2020-2021学年湖南省怀化市洪江市八年级（下）期末数学试卷（Word版 含解析）

2020-2021学年湖南省怀化市洪江市八年级（下）期末数学试卷
一、选择题(每小题4分，共40分).
1．下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．下列各组数据中，不能作为直角三角形边长的是（　　）
A．3，5，7 B．6，8，10 C．5，12，13 D．1，2，
3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD是斜边AB上的高，BD＝2，那么AD的长为（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
4．小明统计了他家今年5月份打电话的次数及通话时间，并列出了频数分布表：
通话时间x/min 0＜x≤5 5＜x≤10 10＜x≤15 15＜x≤20
频数（通话次数） 20 16 9 5
则通话时间不超过15min的频率为（　　）
A．0.1 B．0.4 C．0.5 D．0.9
5．如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AC＝1.2km，BC＝1.6km，则M，C两点间的距离为（　　）
A．2.0km B．1.2km C．1.0km D．0.5km
6．对于函数y＝﹣x﹣1，下列结论正确的是（　　）
A．它的图象必经过点（﹣1，3）
B．它的图象经过第一、二、三象限
C．当x＞1时，y＜0
D．y的值随x值的增大而增大
7．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC，BC＝10，CD＝6，则点D到AC的距离为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
8．下列说法正确的是（　　）
A．一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形
D．对角线平分一组对角的平行四边形是菱形
9．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，则重叠部分△AFC的面积为（　　）
A．12 B．10 C．8 D．6
10．在一次函数y＝ax﹣a中，y随x的增大而减小，则其图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题（6小题，每小题4分，共24分）
11．若n边形的每一个外角都为45°，则n的值为　 　．
12．已知点P（3，a）关于y轴的对称点为Q（b，2），则ab＝　 　．
13．如图，为估计池塘岸边A、B两点间的距离，在池塘的一侧选取点O，分别取OA、OB的中点M、N，测得MN＝4m，则A、B两点间的距离是　 　m．
14．一个容量为80的样本最大值为143，最小值为50，取组距为10，则可以分成　 　组．
15．已知m是整数，且一次函数y＝（m+4）x+m+2的图象不过第二象限，则m＝　 　．
16．如图，已知OB＝1，以OB为直角边作等腰直角三角形A1BO，再以OA1为直角边作等腰直角三角形A2A1O，如此下去，则线段OAn的长度为　 　．
三、解答题（8小题，共86分）
17．如图，AB⊥BC，AD⊥DC，AB＝AD，求证：∠1＝∠2．
18．画出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1．求：
（1）△A1B1C1三个顶点的坐标．
（2）△A1B1C1的面积．
19．为了提高学生书写汉字的能力，增强保护汉字的意识，某校举办了首届“汉字听写大赛”，学生经选拔后进入决赛，测试同时听写100个汉字，每正确听写出一个汉字得1分，本次决赛，学生成绩为x（分），且50≤x＜100，将其按分数段分为五组，绘制出以下不完整表格：
组别 成绩x（分） 频数（人数） 频率
一 50≤x＜60 2 0.04
二 60≤x＜70 10 0.2
三 70≤x＜80 14 b
四 80≤x＜90 a 0.32
五 90≤x＜100 8 0.16
请根据表格提供的信息，解答以下问题：
（1）本次决赛共有　 　名学生参加；
（2）直接写出表中a＝　 　，b＝　 　；
（3）请补全下面相应的频数分布直方图；
（4）若决赛成绩不低于80分为优秀，则本次大赛的优秀率为　 　．
20．一架梯子长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，
