2.4 分式方程 同步练习（含答案）
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第二章 分式与分式方程
4 分式方程
知识能力全练
知识点一 分式方程的概念
1.有下列方程:①；②；③；④.其中属于分式方程的是（ ）
A.①② B.②③ C.③④ D.②④
知识点二 分式方程的解法
2.对于分式方程，有以下说法:①转化为整式方程为x＝2＋3，解得x＝5；②原方程的解为x＝3；③原方程无解.其中，正确说法的个数为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.0
3.若x＝6是分式方程的解，则实数a的值为（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
4.如果，那么等于（ ）
A.-2 B.2 C.4 D.-2或4
5.已知关于x的方程的解是负数，则m的取值范围为（ ）
A.m＞-6且m≠-3 B.m＞-6 C.m＜6且m≠-3 D.m＜-6
6.对于两个非零的实数a、b，规定a＊b＝，若5＊（3x-1）＝2，则x的值为（ ）
A. B. C. D.
7.若分式方程无解，则m的值是（ ）
A.0 B.-1 C.-2 D.-1或-2
8.被称为二阶行列式，规定它的运算法则为，请你根据运算法则求出下列等式中x的值.若，则x＝___________.
9.解方程:
（1）； （2）； （3）.
知识点三 分式方程的应用
10.为了践行“绿色生活”的理念，甲、乙两人每天骑自行车出行，甲匀速骑行40千米的时间与乙匀速骑行35千米的时间相同，已知甲每小时比乙多骑行2千米，设甲每小时骑行x千米根据题意列出的方程正确的是（ ）
A. B. C. D.
11.某村的居民自来水管道需要改造该工程若由甲队单独施工，则恰在规定时间内完成；若由乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的1.5倍如果由甲、乙两队先合做15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需5天，设这项工程的规定时间是x天，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
12.今年大葱减产，使得大葱的价格持续上涨王厨师想去市场购买大葱，已知今年大葱的价格是去年大葱价格的3倍，去年王厨师花200元购买大葱的质量比今年花480元购买的质量多10千克，请问王厨师去年买了多少千克的大葱？若设王厨师去年买了x千克的大葱，则根据题意可列方程__________________.
13.长方形的面积是390 m2，如果将长扩大为原来的2倍，且长方形的面积保持不变，那么宽会比原来少13 m，求原来长方形的长.
14.列方程解应用题:
开展“光盘行动”，拒绝“舌尖上的浪费”，已成为一种时尚如图所示，某学校食堂为了激励同学们做到光盘不浪费，提出如果学生每餐做到光盘不浪费，那么餐后奖励香蕉或橘子一份近日，学校食堂花了2800元和2500元分别采购了香蕉和橘子，采购的香蕉比橘子多150千克，香蕉每千克的价格比橘子每千克的价格低30％，求橘子每千克的价格.
巩固提高全练
15.将分式方程去分母后，得（ ）
A.x2＋x-5＝x2＋2x B.x2＋x-5＝x＋2 C.1-5＝x＋2 D.x-5＝x＋2
16.如果解关于x分式方程时出现增根，那么m的值为（ ）
A.-2 B.2 C.4 D.-4
17.已知分式方程的解为非负数，则k的取值范围为（ ）
A.k≥5 B.k≥-1 C.k≥5且k≠6 D.k≥-1且k≠0
18.疫情期间，我市某学校用4200元到商场去购买84消毒液，经过协商议价，每瓶便宜1元，结果比用原价买多买了140瓶，求原价每瓶多少元.若设原价每瓶x元，则可列出方程为（ ）
A. B.
C. D.
19.当x＝_______时，分式的值与分式的值互为相反数.
20.我们把分子是1的分数叫做单位分数，有些单位分数可以拆成两个不同的分数的差，如，，，，…请用观察到的规律解方程：，该方程的解是____________.
21.解方程:
（1）； （2）.
22.某校利用暑假进行田径场的改造维修，项目承包单位派遣一号施工队进场施工，计划用30天时间完成整个工程一号施工队工作10天后，承包单位接到通知，有一大型活动要在该田径场举行，要求比原计划提前8天完成整个工程于是承包单位派遣二号施工队与一号施工队共同完成剩余工程，结果按通知要求如期完成整个工程.
