人教版A版高中数学必修五2.2等差数列
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知是和的等差中项，则的值为
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由等差中项的概念，列出方程，求解即可．
【详解】
∵x+1是5和9的等差中项，
∴2（x+1）=5+9，∴x=6，即x的值为6．故选B
【点睛】
本题考查了等差中项的应用问题，根据等差中项的定义，列出方程，解方程即可解决问题．
2．在等差数列的两个根，那么的值为（
）
A．-12
B．-6
C．12
D．6
【答案】B
【解析】
试题分析：因为，是方程的两个根，所以，
由等差数列的性质，得，=，故选A。
考点：等差数列的性质，韦达定理的应用。
点评：简单题，在等差数列中，若则。
3．等差数列的前项和为，且，则公差等于（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
由题意，得，则，又因为，所以公差为；故选A.
点睛：在处理等差数列的前项和时，灵活利用等差数列的常见性质进行处理，可减少计算量，通过解题速度，如：若
，则.
4．“珠算之父”程大位是我国明代伟大数学家,他的应用数学巨著《算法统综》的问世,标志着我国的算法由筹算到珠算转变的完成.程大位在《算法统综》中常以诗歌的形式呈现数学问题,其中有一首“竹筒容米”问题：“家有九节竹一茎,为因盛米不均平,下头三节四升五,上梢三节贮两升五,唯有中间三节竹,要将米数次第盛,若有先生能算法,也教算得到天明.”（［注释］四升五：4.5升.次第盛：盛米容积依次相差同一数量.）用你所学的数学知识求得中间三节的容积为（
）
A．3升
B．3.25升
C．3.5
升
D．3.75升
【答案】C
【解析】
【分析】
由题得再利用等差数列的性质求中间三节的容积.
【详解】
由题得,
所以.
故答案为：C
【点睛】
(1)本题主要考查等差数列的性质，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2)
等差数列中，如果m+n=p+q,则,特殊地，2m=p+q时，则，是的等差中项.
5．设等差数列的前项和为，若，，则等于（
）
A．180
B．90
C．72
D．100
【答案】B
【解析】
【分析】
由a4=9，a6=11利用等差数列的性质可得a1+a9=a4+a6=20，代入等差数列的前n项和公式可求．
【详解】
∵a4=9，a6=11
由等差数列的性质可得a1+a9=a4+a6=20
，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了等差数列的性质若m+n=p+q，则am+an=ap+aq和数列的求和．解题的关键是利用了等差数列的性质：利用性质可以简化运算，减少计算量．
6．已知是等差数列，，其前10项的和，则其公差（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
试题分析：，解得，故选C．
考点：等差数列
7．已知数列，满足，，，则数列的前10项的和为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据等差数列、等比数列定义以及通项公式确定数列，通项公式，再根据分组求和法以及等比数列求和公式求结果.
【详解】
为以1为首项，2为公差的等差数列，所以
为以1为首项，2为公比的等比数列，所以
因此
所以其前10项的和为
故选：C
【点睛】
本题考查等差数列、等比数列定义以及通项公式，考查分组求和以及等比数列求和，考查基本分析求解能力，属中档题.
8．已知数列为等差数列，且，则的最小值为（
）
A．3
B．2
C．1
D．0
【答案】C
【解析】
设数列的公差为，∵，∴，由分段函数的性质可得的最小值为1，故选C.
点睛：本题主要考查了等差数列的概念，分段函数的最值问题，属于基础题；对于绝对值函数主要利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想，将其用分段函数进行表示，再求最值.
9．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就.在“杨辉三角”中，已知第行的所有数字之和为，若去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，……，则此数列的前56项和为（
）
A．2060
B．2038
C．4084
D．4108
【答案】C
【解析】
【分析】
利用n次二项式系数对应杨辉三角形的第行，然后令得到对应项的系数和，结合等比数列和等差数列的公式进行转化求解即可.
【详解】
n次二项式系数对应杨辉三角形的第行，
例如，系数分别为1,2,1，对应杨辉三角形的第3行，
令，就可以求出该行的系数之和，
第1行为，第2行为，第3行为，以此类推，
即每一行数字和为首项为1，公比为2的等比数列.
则杨辉三角形的前n项和为
若去除所有的为1的项，则剩下的每一行的个数为1,2,3,4,…,可以看成构成一个首项为1，公差为1的等差数列，则，可得当，去除两端“1”可得，则此数列前55项和为，所以第56项为第13行去除1的第一个数,所以该数列前56项和为，故选C.
【点睛】
本题主要考查了数列求和，杨辉三角形的的系数与二项式系数的关系以及等比、等差数列的求和公式，属于难题.
10．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，长5尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”设该金杖由粗到细是均匀变化的，其重量为，现将该金杖截成长度相等的10段，记第段的重量为，且，若，则（
）
A．4
B．5
C．6
D．7
【答案】C
【解析】
由题意知,由细到粗每段的重量成等差数列，记为，设公差为，则，解得，所以该金杖的总重量，，解得，故选C.
