第二章
一元二次函数、方程和不等式
2.1
等式性质与不等式性质
第1课时
不等关系与不等式
课标解读
课标要求
素养要求
1.能用不等式（组）表示实际问题中的不等关系.
2.初步学会用作差法比较两个实数的大小.
1.数学抽象——会用不等式（组）表示实际问题中的不等关系.
2.数学运算——能用作差法比较两个实数的大小.
自主学习·必备知识
要点一
实数
,
大小的比较
关于实数
大小的比较,有以下基本事实：
如果
是正数,那么①
;如果
等于0,那么②
;如果
是负数,那么③
.反过来也对.
这个基本事实可以表示为
；
;
.
要点二
重要不等式
一般地，
有
④
,当且仅当⑤
时,等号成立.
自主思考
1.
与
两式都随
的变化而变化,其大小关系并不明显,你能想个办法比较
与
的大小吗
2.教材
图2.1-4中的小正方形面积如何用
表示？
名师点睛
1.不等关系强调的是关系,可用符号“＞”“＜”“
”“
”或“
”表示,而不等式则是表示两者的不等关系,可用式子“
”“
”“
”“
”或“
”表示,不等关系是可以通过不等式来体现的.
2.不等式中文字语言与符号语言之间的转换：
文字语言
大于,高于,超过
小于,低于,少于
大于等于,至少,不低于
小于等于,至多,不多于,不超过
符号语言
＞
＜
互动探究·关键能力
探究点一
用不等式（组）表示不等关系
精讲精练
例
某钢铁厂要把长度为
的钢管截成
和
两种,按照生产的要求,
钢管的数量不能超过
钢管数量的3倍．试写出满足上述所有不等关系的不等式．
解题感悟
将实际的不等关系写成对应的不等式时,应注意实际问题中关键性的文字语言与对应的数字符号之间的正确转换,这关系到能否正确地用不等式表示出不等关系.
迁移应用
1.李辉准备存零花钱买一台学习机,他现在已存60元．计划从现在起以后每个月节省30元,直到他至少有400元．设
个月后他至少有400元,则可以用于计算所需要的月数
的不等式是(
)
A.
B.
C.
D.
2.一辆汽车原来每天行驶
,如果该汽车每天行驶的路程均比原来多
,那么在8天内它行驶的路程将超过
,用不等式表示为
.
探究点二
作差法比较大小
精讲精练
例
已知
,比较
与
的大小.
答案：
.
因为
,所以
,
所以
,所以
.
解题感悟
作差法比较
,
大小的基本步骤
迁移应用
1.比较
与
的大小.
探究点三
利用作差法证明不等式
精讲精练
例
已知
,求证：
.
解题感悟
用作差法证明不等式的关键是对差式进行变形,通过配方、通分、分解因式等方式确定等式的符号,从而证明不等式.
迁移应用
1.已知
均为正实数,证明：
.
评价检测·素养提升
课堂检测
1.下列能表示“
不比
小”的不等关系的是(
)
A.
B.
C.
D.
2.
某校对高一美术生划定录取分数线,专业成绩
不低于95分,文化课总分
高于380分,体育成绩
超过45分,则用不等式组表示为(
)
A.
B.
C.
D.
3.（2020黑龙江宾县第一中学高一期中）设
,则
与
的大小关系是
.
5.用一段长为
的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙长
,要求菜园的面积不小于
,靠墙的一边长为
,试用不等式组表示其中的不等关系．
素养演练
数学建模——不等关系的实际应用
1.某公司有20名技术人员,计划开发
两类电子器件共50件,每类每件所需人员和预计产值如下：
产品种类
每件需要人员数
每件产值（万元/件）
类
7.5
类
6
现欲使总产值最高,则应开发
类电子器件
件,最高产值为
万元.
素养探究：（1）根据实际问题列不等式（组）的关键是通过分析找出问题中的不等关系,并确定不等号,然后写出不等号两边的代数式.
（2）根据实际问题列出不等式（组）,应从实际意义出发,而不能拘于某一种形式.
迁移应用
1.为打造“书香校园”,某学校计划用不超过1900本科技类书籍和1620本人文类书籍组建中、小型两类图书角共30个.已知组建一个中型图书角需科技类书籍80本,人文类书籍50本;组建一个小型图书角需科技类书籍30本,人文类书籍60本.设组建中型图书角
个,用不等式组将题目中的不等关系表示出来,并求出所有符合题意的组建方案.