（1）若二号施工队单独施工，完成整个工程需要多少天？
（2）若此项工程由一号、二号施工队同时进场施工，完成整个工程需要多少天？
23.在我市“青山绿水”行动中，某社区计划对面积为3600m2的区域进行绿化，经投标由甲、乙两个工程队来完成已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化面积的2倍，如果两队各自独立完成面积为600m2区域的绿化时，甲队比乙队少用6天.
（1）求甲、乙两工程队每天各能完成多少面积的绿化；
（2）若甲队每天绿化的费用是1.2万元，乙队每天绿化的费用为0.5万元，社区要使这次绿化的总费用不超过40万元，则至少应安排乙工程队绿化多少天？
24.分式方程 的解为（ ）
A.x＝1 B.x＝2 C.x＝-1 D.无解
25.对于实数a、b，定义一种新运算“*”:a*b＝，这里等式右边是实数运算.例如:1*3＝，则方程x*（-2）＝的解是（ ）
A.x＝4 B.x＝5 C.x＝6 D.x＝7
26.代数式与代数式的值相等，则x＝____________.
27.若关于x的分式方程有增根，则m＝____________.
28.解方程:.
29.在“旅游示范公路”建设的过程中，工程队计划在海边某路段修建一条长1200 m的步行道由于采用新的施工方式，平均每天修建步行道的长度是计划的1.5倍，结果提前5天完成任务.求计划平均每天修建步行道的长度.
30.（中国是最早发现并利用茶的国家，形成了具有独特魅力的茶文化.2020年5月21日以“茶和世界共品共享”为主题的第一届国际茶日在中国召开某茶店用4000元购进了A种茶叶若干盒，用8400元购进B种茶叶若干盒，所购B种茶叶比A种茶叶多10盒，且B种茶叶每盒进价是A种茶叶每盒进价的1.4倍.
（1）A，B两种茶叶每盒进价分别为多少元？
（2）第一次所购茶叶全部售完后，第二次购进A，B两种茶叶共100盒（进价不变），A种茶叶的售价是每盒300元，B种茶叶的售价是每盒400元两种茶叶各售出一半后，为庆祝国际茶日，两种茶叶均打七折销售，全部售出后，第二次所购茶叶的利润为5800元（不考虑其他因素），求第二次购进A，B两种茶叶各多少盒.
31.观察下面的变形规律:
请尝试回答下面的问题:
若,则x的值为（ ）
A.1000 B.998 C.1 D.2
32阅读下列材料:
关于x的方程:的解是x1＝c，x2＝；
（即）的解是x1＝c，x2＝-；
的解是x1＝c，x2＝；
的解是x1＝c，x2＝；
……
（1）观察上述方程与解的特征，猜想关于x的方程（m≠0）的解是什么，并利用“方程的解”的概念进行验证；
（2）由上述的观察、猜想、验证可以得出结论:
如果方程的左边是未知数与其倒数的倍数的和，方程的右边的形式与左边完全相同，只是把其中的未知数换成了某个常数，那么这样的方程可以直接得解.请用这个结论解关于x的方程:.
参考答案
1.B 2.A 3.B 4.B 5.A 6.B 7.D 8.4
9.解析（1）去分母得3x＝2x-4解得x＝-4，
经检验，x＝-4是分式方程的解.
（2）去分母，去括号得x-1＋2x＋2＝4，
移项，合并同类项得3x＝3，解得x＝1，
经检验，x＝1是原方程的增根，所以分式方程无解.
（3）去分母，去括号得1＋2x-4＝-x-1，
移项，合并同类项得3x＝2，解得x＝.
经检验，x＝是分式方程的解.
10.A 11.C 12.
13.解析 设原来长方形的长为x米，则新长方形的长为2x米，
由题意得，解得x＝15，
经检验，x＝15是原分式方程的解，且符合题意.
答:原来长方形的长为15米.
14.解析 设橘子每千克的价格为x元，则香蕉每千克的价格为70％x元.
根据题意，得，解得x＝10，
检验:当x＝10时，70％x≠0，所以x＝10是原分式方程的解，且符合题意.
答:橘子每千克的价格为10元.
15.A 16.D 17.D 18.B 19. 2.4 20. x＝4
21.解析 （1）去分母得x＋2＝4，解得x＝2，
经检验，x＝2是分式方程的增根，所以分式方程无解.
（2）去分母得3x＝2x＋3x＋3，解得x＝-，
经检验，x＝-是分式方程的解.
22.解析 （1）设二号施工队单独施工，完成整个工程需要x天，
根据题意得，解得x＝45，
经检验，x＝45是原分式方程的解，且符合题意.