【方法点睛】本题主要考查阅读能力、等差数列的通项公式、等差数列的前
项和公式以及转化与划归思想，属于中档题.等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，解决此类问题的关键是熟练掌握等差数列的有关性质和公式，并灵活应用，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算过程.
二、填空题
11．等差数列的第10项为23，第25项为-22，则=______．
【答案】2059
【解析】
【分析】
先利用基本元的思想，列方程组求得的值，并求得通项公式.判断中哪些项是正数，哪些项是负数.正数部分取绝对值后等于本身，负数部分取绝对值后等于相反数.再根据等差数列前项和公式求得对应的结果.
【详解】
由题意可知，，，解得，，所以.由，得，又，所以从第18项开始数列的各项为负.而.
所以
【点睛】
本小题主要考查等差数列通项公式的求解.考查含有绝对值的数列求和的方法.利用基本元的思想，列方程组，解方程组求得数列的通项公式.利用通项公式判断哪些项是正数，哪些项是负数.将负数的项求和然后取其相反数，即可求得对应的结果.要注意等差数列前项和运算不要出错.属于中档题.
12．设，则的值是（
）.
A．0
B．
C．1
D．2
【答案】C
【解析】
【分析】
令，可得，将条件中的等式左边展开求一次项系数和可得，将，代入计算可得结果.
【详解】
解：令得，，
又由已知，
，
故选：C.
【点睛】
本题考查数列的极限以及等差数列求和，注意赋值法的使用，是基础题.
13．等差数列中，，，，则_____
【答案】6
【解析】
【分析】
将代入等差数列通项公式中,求得,即得到通项公式,再将代入通项,求得即可
【详解】
设,,,
通项公式为,当时,即,
故答案为：6
【点睛】
本题考查定义法求等差数列通项公式,考查等差数列的某一项,属于基础题
【答案】180
【解析】
试题分析：由等差中项可得,解得．
由等差中项可得．
考点：等差中项．
15．已知等差数列的前项和为，，，则数列的前项和为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
由，列出关于首项为，公差为的方程组，解方程求得，可得，利用等比数列的求和公式可得结果.
【详解】
设等差数列的首项为，公差为，
则解得，
所以，所以，
所以是以2为首项，16为公比的等比数列，
所以数列的前项和为,
故答案为.
【点睛】
本题主要考查等差数列的通项公式以及等比数列的求和公式，属于中档题.
等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解.
三、解答题
16．已知递增的等比数列和等差数列，满足，是和的等差中项，且.
（Ⅰ）求数列和的通项公式；
（Ⅱ）若，求数列的前项和.
【答案】(1)
,;(2)
.
【解析】
试题分析：（1）利用等差数列等比数列基本公式求通项；（2）利用裂项相消法求和.
试题解析：
（Ⅰ）由题意知，，解得，设等比数列的公比为，∴，∴；由题意知，，则等差数列的公差,∴.
（Ⅱ）∵，∴
.
17．已知等差数列的首项为，公差为，且不等式的解集为．
⑴
求数列的通项公式；
⑵
若，求数列前项和．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
试题分析：（1）直接由已知条件可知，1是方程的两根，由韦达定理即可列出方程组，求解之可得到和的值，进而得出数列的通项公式；（2）由（1）可知然后运用分组求和法对其进行求和，即可得出所求的结果.
试题解析：（1）易知：由题设可知
（2）由（I）知
.
考点：1.等差数列；2.一元二次不等式的解法；3.分组求和法.
18．已知等差数列的前n项和．
（1）求实数b的值及的通项公式；
（2）若，且，求数列的前n项和．
【答案】（1）0，；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由求出，由时，求出，利用必成等差数列可求得，从而得．
（2）由（1）可求得，对裂项为，再相加．
【详解】
（1）由于
所以当时，
当时，
又数列是等差数列，故，即
所以．
易验证此时数列是以2为首项，2为公差的等差数列，．
（2）由题意及（1）知：
所以
从而．,
【点睛】
考查等差数列的通项公式，考查已知与的关系求数列通项公式，考查裂项相消法求数列的和．已知与的关系求数列通项公式时，要注意只有时才有，不包含，，它们的计算方法不一样，注意验证．
19．(1)等差数列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，求2a9－a10的值；
(2)在等差数列{an}中，a15＝8，a60＝20，求a75的值．
【答案】（1）24；（2）24
【解析】
分析：（1）先根据等差数列的性质，得a8＝24，再根据等差数列的性质化2a9－a100＝a8，即得结果，（2）由等差数列的性质，得公差d，再根据等差数列的性质求a75的值.
详解：
(1)由等差数列的性质，得a1＋3a8＋a15＝5a8＝120，
∴a8＝24，又2a9＝a8＋a10，
∴2a9－a10＝a10＋a8－a10＝a8＝24.
