(共28张PPT)
1.1
集合的概念
第一章
学习目标
1.通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的“属于”关系.
2.能选择自然语言、图形语言、符号语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受符号语言的意义和作用.
核心素养：数学运算、逻辑推理
什么是集合？什么是元素？
看下面的例子：
（1）1~10之间的所有偶数；
（2）卢老师所在初中今年入学的全体高一新生；
（3）所有的正方形；
（4）到直线M的距离等于定长d的所有点；
（5）方程的所有解；
（6）地球上的七大洲
2，4，6，8，10
全部正方形，无数个
点构成了直线
亚洲、欧洲、北美洲、南美洲、南极洲、非洲、大洋洲
全部新生
一般地，我们把研究对象统称为元素，如(1)中的几个偶数2，4等；
把由元素组成的总体叫做集合(简称为集)，如上面左侧的6个集合。
新知学习
什么是集合？什么是元素？
“对象”
集合中的“对象”所指的范围非常广泛，现实生活中我看到的、听到的、想到的、触摸到的事物和抽象的符号等等，都可以看做对象。比如数、点、图形、多项式、方程、函数、人等等、
“总体”
集合是一个整体，已暗含“所有”“全部”“全体”的含义，因此一些对象一旦组成集合，那么这个集合就是全体，而非个别对象了。
集合当中的元素有哪几种性质？
确定性
对于一个给定的集合，它的元素必须是确定的。也就是说，对于一个
已知的集合来说，某个元素在不在这个集合里，是确定的，要么在
，
要么不在，不能含糊其辞。比如“较小的数”就不能构成集合，因为
组成它的元素是不缺定的。
互异性
一个给定的集合当中的元素是互不相同的，即集合中的元素不会重复
出现
无序性
集合中的元素排列没有顺序之分，只要某两个集合当中的元素相同，
那么它们就是相等的集合。｛1，2，3｝和｛3，2，1｝是同样的集合
一般来说：
用大写拉丁字母A、B、C…等表示集合
用小写拉丁字母…等表示元素
元素与集合的关系：
如果是是集合A的元素，那么就说属于集合A，记作∈A；
如果是不是集合A的元素，那么就说不属于集合A，记作?A；
比如，3∈自然数集；4?奇数集
集合和元素怎么表示？它们之间有什么关系？
常用的数集比如自然数集怎么表示？
【自然数集】
全体自然数组成的集合，包括0，1，2…等，记作N，也叫非负整数集
【正整数集】
全体正整数组成的集合，记作N
或N+；
【整数集】
全体整数组成的集合，记作Z；
【有理数集】
全体有理数组成的集合，记作Q；
【实数集】
全体实数组成的集合，记作R；
以上数集之间的关系如图所示：
N
N
Z
Q
R
注意写法
从上面的例子可以看
出：我们可以用自然
语言来描述集合，还
可以用什么方法呢？
集合的3种表示方法之列举法
“地球上的四大洋”组成的集合可以表示为｛大西洋，太平洋，北冰洋，印度洋｝；
“方程的所有实数根”组成的集合可以表示为｛0，2｝
像这样，把集合的元素一一列出来，并用花括号｛｝括起来表示集合的方法
叫做列举法。
【注意】
（1）花括号表示的是“所有”“整体”的含义，如实数集可以写成
｛实数｝，但不能写成｛实数集｝｛全体实数｝｛R｝
（2）列举法表示集合时要注意：
①元素之间用逗号隔开；
②一个集合中的元素书写一般不考虑顺序
集合的3种表示方法之列举法
【问题】哪些集合适合用列举法表示呢？
（1）含有有限个元素且元素个数较少的集合
（2）元素较多，但是元素的排列呈现一定的规律，在不至于发生误解的情况
下，也可以列出几个元素作代表，其他元素用省略号表示，如自然数集
N可以表示为｛0，1，2，…，n…｝
（3）当集合所含元素属性特征不易表述时，用列举法比较方便，如
｛｝
集合的分类
【有限集】含有有限个元素的集合
【无限集】含有无限个元素的集合
用列举法表示下列集合
（1）小于8的所有自然数的集合；
（2）方程的所有实数根组成的集合.