课时评价作业
基础达标练
1.（多选）下列说法正确的是(
)
A.某人的月收入
元不高于2000元可表示为"
"
B.小明的身高为
,小华的身高为
,则小明比小华矮可表示为"
"
C.变量
不小于
可表示为"
"
D.变量
不超过
可表示为"
"
2.据天气预报可知某天白天的最高温度为
,则该天白天的气温
（单位：
）与
之间存在的不等关系是(
)
A.
B.
C.
D.
3.（2020湖南师大附中高一月考）设
,则(
)
A.
B.
C.
D.
与
的大小关系与
有关
4.（2020安徽滁州定远高一月考）某同学拿50元钱买纪念邮票,票面8角的每套5张,票面2元的每套4张,如果每种邮票至少买两套,那么买票面8角的
套与票面2元的
套用不等式(组)表示为(
)
A.
B.
C.
D.
5.不等式
中等号成立的条件为
.
6.某商品的包装上标有质量
克,若用
表示商品的质量,则可用含绝对值的不等式表示该商品的质量为
.
7.比较大小：
.（填“＞”“＜”或“=”）
素养提升练
8.若
,则
、
的大小关系是(
)
A.
B.
C.
或
D.
9.（2021安徽滁州高一期末）已知
,给出下列不等式：①
;②
;③
;④
,其中正确的有(
)
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
10.（2020南京师范大学附属实验学校高一月考）如图,在一块长为
,宽为
的矩形地面上,要修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路分别与矩形的一条边平行）,剩余部分修建草坪,要求草坪的面积不小于
.设道路的宽为xm,根据题意可列出的不等式为(
)
A.
B.
C.
D.
11.已知
满足
,比较
的大小.
创新拓展练
12.甲打算从
地出发至
地,现有两种方案.
第一种：前一半路程按速度
前进,后一半路程按速度
前进,平均速度为
;
第二种：前一半时间按速度
前进,后一半时间按速度
前进,平均速度为
.
则
的大小关系为(
)
A.
B.
C.
D.无法确定
第2课时
等式性质与不等式性质
课标
解读
课标要求
素养要求
梳理等式的性质,掌握不等式的性质.
逻辑推理——能够用不等式的性质解决相关问题.
自主学习·必备知识
要点一
等式的基本性质
等式有下面的基本性质:
性质1
如果
,那么①
;
性质2
如果
,那么②
;
性质3
如果
,那么
;
性质4
如果
,那么
;
性质5
如果
，那么③
.
要点二
不等式的性质
不等式有如下性质:
性质1
如果
,那么
;如果
,那么
.即④
.
性质2
如果
,那么
.即
.
性质3
如果
,那么
.
性质4
如果
,那么⑤
;如果
,那么⑥
.
性质5
如果
,那么
.
性质6
如果
,那么⑦
.
性质7
如果
,那么
.
自主思考
1.若
,能否得出
?举例说明.
2.若
,判断下列各不等式是否成立:①
;②
;③
;④
.
名师点睛
1.不等式的其他性质
（1）倒数性质：
.
（2）分数性质：
若
,则
真分数性质：
;
.
假分数性质：
;
.
2.指定代数式的取值范围必须依据不等式的性质进行求解,同向不等式具有可加性与可乘性,但是不能相减或相除,解题时必须利用性质,步步有据,避免改变代数式的取值范围．
互动探究·关键能力
探究点一
利用不等式的性质判断不等式是否成立
自测自评
1.已知
,则下列不等式中恒成立的是(
)
A.若
,则
B.若
,则
C.若
,则
D.若
,则
2.若
,且
,则下列不等式中一定成立的是(
)
A.
B.
C.
D.
3.若
,则下列不等式中不成立的是(
)
A.
B.
C.
D.
解题感悟
判断不等式是否成立的技巧
（1）首先要注意不等式成立的条件,不要弱化条件.
（2）解决有关不等式的选择题时,也可采用特殊值法进行排除,注意取值要遵循以下原则：一是满足题设条件;二是取值要简单,便于验证计算.
