C
【解析】
【分析】
先由正弦定理得，再利用直角三角函数求得河宽.
【详解】
在中，AB＝120，∠CAB＝45°，∠CBA＝75°，则∠ACB＝60°，由正弦定理，得．设中，AB边上的高为h，则h即为河宽，所以．故选C．
【点睛】
本题主要考查正弦定理解三角形，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.
3．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为
（
）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．由增加的长度决定
【答案】A
【解析】
试题分析：不妨设为直角三角形，，则，设三边增加的长度为，则新三角形的三边长度分别为，则，而，所以，因此新三角形为锐角三角形.
考点：余弦定理.
4．△中，角，，所对的边分别是，，，表示三角形的面积，若，，则对△的形状的精确描述是（
）
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等腰或直角三角形
D．等腰直角三角形
【答案】D
【解析】
试题分析：因为，由正弦定理可知，所以为直角三角形，又由三角形的面积公式，可知，即，解得，综上所述，可得为等腰直角三角形，故选D．
考点：三角形的综合应用．
【方法点晴】本题主要考查了三角形的综合问题，其中解答中涉及到解三角形的正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式等知识点综合问题，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，试题比较基础，属于基础题，本题的解答中根据正弦定理，得出为直角三角形，在利用三角形的面积公式和余弦定理，得出是解答关键．
5．我舰在岛处南偏西50°方向的处，且距离为12千米，发现敌舰正离开岛沿北偏西10°的方向以每小时10千米的速度航行，若我舰要用2小时追上敌舰，则速度大小为（
）
A．28千米/时
B．14千米/时
C．千米/时
D．20千米/时
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意可知（千米），千米，，根据余弦定理解，再求速度.
【详解】
如图，设我舰在处追上敌舰，速度大小为千米/时，在中，（千米），千米，，所以，则千米，故千米/时.
故选：B
【点睛】
本题考查余弦定理解三角形的实际问题，意在考查抽象概括能力，并读懂题意，数形结合分析问题.
6．△ABC中,
如果,
那么△ABC是（
）
A．直角三角形
B．等边三角形
C．等腰直角三角形
D．钝角三角形
【答案】B
【解析】
试题分析：由题意得，由正弦定理得，所以，
,所以，同理可得，所以三角形是等边三角形.
考点：正弦定理在三角形中的应用.
7．如图，一货轮航行到处，测得灯塔在货轮的北偏东，与灯塔相距，随后货轮按北偏西的方向航行后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
由题意可知：，
与正东方向的夹角为，与正东方向的夹角为，
，
中利用正弦定理可得
货轮的速度
故选
8．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则一定是
（
）
A．直角三角形
B．钝角三角形
C．等腰直角三角形
D．等边三角形
【答案】D
【解析】
【分析】
利用余弦定理、等边三角形的判定方法即可得出．
【详解】
由余弦定理得，则，即，所以.
∵
∴是等边三角形.
故选D.
【点睛】
本题考查了余弦定理、等边三角形的判定方法，考查了推理能力与计算能力，熟练掌握余弦定理是解答本题的关键．
9．在中，若，则的形状是（ ）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．不能确定
【答案】C
【解析】
试题分析：根据正弦定理变形可知：，则，又因为为三角形内角，所以，因此为钝角三角形，故选C.
考点：1、正、余弦定理；2、三角形形状的判定.
10．在中，，，则C的取值范围是
（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
【分析】
利用正弦定理求得，再根据，从而求得，进而可得的取值范围.
【详解】
由正弦定理得，又,，
又
，是锐角
.
故选A.
【点睛】
本题主要考查正弦定理的应用，得到及是锐角是解答本题的关键.
二、填空题
11．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶D在西偏北的方向上，行驶600m后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度
________
m.
【答案】
【解析】
试题分析:由题设可知在中,,由此可得,由正弦定理可得,解之得,又因为,所以,应填.
考点：正弦定理及运用．
12．一船以每小时的速度向东航行,船在处看到一个灯塔在北偏东，行驶后，船到达处，看到这个灯塔在北偏东，这时船与灯塔的距离为
【答案】
【解析】
【详解】
依题意,作图如图，
,
在中,，
设,
根据正弦定理得:,
即,
，
答:这时船与灯塔的距离为,
故答案为
13．线段AB外有一点C，∠ABC＝60°，AB＝200
km，汽车以80
km/h的速度由A向B行驶，同时摩托车以50
km/h的速度由B向C行驶，则运动开始________h后，两车的距离最小．
【答案】
【解析】
【分析】
如图所示，设t
h后，汽车由A行驶到D，摩托车由B行驶到E，利用余弦定理求出DE2＝12900t2－42000t＋40000.再利用二次函数的性质求出t的值和最小值.