【解】（1）｛0，1，2，3，4，5，6，7｝
（2）｛-1，0｝
注意：
由于集合具有无序性，所以第(1)题的答案可以有多种呈现方式，
如｛1，2，4，5，6，0，7，3｝等
典例剖析
集合的3种表示方法之描述法
一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P()的元素
所组成的集合表示为｛
∈A|P()｝
这种表示集合的方法称为描述法。例如，我们可以把奇数集表示为
｛
∈Z|
=(∈Z)｝，偶数集表示为｛
∈Z|
=(∈Z)｝；
把不等式的解集表示为｛
∈R|
＞3｝
温馨提示：有时也用冒号或者分号代替竖线，写成
｛
∈A：P()｝或｛
∈A；P()｝
集合的3种表示方法之描述法
问题：用描述法表示集合需要注意什么问题？
（1）竖线前面表示的是集合的元素，｛
|｝，
｛
|｝，
｛
|｝分别是三个不同的集合.
（2）竖线后面写清元素满足的条件，一般是方程或者不等式.
（3）不能出现未说明的字母，如｛｝未说明的取值情况，故集合中的
元素不确定.
（4）所有描述内容都要写在花括号里面，如写法｛
｝，∈Z不符合
要求，应改为｛
，∈Z
｝
（5）多层描述时，要准确适用“或”“且”等表示元素关系的词语，如
{|}
请用描述法表示下列集合：
（1）方程的所有实数根组成的集合A；
（2）由大于10而小于20的所有整数组成的集合B.
【解】（1）A={|
}
（2）B={∈Z|}
典例剖析
表示集合的三种方法各有什么特点？
自然语言是最基本的语言形式，使用范围广，但是具有多义性，有时难于表达。
列举法直观地体现了元素的个体，但是有局限性，多适用于元素个数较少的有限集。
描述法具有抽象概括、普遍性的特点，适用于元素共同特征明显的集合，有些集合元素没有明显的共同特征，则不能用描述法。
方程的解集
｛1，-1｝
｛|
｝
表示集合的三种方法各有什么特点？
列举法和描述法的转化
列举法表
示的集合
描述法表
示的集合
明确集合中元素的共同特征
找准代表元素，满足什么条件
描述法表
示的集合
列举法表
示的集合
分析集合中的元素及其特征
逐一列出集合中的元素
表示集合的三种方法各有什么特点？
几何语言及其他语言的关系及构成
形象化
具体化
自然语言
(通俗、易懂)
图形语言
(形象、直观)
集合语言
简介、抽象
文字化
抽象化
抽象化
形象化
文字语言
符号语言
图形语言
【①元素与集合关系的判断】
下列选项中是集合A={}中的元素的是（
）
A.
B.
C.
D.
【解】对于A，当时，，则；
，则，不满足题意
对于B，当时，，则；
，则，不满足题意
对于C，当时，，则；
，则，不满足题意
对于D，当时，，则；
，则，满足题意
D
题型训练
（1）若集合A中含有三个元素，且-3∈A，求
【解】①若，则，此时A={-3,-1,-4}，满足题意
（2）若2?{|}，求的取值范围
②若，则，此时，不满足题意
③若，则，时，A={-2,1,-3}，满足题意;
时，由②知不满足题意;
【解】∵
2?{|}，所以2不满足不等式，即，
即的取值范围为{|
≥2}
【②已知元素与集合的关系求参数】
题型训练
含有3个实数的集合既可以表示为{}，又可以表示为{}，则
的值是多少？
【解】由题意{}={}，易知≠0且≠1，
则有=0且=1或=1，
若，则由得，经验证符合题意；
若，则，由得，不符合题意；
综上，
题型训练
【③由集合相等求参数】
随堂小测
1.考察对象能否构成一个集合，就是要看是否有一个确定的特征(或标准)，依此特征(或标准)能确定任何一个个体是否属于这个总体，如果有，能构成集合，如果没有，就不能构成集合.
2.元素a与集合A之间只有两种关系：a∈A，a?A.
课堂小结
3.集合中元素的三个特性
(1)确定性：指的是作为一个集合中的元素，必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素属不属于这个集合是确定的.要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否构成集合.
(2)互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的.
(3)无序性：集合与其中元素的排列顺序无关，如由元素a，b，c与由元素b，a，c组成的集合是相等的集合.这个性质通常用来判断两个集合的关系.
4.在用列举法表示集合时应注意：
(1)元素间用分隔号“，”；
(2)元素不重复；
(3)元素无顺序；
(4)列举法可表示有限集，也可以表示无限集.若集合中的元素个数比较少，则用列举法比较简单；若集合中的元素较多或无限，但出现一定的规律性，在不发生误解的情况下，也可以用列举法表示.
5.在用描述法表示集合时应注意：
(1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)，是数、还是有序实数对(点)、还是集合或其他形式；
(2)当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真(元素具有怎样的属性)，而不能被表面的字母形式所迷惑.