（1）这个梯子的顶端距地面有多高？
（2）如果梯子的顶端下滑了4米到A′，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？
21．如图，△ABC中，∠BCA＝90°，CD是边AB上的中线，分别过点C，D作BA和BC的平行线，两线交于点E，且DE交AC于点O，连接AE．
（1）求证：四边形ADCE是菱形；
（2）若∠B＝60°，BC＝6，求四边形ADCE的面积．
22．甲、乙两车分别从相距480km的A、B两地相向而行，乙车比甲车先出发1小时，并以各自的速度匀速行驶，途经C地，甲车到达C地停留1小时，因有事按原路原速返回A地．乙车从B地直达A地，两车同时到达A地．甲、乙两车距各自出发地的路程y（千米）与甲车出发所用的时间x（小时）的关系如图，结合图象信息解答下列问题：
（1）乙车的速度是　 　千米/时，t＝　 　小时；
（2）求甲车距它出发地的路程y与它出发的时间x的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）直接写出乙车出发多长时间两车相距120千米．
23．如图，已知正方形ABCD的边长为，连接AC、BD交于点O，CE平分∠ACD交BD于点E，
（1）求DE的长；
（2）过点E作EF⊥CE，交AB于点F，求BF的长；
（3）过点E作EG⊥CE，交CD于点G，求DG的长．
24．如图1，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，长方形OACB的顶点A、B分别在x轴与y轴上，已知OA＝6，OB＝10．点D为y轴上一点，其坐标为（0，2），点P从点A出发以每秒2个单位的速度沿线段AC﹣CB的方向运动，当点P与点B重合时停止运动，运动时间为t秒．
（1）当点P经过点C时，求直线DP的函数解析式；
（2）①求△OPD的面积S关于t的函数解析式；
②如图2，把长方形沿着OP折叠，点B的对应点B′恰好落在AC边上，求点P的坐标．
（3）点P在运动过程中是否存在使△BDP为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题(每小题4分，共40分)
1．下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形．
故选：B．
2．下列各组数据中，不能作为直角三角形边长的是（　　）
A．3，5，7 B．6，8，10 C．5，12，13 D．1，2，
解：32+52≠72，故选项A符合题意；
62+82＝102，故选项B不符合题意；
52+122＝132，故选项C不符合题意；
12+（）2＝22，故选项D不符合题意；
故选：A．
3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD是斜边AB上的高，BD＝2，那么AD的长为（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
解：∵CD⊥AB，∠ACB＝90°，
∴∠BDC＝90°＝∠ACB，
∵∠A＝30°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝60°，
∴∠BCD＝90°﹣∠B＝30°，
∵BD＝2，
∴BC＝2BD＝4，
∴AB＝2BC＝8，
∴AD＝AB﹣BD＝8﹣2＝6，
故选：C．
4．小明统计了他家今年5月份打电话的次数及通话时间，并列出了频数分布表：
通话时间x/min 0＜x≤5 5＜x≤10 10＜x≤15 15＜x≤20
频数（通话次数） 20 16 9 5
则通话时间不超过15min的频率为（　　）
A．0.1 B．0.4 C．0.5 D．0.9
解：∵不超过15分钟的通话次数为20+16+9＝45次，通话总次数为20+16+9+5＝50次，
∴通话时间不超过15min的频率为＝0.9，
故选：D．
5．如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AC＝1.2km，BC＝1.6km，则M，C两点间的距离为（　　）
A．2.0km B．1.2km C．1.0km D．0.5km
解：如图，在直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1.2km，BC＝1.6km，
由勾股定理得到：AB＝＝＝2（km）．