探究点二
利用不等式的性质证明不等式
精讲精练
例
已知
,证明：
.
答案：证明
由
得
,即
.
由
得
，即
，故
.
解题感悟
利用不等式的性质证明不等式时,应注意紧扣不等式的性质成立的条件,不可省略条件或跳步推导,更不能随意构造性质与法则.
迁移应用
1.已知
,求证：
.
探究点三
利用不等式的性质求取值范围
精讲精练
例
已知
,求
与
的取值范围.
解题感悟
利用不等式的性质求取值范围的策略
（1）建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系,利用不等式的性质进行运算,求得待求的范围.
（2）同向（异向）不等式的两边可以相加（相减）,这种转化不是等价变形,如果在解题过程中多次使用这种转化,那么就有可能扩大取值范围.
迁移应用
1.已知实数
满足
则实数
的取值范围为
.
评价检测·素养提升
课堂检测
1.对于实数a,b,c,下列说法错误的是(
)
A.若
,则
B.若
则
C.若
,则
D.若
,则
2.若
且
,则
一定是(
)
A.正数
B.负数
C.非正数
D.非负数
3.已知
,则
的大小关系为(
)
A.
B.
C.
D.
4.已知实数
满足
,则
的取值范围是
.
5.已知
,求
的取值范围.
素养演练
数学运算——用待定系数法求代数式的取值范围
1.已知
,求
的取值范围.
素养探究：在给定已知代数式的取值范围的条件下,求未知代数式的取值范围,通常需要先用待定系数法将所求代数式表示成已知代数式的组合,再利用不等式的性质求解,特殊情况下这种组合形式也可观察得出,解题过程中体现数学运算的核心素养.
迁移应用
1.已知
,求
的取值范围.
课时评价作业
基础达标练
1.（2020北京海淀清华附中高一期中）已知
,则下列不等式一定成立的是(
)
A.
B.
C.
D.
2.若
,则下列不等式恒成立的是(
)
A.
B.
C.
D.
3.（2021天津三中高一期末）若
,则下列正确的是(
)
A.
B.
C.
D.
4.（多选）（2020广东东莞四中高一期中）若
,则下列不等式恒成立的是(
)
A.
B.
C.
D.
5.已知
,给出下列四个不等式：①
;②
;③
;④
.其中不正确的不等式个数是(
)
A.0
B.1
C.2
D.3
6.（多选）（2020山东烟台高一期中）设
,则(
)
A.
B.
C.
D.
7.（2021浙江高一期末）若
则
的取值范围是
.
素养提升练
8.（2021江苏南京高一期末）已知
都是负数,且
,则(
)
A.
B.
C.
D.
9.（多选）（2020山东济南高一月考）设a,b为正实数,则下列命题正确的有(
)
A.若
则
B.若
,则
C.若
,则
D.若
则
10.已知a、b、c、d均为实数,则下列命题中错误的是(
)
A.若
,则
B.若
则
C.若
,则
D.若
,则
11.（多选）已知
,则下列正确的有(
)
A.
B.
C.
D.
12.设
,则
的大小关系是
.
13.若
,求证：
.
创新拓展练
14.已知二次函数
满足以下条件:
①该函数图象过原点;
②当
时,
;
③当
时,
.
当
时,求
的取值范围.
解析：命题分析
本题考查不等式的性质及应用,涉及二次函数图象、性质以及待定系数法等.
答题要领
结合已知条件求出
的值,然后将
代入
的表达式,再结合不等式的性质可求
时,
的取值范围.
方法感悟
利用不等式的性质求取值范围,通常需要建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系,整体使用所给条件,切不可随意拆分所给条件.
550
/
611(共24张PPT)
2.1
等式性质与不等式性质
第二章
?
?
学习目标
1.理解不等式的概念.
2.了解不等式（组）的实际背景.
3.掌握不等式的性质.
核心素养：数学抽象、逻辑推理
新知学习
不等关系及其表示
在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，例如多与少、
大与小、长与短、高与矮、远与近、快与慢、涨与跌、轻与重、不超过和不
少于等。类似于这样的问题反映在数量关系上就是相等和不相等，相等用等
式表示不等用不等式表示。
【等式】指的是用等号“=”连接起来的式子
【不等式】指的是用不等号“≠”“＞”“＜”“≥”“≤”
连接起来的式子
不等关系及其表示
【问题1】你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？
?
