(共27张PPT)
1.1.2
菱形的判定
北师大版
九年级上册
新知导入
想一想：菱形的定义是什么？性质有哪些？
菱形的定义：
有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
菱形的性质：
①
两条对角线互相垂直平分；
②
四条边都相等；
③
每条对角线平分一组对角；
④
菱形是一个中心对称图形，也是一个轴对称图形.
新知讲解
根据菱形的定义，可得菱形的第一个判定的方法：
一组邻边相等
平行四边形
菱形
∵四边形ABCD是平行四边形
AB=AD
∴四边形ABCD是菱形
数学语言
新知讲解
探究菱形的判定方法二
除此之外，你认为还有什么条件可以判断一个平行四边形是菱形？
当平行四边形的对角线满足什么条件时变成菱形？
合作探究
【做一做】用一长一短的两根细木条，在它们的中点处固定一个小钉，做成一个可动的十字，四周围上一根橡皮筋，做成一个平行四边形.
转动木条，观察图形的变化情况，你能发现什么？
新知讲解
通过上面的操作观察，什么时候橡皮筋围成的四边形会变成菱形？
对角线互相垂直时
猜想：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
你能证明你的猜想吗？
新知讲解
已知：如图，在?ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC⊥BD.
求证：
?ABCD是菱形．
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC.
又∵AC⊥BD，
∴BD是线段AC的垂直平分线．
∴BA＝BC.
∴四边形ABCD是菱形(菱形的定义)．
新知讲解
总结归纳
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
数学语言:
∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD,
∴
□ABCD是菱形.
AC⊥BD
A
B
C
D
菱形ABCD
A
B
C
D
□ABCD
新知讲解
议一议：
已知线段AC，你能用尺规作图的方法作一个菱形ABCD，使AC为菱形的一条对角线吗？
小刚是这样做的：
你认为小刚的做法正确吗？根据小刚的作法你有什么猜想？
分别以A，C为圆心，以大于
AC的长为半径作弧，两条弧分别相交于点B，D，依次连接A，B，C，D，四边形ABCD看上去是菱形．
新知讲解
猜想：四条边相等的四边形是菱形.
已知：如图，四边形ABCD，AB=BC=CD=DA.
求证：四边形ABCD是菱形.
证明：
∵AB=BC=CD=AD;
∴AB=CD
,
BC=AD.
∴四边形ABCD是平行四边形.
又∵AB=BC，∴四边形ABCD是菱形.
新知讲解
总结归纳
四边相等的四边形是菱形
AB=BC=CD=AD
A
B
C
D
菱形ABCD
四边形ABCD
A
B
C
D
数学语言:
在四边形ABCD中,
∵AB=BC=CD=DA，
∴四边形ABCD是菱形.
新知讲解
总结归纳
四边形
四条边都相等
判定
条件
对角线互相垂直
一组邻边相等
判定菱形的常见思路：
菱形
平行四边形
合作探究
做一做
你能用折纸等办法得到一个菱形吗？动手试一试！
先将一张长方形的纸对折、再对折，然后沿图中的虚线剪下，
将纸展开，就得到了一个菱形。
还有别的方法能得到菱形吗？
新知讲解
【例2】已知：如图，在?ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB
＝
，OA＝2，OB＝1.
求证：?
ABCD是菱形．
证明：在△AOB中，
∵AB＝
，OA＝2，OB＝1，
∴AB2＝AO2＋OB2.
∴△AOB是直角三角形，∠AOB是直角．
∴AC⊥BD.
∴?ABCD是菱形(对角线垂直的平行四边形是菱形)．
课堂练习
1.如图，在?ABCD中,AC与BD交于点O,下列判断中不正确的是(
)
A.
若AB＝BC，则?ABCD是菱形
B.
若AC⊥BD，则?ABCD是菱形
C.
若AC平分∠BAD，则?ABCD是菱形
D.
