(共30张PPT)
2.2
基本不等式
第二章
1.探索基本不等式的证明过程.
2.掌握基本不等式.
3.能用基本不等式解决简单的最大（小）值问题.
核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学运算
学习目标
基本不等式及其推导
?
?
?
?
?
?
?
新知学习
基本不等式及其推导
【问题】上述均值不等式是如何推导的？
?
?
?
【证法二】当然我们也可以利用倒推法：
?
基本不等式及其推导
?
基本不等式链
?
高中数学需要掌握的几个公式
?
?
?
?
?
?
完全立方公式
完全立方公式
立方和公式
立方差公式
基本不等式的推广
①三元不等式：
?
②n元基本不等式：
?
基本不等式的几何意义
?
?
A
B
D
C
E
?
?
?
?
利用基本不等式求最值
题【1】
?
?
?
?
?
?
利用基本不等式求最值
?
?
?
?
?
?
?
利用基本不等式求最值
【1】利用基本不等式解决最值问题要牢记三个关键词：一正二定三相等.
一正：各项必须为正
二定：各项之和或各项之积为定值
三相等：必须验证取等号时的条件十分具备
【2】利用基本不等式求最值的关键：根据定值求最值，配凑变换不可少.
?
?
?
什么是最值定理？
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即时巩固
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即时巩固
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?
?
?
?
即时巩固
基本不等式的实际应用
【例题】(1)用篱笆围成一个面积为100平方米的矩形菜园，当这个矩形的边长
为多少时，所用的篱笆最少，最短长度是多少？
?
?
?
基本不等式的实际应用
【例题】(2)用一段长为36米的铁丝网围成一个矩形菜园，当这个矩形的长和
宽各为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？
?
?
?
?
基本不等式的实际应用
【例题】（3）某工厂要建造一个长方体形状的无盖蓄水池，其容积为4800立
方米，深为3米.如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方
米的造价为120元，那么怎样设计水池才能使总造价最低？最低
造价是多少？
?
?
?
?
?
练习④：已知直角三角形的面积为50，当两条直角边的长度各为多少时，
两条直角边的和最小？最小值是多少？.
?
?
?
?
即时巩固
随堂小测
C
2.若0＜a＜b且a＋b＝1，则下列四个数中最大的是( )
答案 B
3.设a、b是实数，且a＋b＝3，则2a＋2b的最小值是( )
答案 B
4.将一根铁丝切割成三段做一个面积为2
m2、形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是( )
A.6.5
m
B.6.8
m
C.7
m
D.7.2
m
答案 C
5.设a＞0，b＞0，给出下列不等式：
答案 ①②③
6.函数f(x)＝x(4－2x)的最大值为________.
答案 2
课堂小结
3.利用基本不等式求最值
(1)利用基本不等式求最值要把握下列三个条件：
①“一正”——各项为正数；②“二定”——“和”或“积”为定值；③“三相等”——等号一定能取到.这三个条件缺一不可.
(2)利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建应用基本不等式的条件.
4.求解应用题的方法与步骤：
(1)审题；(2)建模(列式)；(3)解模；(4)作答.
谢
谢！2.2
基本不等式
第1课时
基本不等式
课标
解读
课标要求
素养要求
掌握基本不等式
（
，
，当且仅当
时等号成立）.
逻辑推理、数学运算——能灵活运用基本不等式解决一些证明、比较大小的问题.
自主学习·必备知识
，
①
，有
，当且仅当②
，等号成立.
特别地，如果
，
，我们用
，
分别代替上式中的
，
，可得
，当且仅当③
，等号成立.
通常称
为基本不等式.其中，
叫做正数
，
的算术平均数，
叫做
，
的几何平均数.
基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
自主思考
1.不等式
等号成立的条件是什么？
2.已知
，能否得到
？说明原因.
名师点睛
1.用比较法证明基本不等式
，当且仅当
，即
时，取“=”.
2.基本不等式的变形
（1）
，
，
，当且仅当
时，等号成立.
（2）
，
，
都是正数，当且仅当
时，等号成立.
互动探究·关键能力
探究点一
对基本不等式的理解
自测自评
1.若
，则下列不等式成立的是(
)
A.