答:若二号施工队单独施工，完成整个工程需要45天.
（2）根据题意得1÷＝18（天）.
答:若此项工程由一号、二号施工队同时进场施工，完成整个工程需要18天.
23.解析 （1）设乙队每天能完成绿化的面积是x m2，则甲队每天能完成绿化的面积是2x m2，
根据题意，得＝6，解得x＝50.
经检验，x＝50是所列方程的解，并且符合实际问题的意义.
∴2x＝2×50＝100.
答:甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是100m2、50m2.
（2）设安排甲工程队绿化a天，乙工程队绿化b天刚好完成绿化任务，
由题意，得100a＋50b＝3600，则a＝，
根据题意得，解得b≥32.
答:至少应安排乙工程队绿化32天.
24.D 25.B 26. 7 27. 3
28.解析 方程两边同乘（x-2），得x-3＋（x-2）＝-3，解得x＝1.
经检验，x＝1是原分式方程的解.
29.解析 设计划平均每天修建步行道的长度为x m，则采用新的施工方式后平均每天修建步行道的长度为1.5x m，
依题意，得，解得x＝80，
经检验，x＝80是原方程的解，且符合题意.
答:计划平均每天修建步行道的长度为80 m.
30.解析 （1）设A种茶叶每盒进价为x元，则B种茶叶每盒进价为1.4x元，
依题意，得，解得x＝200，
经检验，x＝200是原方程的解，且符合题意，
∴1.4x＝280.
答:A种茶叶每盒进价为200元，B种茶叶每盒进价为280元.
（2）设第二次购进A种茶叶m盒，则购进B种茶叶（100-m）盒，
依题意，得
.
解得m＝40，∴100-m＝60.
答:第二次购进A种茶叶40盒，B种茶叶60盒.
31.B
32.解析 （1）猜想:x＋＝c＋（m≠0）的解是x1＝C，x2＝.
验证:当x＝c时，方程左边＝c＋，方程右边＝c＋，
∵左边＝右边，∴x＝c是方程的解.
当x＝时，方程左边＝＋c，方程右边＝c＋，
∵左边＝右边，∴x＝是方程的解故猜想成立.
2）由，得，
∴x1-1＝a-1，x2-1＝，∴x1＝a，x2＝.
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第二章 分式与分式方程
4 分式方程
知识能力全练
知识点一 分式方程的概念
1.有下列方程:①；②；③；④.其中属于分式方程的是（ ）
A.①② B.②③ C.③④ D.②④
知识点二 分式方程的解法
2.对于分式方程，有以下说法:①转化为整式方程为x＝2＋3，解得x＝5；②原方程的解为x＝3；③原方程无解.其中，正确说法的个数为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.0
3.若x＝6是分式方程的解，则实数a的值为（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
4.如果，那么等于（ ）
A.-2 B.2 C.4 D.-2或4
5.已知关于x的方程的解是负数，则m的取值范围为（ ）
A.m＞-6且m≠-3 B.m＞-6 C.m＜6且m≠-3 D.m＜-6
6.对于两个非零的实数a、b，规定a＊b＝，若5＊（3x-1）＝2，则x的值为（ ）
A. B. C. D.
7.若分式方程无解，则m的值是（ ）
A.0 B.-1 C.-2 D.-1或-2
8.被称为二阶行列式，规定它的运算法则为，请你根据运算法则求出下列等式中x的值.若，则x＝___________.
9.解方程:
（1）； （2）； （3）.
知识点三 分式方程的应用
10.为了践行“绿色生活”的理念，甲、乙两人每天骑自行车出行，甲匀速骑行40千米的时间与乙匀速骑行35千米的时间相同，已知甲每小时比乙多骑行2千米，设甲每小时骑行x千米根据题意列出的方程正确的是（ ）
A. B. C. D.
11.某村的居民自来水管道需要改造该工程若由甲队单独施工，则恰在规定时间内完成；若由乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的1.5倍如果由甲、乙两队先合做15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需5天，设这项工程的规定时间是x天，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
12.今年大葱减产，使得大葱的价格持续上涨王厨师想去市场购买大葱，已知今年大葱的价格是去年大葱价格的3倍，去年王厨师花200元购买大葱的质量比今年花480元购买的质量多10千克，请问王厨师去年买了多少千克的大葱？若设王厨师去年买了x千克的大葱，则根据题意可列方程__________________.