若AC＝BD，则?ABCD是菱形
D
课堂练习
2.如图，O是菱形ABCD的对角线的交点，E，F分别是OA，OC的中点，给出下列结论：
①四边形BFDE是菱形；
②S四边形ABCD＝EF·BD；
③∠ADE＝∠EDO；
④△DEF是轴对称图形．
其中正确的有( )
A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.
4个
C
课堂练习
3.如图，在?
ABCD中，AE，CF分别是∠BAD和∠BCD的平分线，添加一个条件，仍无法判定四边形AECF为菱形的是( )
A.
AE＝AF
B.
EF⊥AC
C.
∠B＝60°
D.
AC是∠EAF的平分线
C
课堂练习
4.如图，AD是△ABC的中线，四边形ADCE是平行四边形，增加下列条件，能判断?
ADCE是菱形的是( )
A.
∠BAC＝90°
B.
∠DAE＝90°
C.
AB＝AC
D.
AB＝AE
A
拓展提高
5.如图，在菱形ABCD中，将对角线AC分别向两端延长到点E和F，使得AE＝CF，连接DE，DF，BE，BF.
求证：四边形BEDF是菱形．
证明：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD＝BC＝CD，∠DCA＝∠BCA，AD∥BC.
∴∠DCF＝∠BCF.
∵CF＝CF，
∴△CDF≌△CBF(SAS)．∴DF＝BF.
拓展提高
5.如图，在菱形ABCD中，将对角线AC分别向两端延长到点E和F，使得AE＝CF，连接DE，DF，BE，BF.
求证：四边形BEDF是菱形．
∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA.
∴∠DAE＝∠BCF.
∵AE＝CF，DA＝BC，
∴△DAE≌△BCF(SAS)．∴DE＝BF.
同理可证：△DCF≌△BAE(SAS)．∴DF＝BE.
∴DF＝BF＝BE＝DE.
∴四边形BEDF是菱形．
中考链接
6.【2020·新疆】如图，四边形ABCD是平行四边形，DE∥BF，且分别交对角线AC于点E，F，连接BE，DF.
(1)求证：AE＝CF；
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝CB，AD∥CB.∴∠DAE＝∠BCF.
∵DE∥BF，∴∠DEF＝∠BFE.
∴∠AED＝∠CFB.
∴△ADE≌△CBF(AAS)．∴AE＝CF.
中考链接
6.【2020·新疆】如图，四边形ABCD是平行四边形，DE∥BF，且分别交对角线AC于点E，F，连接BE，DF.
(2)若BE＝DE，求证：四边形EBFD为菱形．
由(1)知△ADE≌△CBF，
∴DE＝BF.
又∵DE∥BF，
∴四边形EBFD是平行四边形．
∵BE＝DE，∴四边形EBFD为菱形．
课堂总结
本节课你学到了什么？
菱形的判定方法：
1.(定义法)有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
2.(边)四条边相等的四边形是菱形.
3.(对角线)对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
板书设计
课题：1.1.2
菱形的判定
?
?
教师板演区
?
学生展示区
一、定义法
二、对角线互相垂直
三、四条边相等
作业布置
课本
P7
练习题
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北师版九年级上册数学1.1.2
菱形的判定教学设计
课题
1.1.2
菱形的判定
单元
一单元
学科
数学
年级
九
学习目标
1.经历菱形的判定方法的探究过程，掌握菱形的三种判定方法.2.经历利用菱形的定义探究菱形其它判定方法的过程，培养学生动手实验、观察、推理的意识，发展逻辑思维能力和演绎能力.3.在探究菱形判定方法的活动中获得成功的体验，通过运用菱形的判定和性质，锻炼克服困难的意志，建立自信心.
重点
菱形的判定定理的探究.
难点
菱形的性质与判定的综合应用.
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
师：想一想：菱形的定义是什么？性质有哪些？菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.菱形的性质：菱形的性质：①
两条对角线互相垂直平分；②
四条边都相等；③
每条对角线平分一组对角；④
菱形是一个中心对称图形，也是一个轴对称图形.