∵点M是AB的中点，
∴MC＝AB＝1km．
故选：C．
6．对于函数y＝﹣x﹣1，下列结论正确的是（　　）
A．它的图象必经过点（﹣1，3）
B．它的图象经过第一、二、三象限
C．当x＞1时，y＜0
D．y的值随x值的增大而增大
解：A、当x＝﹣1时，y＝﹣×（﹣1）﹣1＝﹣，
∴函数y＝﹣x﹣1的图象经过点（﹣1，﹣）；
B、∵k＝﹣＜0，b＝﹣1＜0，
∴函数y＝﹣x﹣1的图象经过第二、三、四象限；
C、∵k＝﹣＜0，
∴y随x的增大而减小，
又∵当x＝1时，y＝﹣×1﹣1＝﹣＜0，
∴当x＞1时，y＜0；
D、∵k＝﹣＜0，
∴y随x的增大而减小．
故选：C．
7．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC，BC＝10，CD＝6，则点D到AC的距离为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
解：∵BC＝10，CD＝6，
∴BD＝BC﹣CD＝10﹣6＝4，
△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC，
∴点D到AC的距离＝BD＝4．
故选：A．
8．下列说法正确的是（　　）
A．一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形
D．对角线平分一组对角的平行四边形是菱形
解：A、一组对边相等且有一个角是直角的四边形不一定是矩形，故本选项不符合题意；
B、对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，故本选项不符合题意；
C、对角线相等且互相垂直的四边形不一定是正方形，故本选项不符合题意；
D、正确．
故选：D．
9．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，则重叠部分△AFC的面积为（　　）
A．12 B．10 C．8 D．6
解：∵△AD′C≌△CBA，
∴△AD′F≌△CBF，
∴△AD′F与△CBF面积相等，
设BF＝x，则（8﹣x）2＝x2+42，
64﹣16x+x2＝x2+16，
16x＝48，
解得x＝3，
∴△AFC的面积＝×4×8﹣×3×4＝10．
故选：B．
10．在一次函数y＝ax﹣a中，y随x的增大而减小，则其图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
解：在y＝ax﹣a中，y随x的增大而减小，得a＜0，﹣a＞0，
故B正确．
故选：B．
二、填空题（6小题，每小题4分，共24分）
11．若n边形的每一个外角都为45°，则n的值为　8　．
解：∵n边形的的外角和为360°，每一个外角都为45°，
∴n＝360°÷45°＝8，
故答案为：8．
12．已知点P（3，a）关于y轴的对称点为Q（b，2），则ab＝　﹣6　．
解：∵点P（3，a）关于y轴的对称点为Q（b，2），
∴a＝2，b＝﹣3，
∴ab＝﹣6，
故答案为：﹣6．
13．如图，为估计池塘岸边A、B两点间的距离，在池塘的一侧选取点O，分别取OA、OB的中点M、N，测得MN＝4m，则A、B两点间的距离是　8　m．
解：∵M、N是OA、OB的中点，即MN是△OAB的中位线，
∴MN＝AB，
∴AB＝2MN＝2×4＝8（m）．
故答案为：8．
14．一个容量为80的样本最大值为143，最小值为50，取组距为10，则可以分成　10　组．
解：143﹣50＝93，
93÷10＝9.3，
所以应该分成10组．
故答案为：10．
15．已知m是整数，且一次函数y＝（m+4）x+m+2的图象不过第二象限，则m＝　﹣3或﹣2　．
解：∵一次函数y＝（m+4）x+m+2的图象不过第二象限，
∴，
解得﹣4＜m≤﹣2，
而m是整数，
则m＝﹣3或﹣2．
故填空答案：﹣3或﹣2．
16．如图，已知OB＝1，以OB为直角边作等腰直角三角形A1BO，再以OA1为直角边作等腰直角三角形A2A1O，如此下去，则线段OAn的长度为　（）n　．
解：∵△OBA1为等腰直角三角形，OB＝1，
∴BA1＝OB＝1，OA1＝OB＝；
∵△OA1A2为等腰直角三角形，
∴A1A2＝OA1＝，OA2＝OA1＝2；
∵△OA2A3为等腰直角三角形，
∴A2A3＝OA2＝2，OA3＝OA2＝2；
∵△OA3A4为等腰直角三角形，
∴A3A4＝OA3＝2，OA4＝OA3＝4．
∵△OA4A5为等腰直角三角形，
∴A4A5＝OA4＝4，OA5＝OA4＝4，