(2)∵a60＝a15＋(60－15)d，
∴d＝，∴a75＝a60＋(75－60)d＝20＋15×＝24.
点睛：在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路,一是利用基本量,将多元问题简化为首项与公差（公比）问题,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确;二是利用等差、等比数列的性质,性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.
20．设数列，，的前项和分别为，，，且对任意的都有，已知，数列和是公差不为0的等差数列，且各项均为非负整数.
（1）求证：数列是等差数列；
（2）若数列的前4项删去1项后按原来顺序成等比数列，求所有满足条件的数列；
（3）若，且，，求数列，的通项公式.
【答案】（1）见解析（2）或或.（3），，.
【解析】
【分析】
（1）根据得作差即可得证；
（2）分类讨论删除的项，分析等比数列的通项公式；
（3）求出，根据，所以，转化为不等式恒成立求参数，即可得解.
【详解】
解：（1）因为，①
所以，②
②-①得，
即，③
所以.④
④-③得，即
因为，所以数列是等差数列.
（2）在中，令得，
设数列的公差为，则，
因为数列的前4项，，，删去1项后成等比数列，所以有
①若删去或，剩下的三项连续，若成等比数列，则，则数列的通项公式为；
②若删去，即，，成等比数列，则，解得或，则数列的通项公式为或；
③若删去，即，，成等比数列，则，解得或，则数列的通项公式为或.
综上所述，满足条件的数列有或或.
（3），则，.
因为对任意的都有，所以对任意的都有.
设数列，的公差分别为，，则
，，
所以即①
因为对任意的都有，
所以，
整理得，，
所以，且由可得，②
因为数列，的各项均为非负整数，
所以由②得，.③
由①③得且，
故，，.
【点睛】
此题考查证明数列是等差数列，求数列的通项公式，根据不等式恒成立求参数的取值再得数列通项公式，综合性比较强.人教版A版高中数学必修五2.2等差数列
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知是和的等差中项，则的值为
A．
B．
C．
D．
2．在等差数列的两个根，那么的值为（
）
A．-12
B．-6
C．12
D．6
3．等差数列的前项和为，且，则公差等于（
）
A．
B．
C．
D．
4．“珠算之父”程大位是我国明代伟大数学家,他的应用数学巨著《算法统综》的问世,标志着我国的算法由筹算到珠算转变的完成.程大位在《算法统综》中常以诗歌的形式呈现数学问题,其中有一首“竹筒容米”问题：“家有九节竹一茎,为因盛米不均平,下头三节四升五,上梢三节贮两升五,唯有中间三节竹,要将米数次第盛,若有先生能算法,也教算得到天明.”（［注释］四升五：4.5升.次第盛：盛米容积依次相差同一数量.）用你所学的数学知识求得中间三节的容积为（
）
A．3升
B．3.25升
C．3.5
升
D．3.75升
5．设等差数列的前项和为，若，，则等于（
）
A．180
B．90
C．72
D．100
6．已知是等差数列，，其前10项的和，则其公差（
）
A．
B．
C．
D．
7．已知数列，满足，，，则数列的前10项的和为（
）
A．
B．
C．
D．
8．已知数列为等差数列，且，则的最小值为（
）
A．3
B．2
C．1
D．0
9．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就.在“杨辉三角”中，已知第行的所有数字之和为，若去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，……，则此数列的前56项和为（
）
A．2060
B．2038
C．4084
D．4108
10．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，长5尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”设该金杖由粗到细是均匀变化的，其重量为，现将该金杖截成长度相等的10段，记第段的重量为，且，若，则（
）
A．4
B．5
C．6
D．7
二、填空题
11．等差数列的第10项为23，第25项为-22，则=______．
12．设，则的值是（
）.
A．0
B．
C．1
D．2
13．等差数列中，，，，则_____
15．已知等差数列的前项和为，，，则数列的前项和为__________．
三、解答题
16．已知递增的等比数列和等差数列，满足，是和的等差中项，且.
（Ⅰ）求数列和的通项公式；
（Ⅱ）若，求数列的前项和.
17．已知等差数列的首项为，公差为，且不等式的解集为．
⑴
求数列的通项公式；
⑵
若，求数列前项和．
18．已知等差数列的前n项和．
（1）求实数b的值及的通项公式；
（2）若，且，求数列的前n项和．
19．(1)等差数列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，求2a9－a10的值；
(2)在等差数列{an}中，a15＝8，a60＝20，求a75的值．
20．设数列，，的前项和分别为，，，且对任意的都有，已知，数列和是公差不为0的等差数列，且各项均为非负整数.
（1）求证：数列是等差数列；
（2）若数列的前4项删去1项后按原来顺序成等比数列，求所有满足条件的数列；
（3）若，且，，求数列，的通项公式.