B.
C.
D.
2.下列不等式一定成立的是(
)
A.
B.
C.
D.
3.（★）（多选）设
，
，则下列不等式中一定成立的是(
)
A.
B.
C.
D.
4.（2021浙江温州高一期末）已知
，
，
，则下列等式可能成立的是(
)
A.
B.
C.
D.
探究点二
利用基本不等式比较大小
精讲精练
例（1）已知
，
，则
，
之间的大小关系是(
)
B.
C.
D.不确定
（2）若
，且
，
，则
，
，
，
中的最大者是
.
1.比较大小：
2（填“
”“
”“
”“
”）.
2.已知
，
，且
，试比较
，
，4的大小.
探究点三
利用基本不等式证明不等式
精讲精练
例（1）已知
，
都是正数，求证：
；
已知
，
，
均为正数，且
，求证：
.
迁移应用
1.已知
，
，
均为正实数，求证：
.
评价检测·素养提升
1.已知
，
，且
，那么(
)
A.
B.
C.
D.
2.（多选）下列结论中正确的是(
)
A.若
，则
B.若
，则
C.若
，则
D.若
，则
3.不等式
（其中
）中等号成立的条件是
.
4.已知
，
，
为正实数，求证：
.
课时评价作业
基础达标练
1.（多选）（2020天津第一中学高一月考）若
，
，且
，则下列不等式恒成立的是(
)
A.
B.
C.
D.
2.（2020江苏淮安阳光学校高一月考）已知
，
，则下列不等式一定成立的是(
)
A.
B.
C.
D.
3.（多选）下列选项中正确的是(
)
A.若
，则
B.若
，则
C.
D.
4.（多选）（2020山东聊城高一期中）已知
，
，下列说法正确的有(
)
A.若
，则
B.若
，则
C.若
，则
D.若
，则
5.若
，
，则
（填“＞”“＜”“
”或“
”）.
6.若
，则①
；②
；③
；④
中，正确的有
7.（多选）若
，
，
，则下列不等式中恒成立的是(
)
A.
B.
C.
D.
8.已知
，
，
为不等正实数，且
.求证：
.
素养提升练
9.（2020江苏常州北郊高级中学高一期中）下列不等式恒成立的是(
)
A.
B.
C.
D.
10.（多选）（2021湖北鄂州高一期末）已知
，
，则下列式子一定成立的有(
)
A.
B.
C.
D.
11.已知
，
，
都是正实数，若
，
，则
与
的大小关系是
.
创新拓展练
12.已知
，
都是正数，求证：
.
第2课时
基本不等式的应用
课标解读
课标要求
素养要求
1.进一步掌握基本不等式,能够利用基本不等式求最值.
2.能够利用基本不等式解决实际问题.
1.数学运算——能利用基本不等式求代数式的最值.
2.数学建模——能利用基本不等式解决实际问题.
自主学习·必备知识
已知
，
都是正数，
（1）如果积
等于定值
，那么当
时，和
有最小值①
.
（2）如果和
等于定值
，那么当
时，积
有最大值②
.
自主思考
1.当
时，你能求出
的最小值吗？
用一段长为
的铁丝围成一个矩形，则矩形面积的最大值是多少？
名师点睛
利用基本不等式求最值的两种常用方法
1.拼凑法：拼凑法求解最值，其实质就是先通过代数式变形拼凑出和或积为常数的两项，然后利用基本不等式求解最值.利用基本不等式求解最值时，要注意“一正、二定、三相等”.
2.常数代换法：常数代换法解题的关键是通过代数式的变形，构造和式或积式为定值的式子，然后利用基本不等式求解最值.应用此种方法求解最值时，应把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘求积或相除求商.
互动探究·关键能力
探究点一
利用基本不等式求最值
自测自评
1.已知
，
，
，若
，
，则
的最小值是(
)
A.3
B.4
C.5
D.6
2.已知
，则
的最小值为(
)
A.8
B.16
C.24
D.32
3.已知
，则
的最大值是
.
4.已知
，
，且
，求
的最大值.