?
（3）三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；
（4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.
?
?
?
设P是直线AB外任意一点，PQ是P到AB的垂
线段，C是直线AB上任意一点，则PC≥PQ
A
B
C
P
Q
不等关系及其表示
【问题2】某种杂志原本以每本2.5元的价格出售，可以售出8万本.据市场调查
发现，杂志的单价每提高0.1元，销售量就可能减少2000本.如何定价
才能使涨价后的总收入不低于20万元?
?
?
?
所以用不等式表示为：
单价涨了多少元
单价涨了多少个0.1元
销量少了多少个2000元
实数大小的比较
?
实际上，在初中我们已经通过具体实例归纳出了一些不等式的性质，那么
这些不等式的性质为什么是正确的呢？还有其他不等式的性质吗？回答这些问题
要用到关于两个实数大小关系的基本事实.
不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变
不等式的两边同乘(或除以)一个正数，不等号的方向不变
不等式的两边同乘(或除以)一个负数，不等号的方向改变
实数大小的比较
?
A
B
?
B
A
?
A(B)
?
?
?
?
实数大小比较
的基本事实①
【作差法】
?
实数大小的比较
?
?
实数大小比较
的基本事实②
【作商法】
?
?
?
【解】运用作差法：
0是正数与负数的分界线，它为比较实数的大小提供了标杆.
?
?
?
?
即时巩固
?
【解】运用作商法：
1是相等与不等的分界线，它也为比较实数的大小提供了标杆.
?
?
?
?
即时巩固
一个重要不等式
如图是根据第24届国际数学家大会的会标设计的，会标灵感来
源于中国古代数学家赵爽的弦图，图中有什么不等关系？
很显然赵爽弦图是我们在初中研究勾股定理时的模型，我们把
它抽象成如图所示的图形.
?
?
?
?
?
?
一个重要不等式
?
事实上，利用完全平方公式也可以得到这个不等式：
?
?
因此，由两个实数大小关系的基本事实，我们得到：
?
等式有什么性质？
★【对称性】
★【传递性】
★【加减性】
★【同乘性】
★【同除性】
?
?
?
?
?
?
?
我成立，你不一定成立！
为什么啊？
c≠0时，你成立；c=0时，你不一定成立！
?
?
那可不一定，你是不是成立，得问问c，c=0时，你就不成立！
?
不等式有什么性质？
★【对称性】
★【传递性】
?
?
证明：
?
?
?
?
不等式有什么性质？
★【可加性】
★【可乘性】
★【同向可加性】
?
?
?
不等式两边同时加上一个数，不变号
不等式两边同时乘上一个正数，不变号；
?
不等式两边同时乘上一个负数，要变号
.
?
?
只有一个等式有等号也是传递不过去的.
不等式有什么性质？
★【同向同正可乘性】
★【同正可乘方性】
?
我只有同向可加性，同向可乘还必须保证是正数！
?
我的等号左右能对应加减乘除(除数不为0)，你行吗？
不等式
?
?
?
?
?
即时巩固
随堂小测
A.4×2x≥100
B.4×2x≤100
C.4×2x＞100
D.4×2x＜100
解析 当导火索的长度为x厘米时，燃烧的时间为2x秒，人跑开的距离为(4×2x)米，为了保证安全，有4×2x＞100.
答案 C
2.设a，b∈R，若a＋|b|<0，则下列不等式中正确的是( )
A.a－b>0
B.a3＋b3>0
C.a2－b2<0
D.a＋b<0
解析 本题可采用特殊值法，取a＝－2，b＝1，则a－b<0，a3＋b3<0，a2－b2>0，排除A，B，C，故选D.
答案 D
3.设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是( )
A.M＞N
B.M＝N
C.M＜N
D.与x有关
答案 A
课堂小结
1.比较两个实数的大小，只要考查它们的差就可以了.作差法比较实数的大小一般步骤是作差→恒等变形→判断差的符号→下结论.作差后变形是比较大小的关键一步，变形的方向是化成几个完全平方数和的形式或一些易判断符号的因式积的形式.
2.不等式的性质是不等式变形的依据，每一步变形都要严格依照性质进行，千万不可想当然.
谢
谢！