【详解】
如图所示，设t
h后，汽车由A行驶到D，摩托车由B行驶到E，则AD＝80t，BE＝50t.因为AB＝200，所以BD＝200－80t，由余弦定理得，DE2＝(200－80t)2＋2500t2－(200－80t)·50t＝12900t2－42000t＋40000.所以当t＝时，DE最小．
故答案为
【点睛】
(1)本题主要考查解三角形的应用，考查余弦定理解三角形和二次函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是利用余弦定理求出DE2＝12900t2－42000t＋40000.
14．如图所示，飞机的航线和山顶在同一铅垂面内，若飞机的高度为，速度为，飞行员先看到山顶的俯角为30°，经过后又看到山顶的俯角为75°，则山顶的海拔高度约为______（精确到，参考数据：）.
【答案】.
【解析】
【分析】
内先求，再求山顶到飞机航线的距离，最后求山顶的海拔高度.
【详解】
因为，，所以，因此山顶到航线的距离，所以山顶的海拔高度约为.
故答案为：
【点睛】
本题考查正余弦定理解三角形的实际问题，意在考查用数学知识解决实际问题的能力，属于基础题型.
15．如图所示,某海岛上一观察哨A上午11时测得一轮船在海岛北偏东60°的C处,12时20分测得轮船在海岛北偏西60°的B处,12时40分轮船到达位于海岛正西方且距海岛5km的E港口,如果轮船始终匀速直线前进,则船速的大小为_________.
【答案】
【解析】
【分析】
依题意得，设,则，在中，利用正弦定理求出，在中，由正弦定理求出；在中，由余弦定理得，最后得到结果.
【详解】
轮船从C到B用时80分钟，从B到E用时20分钟，而船始终匀速前进，由此可见，，
设，则，由已知得，
在中，由正弦定理得，
∴，
在中，由正弦定理得，
∴，
在中,由余弦定理得，
故.
∴船速的大小为.
故答案为：.
【点睛】
本题是中档题，考查利用正弦定理、余弦定理在实际问题中的应用，注意选择正确的三角形以及合理的定理解答是解好题目的关键，考查计算能力.
三、解答题
16．如图所示，在平面四边形中，，，，，.
（1）求的值；
（2）求的长.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）在中，由余弦定理，可求得，再由正弦定理得，可求出；
（2）先求出，结合，可得，再由可求出答案.
【详解】
（1）在中，由余弦定理，得
，
在中，由正弦定理，得.
于是，.
（2）由题设知，，于是由（1）知，.
而，所以，
在直角中，.
【点睛】
本题考查正弦定理及余弦定理在解三角形中的应用，考查学生的推理能力与计算能力，属于基础题.
17．如图所示，某景区内景点位于景点的北偏东30°方向上，位于景点的正北方向，还位于景点的北偏西75°方向上.已知，.
（1）求景点与景点之间的距离；
（2）求景点与景点之间的距离.
（结果精确到）
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）中，根据余弦定理直接求；
（2）中，根据正弦定理求，然后在中，根据正弦定理求.
【详解】
（1）设，则在中，由余弦定理得，即，解得.因为，应舍去，所以，即景点与景点之间的距离约为.
（2）在，由正弦定理得，所以，所以.在中，，由正弦定理得.故景点与景点之间的距离约为.
【点睛】
本题考查正余弦定理解三角形，意在考查三角形的实际应用题型，属于基础题型，本题的关键是结合图形，分析几何关系，转化为解三角形问题.
18．如图，甲船以每小时海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于处时，乙船位于甲船的北偏西方向的处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达处时，乙船航行到甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里？
【答案】
【解析】
如图，连接,由题意知,，所以.
又，所以是等边三角形.
所以
.
由题意知，，
在中，由余弦定理，得
，所以.
因此，乙船速度的大小为.
答：乙船每小时航行.