学生思考回答菱形的定义与性质。
学生通过复习回顾，加深菱形的性质，为后面讲解菱形的判定做铺垫。
讲授新课
师：根据菱形的定义，可得菱形的第一个判定的方法：你能用数学语言说一说第一个判定方法吗？探究菱形的判定方法二师提问：除此之外，你认为还有什么条件可以判断一个平行四边形是菱形？当平行四边形的对角线满足什么条件时变成菱形？合作探究：【做一做】用一长一短的两根细木条，在它们的中点处固定一个小钉，做成一个可动的十字，四周围上一根橡皮筋，做成一个平行四边形.师提问：转动木条，观察图形的变化情况，你能发现什么？师：通过上面的操作观察，什么时候橡皮筋围成的四边形变成菱形？你有什么猜想？师提问：你能证明你的猜想吗？教师课件出示问题：已知：如图，在ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC⊥BD.
求证：ABCD是菱形．教师总结过程：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC.又∵AC⊥BD，∴BD是线段AC的垂直平分线．∴BA＝BC.∴四边形ABCD是菱形(菱形的定义)．总结归纳对角线互相垂直的平行四边形是菱形.你能用数学语言叙述吗？教师总结：∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD,∴
□
ABCD是菱形.议一议：已知线段AC，你能用尺规作图的方法作一个菱形ABCD，使AC为菱形的一条对角线吗？教师课件出示做法。分别以A，C为圆心，以大于
AC的长为半径作弧，两条弧分别相交于点B，D，依次连接A，B，C，D，四边形ABCD看上去是菱形．师提问：根据上面的作法你有什么猜想？怎样证明呢？师出示问题：已知：如图，四边形ABCD，AB=BC=CD=DA.求证：四边形ABCD是菱形.教师总结：证明：∵AB=BC=CD=AD;∴AB=CD
,
BC=AD.∴四边形ABCD是平行四边形.又∵AB=BC，∴四边形ABCD是菱形.总结归纳四条边都相等的四边形是菱形师：试着用数学语言描述一下。师总结：在四边形ABCD中,∵AB=BC=CD=DA，∴四边形ABCD是菱形.总结归纳判定菱形的常见思路：教师带领学生总结归纳，课件出示思路。做一做你能用折纸等办法得到一个菱形吗？动手试一试！师：先将一张长方形的纸对折、再对折，然后沿图中的虚线剪下，将纸展开，就得到了一个菱形。还有别的方法能得到菱形吗？教师课件出示【例2】【例2】已知：如图，在?ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB
＝，OA＝2，OB＝1.
求证：□ABCD是菱形．解：在△AOB中，∵AB＝，OA＝2，OB＝1，∴AB2＝AO2＋OB2.∴△AOB是直角三角形，∠AOB是直角．∴AC⊥BD.∴□ABCD是菱形(对角线垂直的平行四边形是菱形)．
生：∵四边形ABCD是平行四边形，AB=AD∴四边形ABCD是菱形学生思考回答问题。学生动手操作，在操作过程中根据图形的变化情况发现结论。生：对角线互相垂直时生：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.学生思考问题，在练习本上整理证明过程，教师指名学生回答。学生试着用数学语言叙述第二个判定方法。学生整理笔记。学生思考。学生思考上述做法是否正确。生：猜想：四条边相等的四边形是菱形.学生思考问题，在练习本上整理证明过程，教师指名学生回答。学生语言描述。学生整理笔记。学生动手操作。学生思考问题，在练习本上整理证明过程，教师指名学生回答。
这一教学活动的设计主要为了确保学生主体作用得到充分发挥,让学生从被动学到主动学,从接受知识到探索知识,从个人学习到合作交流。通过实验操作，巩固了平行四边形的判定方法，培养学生的观察能力和推理能力，经历探究物体与图形的形状、大小、位置关系和变换的过程，培养猜想意识，感受直观操作得出猜想的便捷性，培养学生的观察、实验、合理猜想的能力。从简单问题出发，让学生在证明过程中掌握菱形的第二种判别方法的应用，达到“学数学，用数学''的目的，进一步培养学生解决问题能力和推理论证能力。通过多媒体动画演示,让学生从直观操作的角度去发现问题,使探究的问题形象化、具体化,培养学生形象思维。通过说明理由,利用平行四边形的判定和菱形的定义，判定该四边形是菱形,进一步培养学生抽象思维,本活动进一步体现了实验几何和论证几何的有机结合。通过添加教师教学用书上的一道范例题,学生在做题之后,进一步掌握四边相等的四边形是菱形的这一判定方法。达到了学以致用的目的,培养了学生的应用意识。
课堂练习
1.如图，在□?ABCD中,AC与BD交于点O,下列判断中不正确的是(
D )A.