谢
谢！第一章
集合与常用逻辑用语
1.1
集合的概念
第1课时
集合的含义
课标解读
课标要求
素养要求
1.通过实例，了解集合的含义
2.掌握集合中元素的三个特性.
3.理解元素与集合的属于关系，记住常用数集的表示符号并能运用.
1.数学抽象——能够判断给出的对象能否构成集合.
2.逻辑推理——会借助集合元素的互异性解题.
自主学习·必备知识
要点一
集合与元素的概念
1.一般地，我们把研究对象统称为元索，把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集）.我们通常用大写拉丁字母①
，
，
，…
表示集合，用小写拉丁字母②
，
，
，…
表示集合中的元素.
2.集合相等：只要构成两个集合的元素是③
，我们就称这两个集合是相等的.
要点二
集合与元素间的关系
如果
是集合
的元素，就说a属于集合A，记作
；如果
不是集合4中的元素，就说a不属于集合A，记作
.
要点三
数学中一些常用的数集及其记法
全体非负整数组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作
；
全体正整数组成的集合称为正整数集，记作
或
；
全体整数组成的集合称为整数集，记作
；
全体有理数组成的集合称为有理数集，记作④
；
全体实数组成的集合称为实数集，记作⑤
.
自主思考
1.班上高个子的同学能称为元素吗？
2.坐标平面内所有的点组成的集合为
，那么
，
都成立吗?
3.集合
与
或
有何区别?
4.
与
有何区别?
名师点睛
1.判断一组对象能否组成集合的关键是看该组对象是否有明确的标准，即给定的对象是“模棱两可”还是“确定无疑”.另外，元素可以是人、物、数、点、不等式、集合等.
2.集合中元素的特性
确定性、互异性、无序性.
3.常用数集关系网
互动探究·关键能力
探究点一
集合的概念
精讲精练
例
下列各组对象，能构成集合的是(
)
①中国各地最美的旅游景点；
②平面直角坐标系中横、纵坐标相等的点；
③不小于2021的自然数；
④2020年我校体育节中的金牌获得者.
A.③④
B.②③④
C.②③
D.②④
解题感悟
一般地，确认一组对象均不相同
能否构成集合的过程如下：
迁移应用
1.有下列各组对象：
①接近于0的数的全体；
②比较小的正整数的全体；
③平面直角坐标系上到点
的距离等于1的点的全体；
④直角三角形的全体．
其中能构成集合的个数是(
)
A.1
B.2
C.3
D.4
探究点二
元素与集合的关系
精讲精练
例
（1）下列所给关系正确的个数是(
)
①
；②
；③
；④
.
A.1
B.2
C.3
D.4
（2）已知集合
含有三个元素2，4，6，且当
时，有
，那么
为(
)
A.2
B.2或4
C.4
D.0
解题感悟
判断元素与集合关系的两种方法
1.直接法：
（1）使用前提：集合中的元素是直接给出的；
（2）判断方法：首先明确集合是由哪些元素构成的，然后判断该元素在已知集合中是否出现即可.
2.推理法：
（1）使用前提：集合中的元素不便直接表示的；
（2）判断方法：首先明确已知集合的元素具有什么共同特征，然后判断该元素是否满足集合中元素所具有的共同特征即可.
迁移应用
1.已知集合
中的元素
满足
，常数
，若
，
，则
的取值范围是
.
2.用符号“
”或“
”填空.
设集合
是所有满足方程
的有序数对
的集合，则-1
.
探究点三
集合中元素的特征及运用
精讲精练
例
已知集合
含有两个元素1和
，若
，求实数
的值.
解题感悟
由集合中元素的特性求解字母的取值（范围）的步骤
（1）求解：根据集合中元素的确定性，解出字母的取值（范围）；
（2）检验：根据集合中元素的互异性，对解出的值进行检验；
（3）作答：写出符合题意的字母的取值（范围）.
易错点拨
常因忘记验证集合中元素的互异性而失分.
迁移应用
1.（2020河南南阳高一检测）设集合
满足：若
，则
，且集合Ｍ中所有元素之和为
，
，则集合Ｍ中的元素个数为(
)
A.22
B.22或23
C.23
D.23或24
评价检测·素养提升
1.（2021安徽黄山高一期末）下列元素与集合的关系不正确的是(
)
A.
B.
C.
D.