19．如图，货轮在海上以35n
mile/h的速度沿方位角（从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角）为的方向航行．为了确定船位，在B点处观测到灯塔A的方位角为．半小时后，货轮到达C点处，观测到灯塔A的方位角为．求此时货轮与灯塔之间的距离．
【答案】船与灯塔间的距离为n
mile
【解析】
【详解】
在△ABC中，∠B＝152o－122o＝30o；
∠C＝180o－152o＋32o＝60o；
∠A＝180o－30o－60o＝90o，BC＝；
∴AC＝sin30o＝
20．如右图，某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75°，距离为nmile，在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°，距离为n
mile，货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在北偏东120°，求：
(1)A处与D处的距离；
(2)灯塔C与D处的距离．
【答案】（1）24；（2）8
【解析】
【分析】
（1）利用已知条件，利用正弦定理求得AD的长．
（2）在△ADC中由余弦定理可求得CD，答案可得．
【详解】
(1)
在△ABD中，由已知得∠ADB=60°，B=45°
由正弦定理得
(2)
在△ADC中，由余弦定理得CD2=AD2+AC2﹣2AD?ACcos30°，解得CD=．
所以A处与D处之间的距离为24nmile，灯塔C与D处之间的距离为nmile．
【点睛】
点睛：解三角形应用题的一般步骤
(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．
(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型．
(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．
(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等.人教版A版高中数学必修五1.2应用举例
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为( )
A．α>β
B．α＝β
C．α＋β＝90°
D．α＋β＝180°
2．要直接测量河岸之间的距离(河的两岸可视为平行)，由于受地理条件和测量工具的限制，可采用如下办法：如图所示，在河的一岸边选取A、B两点，观察对岸的点C，测得且AB＝120
m，由此可得河宽约为（精确到1
m，）
A．170
m
B．98
m
C．95
m
D．86
m
3．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为
（
）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．由增加的长度决定
4．△中，角，，所对的边分别是，，，表示三角形的面积，若，，则对△的形状的精确描述是（
）
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等腰或直角三角形
D．等腰直角三角形
5．我舰在岛处南偏西50°方向的处，且距离为12千米，发现敌舰正离开岛沿北偏西10°的方向以每小时10千米的速度航行，若我舰要用2小时追上敌舰，则速度大小为（
）
A．28千米/时
B．14千米/时
C．千米/时
D．20千米/时
6．△ABC中,
如果,
那么△ABC是（
）
A．直角三角形
B．等边三角形
C．等腰直角三角形
D．钝角三角形
7．如图，一货轮航行到处，测得灯塔在货轮的北偏东，与灯塔相距，随后货轮按北偏西的方向航行后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为（
）
A．
B．
C．
D．
8．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则一定是
（
）
A．直角三角形
B．钝角三角形
C．等腰直角三角形
D．等边三角形
9．在中，若，则的形状是（ ）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．不能确定
10．在中，，，则C的取值范围是
（
）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
11．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶D在西偏北的方向上，行驶600m后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度
________
m.
12．一船以每小时的速度向东航行,船在处看到一个灯塔在北偏东，行驶后，船到达处，看到这个灯塔在北偏东，这时船与灯塔的距离为
13．线段AB外有一点C，∠ABC＝60°，AB＝200
km，汽车以80
km/h的速度由A向B行驶，同时摩托车以50
km/h的速度由B向C行驶，则运动开始________h后，两车的距离最小．
14．如图所示，飞机的航线和山顶在同一铅垂面内，若飞机的高度为，速度为，飞行员先看到山顶的俯角为30°，经过后又看到山顶的俯角为75°，则山顶的海拔高度约为______（精确到，参考数据：）.
15．如图所示,某海岛上一观察哨A上午11时测得一轮船在海岛北偏东60°的C处,12时20分测得轮船在海岛北偏西60°的B处,12时40分轮船到达位于海岛正西方且距海岛5km的E港口,如果轮船始终匀速直线前进,则船速的大小为_________.
三、解答题
16．如图所示，在平面四边形中，，，，，.
（1）求的值；
（2）求的长.
17．如图所示，某景区内景点位于景点的北偏东30°方向上，位于景点的正北方向，还位于景点的北偏西75°方向上.已知，.
（1）求景点与景点之间的距离；
（2）求景点与景点之间的距离.
（结果精确到）
18．如图，甲船以每小时海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于处时，乙船位于甲船的北偏西方向的处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达处时，乙船航行到甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里？
19．如图，货轮在海上以35n
mile/h的速度沿方位角（从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角）为的方向航行．为了确定船位，在B点处观测到灯塔A的方位角为．半小时后，货轮到达C点处，观测到灯塔A的方位角为．求此时货轮与灯塔之间的距离．
20．如右图，某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75°，距离为nmile，在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°，距离为n
mile，货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在北偏东120°，求：
(1)A处与D处的距离；
(2)灯塔C与D处的距离．