13.长方形的面积是390 m2，如果将长扩大为原来的2倍，且长方形的面积保持不变，那么宽会比原来少13 m，求原来长方形的长.
14.列方程解应用题:
开展“光盘行动”，拒绝“舌尖上的浪费”，已成为一种时尚如图所示，某学校食堂为了激励同学们做到光盘不浪费，提出如果学生每餐做到光盘不浪费，那么餐后奖励香蕉或橘子一份近日，学校食堂花了2800元和2500元分别采购了香蕉和橘子，采购的香蕉比橘子多150千克，香蕉每千克的价格比橘子每千克的价格低30％，求橘子每千克的价格.
巩固提高全练
15.将分式方程去分母后，得（ ）
A.x2＋x-5＝x2＋2x B.x2＋x-5＝x＋2 C.1-5＝x＋2 D.x-5＝x＋2
16.如果解关于x分式方程时出现增根，那么m的值为（ ）
A.-2 B.2 C.4 D.-4
17.已知分式方程的解为非负数，则k的取值范围为（ ）
A.k≥5 B.k≥-1 C.k≥5且k≠6 D.k≥-1且k≠0
18.疫情期间，我市某学校用4200元到商场去购买84消毒液，经过协商议价，每瓶便宜1元，结果比用原价买多买了140瓶，求原价每瓶多少元.若设原价每瓶x元，则可列出方程为（ ）
A. B.
C. D.
19.当x＝_______时，分式的值与分式的值互为相反数.
20.我们把分子是1的分数叫做单位分数，有些单位分数可以拆成两个不同的分数的差，如，，，，…请用观察到的规律解方程：，该方程的解是____________.
21.解方程:
（1）； （2）.
22.某校利用暑假进行田径场的改造维修，项目承包单位派遣一号施工队进场施工，计划用30天时间完成整个工程一号施工队工作10天后，承包单位接到通知，有一大型活动要在该田径场举行，要求比原计划提前8天完成整个工程于是承包单位派遣二号施工队与一号施工队共同完成剩余工程，结果按通知要求如期完成整个工程.
（1）若二号施工队单独施工，完成整个工程需要多少天？
（2）若此项工程由一号、二号施工队同时进场施工，完成整个工程需要多少天？
23.在我市“青山绿水”行动中，某社区计划对面积为3600m2的区域进行绿化，经投标由甲、乙两个工程队来完成已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化面积的2倍，如果两队各自独立完成面积为600m2区域的绿化时，甲队比乙队少用6天.
（1）求甲、乙两工程队每天各能完成多少面积的绿化；
（2）若甲队每天绿化的费用是1.2万元，乙队每天绿化的费用为0.5万元，社区要使这次绿化的总费用不超过40万元，则至少应安排乙工程队绿化多少天？
24.分式方程 的解为（ ）
A.x＝1 B.x＝2 C.x＝-1 D.无解
25.对于实数a、b，定义一种新运算“*”:a*b＝，这里等式右边是实数运算.例如:1*3＝，则方程x*（-2）＝的解是（ ）
A.x＝4 B.x＝5 C.x＝6 D.x＝7
26.代数式与代数式的值相等，则x＝____________.
27.若关于x的分式方程有增根，则m＝____________.
28.解方程:.
29.在“旅游示范公路”建设的过程中，工程队计划在海边某路段修建一条长1200 m的步行道由于采用新的施工方式，平均每天修建步行道的长度是计划的1.5倍，结果提前5天完成任务.求计划平均每天修建步行道的长度.
30.（中国是最早发现并利用茶的国家，形成了具有独特魅力的茶文化.2020年5月21日以“茶和世界共品共享”为主题的第一届国际茶日在中国召开某茶店用4000元购进了A种茶叶若干盒，用8400元购进B种茶叶若干盒，所购B种茶叶比A种茶叶多10盒，且B种茶叶每盒进价是A种茶叶每盒进价的1.4倍.
（1）A，B两种茶叶每盒进价分别为多少元？
（2）第一次所购茶叶全部售完后，第二次购进A，B两种茶叶共100盒（进价不变），A种茶叶的售价是每盒300元，B种茶叶的售价是每盒400元两种茶叶各售出一半后，为庆祝国际茶日，两种茶叶均打七折销售，全部售出后，第二次所购茶叶的利润为5800元（不考虑其他因素），求第二次购进A，B两种茶叶各多少盒.