2.（多选）下列各项中，可以组成集合的是(
)
A.所有的正数
B.等于2021的数
C.接近于2021的数
D.不等于0的数
3.“
”中的字母构成一个集合，该集合的元素个数是(
)
A.5
B.6
C.7
D.8
4.有下列说法：
①
与
是同一个集合；
②
中的元素都是
中的元素；
③
中的元素都是
中的元素；
④
中的元素都是
中的元素.
其中正确的有
（填序号）.
5.若集合
是由元素-1，3组成的集合，集合
是由方程
的解组成的集合，且
，求实数
，
.
课时评价作业
基础达标练
1.（2020海南东方八所中学高一月考）下列所给的对象能构成集合的是(
)
A.2021届的优秀学生
B.高一数学必修第一册课本上的所有难题
C.遵义四中高一年级的所有男生
D.比较接近1的全体正数
2.设集合
只含有一个元素a，则下列各式正确的是(
)
A.
B.
C.
D.
3.（2020海南临高二中高一月考）下列关系中，正确的个数为(
)
①
；②
；③
；④
.
A.1
B.2
C.3
D.4
4.若以集合
中的四个元素
为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是(
)
A.梯形
B.平行四边形
C.菱形
D.矩形
5.（2021湖北荆州高一检测）已知
，
是非零实数，代数式
的值组成的集合是
，则下列判断正确的是(
)
A.
B.
C.
D.
6.（多选）下列说法中正确的有(
)
A.
中最小的数是1
B.若
，则
C.若
，
，则
的最小值是2
D.方程
的解构成的集合中有2个元素
7.若集合
中有两个元素-1和2，集合
中有两个元素
，
，若
与
相等，则
；
.
8.（2021广西南宁三中高一检测）已知集合
是由全体偶数组成的，集合
是由全体奇数组成的，若
，
，则
，
A（选填“
”或“
”）.
9.已知集合
中含有两个元素
和
，若
，求实数
的值.
素养提升练
10.（2021山西新绛第二中学检测）已知集合
是方程
的解组成的集合，若
，则下列判断正确的是(
)
A.
B.
C.
D.
11.（2020山东青岛高一期中）由实数
，
，
，
，
所组成的集合，其元素的个数最多为(
)
A.2
B.3
C.4
D.5
12.集合
中的元素
满足
，且
，则集合
中的元素为
.
13.（2020山东济宁第一中学高一月考，改编）已知集合
中含有三个实数，分别为
若
且
，则
.
创新拓展练
14.设集合
中含有三个元素3，
，
.
（1）求实数
应满足的条件；
（2）若
，求实数
的值.
方法感悟
（1）根据集合中元素的确定性，可以解出参数的所有可能值，再根据集合中元素的互异性对求得的参数值进行检验.
（2）利用集合中元素的互异性解题时，要注意分类讨论思想的应用．
第2课时
集合的表示法
课标解读
课标要求
素养要求
针对具体问题，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言（列举法、描述法）刻画集合.
1.数学抽象——能够用简洁的语言准确地表述出研究对象.
2.数学运算——能够进行描述法与列举法之间的转化.
自主学习·必备知识
要点一
列举法
把集合的所有元素①
出来，并用花括号“{
}”括起来表示集合的方法叫做
.
要点二
描述法
一般地，设
是一个集合，我们把集合
中所有具有②
特征
的元素
所组成的集合表示为
，这种表示集合的方法称为
.
自主思考
1.分析列举法的优点与缺点各有哪些?
2.描述法的特点有哪些?
名师点睛
1.使用列举法表示集合的四个注意点
（1）元素间用“，”分隔开，其一般形式为
；
（2）元素不重复，满足元素的互异性；
（3）元素无顺序，满足元素的无序性；
（4）对于含有有限个元素且个数较少的集合，采取该方法较合适；若元素个数较多或有无限个且集合中的元素呈现一定的规律，在不会产生误解的情况下，也可以列举出几个元素作为代表，其他元素用省略号表示.
2.用描述法表示集合时的三个注意点
（1）用描述法表示集合，应先弄清楚集合中元素的属性，是数集、点集还是其他的类型.一般地，数集用一个字母代表其元素，而点集则用一个有序数对来表示其元素.
（2）用描述法表示集合时，若描述部分出现元素记号以外的字母，则需对新字母说明其含义或取值范围.
（3）多层描述时，应当准确使用“且”和“或”，所有描述的内容都要写在集合内.
互动探究·关键能力
探究点一
列举法的应用
精讲精练
例
用列举法表示下列集合：
（1）方程
的所有实数解组成的集合；
（2）直线
与
轴的交点所组成的集合；
（3）不大于8的正整数构成的集合；
（4）15的正约数组成的集合.