∵△OA5A6为等腰直角三角形，
∴A5A6＝OA5＝4，OA6＝OA5＝8．
∴OAn的长度为（）n．
故答案为：（）n．
三、解答题（8小题，共86分）
17．如图，AB⊥BC，AD⊥DC，AB＝AD，求证：∠1＝∠2．
【解答】证明：∵AB⊥BC，AD⊥DC，
∴∠B＝∠D＝90°，
∴△ABC与△ACD为直角三角形，
在Rt△ABC和Rt△ADC中，
∵AB＝AD，AC为公共边，
∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL），
∴∠1＝∠2．
18．画出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1．求：
（1）△A1B1C1三个顶点的坐标．
（2）△A1B1C1的面积．
解：（1）如图所示：△A1B1C1三个顶点的坐标：A1（﹣3，4），B1（﹣1，2），C1（﹣5，1）；
（2）△A1B1C1的面积为：3×4﹣×2×3﹣×2×2﹣×1×4＝5．
19．为了提高学生书写汉字的能力，增强保护汉字的意识，某校举办了首届“汉字听写大赛”，学生经选拔后进入决赛，测试同时听写100个汉字，每正确听写出一个汉字得1分，本次决赛，学生成绩为x（分），且50≤x＜100，将其按分数段分为五组，绘制出以下不完整表格：
组别 成绩x（分） 频数（人数） 频率
一 50≤x＜60 2 0.04
二 60≤x＜70 10 0.2
三 70≤x＜80 14 b
四 80≤x＜90 a 0.32
五 90≤x＜100 8 0.16
请根据表格提供的信息，解答以下问题：
（1）本次决赛共有　50　名学生参加；
（2）直接写出表中a＝　16　，b＝　0.28　；
（3）请补全下面相应的频数分布直方图；
（4）若决赛成绩不低于80分为优秀，则本次大赛的优秀率为　48%　．
解：（1）由表格可得，
本次决赛的学生数为：10÷0.2＝50，
故答案为：50；
（2）a＝50×0.32＝16，b＝14÷50＝0.28，
故答案为：16，0.28；
（3）补全的频数分布直方图如右图所示，
（4）由表格可得，
决赛成绩不低于80分为优秀率为：（0.32+0.16）×100%＝48%，
故答案为：48%．
20．一架梯子长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，
（1）这个梯子的顶端距地面有多高？
（2）如果梯子的顶端下滑了4米到A′，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？
解：（1）由题意得：AC＝25米，BC＝7米，
AB＝＝24（米），
答：这个梯子的顶端距地面有24米；
（2）由题意得：BA′＝20米，
BC′＝＝15（米），
则：CC′＝15﹣7＝8（米），
答：梯子的底端在水平方向滑动了8米．
21．如图，△ABC中，∠BCA＝90°，CD是边AB上的中线，分别过点C，D作BA和BC的平行线，两线交于点E，且DE交AC于点O，连接AE．
（1）求证：四边形ADCE是菱形；
（2）若∠B＝60°，BC＝6，求四边形ADCE的面积．
【解答】（1）证明：∵DE∥BC，EC∥AB，
∴四边形DBCE是平行四边形．
∴EC∥DB，且EC＝DB．
在Rt△ABC中，CD为AB边上的中线，
∴AD＝DB＝CD．
∴EC＝AD．
∴四边形ADCE是平行四边形．
∴ED∥BC．
∴∠AOD＝∠ACB．
∵∠ACB＝90°，
∴∠AOD＝∠ACB＝90°．
∴平行四边形ADCE是菱形；
（2）解：Rt△ABC中，CD为AB边上的中线，∠B＝60°，BC＝6，
∴AD＝DB＝CD＝6．
∴AB＝12，由勾股定理得．
∵四边形DBCE是平行四边形，
∴DE＝BC＝6．
∴．
22．甲、乙两车分别从相距480km的A、B两地相向而行，乙车比甲车先出发1小时，并以各自的速度匀速行驶，途经C地，甲车到达C地停留1小时，因有事按原路原速返回A地．乙车从B地直达A地，两车同时到达A地．甲、乙两车距各自出发地的路程y（千米）与甲车出发所用的时间x（小时）的关系如图，结合图象信息解答下列问题：
（1）乙车的速度是　60　千米/时，t＝　3　小时；
（2）求甲车距它出发地的路程y与它出发的时间x的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）直接写出乙车出发多长时间两车相距120千米．
解：（1）根据图示，可得
乙车的速度是60千米/时，