31.观察下面的变形规律:
请尝试回答下面的问题:
若,则x的值为（ ）
A.1000 B.998 C.1 D.2
32阅读下列材料:
关于x的方程:的解是x1＝c，x2＝；
（即）的解是x1＝c，x2＝-；
的解是x1＝c，x2＝；
的解是x1＝c，x2＝；
……
（1）观察上述方程与解的特征，猜想关于x的方程（m≠0）的解是什么，并利用“方程的解”的概念进行验证；
（2）由上述的观察、猜想、验证可以得出结论:
如果方程的左边是未知数与其倒数的倍数的和，方程的右边的形式与左边完全相同，只是把其中的未知数换成了某个常数，那么这样的方程可以直接得解.请用这个结论解关于x的方程:.
参考答案
1.B 2.A 3.B 4.B 5.A 6.B 7.D 8.4
9.解析（1）去分母得3x＝2x-4解得x＝-4，
经检验，x＝-4是分式方程的解.
（2）去分母，去括号得x-1＋2x＋2＝4，
移项，合并同类项得3x＝3，解得x＝1，
经检验，x＝1是原方程的增根，所以分式方程无解.
（3）去分母，去括号得1＋2x-4＝-x-1，
移项，合并同类项得3x＝2，解得x＝.
经检验，x＝是分式方程的解.
10.A 11.C 12.
13.解析 设原来长方形的长为x米，则新长方形的长为2x米，
由题意得，解得x＝15，
经检验，x＝15是原分式方程的解，且符合题意.
答:原来长方形的长为15米.
14.解析 设橘子每千克的价格为x元，则香蕉每千克的价格为70％x元.
根据题意，得，解得x＝10，
检验:当x＝10时，70％x≠0，所以x＝10是原分式方程的解，且符合题意.
答:橘子每千克的价格为10元.
15.A 16.D 17.D 18.B 19. 2.4 20. x＝4
21.解析 （1）去分母得x＋2＝4，解得x＝2，
经检验，x＝2是分式方程的增根，所以分式方程无解.
（2）去分母得3x＝2x＋3x＋3，解得x＝-，
经检验，x＝-是分式方程的解.
22.解析 （1）设二号施工队单独施工，完成整个工程需要x天，
根据题意得，解得x＝45，
经检验，x＝45是原分式方程的解，且符合题意.
答:若二号施工队单独施工，完成整个工程需要45天.
（2）根据题意得1÷＝18（天）.
答:若此项工程由一号、二号施工队同时进场施工，完成整个工程需要18天.
23.解析 （1）设乙队每天能完成绿化的面积是x m2，则甲队每天能完成绿化的面积是2x m2，
根据题意，得＝6，解得x＝50.
经检验，x＝50是所列方程的解，并且符合实际问题的意义.
∴2x＝2×50＝100.
答:甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是100m2、50m2.
（2）设安排甲工程队绿化a天，乙工程队绿化b天刚好完成绿化任务，
由题意，得100a＋50b＝3600，则a＝，
根据题意得，解得b≥32.
答:至少应安排乙工程队绿化32天.
24.D 25.B 26. 7 27. 3
28.解析 方程两边同乘（x-2），得x-3＋（x-2）＝-3，解得x＝1.
经检验，x＝1是原分式方程的解.
29.解析 设计划平均每天修建步行道的长度为x m，则采用新的施工方式后平均每天修建步行道的长度为1.5x m，
依题意，得，解得x＝80，
经检验，x＝80是原方程的解，且符合题意.
答:计划平均每天修建步行道的长度为80 m.
30.解析 （1）设A种茶叶每盒进价为x元，则B种茶叶每盒进价为1.4x元，
依题意，得，解得x＝200，
经检验，x＝200是原方程的解，且符合题意，
∴1.4x＝280.
答:A种茶叶每盒进价为200元，B种茶叶每盒进价为280元.
（2）设第二次购进A种茶叶m盒，则购进B种茶叶（100-m）盒，
依题意，得
.
解得m＝40，∴100-m＝60.
答:第二次购进A种茶叶40盒，B种茶叶60盒.
31.B
32.解析 （1）猜想:x＋＝c＋（m≠0）的解是x1＝C，x2＝.
验证:当x＝c时，方程左边＝c＋，方程右边＝c＋，
∵左边＝右边，∴x＝c是方程的解.
当x＝时，方程左边＝＋c，方程右边＝c＋，
∵左边＝右边，∴x＝是方程的解故猜想成立.
2）由，得，
∴x1-1＝a-1，x2-1＝，∴x1＝a，x2＝.
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