解题感悟
用列举法表示集合的步骤
（1）求出集合的元素；
（2）把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次；
（3）用花括号括起来.
注意：二元方程组的解集，函数图象上的点构成的集合都是点的集合，一定要写成实数对的形式，元素与元素之间用“，”隔开．如
.
迁移应用
1.用列举法表示下列集合：
（1）小于10的质数组成的集合
；
（2）方程
的实数根组成的集合
；
（3）直线
与直线
的交点组成的集合
D.
探究点二
描述法的应用
精讲精练
例
用描述法表示下列集合：
（1）比1大且比10小的实数组成的集合；
（2）不等式
的所有解组成的集合；
（3）到两坐标轴距离相等的点组成的集合；
（4）正奇数集
.
解题感悟
描述法的一般形式为
，其中的
表示集合中的代表元素，
指的是元素的取值范围；
则是表示这个集合中元素的共同特征，其中“
”将代表元素与其特征分隔开来．一般来说，集合中元素
的取值范围
需写明确，但若从上下文的关系看，
是明确的，则
可以省略，只写元素
.
迁移应用
1.用描述法表示下列集合：
（1）被3除余2的正整数组成的集合
；
（2）
；
（3）平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合
.
探究点三
集合表示方法的综合应用
精讲精练
例
集合
，若集合
中只有一个元素，求实数
的值组成的集合.
解题感悟
（1）若已知集合是用描述法给出的，读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键.
（2）在学习过程中要注意数学思想的培养，如：数形结合思想、等价转化思想和分类讨论的思想.
迁移应用
1.已知集合
.
（1）若集合
中只有一个元素，求实数
的值；
（2）若集合
中至少有一个元素，求实数
的取值范围；
（3）若集合
中至多有一个元素，求实数
的取值范围.
评价检测·素养提升
课堂检测
1.下列四个集合中，不同于另外三个的是(
)
A.
B.
C.
D.
2.（多选）由大于-3且小于1的偶数所组成的集合是(
)
A.
B.
C.
D.
3.若
，
用列举法表示集合
为
.
4.图中阴影部分（含边界）所表示的点的集合用描述法表示为
.
5.给出下列说法：
①直角坐标平面内，第一、三象限的点组成的集合为
；
②方程
的解集为
；
③集合
与
是相等的．
其中正确的是
（填写所有正确说法的序号）．
素养演练
1.数学抽象——描述法中点集与数集的区别
下面三个集合：
；
；
.
问：（1）它们是不是相同的集合？
（2）它们各自的含义是什么？
素养探究：对于描述法表示的集合，一看代表元素，如
表示数集，
表示点集；二看条件，即看代表元素满足什么条件（公共特性）.同一集合，描述法表示可以不唯一，体现了数学抽象的核心素养.
迁移应用
1.（2021山东济南高一期末）下列集合与集合
相等的是(
)
A.(1,3)
B.
C.
D.
课时评价作业
基础达标练
1.（2020湖南怀化高一期末）如果集合
，那么(
)
A.
B.
C.
D.
2.集合
的另一种表示法是(
)
A.
B.
C.
D.
3.用描述法表示函数
的图象上的所有点为(
)
A.
B.
C.
D.
4.（2020山东枣庄十六中高一期中）方程组
的解集是(
)
A.
B.
C.
D.
5.下列集合中恰有2个元素的集合是(
)
A.
B.
C.
D.
6.设集合
，若
，则用列举法表示集合
为
.
7.用列举法可以将集合
表示为
.
8.已知集合
，
，则集合
与
中有
个相同的元素，由这些相同元素组成的集合为
．
9.用适当的方法表示下列集合：
（1）一年中有31天的月份的全体；
（2）大于-3.5且小于12.8的整数的全体；
（3）梯形的全体；
（4）所有能被3整除的数；
（5）不等式
的解集．
素养提升练
10.（多选）下列命题中正确的是(
)
A.集合
中有两个元素
B.集合
中没有元素
C.
D.
与
是同一个集合
11.（多选）（2020海南第四中学高一月考）下列表示同一个集合的是(
)
A.
，
B.
，
C.
，
D.
，
12.集合
用列举法表示为
.
13.若一数集的任一元素的倒数仍在该集合中，则称该数集为可倒数集.集合
（填“是”或“不是”）可倒数集.试写出一个含三个元素的可倒数集
.
创新拓展练
14.已知集合
，
，
.若
，则是否存在
，
，使
成立？
550
/
611