甲车的速度是：
（360×2）÷（480÷60﹣1﹣1）
＝720÷6
＝120（千米/小时）
∴t＝360÷120＝3（小时）．
故答案为：60；3．
（2）①当0≤x≤3时，设y＝k1x，
把（3，360）代入，可得
3k1＝360，
解得k1＝120，
∴y＝120x（0≤x≤3）．
②当3＜x≤4时，y＝360．
③4＜x≤7时，设y＝k2x+b，
把（4，360）和（7，0）代入，可得
解得
∴y＝﹣120x+840（4＜x≤7）．
综上所述：甲车距它出发地的路程y与它出发的时间x的函数关系式为y＝
（3）①（480﹣60﹣120）÷（120+60）+1
＝300÷180+1
＝
＝（小时）
②当甲车停留在C地时，
（480﹣360+120）÷60
＝240÷60
＝4（小时）
③两车都朝A地行驶时，
设乙车出发y小时后两车相距120千米，
则60y﹣[120（y﹣1）﹣360]＝120，
所以480﹣60y＝120，
所以60y＝360，
解得y＝6．
综上，可得
乙车出发后两车相距120千米．
23．如图，已知正方形ABCD的边长为，连接AC、BD交于点O，CE平分∠ACD交BD于点E，
（1）求DE的长；
（2）过点E作EF⊥CE，交AB于点F，求BF的长；
（3）过点E作EG⊥CE，交CD于点G，求DG的长．
解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝∠ADC＝90°，
∠DBC＝∠BCA＝∠ACD＝45°，
∵CE平分∠DCA，
∴∠ACE＝∠DCE＝∠ACD＝22.5°，
∴∠BCE＝∠BCA+∠ACE＝45°+22.5°＝67.5°，
∵∠DBC＝45°，
∴∠BEC＝180°﹣67.5°﹣45°＝67.5°＝∠BCE，
∴BE＝BC＝，
在Rt△BCD中，由勾股定理得：BD＝＝2，
∴DE＝BD﹣BE＝2﹣；
（2）∵FE⊥CE，
∴∠CEF＝90°，
∴∠FEB＝∠CEF﹣∠CEB＝90°﹣67.5°＝22.5°＝∠DCE，
∵∠FBE＝∠CDE＝45°，BE＝BC＝CD，
∴△FEB≌△ECD，
∴BF＝DE＝2﹣；
（3）延长GE交AB于F，
由（2）知：DE＝BF＝2﹣，
由（1）知：BE＝BC＝，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥DC，
∴△DGE∽△BFE，
∴＝，
∴＝，
解得：DG＝3﹣4．
24．如图1，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，长方形OACB的顶点A、B分别在x轴与y轴上，已知OA＝6，OB＝10．点D为y轴上一点，其坐标为（0，2），点P从点A出发以每秒2个单位的速度沿线段AC﹣CB的方向运动，当点P与点B重合时停止运动，运动时间为t秒．
（1）当点P经过点C时，求直线DP的函数解析式；
（2）①求△OPD的面积S关于t的函数解析式；
②如图2，把长方形沿着OP折叠，点B的对应点B′恰好落在AC边上，求点P的坐标．
（3）点P在运动过程中是否存在使△BDP为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵OA＝6，OB＝10，四边形OACB为长方形，
∴C（6，10）．
设此时直线DP解析式为y＝kx+b，
把（0，2），C（6，10）分别代入，得
，
解得
则此时直线DP解析式为y＝x+2；
（2）①当点P在线段AC上时，OD＝2，高为6，S＝6；
当点P在线段BC上时，OD＝2，高为6+10﹣2t＝16﹣2t，S＝×2×（16﹣2t）＝﹣2t+16；
②设P（m，10），则PB＝PB′＝m，如图2，
∵OB′＝OB＝10，OA＝6，
∴AB′＝＝8，
∴B′C＝10﹣8＝2，
∵PC＝6﹣m，
∴m2＝22+（6﹣m）2，解得m＝
则此时点P的坐标是（，10）；
（3）存在，理由为：
因为BD＞BC，所以满足条件的点AC上．
若△BDP为等腰三角形，分三种情况考虑：如图3，
①当BD＝BP1＝OB﹣OD＝10﹣2＝8，
在Rt△BCP1中，BP1＝8，BC＝6，
根据勾股定理得：CP1＝＝2，
∴AP1＝10﹣2，即P1（6，10﹣2）；
②当BP2＝DP2时，此时P2（6，6）；
③当DB＝DP3＝8时，
在Rt△DEP3中，DE＝6，
根据勾股定理得：P3E＝＝2，
∴AP3＝AE+EP3＝2+2，即P3（6，2+2），
综上，满足题意的P坐标为（6，6）或（6，2+2）或（6，10﹣2）．