解题感悟
1.利用基本不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相等”的原则求解.
（1）一正：符合基本不等式
成立的前提条件为
，
.
（2）二定：不等式的一边转换为定值.
（3）三相等：必须存在取等号的条件，即等号成立.以上三点缺一不可.
2.若是求和式的最小值，通常化（或利用）积为定值；若是求积的最大值，通常化（或利用）和为定值，其解答技巧是恰当变形，合理拆分项或配凑因式.
探究点二
基本不等式在实际问题中的应用
精讲精练
例
某工厂拟建一个平面图为矩形，面积为200平方米，高度为1米的三段污水处理池（如图），由于受地形限制，其长、宽都不超过18米，已知池的外壁的建造费为400元/平方米，池中两道隔墙（与宽边平行）的建造费为248元/平方米，池底的建造费为80元/平方米.设污水处理池的长为
米，总造价为
元.
（1）求
的表达式；
（2）污水处理池的长与宽各是多少米时，总造价最低？并求出这个最低造价.
解题感悟
应用基本不等式解决实际问题的思路：
（1）先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为因变量；
（2）建立相应的关系式，把实际问题抽象成数学问题，利用基本不等式求解；
（3）根据实际背景写出答案.
迁移应用
1.如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园.设菜园的长为
，宽为
.
（1）若菜园面积为
，则
，
为何值时，所用篱笆总长度最小？
（2）若使用的篱笆总长度为
，求
的最小值.
评价检测·素养提升
课堂检测
1.已知
，
，
，则
的最大值是(
)
A.
B.
C.4
D.8
2.已知实数
，
均为正实数，且
，则
的最小值为(
)
A.9
B.
C.5
D.4
3.已知
，且
，则
的最小值是
.
4.若
，
，
，则
的最小值为
.
5.（★）已知正数
，
满足
，则
的最小值为
.
素养演练
数学运算——用换元法求代数式的最值
（1）已知实数
，
满足
，
，则
的最大值是
.
（2）若
，
，且
，则
的最小值是
.
素养探究：最值问题，特别是二元变量的最值问题，由于结构复杂，难以将问题转化为一元问题，对这类最值问题若采取双换元的方法，可以收到意想不到的效果.
迁移应用
1.若正实数
满足
，则
的最小值是(
)
A.
B.
C.
D.
课时评价作业
基础达标练
1.已知
，则
的最小值为(
)
A.6
B.5
C.4
D.3
2.已知
，
，
，则
的最小值为(
)
A.
B.
C.2
D.4
3.（2020安徽蚌埠第三中学高一月考）当
时，下列式子中最小值为2的是(
)
A.
B.
C.
D.
4.（2020山西吕梁高一期中）中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为
，
，
，则三角形的面积
可由公式
求得，其中
为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足
，
，则此三角形面积的最大值为(
)
A.
B.24
C.
D.
5.（2020重庆巫山中学高一月考）若正实数
，
满足
，则
的最小值为(
)
A.
B.1
C.2
D.
6.（多选）（2021湖北武汉高一期中）设
，且
，
，那么(
)
A.
有最小值
B.
有最大值
C.
有最大值
D.
有最小值
7.把总长为
的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是
.
8.已知
，
，
，则
的最小值为
.
9.已知
，
，且满足
，则
的最小值为
.
素养提升练
10.（多选）（2021山东潍坊高一期中）下列结论正确的是(
)
A.若
，则
的最大值为-2
B.若
，
，则
C.若
，
，
，则
的最大值为9
D.若
，则
的最大值为2
11.已知正数
，
满足
，则
的最小值为(
)
A.
B.
C.6
D.
12.已知实数
，
满足
，则
的最小值是
.
13.设正数
，
满足
，则
的最大值是
.
创新拓展练
14.某汽车公司购买了4辆大客车用于长途客运，每辆200万元，预计每辆车每年收入约100万元，每辆车第一年的各种费用约为16万元，且从第二年开始每年比上一年所需费用增加16万元.
（1）写出4辆车运营的总利润
（万元）与运营年数
的关系式；
（2）这4辆车运营多少年可使年平均运营利润最大?
（注：
，
）
550
/
611