若AB＝BC，则□ABCD是菱形B.
若AC⊥BD，则□ABCD是菱形C.
若AC平分∠BAD，则□ABCD是菱形D.
若AC＝BD，则□ABCD是菱形2.如图，O是菱形ABCD的对角线的交点，E，F分别是OA，OC的中点，给出下列结论：①四边形BFDE是菱形；②S四边形ABCD＝EF·BD；③∠ADE＝∠EDO；④△DEF是轴对称图形．其中正确的有( C )A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.
4个3.如图，在□ABCD中，AE，CF分别是∠BAD和∠BCD的平分线，添加一个条件，仍无法判定四边形AECF为菱形的是( C )A.
AE＝AFB.
EF⊥ACC.
∠B＝60°D.
AC是∠EAF的平分线4.如图，AD是△ABC的中线，四边形ADCE是平行四边形，增加下列条件，能判断□ADCE是菱形的是( A )A.
∠BAC＝90°
B.
∠DAE＝90°C.
AB＝AC
D.
AB＝AE5.如图，在菱形ABCD中，将对角线AC分别向两端延长到点E和F，使得AE＝CF，连接DE，DF，BE，BF.求证：四边形BEDF是菱形．证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD＝BC＝CD，∠DCA＝∠BCA，AD∥BC.∴∠DCF＝∠BCF.∵CF＝CF，∴△CDF≌△CBF(SAS)．∴DF＝BF.∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA.
∴∠DAE＝∠BCF.∵AE＝CF，DA＝BC，∴△DAE≌△BCF(SAS)．∴DE＝BF.同理可证：△DCF≌△BAE(SAS)．∴DF＝BE.∴DF＝BF＝BE＝DE.∴四边形BEDF是菱形．6.【2020·新疆】如图，四边形ABCD是平行四边形，DE∥BF，且分别交对角线AC于点E，F，连接BE，DF.(1)求证：AE＝CF；(2)若BE＝DE，求证：四边形EBFD为菱形．证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝CB，AD∥CB.∴∠DAE＝∠BCF.∵DE∥BF，∴∠DEF＝∠BFE.∴∠AED＝∠CFB.∴△ADE≌△CBF(AAS)．∴AE＝CF.(2)由(1)知△ADE≌△CBF，∴DE＝BF.又∵DE∥BF，∴四边形EBFD是平行四边形．∵BE＝DE，∴四边形EBFD为菱形．
学生课堂练习，然后上台演示自己的答案。
加深学生对菱形判定方法的理解与运用,进一步提高学生运用知识的能力,对练习中出现的情况可采取互评、互议的形式,达到及时查漏补缺的效果。
课堂小结
本节课你学到了什么？菱形的判定方法：1.(定义法)有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.2.(边)四条边相等的四边形是菱形.3.(对角线)对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
学生在教师的引导下总结归纳。
通过评价与反思,让学生理清本节课的知识结构,掌握菱形的三种判定方法,感受探究过程中的乐趣,体验克服困难的过程,树立自信心。
板书
课题：1.1.2
菱形的判定一、定义法二、对角线互相垂直三、四条边相等
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精品试卷·第
2
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